数学物理方程习题课

牛顿运动定律：
dm
2u t 2
[P(x

dx, t )

P( x, t )]S.
若杆的密度为，dm dx S,则

2u t 2

P x
又x dx点处的位移 u(x dx,t) u(x,t) du u(x,t) u dx, x
因此小段(x, x dx)的伸长(压缩)为 u dx，相对伸长(压缩)为 u ，
x
x
即x点处的应变为 u(x,t) . x
若略去垂直杆长方向的变形，根据Hooke定律，弹(应)力P与应变 u x
成正比：P E u , x
E为杆的Young模量,故

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2u t 2

E
2u x2
,
2u t 2

a2
2u x2
,
（其中a

E）.

习题一.4 一均匀杆原长l，一端固定，另一端沿杆的轴线 方向被拉长e而静止，突然放手任其振动，试建立振动方程 与定解条件。
2u t 2

a2
2u x2
两端固定 u(0,t) u(l,t) 0
开始时在x=c点受到冲量k的作用，即在距离c点无穷小距离d处
mV m( 0) 2d u
t
t0 k
cd x cd
弦的初始位移
u t0 0
定解问题：
2u

t
2

边界条件——描述系统在边界上的状况
第一类边界条件
给出边界上各点的函数值: u |s f 第二类边界条件
给出边界上各点函数的法向微分值: u f n s
第三类边界条件
给出边界上各点的函数值与法向微分值之间的线性关系:
u u f
注意：无论哪类边界n 条件，S 只要数学表达式中右端项为零， 我们就称其为齐次边界条件，反之，称非齐次的。
第二类边界条件
牛顿冷却定律：单位时间内物体单位表面积与周围介质交
换的热量，同物体表面温度与周围介质温度差成正比。
dQ k1(u u1)dSdt
k
u dSdt n
k1 热交换系数；u1周围介质的温度
u n
u
S
u1
S
,
k1
k
第三类边界条件
习题一.1长为l的均匀杆，侧面绝缘，一端温度为零， 另一端
t
x2
初始条件——描述系统的初始状态
A、 弦振动方程的初始条件

u |t0 (x)
u t
t0

(x)
B、热传导方程的初始条件
初位移 初速度
初始时刻的温度分布：u(M ,t) |t0 (M )
C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件 描述稳恒状态，与时间变量无关，不提初始条件
A、 弦振动方程的边界条件
(1)固定端：振动过程中端点 (x=a) 保持不动，其边界条件为：
u |xa 0 或： u(a,t) 0 第一类边界条件
(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
T sin 0 T u 0 u 0 第二类边界条件
x xa
数学物理方程
复习
课程内容
三类方程、 三种求解方法、 一个特殊函数
波动方程 热传导传导 拉普拉斯方程
分离变量法 行波法 格林函数法
贝赛尔函数
第一章 典型方程和定解问题
振动方程
2u a2 u2 g
t 2
x2
自由项
…… 一维波动方程 ------非齐次方程
热传导方程
u a2 2u
,
0 x l,t 0,
u
x0
x xa
(3)弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧支承
设弹性支承原来的位置u 0,则u 表示弹性支承的应变， xa
由Hooke定律知：弦在x a处张力T u 应等于 k u ，即
T u k u
x xa
xa
或
x xa

u x


u

xa

0,
k /T
xa
第三类边界条件
B、热传导方程的边界条件(以S表示某物体V 的边界)
(1) 边界S上的温度为已知函数f(x,y,z,t)
u |s f (f是定义在边界S上的函数) 第一类边界条件
(2) 绝热状态(即在S上的热量流速为零)或流速已知
u 0 n s
(3)热交换状态
(或 u f ) n s
a2
2u x2
,
0 x l,t 0,
u x0 0, u xl 0, t 0
u t0 0,
0 xl
u t
t0


k
2d
,
0,
xc d xc d
习题一.3 有一均匀杆，只要杆中一小段有纵向位移或速度， 必导致相邻段的压缩或伸长，这种伸缩传播开去，就有纵 波沿杆传播，试推导杆的纵振动方程。
解：一维弦振动问题，写出微分方程
2u t 2

a2
2u x2
一端固定
u(0,t) 0
另一端放手后为自由端
u x
xl
0
整个杆被拉长e，单位长度拉长e/l,则初始位移
u
t0

e l
x
初始时，杆静止，初速度
定解问题：
u t t0 0
2u

t
2

a2
2u x2
u

t

a2
2u x2
,
u
x0
0, u x
xl
q, k
u
t0

x(l 2
x)
0 x l,t 0, t0 0 xl
习题一.2长为l的弦，两端固定，开始时在x=c点受到冲量k
的作用，试写出相应的定解问题。
解：一维弦振动问题，写出微分方程
有热流q 流入，杆的初始温度分布为x(l-x)/2 ， 试写出相应的定解问题。
解：一维热传导问题，写出微分方程
u t

a2
2u x2
一端温度为零 u(0,t) 0
另一端有热流q流入
k u n


k
u x
xl q
杆的初始温度分布
u
t0

x(l x) 2
定解问题：
• 如图，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长 方向的各截面均用平行位置x标记；在任一 时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u( x, t )
• 在杆中隔离一小段(x, x dx),分析受力情况
截面x：受到弹(应)力P( x, t )S; 截面x dx：受到弹力P(x dx,t)S, P为单位面积所受的弹力，沿x轴方向.