人教A版必修4数学《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(A)含答案试卷

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人教A版高中数学必修4同步练习-平面向量的实际背景及基本概念

A 级基础巩固一、选择题1．下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若a ≠b ，则|a |≠|b |C ．若|a |＝|b |，则a 与b 可能共线D ．若|a |≠|b |，则a 一定不与b 共线解析：向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A 错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B 错误．无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C 正确，D 错误．答案：C2．数轴上点A ，B 分别对应－1，2，则向量AB →的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 解析：|AB →|＝2－(－1)＝3. 答案：D3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量答案：C4.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →解析：由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →.答案：D5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．答案：C二、填空题 6．有下列说法：①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ③在▱ABCD 中，一定有AD →＝BC →； ④若向量a 与任一向量平行，则a ＝0；⑤若四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形ABCD 是正方形．其中，正确的说法是________(填序号)．解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确；对于②，A ，B ，C ，D 四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在▱ABCD 中，|AD →|＝|BC →|，AD →与BC →平行且方向相同，所以AD →＝BC →，故③正确；④显然正确；对于⑤，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则由相等向量的定义可知ABDC ，故四边形ABCD 是平行四边形，又|AB →|＝|AD→|，所以四边形ABCD 是菱形，故⑤错误．故填③④.答案：③④7.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案： 28．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：532三、解答题9.如图所示，四边形ABEF 和BCDE 均是边长为1的正方形，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为起点和终点的向量中：(1)写出与AF →，AE →相等的向量； (2)写出与AD →模相等的向量．解：(1)与AF →相等的向量有BE →，CD →，与AE →相等的向量为BD →. (2)与AD →模相等的向量有DA →，CF →，FC →. 10.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心．(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA →长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →共线的向量有哪些？解：(1)与OA →的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．(2)存在．由正六边形的性质可知BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →的长度相等、方向相反的向量是AO →，OD →，FE →，BC →，共4个．(3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC →，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA →，共9个向量．B 级能力提升1．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定解析：因为|OA →|＝2，所以终点A 到起点O 的距离为2. 又因为O 点固定，所以A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．答案：C2．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b 成立的条件是①③④.答案：①③④3.如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了 3 km到了C村，问B、C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？解：由题可知|AB→|＝1，|AC→|＝3，∠CAB＝90°，则|BC→|＝2.又tan∠ACB＝|AB→||AC→|＝13＝33，所以∠ACB＝30°，故B，C两村间的距离为2 km，B村在C村的南偏东60°的方向上．。

高中数学第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课时训练(含解析)新人教A版必修4(

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§2.1平面向量的实际背景及基本概念课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及向量的几何表示。

2。

掌握平行向量与相等向量的概念．1．向量:既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：（1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．（2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4）平行向量（共线向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．一、选择题1．下列物理量:①质量；②速度；③位移;④力;⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（)A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是（)A．|a|＝|b｜B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有（）①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．命题“若a∥b,b∥c，则a∥c"( ）A．总成立 B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立 D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为（）A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是（）A．向量错误!∥错误!就是错误!所在的直线平行于错误!所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量题号123456答案二、填空题7．给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝｜b｜；③a与b的方向相反;④｜a｜＝0或｜b|＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________．（填序号）8．在四边形ABCD中,错误!＝错误!且|错误!|＝｜错误!|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点;②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量错误!共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来）．三、解答题11。

