高中数学：均匀随机数的产生

第三章 3.3 3.3.1 几何概型3.3.2均匀随机数的产生课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，向游戏盘上投掷一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是()解析：选A四个选项中小明中奖的概率分别为38，14，13，13，故应选A中的游戏盘．2．在圆心角为90°的扇形中，以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 和∠BOC都不小于30°的概率为()A.13B．23C.14D．34解析：选A记M＝“射线OC使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”．如图所示，作射线OD，OE使∠AOD＝30°，∠AOE＝60°.当OC在∠DOE内时，使得∠AOC和∠BOC都不小于30°，此时的测度为度数30，所有基本事件的测度为直角的度数90，所以P(M)＝3090＝13.3．(2019·银川期末)已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一个元素x，则x∈M∩N的概率是()A.19 B ．18 C.14 D ．38解析：选B 因为N ＝{x |0≤2－x ≤1}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{x |－2≤x ≤6}, 所以M ∩N ＝{x |1≤x ≤2}，所以所求的概率为2－16＋2＝18.4．如图所示的是我国发行的一枚2019猪年生肖邮票——“肥猪旺福”，其规格为42 mm ×46 mm.为估算邮票中肥猪图案的面积，现向邮票中随机投掷21粒芝麻，经统计恰有12粒芝麻落在肥猪图案内，则可估计肥猪图案的面积大致为( )A ．1 104 cm 2B ．11.04 cm 2C ．8.28 cm 2D ．12 cm 2 解析：选B 由题意，可估计肥猪图案面积大约是：S ＝1221×42×46＝11.04(cm 2)，故选B.5．(2019·济南模拟)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则AD AB ＝( )A.12B ．14 C.32 D ．74解析：选D 如图，由题意，知当点P 在CD 边上靠近点D的四等分点时，EB ＝AB (当点P 超过点E 向点D 运动时，PB ＞AB )．设AB ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，则BF ＝34x ，在Rt △BFE 中，EF 2＝BE 2－FB 2＝AB 2－FB 2＝716x 2，即EF ＝74x ，所以AD AB ＝74.6.一个圆及其内接正三角形如图所示，某人随机地向该圆内扎针，则针扎到阴影区域的概率为________．解析：设正三角形的边长为a ，圆的半径 R ，则R ＝33a ，所以正三角形的面积为34a 2，圆的面积S ＝πR 2＝13πa 2.由几何概型的概率计算公式，得针扎到阴影区域的概率P ＝34a 213πa 2＝334π.★★答案★★：334π7.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．解析：设事件M 为“此动点在三棱锥A －A 1BD 内”则P (M )＝V 三棱锥A －A 1BDV 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝V 三棱锥A 1－ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·S △ABD V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1＝13AA 1·12S 矩形ABCD AA 1·S 矩形ABCD ＝16. ★★答案★★：168．某人从甲地去乙地共走了500 m ，途中要过一条宽为x 的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到；若物品不掉在河里，则能找到．已知该物品能被找到的概率为2425，则河宽为________m.解析：物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件．找到的概率为2425，即掉到河里的概率为125，则河流的宽度占总距离的125，所以河宽x ＝500×125＝20(m)．★★答案★★：209．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．解：在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．(1)P ＝亮红灯的时间全部时间＝3030＋40＋5＝25； (2)P ＝亮黄灯的时间全部时间＝575＝115； (3)P ＝不是红灯亮的时间全部时间＝黄灯或绿灯亮的时间全部时间＝4575＝35. 10．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内分为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假设射箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射中“黄心”的概率为多少？解：因为射中靶面内任一点都是等可能的，所以基本事件总数为无限个．此问题属于几何概型，事件对应的测度为面积，总的基本事件为整个箭靶的面积，它的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫12222 cm 2. 记事件A ＝{射中“黄心”}，它的测度为“黄心”的面积，它的面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫12.22 cm 2， P (A )＝“黄心”的面积箭靶的面积＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫12.222π⎝ ⎛⎭⎪⎫12222＝1100，所以射中“黄心”的概率为1100. ‖层级二‖|应试能力达标|1．