最新实变函数第一章答案
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解定义: 为:
可以验证: 为一个一一对应.
3．建立区间 与 之间的一一对应，其中 ．
解令 ，
.定义 为:
可以验证: 为一个一一对应.
4．试问：是否存在连续函数，把区间 一一映射为区间 ?是否存在连续函数，把区间 一一映射为 ?
答不存在连续函数把区间 一一映射为 ;因为连续函数在闭区间 存在最大、最小值.
;
综上所述：
5．证明集列极限的下列性质．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
证明(1) .
(2) .
(3)
.
(4)
.
6．如果 都收敛，则 都收敛且
(1) ；
(2) ；
(3) ．
习题1.2
1．建立区间 与 之间的一一对应．
解令
, , ,
则 , .
定义 为:
则 为 之间的一个一一对应.
2．建立区间 与 之间的一一对应，其中 ．
也不存在连续函数把区间 一一映射为 ;因为连续函数在闭区间 上存在介值性定理,而区间 不能保证介值性定理永远成立.
5．证明：区间 且 ．
证明记 ,则 .
任取 ,设 为实数 正规无穷十进小数表示,并令 ,则得到单射 .因此由定理1.2.2知 .
若令 ,则 .从而由定理1.2.2知: .
最后,根据 定理知: .
证明对于任意的 ,使得 .因此可得： .因为 与 不相交，所以 .故 为单射，从而 .
3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．
证明(2)当 可数时，存在双射 .因为
所以
.
其中： .
又因为
且
可数，所以 可表示成可数个两两不交的无限集之并．
充分性.假设 成立,则 ,于是有 ,即
(3)必要性.假设 ,即 若 取 则 于是 但 与 矛盾.
充分性.假设 成立,显然 成立,即 .
3．证明定理1.1.6．
定理1.1.6 (1)如果 是渐张集列,即 则 收敛且
(2)如果 是渐缩集列,即 则 收敛且
证明(1)设 则对任意 存在 使得 从而 所以 则 又因为 由此可见 收敛且
4．证明： ．
证明因为 ，而 ，故 ；又由定理1..4.5知： .
习题1.3
1．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集 是可数集．
证明因为有理数集 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以 中的每个元素由 中的六个相互独立的数所确定，即 所以 为可数集.
2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集 最多是可数集．
7．证明：若存在某正数 使得平面点集 中任意两点之间的距离都大于 ，则 至多是可数集．
证明定义映射 ，即 ，其中 表示以 为中心，以 为半径的圆盘.显然当 时，有 ，即 ，于是 为双射，由第2题知： ，故 .
习题1.4
1．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间 中的全体有理数之集的基数是什么?
答直线上一切闭区间之集的基数是 .这是因为： 为单射，而 为满射，所以 .
当 不可数时，由于 无限，所以存在可数集 ,且 不可数且无限，从而存在可数集 ，且 无限不可数.如此下去，可得 都可数且不相交，从而
.
其中 无限且不交.
4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．
5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．
证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.
.
由(1)知： .故 为单射.
(3)由(2)知： ；又由 ，可得 .故 .
3．设 为闭区间 上的一切实值函数之集，证明：
(1) 定义了一个单射
；
(2) ， 定义了单射 ；
(3) 的基数是 ．
证明(1) ，设 ，即
.
从而 ，故 为单射.
(2) ，设 ，则 ，故 为单射.
(3)由(1)知： ；又由(2)知： ，故 .
6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．
证明不妨设函数 在 单调递增，则 在 间断当且仅当
.
于是，每个间断点 对应一个开区间 .
下面证明：若 为 的两个不连续点，则有 .
事实上，任取一点 ，使 ，于是
，
从而 对应的开区间 与 对应的开区间 不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.
习题1.1
1．证明下列集合等式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
证明(1)
.
(2)
= .
(3)
.
2．证明下列命题．
(1) 的充分必要条件是： ；
(2) 的充分必要条件是： Ø；
(3) 的充分必要条件是： Ø．
证明(1) 的充要条
是：
(2)
必要性.设 成立，则 ,于是有 ,可得 反之若 取 ,则 ,那么 与 矛盾.
区间 中的全体有理数之集的基数是 ，这是因为： .
