最新初中数学二次函数基础测试题及答案

的交点在 x 轴下方得到 c 0 ，则可对 A 进行判断；利用当 x 1 时， y 0 可对 B 进行判
断；利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x b 1，则可对 C 进行判断； 2a
根据抛物线与 x 轴的交点个数对 D 进行判断．
【详解】 解： 抛物线开口向上，
a 0， 对称轴在 y 轴的右侧，
则说法①正确
此二次函数的对称轴为
x
1 2
2a
1
1
2a
4a
a0
1 11 4a
x0 1 ，则说法②错误
由二次函数的性质可知，抛物线的开口向下，当 x 1 1时，y 随 x 的增大而增大；当 4a
x 1 1时，y 随 x 的增大而减小 4a
因 1 11 0 4a
则当 0 x 1 1时，y 随 x 的增大而增大；当 x 1 1时，y 随 x 的增大而减小
抛物线与 x 轴有 2 个交点， △ b2 4ac 0 ， 即 4ac b2 ，所以④错误．
综上所述：③正确；①②④错误．
故选： C ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y ax2 bx c(a 0) ，二次项系 数 a 决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 （左同右异）．常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 (0,c) ．抛物线与 x 轴交点个数由△决定．
c=0，则③正确；
根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.
点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向
上，则 a 大于零，如果函数开口向下，则 a 小于零；如果函数的对称轴在 y 轴左边，则 b
பைடு நூலகம்
的符号与 a 相同，如果函数的对称轴在 y 轴右边，则 b 的符号与 a 相反；如果函数与 x 轴
5．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与 x 铀的 一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝ 4a（c﹣m）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝m+1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个 数是（ ）
解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与 y 轴的交点可知：a 0，b 0，c 0，则
abc 0，则①正确；
根据图形可得：当 x=1 时函数值为零，则 a+b+c=0，则②错误；
根据函数对称轴可得：- b =3，则 b=-6a，根据 a+b+c=0 可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则 5a2a
0（t 为实数）在﹣2＜x＜3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ）
A． 12＜t≤3
B． 12＜t＜4
C． 12＜t≤4
D． 12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为 y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的
实数根看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交点，再由﹣2＜x＜3 确定 y 的取值范围即可
求解.
【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3 的对称轴为直线 x＝－1， ∴b＝−2， ∴y＝－x2−2x＋3， ∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的实数根可以看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交 点， ∵当 x＝−1 时，y＝4；当 x＝3 时，y＝－12， ∴函数 y＝－x2−2x＋3 在﹣2＜x＜3 的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键．
数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，﹣1＜x＜4 时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线 x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点， ∵﹣1＜x＜4， ∴二次函数 y 的取值为﹣4≤y＜5， ∴﹣4≤t＜5； 故选：B． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数 与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
8．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与 x 轴的一 个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+b＞0；③b2 ＝4a（c﹣n）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝n﹣1 有两个互异实根．其中正确结论的个数是 （）
4a ∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确； ∵抛物线与直线 y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线 y=m+1 有 2 个公共点， ∴一元二次方程 ax2+bx+c=m+1 有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C． 【点睛】 考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的 关系是关键．
∴b<0 ∴abc＞0；①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当 x=-1 时，y<0， 即 a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m）， ∴ 4ac b2 =m，
②∵﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确． ③∵（0，c）关于直线 x＝1 的对称点为（2，c）， 而 x＝0 时，y＝c＞0， ∴x＝2 时，y＝c＞0， ∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质， 属于中考常考题型．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数 y＝ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物
线与 x 轴交点的个数确定解答．
【详解】
①由抛物线的对称轴可知：﹣ ＞0，
∴ab＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确；
4a
4a
即说法③错误
m0
4 m 4
由
y1
y2 总成立得，其对称轴
x
1 4a
1
4
解得 a 1 ，则说法④正确 12
综上，说法正确的个数是 2 个
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性），熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键．
4．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列 4 个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（ ）
交于正半轴，则 c 大于零，如果函数与 x 轴交于负半轴，则 c 小于零；对于出现 a+b+c、a-
b+c、4a+2b+c、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个
函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.