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形的面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B ．13 C.23 D ．45解析：选C 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm ，若矩形的面积大于20 cm 2，则x (12－x )＞20，解得2＜x ＜10，故所求概率P ＝10－212＝23.2．在区间[－π，π]内随机取两个实数，分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A.78B ．34 C.12 D ．14解析：选B 由题意，知点(a ，b )在边长为2π的正方形边上及内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，需满足4a 2＋4b 2－4π≥0，即a 2＋b 2≥π，a 2＋b 2≥π表示以原点为圆心，π为半径的圆及其外部，如图中阴影部分所示，所以其面积为4π2－π2＝3π2，所以函数f (x )有零点的概率为3π24π2＝34. 3．向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n (n ≥3，n ∈N )边形内的概率为P n ，下列论断正确的是( )A ．随着n 的增大，P n 减小B ．随着n 的增大，P n 先增大后减小C ．随着n 的增大，P n 增大D ．随着n 的增大，P n 先减小后增大解析：选C 根据几何概型的概率计算公式有P n ＝S 正n 边形S 圆，而圆的面积固定，正n 边形的面积随n 的增大而增大，所以P n 也增大．4.如图所示，有一套无线电监控设备，监控着圆心角为直角的扇形OAB 区域，其半径为a km ，在半径OA ，OB 的中点C ，D 处的两个检测点有数据接收装置，其有效接收半径都为a 2，只有当C ，D 两个检测点都有数据接收时，该处的监控才有效，现在在扇形OAB 区域内任意选取一个点，则该点监控有效的概率是( )A.12－1π B ．1πC．1－2πD．2π解析：选A如图所示，两个半圆将扇形AOB分为四块区域，其面积分别为S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝S扇形AOB＝14π·a2＝14πa2.又由图可知S3＝S扇形EDO＋S扇形ECO－S正方形OCED＝18πa2－14a2，故由几何概型概率公式可得，所求概率P＝S3S扇形AOB＝18πa2－14a214πa2＝12－1π.故选A.5．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．解析：圆柱的体积V圆柱＝π×12×2＝2π是试验的全部结果构成的区域体积．以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球＝12×4π3×13＝2π3，则构成事件“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2π－2π3＝4π3.由几何概型的概率公式，得所求概率P＝4π32π＝2 3.★★答案★★：2 36．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.(1)圆C的圆心到直线l的距离为________；(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________．解析：(1)根据点到直线的距离公式得d＝255＝5.(2)设直线4x ＋3y ＝c 到圆心的距离为3，则|c |5＝3，取c ＝15，则直线4x ＋3y＝15截圆所得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率．由于圆的半径是23，则可得直线4x ＋3y ＝15截得的劣弧所对的圆心角为60°，故所求的概率是16.★★答案★★：(1)5 (2)167．两对讲机持有者张三、李四在某货运公司工作，他们的对讲机的接收范围是25 km ，下午3：00张三在基地正东30 km 处向基地行驶，李四在基地正北40 km 处也向基地行驶，则下午3：00后他们可以交谈的概率为________．解析：记事件A ＝{下午3：00后张三、李四可以交谈}．设x ，y 分别表示张三、李四与基地的距离，则x ∈[0,30]y ∈[0,40]则他们的所有距离的数据构成有序实数对(x ，y )，则所有这样的有序实数对构成的集合为试验的全部结果．以基地为原点，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴正方向建立坐标系(图略)，则长和宽分别为40 km 和30 km 的矩形区域表示该试验的所有结果构成的区域，它的总面积为1 200 km 2，可以交谈的区域为x 2＋y 2≤252的圆及其内部满足x ≥0，y ≥0的部分，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝14×π×2521 200＝25π192.★★答案★★：25π1928．设关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共有12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A包含9个基本事件，故事件A发生的概率为P(A)＝912＝34.(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，构成事件A的区域为{(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}．所以所求的概率为P(A)＝3×2－12×223×2＝23.。