一般有限元原理

一般有限元原理

一、基本理论

有限元单元法是数值计算方法中发展较早、应用最广的一种方法。利用有限元法，可以解决经典的传统的方法难以解决或无法求解的许多实际问题。其优点是部分地考虑边坡岩土体的非均质、不连续的介质特征，考虑岩土体的应力应变特征，可以避免将坡体视为刚体，过于简化边界条件的缺点，能够接近实际从应力应变的角度分析边坡的变形破坏机制。对了解边坡的应力分布及应变位移变化很有利。

有限单元法实质是变分法的一种特殊的有效形式，其基本思想是：把连续体离散化为一系列的连接单元，每个单元内可以任意指定各种不同的力学形态，从而可以在一定程度上更好地模拟地质体的实际情况，特殊的节理元，可以有效地模拟岩土体中的结构面。

在大多数情况下岩土体材料应采用非线形模型，其中包括岩体弹塑性、蠕变、不抗拉特性以及结构面性质的影响。下面简要叙述有限元法的求解过程和原理。

有限单元法的基本原理

1.有限单元法的实施步骤

有限元的重要步骤归纳起来，主要有以下几步：

（1）建立离散化的计算模型，包括以一定型式的单元进行离散化，按照求解问题的具体条件确定荷载及边界条件；

（2）建立单元的刚度矩阵；

（3）由单元刚度矩阵组集总体刚度矩阵，并建立系统的整体方程组；

（4）引入边界条件，解方程组，求得节点位移；

（5）求各单元的应变、应力及主应力。

2位移模式与单元类型

在一般的有限单元法问题中，我们常以位移作为未知数，称为位移法。为保证解的收敛性，要求位移模式必须满足以下三条：

（1）位移模式必须能包含单元的刚体位移。即当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。

（2）位移模式必须能包含单元的常应变，即与位置坐标无关的那部分应变。

（3）位移模式在单元内要连续，并使相邻单元间的位移必须协调。 同时，还要求所选的位移模式与局部坐标系的方位无关，即具有几何各向同性。对于线形多项式，各向同性的要求通常就等价于必须包含常应变状态，对于高次模式，就是位移模式不应随局部坐标的更换而改变。对于常应变三角形单元，其位移模式十分简单。这里以常用的四边形等参数单元为例。

等参数单元的概念已普遍地应用于有限单元公式中。“等参数”这个术语意味着单元的未知位移和几何形状有着共同的参数表述，其基本思想使用同样的内插函数N 来表达单元的位移和几何形状。

如果把单元中点的位移表示为：

}]{[}{q N u =

在等参概念中，用同样的函数N 来表示单元中某点的坐标

}]{[}{n x N x =

式中，],[}{y x x T =，],,[}{21 x x x T n =由节点坐标所构成。 先以四节点的四边形等参元为例，为了便于积分运算，采用了自然坐标系

η-

3对于二维应力－应变问题来说，单元上的每个节点有两个自由度，x 方向的位移u 和y 方向位移v ，在矩阵记号中

],[}{v u u T =

用节点位移表示就可以写作

}{u =⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡4433221100000000N N N N N N N N }{q 此处i N 有上面方程给出，而，

[]44

3

3

2

2

1

1

}{v u v u v u v u q T =

单元的几何形态可用同样的[N]表示为

T y x

x }{}{==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡][]0[]0[][N N }{n x 此处[]43

2

1

4321

}{y y y y x x x x x T n =，在平面应变条间下的应变位移

关系为{}}]{[////}{}{q B y u x u y u x u T

xy y x =∂∂+∂∂∂∂∂∂==τεεε式中[]B 可有

N 的某种适当求导而得

=][B ⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂x N y N y N x N x N y N y N x N x N y N y

N x N x N y N y N x N 434433332222111100000000 以及][i B =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂x Ni y Ni y Ni x Ni 00

下面使用变分法来推导单元的刚度方程。 位移法得变分泛函系统的势能p ∏可以表示为

p ∏＝11

)()(),(ds u T u T du u Y u X v u du S y x V

V

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-

式中),(v u du ――单位体积的应变能；

X 、Y ――规定的体积力分量，即物体的重量；

x T 、y T ――规定的表面牵引力；

V ――单元体积；

1S ---有规定牵引力作用的曲面。

根据材料是线性的假设，利用弹性理论的结果，将du 表示为

{}{}dV du T

σε2

1=

此处，{}T xy x x

τσσσ=}{为应力分量向量。

利用广义虎克定律，应力--应变关系是

}]{[}{εσD =

式中，}{D 为应力－应变矩阵，对于各向同性线弹性材料来说，它有一对参数构成，这对参数为杨氏模量E 和泊松比μ，或为体积模量K 和剪切模量G 或为拉梅常数λ和υ。

考虑各向同性线性弹性性状，方程

p ∏＝11

)()(),(ds u T u T du u Y u X v u du S y x V

V

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-变为

p ∏＝

11}{}{}){}{2}}{{}({21ds T u dV x u D S T

V T T ⎰⎰⎰⎰⎰--εε 式中，T Z Y

X x }{}{=，{}{}z y x

T T T T =分别是体力和表面牵引力向量。

将{}{}T xy y x τεεε=={}T

y u x u y u x u ∂∂+∂∂∂∂∂∂////=[]{}q B 代入方程上式得：

p ∏＝

⎰⎰⎰⎰⎰--1

1}{][}{})]{[}{2}]{][[][}({21

S T T V

T T T ds T N q dV x N q q B D B q 对节点位移取p ∏得一级变分，以及引用最小势能原理，从而得到

0=∏p δ

[]{}{}Q q K =

此式对于四边形等参单元来说有