§87 用z变换解差分方程.
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Z变换和差分方程
t z 1
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
经常用于分析计算机系统的稳态误差！！
5、超前定理
n F ( z ) f ( nT ) z 则： 设函数f(t)的 Z变换为 n 0
Z [ f (t kT )] z F ( z ) z
k
k
n 0
n 1
f (nT ) z n
若
f (0) f (T ) f [(k 1)T ] 0 则：
k
求: y ( k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， • 得： y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
• 对于 k 2, 将已知初始值 y(0) 0, y(1) 2代入上式，得：
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
第三节
差分方程
差分方程是包含关于变量 k 的序列y（k） 及其各阶差分的方程式。 是具有递推关系的代数方程，若已知初始 条件和激励，利用迭代法可求差分方程的数值 解。
差分方程的定义:
对于单输入单输出线性定常系统，在某一采样时 刻的输出值 y(k) 不仅与这一时刻的输入值 r(k)有 关，而且与过去时刻的输入值r(k-1)、 r(k-2)…有 关，还与过去的输出值y(k-1)、 y(k-2)…有关。可 以把这种关系描述如下：
i 1
n
i 1 n
函数线性组合的Z变换，等于各函数Z变换的线性组合。
2、滞后定理
设在t<0时连续函数f(t)的值为零，其Z变换为F（Z）则:
Z[ f (t kT )] z k F ( z)
原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z-k, 算子z-k的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k个周期。
利用z变换解差分方程(精选)共15页文档
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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利用z变换解为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
matlab用z变换求解差分方程
matlab用z变换求解差分方程Z变换是一种非常重要的信号分析工具，在MATLAB中，可以使用Symbolic Math Toolbox进行Z变换的计算和求解差分方程。
Z变换是一种将离散时间信号从时间域转换到复平面域的方法。
它与拉普拉斯变换的关系类似，但适用于离散时间信号的分析。
在MATLAB 中，使用syms函数创建符号变量来表示Z变换的变量，然后使用ztrans函数进行Z变换的计算和求解差分方程。
下面将通过一个简单的例子来说明如何使用MATLAB进行Z变换求解差分方程。
假设有一个差分方程：y[n]-0.5y[n-1]+0.25y[n-2]=x[n]首先，使用syms函数创建符号变量：syms z定义输入信号和初始条件：x=z^2;%输入信号y0=1;%初始条件y[-1]y1=0;%初始条件y[-2]然后，使用ztrans函数进行Z变换计算：Y = ztrans(y[n], n, z);X = ztrans(x, n, z);差分方程中的Y和X分别表示Y(z)和X(z)，因此可以写出差分方程的Z变换方程：Y-0.5*z^(-1)*Y+0.25*z^(-2)*Y=X然后，将方程转化为Y(z)的表达式：Y = solve(Y - 0.5*z^(-1)*Y + 0.25*z^(-2)*Y == X, Y);至此，Z变换方程求解完成，可以使用ilaplace函数从Z域转换回时间域，以获得Y[n]的表达式：y = ilaplace(Y, z, n);最后，可以将结果绘制出来：n=-10:10;%时间范围y_n = subs(y, n, n); % 计算y[n]的值stem(n, y_n); % 绘制离散时间信号综上所述，我们可以使用MATLAB的Symbolic Math Toolbox进行差分方程的Z变换求解，这对于信号分析和系统设计非常有用。
对差分方程两边进行Z变换
二.典型序列的收敛域 1.有限长序列：
x( z )
0 n1 n n2 x(n) 其它 0
n
n
x(n) z
n n1
n x ( n ) z (1)
n2
①
n1 0 n2 0
0 n n n1
（ 1 ）式 x(n) z
1 a n2 1 1. an 1 a n 0 n2 1
n2
a 1 a 1
a n1 a n2 1 a 1 n 2. a 1 a n n1 n2 n1 1 a 1