人教A版高中数学必修四同步检测第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念A 级基础巩固一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a |a |.A ．3B ．2C ．1D ．0解析：根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的，对于④，与非零向量a 共线的单位向量是a |a |或－a|a |，故④也是错误的．答案：D2．下列命题中，正确的是( ) A ．|a |＝1⇒a ＝±1 B ．|a |＝|b |且a ∥b ⇒a ＝b C ．a ＝b ⇒a ∥b D ．a ∥0⇒|a |＝0解析：两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．答案：C3．如图所示，在⊙O 中，向量OB →、OC →、AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量答案：C4．如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE→＝PF → D.EP→＝PF → 解析：由平面几何知识知，AD→与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD→方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →的模相等而方向相反，故PE →≠PF→；EP →与PF →的模相等且方向相同，所以EP →＝PF →. 答案：D5．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知四边形为平行四边形；由|AB →|＝|AD →|知四边形ABCD 为菱形．答案：C二、填空题6．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．解析：因为A ，B ，C 三点不共线，所以AB →与BC →不共线，又因为m ∥AB →且m ∥BC →，所以m ＝0.答案：07．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2. 答案：28．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD →长度的最小值为________．解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD 长度最小时，AD 应与边BC 垂直，有向线段AD 长度的最小值为正△ABC 的高，为532.答案：532三、解答题9．如下图，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF→共线的向量； (2)写出与EF→的模相等的向量； (3)写出与EF→相等的向量．解：(1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF→共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →. (2)与EF→的模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF→相等的向量有DB →，CD →. 10.如图所示，两人分别从A 村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km 到了B 村，另一人沿北偏西30°方向行走了 3 km 到了C 村，问B 、C 两村相距多远？B 村在C 村的什么方向上？解：由题可知|AB →|＝1，|AC →|＝3，∠CAB ＝90°，则|BC →|＝2，又tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝13＝33，所以∠ACB ＝30°，故B 、C 两村间的距离为2 km ，B 村在C 村的南偏东60°的方向上．B 级能力提升1．已知点O 固定，且|OA →|＝2，则A 点构成的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定解析：因为|OA →|＝2，所以终点A 到起点O 的距离为2. 又因为O 点固定，所以A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．答案：C2．给出下列四个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________(填序号)．解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.答案：①③④3．如图的方格纸由于若干个边长为1的小正方体并在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值．解：(1)画出所有的向量AC →，如图所示．(2)由(1)所画的图知， ①当点C 位于点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5；②当点C 位于点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41；所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.。