2．抛物线 y＝ x2+bx+3 的对称轴为直线 x＝ 1．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象和性质，开口向下，可得 a<0，对称轴 x=1，利用顶点坐标，图象与 x 轴
的交点情况，对照选项逐一分析即可．
【详解】
①∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x
＝1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，
④∵抛物线与直线 y＝n 有一个公共点，
∴抛物线与直线 y＝n﹣1 有 2 个公共点， ∴一元二次方程 ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根，所以④符合题意． 故选：B．
【点睛】 本题考查了二次函数的图象和性质的应用，二次函数开口方向，对称轴，交点位置，二次 函数与一次函数图象结合判定方程根的个数，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．二次函数 y＝x2+bx 的对称轴为直线 x＝2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0（t 为
实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函
∴当 x＝﹣2 时，y＜0，
即 4a﹣2b+c＜0，所以①不符合题意；
②∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ b ＝1，即 b＝﹣2a， 2a
∴3a+b＝3a﹣2a＝a<0，所以②不符合题意；
③∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ 4ac b2 ＝n， 4a
∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），所以③符合题意；
A．①③④
B．①②④
C．①②③
D．②③
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点，结合根的判别式即可得出△=b2-4ac＞0，
①正确；②由点 M（x0，y0）在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征即可 得出 x=x0 是方程 ax2+bx+c=y0 的解，②正确；③分 a＞0 和 a＜0 考虑，当 a＞0 时得出 x1
6．如图，二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过点(－1,0)和点(3,0)，有下列说法：①bc＜0； ②a＋b＋c＞0；③2a＋b＝0；④4ac＞b2．其中错误的是( )
A．②④
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线开口方向得到 a 0 ，利用对称轴在 y 轴的右侧得到 b 0 ，利用抛物线与 y 轴
3．对于二次函数
y
ax2
1 2
2a
x
a
0
，下列说法正确的个数是（
）
①对于任何满足条件的 a ，该二次函数的图象都经过点 2,1 和 0, 0 两点；
②若该函数图象的对称轴为直线 x x0 ，则必有 0 x0 1； ③当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大；
④若 P 4, y1 ， Q4 m, y2 m 0 是函数图象上的两点，如果 y1 y2 总成立，则
＜x0＜x2；当 a＜0 时得出 x0＜x1 或 x0＞x2，③错误；④将二次函数的解析式由一般式转化 为交点式，再由点 M（x0，y0）在 x 轴下方即可得出 y0=a（x0-x1）（x0-x2）＜0，④正确． 【详解】
a 1 ． 12
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）逐个判断即可．
【详解】
对于
y
ax2
1 2
2a
x
a
0
当 x 2 时， y 4a 2(1 2a) 1，则二次函数的图象都经过点 2,1
2
当 x 0 时， y 0，则二次函数的图象都经过点 0, 0
a 和 b 异号， b 0 ，
抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， c 0，
bc 0 ，所以①错误；
当 x 1时， y 0 ， a b c 0 ，所以②错误；
抛物线经过点 (1, 0) 和点 (3, 0) ，
抛物线的对称轴为直线 x 1 ， 即 b 1，
2a 2a b 0 ，所以③正确；
最新初中数学二次函数基础测试题及答案
一、选择题
1．抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n 的图象如图所示，下列判断中：①abc＜0； ②a+b+c＞0；③5a-c=0；④当 x＜ 或 x＞6 时，y1＞y2，其中正确的个数有（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
9．若二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象于 x 轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2， 0），且 x1＜x2，图象上有一点 M（x0，y0）在 x 轴下方，对于以下说法：①b2﹣4ac＞ 0②x＝x0 是方程 ax2+bx+c＝y0 的解③x1＜x0＜x2④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 其中正确的是 （）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别 a，b，c 的正负；根据抛物线的
对称轴位置可判别在 x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线 y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与 y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线 x=－ b =1 2a