n2
1 n 3. a a 1 1 a n 0
n
a z
n 0
结论：（1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极点 1 z z z （2）根据x(n)是左边、右边、还是双边序列，直接 a z z a z b 1 1 写出收敛域形式 z b
a 1 z
n
a z b z
冲激，抽样 n 0
对上式取拉氏变换
xs (t ) x s (t )e st dt
0
[ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
x( z ) x(n) z n x(0) x(1) z 1 x(2) z 2 x(n) z n
z 1
z 0.5
0.5 z 1
求三种可能收敛域的逆变换 解：1. 三种可能收敛域 2. 收敛域|z|>1时 （1）先求围线内所包含的极点个数x(z)zn-1
x( z ) z
n 1
z2 z n1 n 1 z ( z 1)(z 0.5) ( z 1)(z 0.5)
差分方程的Z变换解
ห้องสมุดไป่ตู้
其中： 其中：
。
14
实验步骤与方法
用ztrans、iztrans求实验内容1和2。在命令窗口求解 ztrans、iztrans求实验内容 求实验内容1 即可。 即可。 在例3 计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 在例3中，计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z变换求解后 向差分方程的原理编写用z 向差分方程的原理编写用z变换计算前向差分方程的零 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。上机调试程 序，与理论计算结果比较。 与理论计算结果比较。 由于实验内容4有复数极点， 由于实验内容4有复数极点，用符号运算的方法就不能 计算。这需要用部分分式法和Z 计算。这需要用部分分式法和Z变换解差分方程的原理 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 。（提高实验
4
实验原理与说明
3、差分方程的Z变换解 差分方程的Z 若线性常系数差分方程描述的系统为： 若线性常系数差分方程描述的系统为：
（1）已知零输入初始值 对上式两边取 变换有： 变换有：
和
上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
5
实验原理与说明
（2）已知系统初始值 对原方程式两边取
10
实验内容 1
求下列序列的变
(a) (b)
换，并注明收敛域。 并注明收敛域。
(c) (d)
11
实验内容 2
求下列
其中： 其中：
。
14
实验步骤与方法
用ztrans、iztrans求实验内容1和2。在命令窗口求解 ztrans、iztrans求实验内容 求实验内容1 即可。 即可。 在例3 计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 在例3中，计算的是前向差分方程。但实验内容3 (a)是 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z 后向差分方程。所以要仿照例3的程序和Z变换求解后 向差分方程的原理编写用z 向差分方程的原理编写用z变换计算前向差分方程的零 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 输入响应,零状态响应,全响应的程序。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。 仿照例3的方法，完成实验内容3的编程。上机调试程 序，与理论计算结果比较。 与理论计算结果比较。 由于实验内容4有复数极点， 由于实验内容4有复数极点，用符号运算的方法就不能 计算。这需要用部分分式法和Z 计算。这需要用部分分式法和Z变换解差分方程的原理 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 来完成实验内容4的编程。（提高实验） 。（提高实验
4
实验原理与说明
3、差分方程的Z变换解 差分方程的Z 若线性常系数差分方程描述的系统为： 若线性常系数差分方程描述的系统为：
（1）已知零输入初始值 对上式两边取 变换有： 变换有：
和
上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。 上式的第一项为零输入响应，第二项为零状态响应。
5
实验原理与说明
（2）已知系统初始值 对原方程式两边取
10
实验内容 1
求下列序列的变
(a) (b)
换，并注明收敛域。 并注明收敛域。
(c) (d)
11
实验内容 2
求下列
利用z变换解差分方程
于是