数学人教A版必修4同步优化训练：2.1平面向量的实际背景及基本概念含解析精品

第二章平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列说法正确的是( )A.单位向量都是相等向量B.长度相等的向量叫相等向量C.零向量长度等于0D.共线向量是在一条直线上的向量解析：由相等向量，共线向量可知A、B、D错误.答案：C2.下列说法中不正确的是( )A.向量的长度与向量长度相等B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量其终点必相同解析：两个有共同起点且共线的向量，它们的方向可能相反，而且它们的长度也有可能不同，所以D不正确.答案：D3.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具.请指出下列哪些量是向量？①重力②速度③高度④位移⑤面积⑥体积解析：既有大小又有方向的量叫向量，如位移、速度和力.只有大小、没有方向的量叫数量，如高度、面积和体积.答案：①②④.4.如图2-1-1所示，在正六边形ABCDEF中与向量相等的向量有哪些？图2-1-1解：在正六边形中，||=||=||=||.又∵AF∥EB∥DC且EO与FA，OB，DC方向相同，∴与相等的向量有，，.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列命题正确的是( )A.若|a|=0，则a=0B.若|a|=|b|，则a=bC.若|a|=|b|，则a，b是平行向量D.若a与b平行，则a=b解析：模为零的向量是零向量，A对；模相等的向量不一定相等或平行，B、C均错；平行向量和相等向量是不同的概念，D项错.答案：A2.下列说法错误的是( )A.零向量的长度为零B.零向量与任一向量都是共线向量C.零向量没有方向D.零向量的方向是任意的解析：只要是向量就有方向，零向量的方向是任意的，不能说零向量没有方向，C错.答案：C3.如图2-1-2所示，在正△ABC中，P、Q、R分别是AB、BC、AC的中点，则与向量相等的向量是( )图2-1-2A.与B.与RCC.与CRD.与解析：向量相等要求模相等，方向相同，因此与都和是相等的向量.答案：B4.如图2-1-3，四边形ABCD与ABEC都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量AB相等的向量；(2)用有向线段表示与向量共线的向量．图2-1-3解：(1)与向量AB相等的向量是CE，DC；(2)与向量共线的向量是，，.5.有两个长度相等的向量，在什么情况下这两个向量一定是相等向量?解：有下列两种情况，这两个向量一定相等.(1)两个长度相等的向量的方向相同；(2)两个长度相等的向量都为零向量.6.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字，如图2-1-4所示，在中国象棋的半个棋盘(4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量1、2AA表示马走了“一步”.试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．图2-1-4解：此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走，可谓“八面威风”.解题时，应做到不重不漏.根据规则，作出符合要求的所有向量.如图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个).30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列结论正确的是( )A.向量必须用有向线段来表示B.表示一个向量的有向线段是唯一的C.有向线段和是同一向量D.有向线段和的大小相等解析：向量可以用有向线段表示，但是向量的表示方法是多种多样的，A错；表示一个向量的有向线段有无数个，B错；有向线段和方向不同，它们不是同一个向量，C错；有向线段AB和BA的大小相等方向相反，模相等，D对.答案：D2.下列物理量:①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功.其中不是向量的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：关键是看所给的量是否既有大小又有方向.由于速度、位移、力、加速度都是由大小和方向确定的，所以是向量；而质量、路程、密度、功只有大小没有方向，不是向量，是数量.故选D.答案：D3.下列说法中正确的是( )A.只有方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量的长度为零C.长度相等的两个向量是相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量解析：零向量和任意向量平行，A错；长度为零的向量叫做零向量，B对；相等的向量是长度相等且方向相同的向量，C错；共线向量都可以移动到一条直线上，但是它们不一定在一条直线上，D错.答案：B4.下列说法：①两个有公共起点且长度相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线；③若a∥b且b∥c，则a∥c；④当且仅当=时，四边形ABCD是平行四边形.正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析：①正确；②不正确，这是由于向量的共线与表示向量的有向线段共线是两个不同的概念；③不正确，假设向量b为零向量，因为零向量与任何一个向量都平行，符合a∥b且b∥c 的条件，但结论a∥c却不能成立；④正确，这是因为四边形ABCD是平行四边形 AB∥DC且AB=DC，即和相等. 答案：C5.下列说法中正确的是( )A.若｜a｜＞｜b｜，则a＞bB.若｜a｜=｜b｜，则a=bC.若a=b，则a∥bD.若a≠b，则a与b不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a=b需且只需满足两条：a∥b与|a|=|b|，所以B 不正确，C正确；a∥b是共线向量,只需方向相同或相反，所以D不正确.答案：C6.如图2-1-5，设O是正六边形ABCDEF的中心，在以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，分别与向量、、平行的向量个数为( )图2-1-5A.1，2，3B.2，2，1C.2，2，3D.3，3，3解析：与平行的向量有,；与OE平行的向量有OB,DC；与OF平行的向量有OC，CO,AB.答案：C7.下列命题：①若向量a 的模小于向量b 的模，则a ＜b ；②质量、动量、功、加速度都是向量；③a 与b 平行，则a 与b 方向相同或相反；④零向量与任何向量都平行.其中正确命题的个数为_____________________.解析：向量不能比较大小，①错；质量、功是标量，不属于向量，②错；③没有考虑零向量，不正确；零向量的方向是任意的，所以它与任意向量平行，④对.答案：18.下列命题：①单位向量都相等；②单位向量都共线；③共线的单位向量必相等；④与一非零向量共线的单位向量有且只有一个.其中正确命题的个数为_______________.解析：单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，①错；同理②错；共线的单位向量有可能方向相反，③错；与一非零向量共线的单位向量有两个，它们与这个向量方向相同或相反，④错.答案：09.如图2-1-6所示，D 、E 、F 分别是等腰Rt △ABC 的各边中点，∠BAC=90°.(1)分别写出图中与向量DF 、DE 长度相等的向量；(2)分别写出图中与向量、相等的向量；(3)分别写出图中与向量、共线的向量.图2-1-6解：(1)||=||=||=||=||=||,||=||=||=||； (2)==,==; (3)∥∥∥,∥∥∥.10.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2 000 km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2 000 km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1 0002 km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?解：如图，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，由题意知△ABC 是正三角形，∴AC=2 000 km.1000km，∴△ACD是直角三角形. 又∵∠ACD=45 °，CD=21000km，∠CAD=45°.∴AD=21000km.∴丁地在甲地的东南方向，丁地距甲地2。

(完整版)高中数学2_1平面向量的实际背景及基本概念(A卷)试题新人教A版必修4

∴与向量 AD 共线的向量有 AB ， FE ， EF ， DA ， BA ， BD ， DB ，共 7 个．
考点：共线向量.
【题型】选择题
7．
【答案】B
【解析】∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB A CD 且 AB CD ， AD A CB ，
∴ AB 与 CD 共线，且模相等， AD 与 CB 是相反向量，
a 当 a = 0 时，无意义，故 A、B、D 错误．零向量与任何向量都是平行向量，C 正确．
a
【答案】①
【解析】对于①，向量 AB 与 BA 互为相反向量，长度相等，正确；
对于②，因为零向量与任何向量平行，但零向量的方向是任意的，不能说方向相同或相反，所以
②错误；
考点：平行向量;单位向量. 【题型】选择题【难度】较难
EC 的中点，求证：向量 DE 与 FG 共线．
14．【题文】如图， EF 是△ ABC 的中位线， AD 是 BC 边上的中线，在以 A ，
B ， C ， D ， E ， F 为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
（1）与向量 CD 共线的向量；
（2）与向量 DF 的模相等的向量；
（3）与向量 DE 相等的向量.
即②不能够使 a A b 成立；与方向相反时， a A b ，即③能够使 a A b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以 a 0 或 b 0 时， a A b 能够成立．故使 a A b 成立的条件是①③④.
考点：平行向量. 【题型】填空题
∴ DF A BC ，且 DF 1 BC ， 2
又 E 是 BC 的中点，∴ DF BE EC ，
（2） FD, AE, EA, EB, BE
（3） CF, FA