2．用 表示 上的一切连续实值函数之集，证明：
(1)设 ， ，则Leabharlann Baidu
；
(2)公式
定义了单射 ；
(3) ．
证明(1)必要性.显然.
充分性.假设 成立.因为 ，存在有理数列 ，使得 ，由 ，可得
及 .
又因为 为有理点列，所以有 ，故 ，都有 .
(2) ，设 ，即
对于 ,定义 为:
,
则 为 的一个一一对应,即 .又因为: ,则由对等的传递性知: 且 .
6．证明： 与 对等并求它们的基数．
证明令 , ,
.
则 .定义: 为:
可以验证: 为一一对应,即 .又因为 ,所以 .
7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数 ．
证明对任意的 取有限区间 则 ,则由 定理知 ,同理 .故 .
(2)当 时,对于 存在 使得 于是对于任意的 存在 使得 ,从而 可见 又因为 所以可知 收敛且
4．设 是定义于集合 上的实值函数， 为任意实数，证明：
(1) ；
(2) ；
(3)若 ，则对任意实数 有
．
证明(1)对任意的 有 则存在 使得 成立.即 那么 故 另一方面,若 则存在 使得 于是 ,故 .则有
(2)设 ,则 ,从而对任意的 ,都有 ,于是 ,故有
另一方面,设 ,则对于任意的 ,有 ,由 的任意性,可知 ,即 ,故 .
(3)设 ,则 .由 可得对于任意的 ,存在 使得 ,即 ,即 ,故 ,所以 ,故 ；
另一方面,设 ,则对任意 有 .由下极限的定义知：存在 使得当 时,有 ,即对任意 有 ;又由 知 即对任意的 ,存在 使得当 时,有 .取 ,则有 与 同时成立,于是有 ,从而 ,由 的任意性知： ,即 ,故有
可以验证: 为一个一一对应.
3．建立区间 与 之间的一一对应，其中 ．
解令 ，
.定义 为:
可以验证: 为一个一一对应.
4．试问：是否存在连续函数，把区间 一一映射为区间 ?是否存在连续函数，把区间 一一映射为 ?
答不存在连续函数把区间 一一映射为 ;因为连续函数在闭区间 存在最大、最小值.
;
综上所述：
5．证明集列极限的下列性质．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
证明(1) .
(2) .
(3)
.
(4)
.
6．如果 都收敛，则 都收敛且
(1) ；
(2) ；
(3) ．
习题1.2
1．建立区间 与 之间的一一对应．
解令
, , ,
则 , .
定义 为:
则 为 之间的一个一一对应.
2．建立区间 与 之间的一一对应，其中 ．
也不存在连续函数把区间 一一映射为 ;因为连续函数在闭区间 上存在介值性定理,而区间 不能保证介值性定理永远成立.
5．证明：区间 且 ．
证明记 ,则 .
任取 ,设 为实数 正规无穷十进小数表示,并令 ,则得到单射 .因此由定理1.2.2知 .
若令 ,则 .从而由定理1.2.2知: .
最后,根据 定理知: .
证明对于任意的 ,使得 .因此可得： .因为 与 不相交，所以 .故 为单射，从而 .
3．证明：（1）任何可数集都可表示成两个不交的可数集之并；（2）任何无限集都可表成可数个两两不交的无限集之并．
证明(2)当 可数时，存在双射 .因为
所以
.
其中： .
又因为
且
可数，所以 可表示成可数个两两不交的无限集之并．
充分性.假设 成立,则 ,于是有 ,即
(3)必要性.假设 ,即 若 取 则 于是 但 与 矛盾.
充分性.假设 成立,显然 成立,即 .
3．证明定理1.1.6．
定理1.1.6 (1)如果 是渐张集列,即 则 收敛且
(2)如果 是渐缩集列,即 则 收敛且
证明(1)设 则对任意 存在 使得 从而 所以 则 又因为 由此可见 收敛且
4．证明： ．
证明因为 ，而 ，故 ；又由定理1..4.5知： .
习题1.3
1．证明：平面上顶点坐标为有理点的一切三角形之集 是可数集．
证明因为有理数集 是可数集，平面上的三角形由三个顶点所确定，而每个顶点由两个数决定，故六个数可确定一个三角形，所以 中的每个元素由 中的六个相互独立的数所确定，即 所以 为可数集.