Y(z) =
br z−r ∑ ak z−k ∑
k＝ 0 M r＝ 0 N
M
X(z)
令
H(z) =
∑b z
r r＝ 0 N k＝ 0
−r
ak z−k ∑
则
Y(z) = X (z)H(z)
−1
此时对应的序列为 y(n) = F [X(z)H(z)]
差分方程为 例：若描述离散系统的 1 1 y(n) + y(n −1) − y(n − 2) = x(n) 2 2 x(n) = 2n u(n) , y( 已知激励 初始状态 −1) =1, y(−2) = 0, 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。 求系统的零输入响应、 零状态响应和全响应。
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r [X(z) + ∑x(m)z−m] ∑
k＝ 0 r＝ 0 m=−r N M −1
如果激励x(n)为因果序列， 如果激励x(n)为因果序列，上式可以写成 x(n)为因果序列
ak z−k [Y(z) = ∑br z−r X(z) ∑
k＝ 0 r＝ 0 N M
8.5节已经给出利用 节已经给出利用z 在8.5节已经给出利用z变换解差分方程的简 单实例，本节给出一般规律。 单实例，本节给出一般规律。这种方法的原 理是基于z变换的线性和位移性， 理是基于z变换的线性和位移性，把差分方程 转化为代数方程，从而使求解过程简化。 转化为代数方程，从而使求解过程简化。
k＝ 0 l =−k r＝ 0 m=−r −1
若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态，此时 若激励x(n)=0,即系统处于零输入状态， x(n)=0,即系统处于零输入状态 差分方程（ 差分方程（1）成为齐次方程∑a y(n −源自) =0k=0 kN
Z变换的基本性质
第
22 页
Y z A1 A2 z z 1 z 0.9
A1 0.5
A2 0.45
z z Y z 0.5 0.45 z 1 z 0.9
y n 0.5 0.45 0.9
n
n 0
第
例8-7-2
已知系统框图 列出系统的差分方程。
a,b为任意常数。
二．位移性
1.双边z变换 2.单边z变换
(1) 左移位性质
(2) 右移位性质
第 4 页
1．双边z变换的位移性质
x ( n) 4
第 5 页
x ( n 2) 4
4
x ( n 2)
1O Hale Waihona Puke 2n 1O 1 2
n
2 1 O 1
n
的z变换为Z x( n m ) z m X ( z )
1 m k z X z x k z k m
（z域微分） 三．序列线性加权
若 则 Z x( n) X ( z )
第
12 页
d X (z) 1 d X z nx( n) z z dz d z 1
例：求na
解：
n
z2 Yzs z 2 z 2
n Yzs z yzs n n 1 2 un
第
b.由储能引起的零输入响应（对n 2都成立）
Yzi z 1 3z 1 2z 2 2z 1 y 1 3 y 1 2 y 2
z z 1 3z 2z Yzi z z 2z 1 z 2 z 1 零输入响应为
25 页
差分方程及其Z变换法求解
例1：右图所示的一阶系统描述它的微分方程为
y(t ) Ke(t ) K (r (t ) y(t ))
y(t ) Ky(t ) Kr (t )
用一阶前向差分方程近似：
(1)
r( t ) e( t ) -
K
1/s
y( t )
y (k 1)T y (kT ) dy y (t ) lim dt T 0 T
由图：x1 (k 1)T x2 (kT )
zX 1 ( z ) zx1 (0) X 2 ( z )
x2(kT)
z
1
x1(kT)
z 1
x1(0) 1
x1 ( z)
x2(z) y[(k+1)T]
例2：画出例2所示离散系统的模拟图
y[(k 1)T ] -( KT -1) y(kT ) + KTr (kT ) r(kT)
y (k 1)T y (kT ) T
(T 很小)
(2)
式中：T为采样周期，（2）代入（1）得：
y (k 1)T (KT 1) y(kT ) KTr(kT )
y(k 1) ( K 1) y(k ) Kr (k )
(3)
二、离散系统差分方程的模拟图
连续系统采用积分器s-1作为模拟连续系统微分方程的主要器件； 与此相对应，在离散系统中，采用单位延迟器z-1。 单位延迟器：把输入信号延迟一个采样周期T秒或延迟1拍。
再利用初始条件，逐次迭代得到各采样时刻的值。
特点：适用于计算机处理求解。 例3：用迭代法解二阶差分方程 y(k+2) +3y(k+1)+2y(k)=1(k)
利用初始条件 y(0)=0, y(1)=1，则有： y(k+2) =-3y(k+1) -2y(k)+1(k) y(2) =-3y(1) -2y(0)+1(0)= -3*1-2*0+1= -2
§87 用z变换解差分方程.