2022高中数学 2.1 平面向量的实际背景及其基本概念同步练习新人教A版必修4

2．1平面向量的实际背景及基本概念
一、选择题
1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量错误!
与向量错误!＝________
[答案] 0
[解析] ∵A、B、C不共线，∴错误!与错误!＝0
三、解答题
12．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．
在图中所示的向量中：
1分别写出与错误!
2000km20 00km1000错误!未定义书签。

到达丁地，问丁地在甲地的什么方向丁地距甲地多远[解析] 如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，
∴AC＝2000km
又∵∠ACD＝45°，CD＝1000错误!，∴△ACD为直角三角形，即AD＝10002km，∠CAD＝45°
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km。

2020年高中数学人教A版必修4 同步作业本《平面向量的实际背景及基本概念》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修4 同步作业本《平面向量的实际背景及基本概念》一、选择题1.在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向的；⑤任意向量与零向量都共线．A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤2.下列命题中，正确的是( )A ．|a|=1⇒a=±1B ．|a|=|b|且a ∥b ⇒a=bC ．a=b ⇒a ∥bD ．a ∥0⇒|a|=03.设a 0，b 0分别是a ，b 的单位向量，则下列结论中正确的是( )A ．a 0=b 0B ．a 0=－b 0C ．|a 0|＋|b 0|=2D ．a 0∥b 04.下列结论中，不正确的是( )A ．向量，共线与向量∥意义是相同的AB → CD → AB → CD → B ．若=，则∥AB → CD → AB → CD →C ．若向量a ，b 满足|a|=|b|，则a=bD ．若向量=，则向量=AB → CD → BA → DC →5.若||=||且=，则四边形ABCD 的形状为( )AB → AD → BA → CD → A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．等腰梯形6.已知点O 固定，且||=2，则A 点构成的图形是( )OA → A ．一个点 B ．一条直线 C ．一个圆 D ．不能确定7.下列说法中：①若a 是单位向量，b 也是单位向量，则a 与b 的方向相同或相反；②若向量是单位向量，则向量也是单位向量；AB → BA → ③两个相等的向量，若起点相同，则终点必相同．正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题8.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则||=________.OA →9.设O 是正方形ABCD 的中心，则①=；②∥；③与共线；④=.其中，AO → OC → AO → AC → AB → CD → AO → BO → 所有正确的序号为________．10.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量是平行向量，与是共线向量，则AB → BC → m=________.11.给出下列四个条件：①a=b ；②|a|=|b|；③a 与b 方向相反；④|a|=0或|b|=0，其中能使a∥b 成立的条件是________．12.如图所示，已知四边形ABCD 是矩形，O 为对角线AC 与BD 的交点，设点集M={O ，A ，B ，C ，D}，向量的集合T={|P ，Q ∈M ，且P ，Q 不重合}，则集合T 有________个元素．PQ →三、解答题13.如图所示，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)用有向线段表示与向量相等的向量；AB → (2)用有向线段表示与向量共线的向量．AB →14.在直角坐标系中画出下列向量，使它们的起点都是原点O ，并求终点的坐标．(1)|a|=2，a 的方向与x 轴正方向的夹角为60°，与y 轴正方向的夹角为30°；(2)|a|=4，a 的方向与x 轴正方向的夹角为30°，与y 轴正方向的夹角为120°；(3)|a|=4，a 的方向与x 轴、y 轴正方向的夹角都是135°.215.如图所示，已知四边形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，又=且=，求证：=AB → DC → CN → MA → DN → .MB →答案解析1.答案为：D.解析：由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③，⑤正确，④不正确，所以答案是D.2.答案为：C.解析：两共线向量的模相等，但两向量不一定相等，0与任一向量平行．3.答案为：C.解析：因为a 0，b 0是单位向量，则|a 0|=1，|b 0|=1，所以|a 0|＋|b 0|=2.故选C.4.答案为：C.解析：平行向量又叫共线向量．相等向量一定是平行向量，但两个向量长度相等，方向却不一定相同，故C 错误．5.答案为：C.解析：由=，知AB=CD 且AB ∥CD ，即四边形ABCD 为平行四边形．BA → CD → 又因为||=||，所以四边形ABCD 为菱形．AB → AD → 6.答案为：C.解析：∵||=2，∴终点A 到起点O 的距离为2.OA → 又∵O 点固定，∴A 点的轨迹是以O 为圆心，2为半径的圆．故选C.7.答案为：C.解析：由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故①不正确；因为||=||，所以当是单位向量时，也是单位向量，故②正确；AB → BA → AB → BA → 根据相等向量的概念知，③是正确的．8.答案为：；2解析：正方形的对角线长为2，∴||=.2OA → 29.答案为：①②③；解析：正方形的对角线互相平分，则=，①正确；AO → OC → 与的方向相同，所以∥，②正确；AO → AC → AO → AC → 与的方向相反，所以与共线，③正确；AB → CD → AB → CD → 尽管||=||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．AO → BO → AO → BO → AO → BO →10.答案为：0；解析：∵A ，B ，C 不共线，∴与不共线．又m 与，都共线，∴m=0.AB → BC → AB → BC → 11.答案为：①③④；解析：因为a 与b 为相等向量，所以a ∥b ，即①能够使a ∥b 成立；由于|a|=|b|并没有确定a 与b 的方向，即②不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即③能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|=0或|b|=0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是①③④.12.答案为：12；解析：以矩形ABCD 的四个顶点及它的对角线交点O 五点中的任一点为起点，其余四点中的一个点为终点的向量共有5×4=20(个)．但这20个向量中有8组向量是相等的，其余12个向量各不相等，即为()、()，()，()，()，()，()，AO → OC → OA → CO → DO → OB → AD → BC → DA → CB → AB → DC → BA → CD → ()，，，，，由元素的互异性知T 中有12个元素．BO → OD → AC → CA → BD → DB → 13.解：(1)与向量相等的向量是向量，向量；AB → CE → DC → (2)与向量共线的向量是向量，向量，向量，向量，向量，向量，向量.AB → BA → DC → CD → CE → EC → ED → DE → 14.解：如图所示：15.证明：因为=，所以||=||且AB ∥DC ，AB → DC → AB → DC → 所以四边形ABCD 是平行四边形，所以||=||且DA ∥CB.DA → CB → 又因为与的方向相同，所以=.DA → CB → CB → DA → 同理可证，四边形CNAM 是平行四边形，所以=.CM → NA → 因为||=||，||=||，所以||=||，CB → DA → CM → NA → MB → DN → 又与的方向相同，所以=.DN → MB → DN → MB →。

