第四章控制系统的频率特性

在高频段，很大，T>>1，L() 20 lg 2T 2 40 lg T
二阶振荡环节幅频特性的Bode 图可用上述低频段和高频段 的两条直线组成的折线近似表示，
两条渐近线交于无阻尼自然频率 n
相频特性
(
)
arctan 2T ( 1 2T 2
arctan
2T 1 2T
2
1 T
(
)
1 T
第4章 控制系统的频率特性
4.1 频率特性 4.2 频率响应的Nyquist 图 4.3 频率响应的Bode图 4.4 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性 能比较直观、准确
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。
2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确 定应该如何调整系统来获得预期效果。
arctanUV
U Acos V Asin
二. 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性（Nyquist 图）
当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j )的端点在复
平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过
的角度为正，顺时针转过的角度为负。
2. 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。
4.1 频率特性
一.频率特性的基本概念
xi(t)
R
xi(t) t
xo(t) C
RC网络的传递函数为
G(s)
X 0 s Xi s
1 Ts 1
输入信号 xi t Asin t
输出信号
x0
t
1
AT 2T
2
t
eT
A sint arctanT
1 2T 2
系统稳态输出
lim
t
x0
t
A sin t arctan T
j j
1 1
,
G2
j
T1 j 1 T2 j 1
L()
1
1
()
T2
T1
O
20dB/dec
0° -45°
-90°
1
1
T2
T1
()
0° -90°
-180°
1
1
T2
T1
(a) G1(s)、G2(s)的幅频曲线 (b) G1(s)的相频曲线
(c) G2(s)的相频曲线
两个系统的幅频特性Bode图相同，但相频特性的Bode图不 同。其相频特性为
频宽指系统的频率从0开始，对数幅频特性下降-3dB时所对 应的频率范围。一般情况下，所求的截止频率就是系统的 频宽。
r谐振频率 ： 指系统产生峰值时对应的频率。
M
谐振峰值
r
：指在谐振频率处对应的幅值。
对于二阶系统
G( j)
2 n
1 2T 2
定义：
A() A / 1 2T 2
A
1
1 2T 2
稳态输出幅值 输入幅值
RC网络幅 频特性
() arctanT 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
1
1 2T 2
arctan T
将s以j 代入RC网络传递函数，即得RC网络频率特性
G( j) 1 1 RCj 1 1 jT
=0
01
u
8. 延迟环节
频率特性 G j e jT
幅频特性 A 1
A 1 相频特性 T
jv
1 0
=0
u
二.Nyquist图的一般作图方法
1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相 频特性。 2 写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。
3 分别求出ω=0和ω为无穷时的G(j ω)。 4 求Nyquist与实轴交点，交点可用Im[G(j ω)]=0求出。 5 求Nyquist与虚轴交点，交点可用Re[G(j ω)]=0求出。 6 必要时再画出中间几点。 7 勾画大致曲线，
当T=1时，T ＝1/T称为转折频率，
5. 一阶微分环节
频率特性 G( j) j 1
对数幅频特性
L() 20 lg 2 2 1
对数相频特性
arctan
6.二阶振荡环节
频率特性
G
j
1
(
1 )2
j2
对数幅频特性
n
n
L() 20lg G( j) 20lg (1 ( /n )2 )2 (2 /n )2 在低频段，很小，T<<1， L() 0dB
A( 1
e j(arctanT )
1 2T 2
)e j ()
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立
虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号，然而频 率特性是系统的固有特性，与输入信号无关， 即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
频率特性定义为输出量的Fourier变换与输入量 的Fourier变换之比，即
对数幅频特性
L() 20 lg 1 20lg j
对数相频特性
()
2
L()
-20dB/dec
0.1
1
()
0°
0.1
1
-90°
10 10
3. 微分环节
频率特性 G( j) j
对数幅频特性
L() 20dB/dec
0.1
1
10
L() 20 lg G( j) 20 lg ()
90°
4.3 频率响应的Bode图(对数坐标图)
幅相频率特性的优点： 在一张图上把频率ω由0到无穷大区间内各个频率
的幅值和相位都表示出来。
缺点： 在幅相频率特性图上，很难看出系统是由哪些环节组成 的，并且绘图较麻烦。
对数频率特性能避免上述缺点，因而在工程上得到广泛 的应用。
一.对数频率特性的坐标
对数幅频特性是对数值20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。 对数相频特性是相角φ(ω)和频率ω的关系曲线。
1 arctanT1 arctanT2 2 arctan T1 arctan T2
4.4 控制系统的闭环频率响应
一.系统的频域指标
图示为闭环系统的频域特性 A()
Amax
A(0) 0.707A(0)
O m r
b
b为系统的截止频率，定义为系统的对数幅频特性
下降-3dB(或幅值下降为 A(0) / 2 )时对应的频率。
最小相位系统有一个重要特点：幅频特性和相频特性之 间具有确定的单值对应关系。
例4-8 某两个单位反馈的控制系统的开环传递函数 分别为
G1
(s)
T1 T2
s s
1 1
G2
(s)
T1s 1 T2 s 1
0 T1 T2
试分析系统的Bode图。
解 根据传递函数可得系统的频率特性为
G1
j
T1 T2
1倍频程 1倍频程
10倍频程
10倍频程
10倍频程