第 5
页
Y z
A1
A2
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z 1
z 0.9
y n 0.5 0.450.9n
n 0
第
例8-7-2
6
页
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程。
E
xn
2n
n
0
, y0 y1 0,
0 n0
求系统的响应 y(n)。
y n 3y n 1 2y n 2 xn xn 1 xn 2n u(n)
Y z3z1Y z y 12 z2Y z z1y 1 y 2
z z z1 z2 z2
x1 0
a.由激励引起的零状态响应
Yzs
z 1 3z1
2z2
z
z
2
z
z
2
z 1
即 零状态响应为
Yzs
z
z
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
（2）用z变换求解需要y 1, y 2,用y1, y0由方程迭代出第7
y 1 1 , பைடு நூலகம் 2 5
页
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
第
c. 全响应
9
页
y n 3y n 1 2y n 2 xn xn 1 xn 2n u(n)
Y z3z1Y z y 12 z2Y z z1y 1 y 2
z z z1 z2 z2
差分方程的z变换解法ppt课件
5
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)
X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
11
z
3 1
例如：有一因果系统方程为：y(n) 1 y(n 1) 1 x(n)
2
2
⑴ 若y(-1)=2，求系统的零输入响应；
⑵ 若x(n)=(1/4)nu(n)，求系统的零状态响应；
解：⑴ 求零输入响应，系统方程为齐次方程。
y(n) 1 y(n 1) 0 2
系统方程求z变换
Y (z) 1 z1[Y (z) y(1)z] 0 2
y(n) 0.7 y(n 1) 0.1y(n 2) x(n) x(n 1) x(n) u(n) , y(1) 2, y(2) 7
解：对方程两边同求z变换
Y (z) 0.7z1[Y (z) y(1)z] 0.1z2[Y (z) y(2)z2 y(1)z] X (z)(1 z1)
§5-4 LTI系统Z变换分析法
利用Z变换求解线性常系数差分方程方法如下： ⒈对差分方程两边求单边z变换。注意：方程左边应用非因果的移
位性，方程右边应用因果序列的移位性。
⒉解代数方程，求输出序列的z变换Y(z)。
⒊求反z变换，得到输出的时间序列y(n)。
N
M
设差分方程为： ak y(n k)
X(z)
z z1
4
1 z2 Y(z) 2
(z 1)(z 1) 24
1z 1z
Y (z)
3 z
1
6 z
1
2
4
1
Y(z) 2 X (z) 1 1 z1 2
Y (z) z
(z
1z 2 1)(z
1)
24
11
z
3 1
Z变换和差分方程
• 引入变量： 引入变量：
z=e
Ts
sT s
或者写成： s = 1 ln z 或者写成：
S: 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期； 拉普拉斯变换的算子； Ts:采样周期 采样周期； 一个复变量， 平面上， 变换算子， Z：一个复变量，定义在 Z 平面上，称为 Z 变换算子， 记为：采样信号的Z变换： 记为：采样信号的Z变换：Z［f*(t)] = F(z) 变换， F (z)是采样脉冲序列的 Z变换， 它只考虑了采样时刻的信号值。 它只考虑了采样时刻的信号值。
y ( 0 ) = 0 , y (1) = 2 , 激励 f （ k ）= 2 k ε ( k ),
求: y (k )
• 解： • 将方程中除 y（k）以外的各项都移到等号右边， 以外的各项都移到等号右边， • 得： y (k ) = −3 y (k − 1) − 2 y (k − 2) + f (k ) • 对于 k = 2, 将已知初始值y (0) = 0, y (1) = 2代入上式，得：
s z 1 z R2 = lim ( s + jω ) = sT s → − jω ( s − jω )( s + jω ) z − e 2 z − e − jωT
例8—6 求
解:
f ( t ) = t 的Z变换
两阶重极点!! 两阶重极点!!