高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念一、学习任务了解向量的实际背景，理解平面向量的基本概念和几何表示，理解向量相等的含义．二、知识清单平面向量的概念与表示三、知识讲解1.平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量(zero vector)，记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量(unit vector)．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．A B AB −→−||AB −→−00 1a b ∥a b a →∥0→a →例题：相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(equal vector)．向量与相等，记做．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量(collinear vectors)．四、课后作业（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）∥a b =a b 下列四个命题：① 时间、速度、加速度都是向量；② 向量的模是一个正实数；③ 相等向量一定是平行向量；④ 共线向量一定在同一直线上；⑤ 若，是单位向量，则；⑥ 若非零向量与是共线向量，则四点共线．其中真命题的个数为（）A． B． C． D．解：B只有③正确．a →b →=a →b →AB −→−CD −→−A ,B ,C ,D 0123下列说法正确的是（）A．零向量没有大小，没有方向B．零向量是唯一没有方向的向量C．零向量的长度为D．任意两个单位向量方向相同解：C零向量的长度为，方向是任意的，故 A，B 错误，C 正确，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故 D 错误．00如图所示，是正六边形的中心．（1）与的模相等的向量有多少个？（2）是否存在与长度相等、方向相反的向量？（3）与共线的向量有哪些？解：（1）因为的模等于正六边形的边长，而在图中，模等于边长的向量有个，所以共有个与的模相等的向量．（2）存在，是．（3）有、、．O ABCDEF OA −→−OA −→−OA −→−OA −→−1211OA −→−F E −→−F E −→−CB −→−DO −→−高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