(a)
1
2
3
4
5
6
7
(b)
二.典型环节的 Bode图
1. 放大环节
频率特性 G( j) K L()
对数幅频特性
20lgK
0
L() 20lg A() 20lg K
0.1
1
()
对数相频特性
() 0o
0°
0.1
1
10 10
2.积分环节
频率特性 G( j) 1 j
1 2 l 2 2 2l l 2
i 1
l 1
Q
P
20 lg 20 lg 1 (Tm )2 20 lg
1 2Tn2 2 2nTn 2
m1
n1
系统的幅频特性的Bode图由各典型环节的幅频特性Bode图 相叠加。系统的对数相频特性为
对数相频特性
M
arctan i
i 1
1
j 2T 2 j2T 1
幅频特性 A G j
1
1 2T 2 2 2T 2
A
相频特性
GGjjG1ajrct2aaTnrc21t12a2na1rc222TTtaa2nrc2TT1Tta222n1T122TT2T12TT2
1 T
1 T
jv
振荡环节的 Nyquist曲线不
对数相频特性
10 10
三.一般系统Bode 图作图方法
对于一般系统
M
N
K
i j 1
2 l
(
j ) 2
2l
j
1
G( j)
i 1
l 1
Q
P
j Tm j 1 Tn2 ( j)2 2Tn j 1
m1
n1
系统的对数幅频特性为
M
L() 20 lg K 20 lg
N
i 2 1 20 lg
3. 必要时对近似曲线作适当修正。
4. 分析系统的特性时，利用MATLAB语言的强大功能， 很快地编出MATLAB程序，对系统进行准确的分析。
四. 最小相位系统
在s右半平面既无极点，也无零点的传递函数，称为最小 相位传递函数；否则，称为非最小相位传递函数。
具有最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。
→∞
0
1
=0
n =1
仅与频率 有关，而且与
阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， u 幅频越大。
n =0.5
n =0.3
当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
M r A(r )
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2 0.707
M r A max
2
1
1 2
2 2
7. 二阶微分环节
jv
G
j
X 0 j X i j
频率特性的矢量图
jv
频率特性是一个复数，有三种表示：
V ()
A() ()
G(j) 代数式 G j U jV
极坐标式
0
U() u G( j) G( j) G( j) A()()
指数式
G( j) G( j) e jG( j) A()e j()
A G j U 2 V 2
)
在低频段，很小，φ(ω)约等于0，高频段，很大， φ(ω)
＝－，转折频率处，
n
1 T
,
(n )
2
7. 二阶微分环节
G( j) ( j /n )2 2 ( j /n ) 1
8. 延迟环节
频率特性
L()
G j e j
对数幅频特性
0.1
1
()
0°
0.1
1
L() 20lg G( j) 20lg1 0dB
频域法是利用频率特性研究自动控制系统的一种古典方 法，它有如下特点
1) 应用Nyquist(奈奎斯特)稳定性判据，可以根据系统的开环频率特 性，研究闭环系统的稳定性，而不必求特征方程的根。
2) 对于二阶系统，频率响应和瞬态响应的性能指标之间有确定的对 应关系，而高阶系统也存在类似的关系。因为系统的频率特性与系 统参数、结构之间有着密切关系，所以可以利用研究频率特性的方 法，把系统的参数、结构变化和瞬态响应性能指标之间联系起来。
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv
0 →∞ -45°
0.707
=0 u
=1/T
4.2 频率响应的Nyquist 图
一. 典型环节的Nyquist图
1. 放大环节
频率特性 G j K
jv
幅频特性 A G j K
0
相频特性 G j 0o
K u
2. 积分环节
频率特性
G j
1
1
j( )
e2
0.707
1 =0 u
相频特性 arctanT
=1/T
一阶惯性环节的幅相频率特性曲 线是一个半圆。
5. 一阶微分环节
频率特性 G j Tj 1
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 arctan T
∞
jv
↑
2
45° =0
0
1
u
实频特性 U () 1
6. 二阶振荡环节
频率特性
G j
j
幅频特性 A G j 1
相频特性 G j 90
jv
0
u →∞
=0
3. 微分环节
频率特性
G j
jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
j
e 2
幅频特性 A G j
相频特性 G j 90
jv
∞
↑
=0
0
u
4.一阶惯性环节
频率特性 G j 1
1 jT
幅频特性 A 1
2T 2 1
jv
0 →∞ -45°
对数相频特性
0°
0.1
1
()
2
10
4.一阶惯性环节
频率特性 G j 1
1 jT 对数幅频特性 L() 20lg G( j) 20lg 2T 2 1
对数相频特性 arctanT
低频段，当很小，T<<1时，L()=0dB
高频段，当很大，T>>1时，L()=－20lg(T)
惯性环节的Bode图可用上述低频段与高频段两条渐近线的 折线近似表示，
N arctan 2l l
l 1
1
2
2 l
2
Q
m1
arctanTm
P [ arctan 2 nTn
n1
1 2Tn2
]
相频特性的Bode图也是由各典型环节的相频特性Bode图 相叠加。
绘制Bode图的一般步骤
1. 将系统频率特性化为典型环节频率特性的乘积；
2. 根据组成的系统的各典型环节，确定转折频率及相 应斜率，并画近似的幅频折线和相频曲线；
3) 频率特性有明确的物理意义，很多元件的这一特性都可以用实验 的方法确定，这对难于分析其物理规律来列出微分方程的元部件和 系统，有很重要的工程实际意义。
4) 频率特性分析法不仅适用于线性系统，而且可以推广到某些非线 性系统。
5) 当系统在某些频率范围存在着严重噪声时，应用频率法，可以设 计出能够很好抑制这些噪声的系统。
这两条特性曲线画在半对数坐标纸上，采用同一个横坐 标作为频率轴。横坐标采用对数分度，但标写的却是ω 实际值，单位为弧度/秒（rad/s).
L() (dB)
40
20
0
0.01
0.1 1
-20
-40
10
100 (rad/s)
p
p
p
1
2
3
1
2
4 6 8 10 20 40 60 80 100
1倍频程 1倍频程