1 F (s) = 2 s
d z d z Tz 2 1 R = lim (s − 0) 2 = lim = sT sT 2 s →0 ds s →0 ds z − e s z −e ( z − 1)
c ( k ) = (1 − T ) k c ( 0 ) + T
∑
6.5 用Z变换解差分方程
上述结论可由s平面与z平面的关系以及H(s)极点 分布与h(t)形状的关系直接得来
（五）由H(z)判定离散系统的稳定性
稳定系统： H z 的全部极点落在单位圆之内。
临界稳定系统：单位圆上有一阶极点，其余极点均位 于单位圆内。
不稳定系统：单位圆外有极点或单位圆上有高阶极点。
第六章 z变换、 离散系统的z域分析 小结
解：
零状态响应，初值为0
(1) Y z 3z 1Y z 2z 2Y z X z 1 z 1
Y z 1 z 1 z ( 2) H z 1 2 X z 1 3z 2z z2
综合
例：书：87页，例8-19
§6.5
用 z 变 换 解 差 分 方 程
§6利用Z变换解差分方程的一般规律； 方法的原理： 基于Z变换的线性和位移性 将差分方程转化为代数方程 使求解过程简化
线性时不变离散系统的差分方程一般形式：
a
k 0
N
k
y( n k ) br x ( n r )
N N A z n 1 k hn ZT Ak zk un k 0 z zk k 0
H z 的极点 zk ，可以是不同的实数或共轭复数， 决定了 hn 的特性。
zk在单位圆内，h(n)为衰减序列
zk在单位圆外， h(n)为发散序列 zk在单位圆上且为一阶： h(n)不衰减也不发散 zk在单位圆上且为高阶： h(n)为发散序列
2） A1 2 ，B1 2,
3) Y z 2
B2 2
z z z 2 2 2 z 1 z2 z 2
n n n
4) yn 2 1 2 2 2n 2 un
利用z变换解差分方程 ppt课件
利用z变换解差分方程
6
于是 令 则
M
br z r
Y(z)
r＝0 N
X (z)
ak zk
k＝0
M
br z r
H (z)
r＝0 N
ak zk
k＝0
Y(z)X(z)H (z)
此时对应的序列为 F y(n) 1[X(z)H (z)]
利用z变换解差分方程
7
例： 已知系统的差分方达程式表为
y(n)0.9y(n1) 0.05u(n) 若边界条y件(1) 1,求系统的完全响应。
5
若系统的起始状态y(l)=0(-N≤l≤-1),即系统处于 零起始状态，此时式(2)变成
N
M
1
a kz k[Y (z)b rz r[X (z) x (m )z m ]
k ＝ 0
r＝ 0
m r
如果激励x(n)为因X(z)
k＝ 0
r＝ 0
利用z变换解差分方程
3
线性常系数差分一方般程形的式为
N
M
ak y(nk) brx(nr)
k0
r0
（1）
将 等 式 两 边 取 换单 ，边 利z用变z 变性换得位 移 特
N
1
M
1
akzk[Y(z) y(l)zl] brzr[X(z) x(m)zm] （2）
k＝0
lk
r＝0
mr
利用z变换解差分方程
§7.7 利用z变换解差分方程
• 主要内容
•z变换解差分方程的一般步骤 •举例说明
• 重点：利用z变换解差分方程的一般步骤
利用z变换解差分方程
1
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
用单边Z变换解差分方程
n
h( n)
15
可以稳定
x ( n)
h( n)
k
y(n) x(n) * h(n)
h(k ) x(n k )
x(n) M
y ( n)
k
h ( k ) x ( n k ) M h( k )
k
k x ( k ) z
1 m k k z x ( k ) z x ( k ) z k m k 0 1 m k z X ( z ) x(k ) z k m