高一数学必修4同步练习：2-1平面向量的实际背景及基本概念

2-1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．模相等的两个平行向量是相等向量C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝bD ．两个相等向量的模相等 [答案] D2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝bB ．它们方向相同或相反C ．所在直线平行或重合D ．都与零向量共线 [答案] A4．下列说法正确的个数为( )①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量； ②零向量没有方向；③向量的模一定是正数； ④非零向量的单位向量是唯一的． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] A[解析] ①错误．只有速度、位移是向量； ②错误．零向量没有方向，它的方向是任意的； ③错误．|0|＝0；④错误．非零向量a 的单位向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向．5．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．矩形D ．正方形[答案] A[解析] ∵AB →∥CD →，∴AB ∥CD . 又∵|AB →|≠|CD →|，∴AB ≠CD .∴四边形ABCD 是梯形． 6．已知a ∥b ，b ∥c ，则有( ) A ．a ∥c B ．a ＝cC ．a 与c 不共线D ．以上都有可能 [答案] D[解析] 由于零向量与任意向量共线，当b ＝0时，则a 与c 均是任意向量，那么a ∥c ，a ＝c ，a 与c 不共线都有可能，故选D.7．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是( )A ．一条线段B ．一段圆弧C ．两个孤立点D ．一个圆[答案] D[解析] 由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，构成的图形是一个圆．8．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB →的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3 [答案] D9．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C10．下列说法正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A ，B ，C ，D 四点共线 [答案] C 二、填空题11．如图所示，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与AC →相等的向量是________．[答案] BD →[解析] 设线段AD 的长度为3，则|AC →|＝2，与AC →的方向相同且模等于2的向量仅有BD →.12．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有________对．[答案] 2[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等． 13．给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段； (5)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；(6)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． [答案] (5)[解析] (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定； (2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ；(6)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.14．已知A 、B 、C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________.[答案] 0[解析] ∵A 、B 、C 不共线，∴AB →与BC →不共线，又∵m 与AB →、BC →都共线，∴m ＝0. 三、解答题15．如图所示，点O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与AO →，BO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)写出与AO →的模相等的向量； (4)向量AO →与CO →是否相等？ [解析] (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →； (2)与AO →共线的向量为：BF →，CO →，DE →；(3)|AO →|＝|CO →|＝|DO →|＝|BO →|＝|BF →|＝|CF →|＝|AE →|＝|DE →|； (4)不相等．16．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．[分析] 用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度． [解析] (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示．(2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．17．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km.又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°. 答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.18．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →. [解析] ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD .∴四边形ABCD 是平行四边形．∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同， ∴CB →＝DA →.同理可证：四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，∴|MB →|＝|DN →|，DN ∥MB ，即DN →与MB →的模相等且方向相同．∴DN →＝MB →.。

高中必修4《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(A)含答案

专题七平面向量的实际背景与线性运算（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，已知M 是BC 中点，设,CB a CA b ==，则AM =（） A. -21 B. +21 C. 12a b - D. 12a b + 【答案】A. 【解析】12AM AC CM b a =+=-+，∴选A. 2.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】设D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-，则( )A. 2AD AE =B. 3AD AE =C. 2AD EA =D. 3AD EA =【答案】D【解析】由D 为线段BC 的中点，且6AB AC AE +=-，得：26AD AE =-， 3AD AE =-，即3AD EA = 故选：D3.在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）A ．AB DC =B ． AD AB AC +=C ．AB AD BD -=D ．AD CD BD +=【答案】C【解析】由向量的有关知识可知AB DC =，AD AB AC +=，AD CD BD +=正确．而AB AD BD -=错误．选C.4. 设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（）A.1433AD AB AC =-+B.1433AD AB AC =- C.4133AD AB AC =+ D.4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A. 5.在ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB =　，23CD CA CB λ=+，则λ=（） A ．13- B.13C.1D.2 【答案】B 6. 设P 是ABC ∆所在平面内一点，2BC BA BP +=则A ．0PA PB += B ．0PB PC +=C ．0PC PA +=D ．0PA PB PC ++=【答案】C 【解析】因为P 是ABC ∆所在平面内一点， 2BC BA BP +=，所以P 是AC 的中点，则0PC PA +=.7. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（）..2.3.4AOM B OM C OM D OM 【答案】D【解析】由已知得，1111,,,,2222OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD =+=+=+=+ 而,,CA AC DB BD =-=-所以4OA OB OC OD OM +++=，选D .8.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③0a λ＝ (λ为实数)，则λ必为零．其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】B9.给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=． ③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．以上命题中，正确命题序号是（）A ．① B．② C．①和③ D ．①和④【答案】A【解析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；与向量互为相反向量，故③错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故④错误，故选A.10.【2018届山东省青岛市胶南市第八中学高三上学期期中】在ABC ∆中，若2AB AC AP +=，则PB =（）A. 1322AB AC -+B. 1322AB AC -C. 1122AB AC -D. 1122AB AC -+ 【答案】C 【解析】由2AB AC AP +=得， AP = 12AB AC +（），所以111222PB PA AB AB AC AB AB AC =+=-++=-（）,故选Ｃ．11. 已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB λ=+，其中λ∈R，则点P 一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】B【解析】由CB PA PB λ=+得CB PB PA λ-=，∴CP PA λ=.则,CP PA 为共线向量，又,CP PA 有一个公共点P C P A ∴，、、三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B . 12.【2018届河南省南阳市高三上学期期中】已知O 是ABC ∆所在平面内的一定点，动点P 满足(),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（） A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