2．证明：由平面上某些两两不交的闭圆盘之集 最多是可数集．
7．证明：若存在某正数 使得平面点集 中任意两点之间的距离都大于 ，则 至多是可数集．
证明定义映射 ，即 ，其中 表示以 为中心，以 为半径的圆盘.显然当 时，有 ，即 ，于是 为双射，由第2题知： ，故 .
习题1.4
1．直线上一切闭区之集具有什么基数？区间 中的全体有理数之集的基数是什么?
答直线上一切闭区间之集的基数是 .这是因为： 为单射，而 为满射，所以 .
当 不可数时，由于 无限，所以存在可数集 ,且 不可数且无限，从而存在可数集 ，且 无限不可数.如此下去，可得 都可数且不相交，从而
.
其中 无限且不交.
4．证明：可数个不交的非空有限集之并是可数集．
5．证明：有限或可数个互不相交的有限集之并最多是可数集．
证明有限个互不相交的有限集之并是有限集；而可数个互不相交的有限集之并最多是可数集.
.
由(1)知： .故 为单射.
(3)由(2)知： ；又由 ，可得 .故 .
3．设 为闭区间 上的一切实值函数之集，证明：
(1) 定义了一个单射
；
(2) ， 定义了单射 ；
(3) 的基数是 ．
证明(1) ，设 ，即
.
从而 ，故 为单射.
(2) ，设 ，则 ，故 为单射.
(3)由(1)知： ；又由(2)知： ，故 .
6．证明：单调函数的不连续点之集至多是可数集．
证明不妨设函数 在 单调递增，则 在 间断当且仅当
.
于是，每个间断点 对应一个开区间 .
下面证明：若 为 的两个不连续点，则有 .
事实上，任取一点 ，使 ，于是
，
从而 对应的开区间 与 对应的开区间 不相交，即不同的不连续点对应的开区间互不相交，又因为直线上互不相交的开区间所构成的集合至多是可数集，所以可知单调函数的不连续点之集至多是可数集.
习题1.1
1．证明下列集合等式．
(1) ；
(2) ；
(3) ．
证明(1)
.
(2)
= .
(3)
.
2．证明下列命题．
(1) 的充分必要条件是： ；
(2) 的充分必要条件是： Ø；
(3) 的充分必要条件是： Ø．
证明(1) 的充要条
是：
(2)
必要性.设 成立，则 ,于是有 ,可得 反之若 取 ,则 ,那么 与 矛盾.
区间 中的全体有理数之集的基数是 ，这是因为： .
2．用 表示 上的一切连续实值函数之集，证明：
(1)设 ， ，则Leabharlann Baidu
；
(2)公式
定义了单射 ；
(3) ．
证明(1)必要性.显然.
充分性.假设 成立.因为 ，存在有理数列 ，使得 ，由 ，可得
及 .
又因为 为有理点列，所以有 ，故 ，都有 .
(2) ，设 ，即
对于 ,定义 为:
,
则 为 的一个一一对应,即 .又因为: ,则由对等的传递性知: 且 .
6．证明： 与 对等并求它们的基数．
证明令 , ,
.
则 .定义: 为:
可以验证: 为一一对应,即 .又因为 ,所以 .
7．证明：直线上任意两个区间都是对等且具有基数 ．
证明对任意的 取有限区间 则 ,则由 定理知 ,同理 .故 .
(2)当 时,对于 存在 使得 于是对于任意的 存在 使得 ,从而 可见 又因为 所以可知 收敛且
4．设 是定义于集合 上的实值函数， 为任意实数，证明：
(1) ；
(2) ；
(3)若 ，则对任意实数 有
．
证明(1)对任意的 有 则存在 使得 成立.即 那么 故 另一方面,若 则存在 使得 于是 ,故 .则有
(2)设 ,则 ,从而对任意的 ,都有 ,于是 ,故有
另一方面,设 ,则对于任意的 ,有 ,由 的任意性,可知 ,即 ,故 .
(3)设 ,则 .由 可得对于任意的 ,存在 使得 ,即 ,即 ,故 ,所以 ,故 ；
另一方面,设 ,则对任意 有 .由下极限的定义知：存在 使得当 时,有 ,即对任意 有 ;又由 知 即对任意的 ,存在 使得当 时,有 .取 ,则有 与 同时成立,于是有 ,从而 ,由 的任意性知： ,即 ,故有