4
（4）对于因果序列x(n)
k m k x ( k ) z 0 1
1 2 2
10 z Y ( z ) 0.1z [Y ( z ) zy (1)] 0.02 z [Y ( z ) z y (2) zy (1)] z 1 10 z (1 0.1z 1 0.02 z 2 )Y ( z ) 0.08 z 1 0.28 z 1
2 1
yss (n) B sin[n 2 ( )]
28
Y (e ) H (e ) j X (e )
j
j
H (e ) H (e ) e B H (e ) A
j
j
j
j ( )
B j[ 2 ( ) 1 ( )] e A
( ) 2 ( ) 1 ( )
§8.7 用单边Z变换解差分方程
解差分方程的方法： （1）时域经典法 （2）卷积和解法 （3）Z变换解法
1
（一）复习Z变换的位移特性
若x(n)分别是双边序列、双边左移序列、 双边右移序列时，它们的双边和单边Z变 换是不同的： （1）双边序列的双边Z变换(p79-p83)
Z变换和差分方程
04
离散系统稳定性分析与判断
离散系统稳定性概念及意义
稳定性定义
离散系统的稳定性是指系统在受到外部 扰动后，能够恢复到原平衡状态的能力 。
VS
稳定性意义
稳定性是离散系统正常工作的前提，不稳 定的系统可能导致输出失控、性能恶化甚 至损坏。
基于差分方程稳定性分析方法
差分方程
描述离散系统动态行为的数学模型， 通过求解差分方程可得到系统输出。
若$x[n]$的Z变换为$X(z)$ ，则$x[n]e^{jomega n}$ 的Z变换为 $X(ze^{ jomega})$。证明 过程基于复指数函数的性质 和Z变换的定义。
若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z 变换分别为$X_1(z)$和 $X_2(z)$，则它们的卷积 $x_1[n]*x_2[n]$的Z变换为 $X_1(z)X_2(z)$。证明过程 利用卷积的定义和Z变换的 性质进行推导。
系统函数与稳定性分析
系统函数是描述系统频率响应特性的 重要工具，可通过Z变换求得。同时 ，利用系统函数可进行系统稳定性分 析，如判断系统是否稳定等。
Z变换和差分方程在其他领域应用前景探讨
数字信号处理
Z变换和差分方程在数字信号处理领域具有广泛应用，如滤波器设计 、信号压缩与重构等。
控制系统分析
在控制系统中，Z变换和差分方程可用于分析系统稳定性、设计控制 器等。
收敛域
Z变换的收敛域是指使得级数 $sum_{n=-infty}^{infty} |x[n]z^{n}|$收敛的所有$z$的集合。收敛域对 于Z变换的分析和性质至关重要。
常见函数Z变换表
单位样值信号
$delta[n]$的Z变换为$1$，收敛 域为整个复平面。
单位阶跃信号
差分方程_精品文档
程）法。本节主要讲述前3种方法，后2种方法将在后续章节中讲
解。
一、差分方程的初值问题（边界条件）
二、差分方程的解法（前3种方法）
三、传输算子的概念
返回
一、差分方程的初值问题（边界条件）
相应于连续时间系统中的起始条件和初始条件, 在离散时间系统中存在着起始样值与初始样值。
起始样值即在激励信号加入之前系统已具有的 一组样值, 以符号y-(n)表示。
返回
例7-4-6 已知 y(n)+2y(n-1) =5u(n), 且y(-1) =1,
求完全解。
特征方程 a +2=0 a = -2
齐次解
yhn C1 2n
特解
因为x(n)=5u(n), n³0时为5（常数）
所以 yp(n) =D
代入原方程求特解 D+2D =5 (n 0)
完全解
所以 D 5
“E”表示将序列超前一个单位时间的运算。 E也称为移
序算子，利用移序算子可y(n写-1)出= 1: y(n)
对y于(n差+分1方)=程Eyy((nn)+1)