新课标数学必修4第2章平面向量同步练习(含答案)

第1课时平面向量的实际背景及基础概念一、选择题1.下列各量中不是向量的是（A.浮力 B .风速 C.位移 D.2.下列命题正确的是（A.向量AB 与BA 是两平行向量B.若a 、b 都是单位向量，则a=bC.若=，则A 、B 、C 、D四点构成平行四D.3. 在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（A. 与AC 共线B. 与CB 共线C. 与相等D. 与相等 4.在下列结论中，正确的结论为（(1)|a |=|b |⇒a =b ； (2) a ∥b 且|a |=|b | ⇒ a =b ； (3) a =b ⇒a ∥b 且|a |=|b |(4) a ≠b ⇒ a 与b 方向相反 A. (3) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)(4) 二、填空题：5.物理学中的作用力和反作用力是模且方向的共线向量.6.把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点，则终点所构成的图形是；若这些向量为单位向量，则终点构成的图形是 .7.已知||=1，| AC |=2，若∠BAC=60°，则|BC |= .8.在四边形ABCD 中， =，且||=||，则四边形ABCD 是 .三、解答题：9. 某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点. (1)作出向量、、 (1 cm 表示200 m).(2)求的模.10.如图，已知四边形ABCD 是矩形，设点集M ={A ，B ，C ，D }，求集合T ={、P 、Q ∈M ，且P 、Q 不重合}.第10题图A B一、选择题1.下列等式: a +0=a ， b +a =a +b ，AB +AC =BC ， AB +BC =BC 正确的个数是( ) A.2 B .3 C.4 D.52.化简++的结果等于( ) A. B . C. SPD.3.若C 是线段AB 的中点，则 AC +为A. B . C. 0D. 以上都错4．O 为平行四边形ABCD 平面上的点，设=a ，=b ，=c ，=d ，则（）A.a +b =c +d B .a +c =b +d C.a +d =b +c D.a +b +c +d =0 二、填空题：5.化简：（OM BO MB AB +++)= ； 6．如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空:b +e = ， f +d = ，a +b +c = .7.已知向量a 、b 分别表示“向北走5km ”和“向西走5公里”，则a +b 表示； 8、一艘船从A 点出发以23km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4 km/h ，则河水的流速的大小为 . 三、解答题：9.一架飞机向北飞行300公里，然后改变方向向东飞行400公里，求飞机飞行的路程和位移.10．如图所示，O 是四边形ABCD 内任一点，试根据图中给出的向量，确定a 、b 、c 、d 的方向（用箭头表示），使a +b =AB ，c -d =，并画出a +d.Dd e c A f Ca bBC一、选择题1.下列等式:①AB -= ②AB -= ③-(-a )=a ④a +(-a )=0 ⑤a +(-b )=a -b( )A.2 B .3 C.4D.52. 在△ABC 中， =a ， =b ，则AB 等于( ) A.a +bB .-a +(-b ) C.a -bD.b -a3.在下列各题中，正确的命题个数为( )(1)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a +b 与a (2)若向量a 与b 方向相反，且|a |＞|b |，则a -b 与a +b(3)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a (4)若向量a 与b 方向相同，且|a |＜|b |，则a -b 与a +b A.1 B.2 C.3 D.44.若a 、b 是非零向量，且|a -b |=|a |=|b ，则a 和a +b 的夹角是（） A.090 B . 600 C.300 D.045二、填空题5. 在正六边形ABCDEF 中， AE =m ， AD =n ，则BA = .6. 已知a 、b 是非零向量，则|a -b |=|a |+|b |时，应满足条件. 7. 如图，在四边形ABCD 中，根据图示填空: c -d = ，a +b +c -d= .8.已知=a ， =b ，若||=12，||=5，且∠AOB =90°，则|a -b |= . 三、解答题9. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.10. 已知O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，若=a ， BC =b ，=c ，试证明:c +a -b =.Dd e c A fa b C B第4、5课时向量的数乘运算及其几何意义一、选择题 1.设e 1、e2A.e 1、e2 B .e 1、e2C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a =e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .C.相等D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -yA.3B .-3C.0D.24. 下面向量a 、b 共线的有（）(1)a =2e 1，b =-2e 2 (2)a =e 1-e 2，b =-2e 1+2e2(3)a =4e 1-52e 2，b =e 1-101e 2 (4)a =e 1+e 2，b =2e 1-2e 2.(e 1、e 2不共线)A.(2)(3) B .(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3)(4) 二、填空题5.若a 、b 不共线，且λa +μb =0(λ，μ∈R )则λ= ，μ= .6.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .7.