-
ay(n)
E
=x(n)
可改写为: （E - a）y(n) =x(n)
对于二例，可以引入
传输算子 HE 1
于是有：
Ea
而对于方程式 y(n) - ay(n-1) =x(n -1)
N
akCa nk 0
k 0
消去常数C，逐项除以a n-N 并化简得:
a0a N+a1a N-1+……+ aN-1a + aN=0
该式称为差分方程的特征方程，特征方程的根a1. a2 、……、 aN称为差分方程的特征根。
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即
Yzi
z
zz 1 z 2z 1
3z z2
2z z1
零输入响应为
Yzi z yzi n 3 2n 2 1n n 0
第
c. 全响应
9
页
y n 3y n 1 2y n 2 xn xn 1 xn 2n u(n)
Y z3z1Y z y 12 z2Y z z1y 1 y 2
n 0
第
例8-7-2
6
页
已知系统框图
xn 1
yn
列出系统的差分方程。
E
xn
2n
n
0
, y0 y1 0,
0 n0
求系统的响应 y(n)。
1
3 E
2 1
E
解：
（1） 列差分方程，从加法器入手
xn xn 1 3yn 1 2yn 2 yn
所以 yn 3yn 1 2yn 2 xn xn 1
方程两端取z变换
Y
z
0.9
z
1Y
z
y
1
0.05
z
z
1
Y
z
z
0.05 z 2
1 z
0.9
0.9 z
y 1
0.9
z
Y z
A1
A2
z z 1 z 0.9
第 5
页
Y z
A1
A2
z z 1 z 0.9
A1 0.5 A2 0.45
Y z 0.5 z 0.45 z
z 1
z 0.9
y n 0.5 0.450.9n
§8.7 用z变换解差分方程
序言
第 2
页
描述离散时间系统的数学模型为差分方程。求解差分方 程是我们分析离散时间系统的一个重要途径。
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法 •z变换方法
•差分方程经z变换→代数方程； •可以将时域卷积→频域（z域）乘积； •部分分式分解后将求解过程变为查表； •求解过程自动包含了初始状态（相当于0-的 条件）。
（2）用z变换求解需要y 1, y 2,用y1, y0由方程迭代出第7
y 1 1 , y 2 5
页
2
4
（3）差分方程两端取z变换，利用右移位性质
y n 3y n 1 2y n 2 xn xn 1 xn 2n u(n)
Y z3z1Y z y 12 z2Y z z1y 1 y 2
z z z1 z2 z2
x1 0
a.由激励引起的零状态响应
Yzs
z 1 3z1
2z2
z
z
2
z
z
2
z 1
即 零状态响应为
Yzs
z
z
z2
22
Yzs z yzs n n 1 2n un
第
b.由储能引起的零输入响应（对n 2都成立）
8 页
Yzi z 1 3z1 2z2 2z1 y 1 3 y 1 2 y 2
z z z1 z2 z z
2
2
Y
z
z
z
2
1 z
22
A1 z 1
B1 z2
z
B2
22
A1 2, B1 2, B2 2
第 10
页
所以
Y z
z
z
2 1
2 z2
2
z 22
Y
z
2
z
z
1
2
z
z
2
2
z
z
22
y n 21n22nn2n n 0
一．应用z变换求解差分方程步骤
第 3
页
一．步骤
(1)对差分方程进行单边z变换（移位性质）；
(2)由z变换方程求出响应Y(z) ；
(3) 求Y(z) 的反变换，得到y(n) 。
例8-7-1
第 4
页
已知系统的差分方程表达式为
y(n) 0.9 y(n 1) 0.05u(n)
若边界条件y(1) 1,求系统的完全响应。 解：