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).8. 如图，在△ABC 中，=a， =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= 三、解答题：9. 如图，平行四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，N 、M 是AD 、DC 之中点，F 使BF ＝31BC ，以ａ、ｂ为基底分解向量与.DABCa bB FC MA N D10.如图，O 是三角形ABC 内一点，PQ ∥BC ，且BCPQ＝ｔ，＝ａ，＝ｂ，＝с，求OP 与.第6课时平面向量基本定理一、选择题1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A. e 1、e 2一定平行 B. e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )A.3 B .-3 C.0 D.2 4．已知|a |=1，|b |=2，且a -b 与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 二、填空题5．已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .6．已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且 a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填共线或不共线).7．已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .8．已知矩形ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 三、解答题9．已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M ， N 分别是DC ， AB 中点，设AD =a ， AB =b ，试以a， b 为基底表示DC ， BC ， MN .10．化简++++.第7课时平面向量的正交分解和坐标表示及运算一、选择题 1.设a =(23，sin α)，b=(ｃｏｓα，31)，且a ∥b ，则锐角α为（） A.30° B .60° C.45° D.75°2.设k ∈Ｒ，下列向量中，与向量a =(1，-1)一定不平行的向量是（）A.(k ，k ) B .(-k ，-k )C.(k ２＋１，ｋ２＋１)D.（ｋ２－１，ｋ２－１）3．已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-36 4．已知|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直二、填空题5．已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ＝ . 6．若a=(-1，x)与b=(-x ，2)共线且方向相同，则x= . 7．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) 则-2=8．在△ABC 中，AB =a， BC =b ，AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，则向量= .三、解答题9．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=MP MN ，求P 点的坐标.10．在中，设对角线AC =a ，BD =b 试用a， b 表示AB ，BC .11.已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) 求证：四边形ABCD 是梯形.12．设1e ， 2e 是两个不共线向量，已知=21e +k 2e ， =1e +32e ，=21e -2e ，若三点A ， B ， D 共线，求k 的值.第8课时平面向量共线的坐标表示一、选择题1.若a =(2，3)，b =(4，-1+y )，且a ∥b ，则y =（） A.6 B .5 C.7 D.82.若A (x ，-1)，B (1，3)，C (2，5)三点共线，则x 的值为（） A.-3 B .-1 C.1 D.33.若=i +2j ， =(3-x )i +(4-y )j (其中i 、j 的方向分别与x 、y 轴正方向相同且为单位向量). 与共线，则x 、y 的值可能分别为（）A.1，2 B .2，2 C.3，2 D.2，44.若a =(x １，y １)，b =(x ２，y ２)，且a ∥b ，则坐标满足的条件为（） A.x １x ２－ｙ１ｙ２＝0 B .ｘ１ｙ１－ｘ２ｙ２＝0 C.ｘ１ｙ２＋ｘ２ｙ１＝0 D.ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝0 二、填空题5.已知a =(4，2)，b =(6，y )，且a ∥b ，则y = .6已知a =(1，2)，b =(x ，1)，若a +2b 与2a -b 平行，则x 的值为 .7.已知□ABCD 四个顶点的坐标为A (5，7)，B (3，x)，C (2，3)，D (4，x )，则x = . 8.若A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)三点共线，则x = . 三、解答题9.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时k a +b 与a -3b 平行?10.已知A 、B 、C 、D 四点坐标分别为A (1，0)，B (4，3)，C (2，4)，D (0，2)，试证明：四边形ABCD 是梯形.11.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =AC 3131=，求证：∥.12．△ABC 顶点A(1， 1)， B(-2， 10)， C(3， 7) ，∠BAC 平分线交BC 边于D ，求D 点坐标第9课时平面向量的数量积的物理背景及其含义一、选择题1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（）A.60° B .30° C.135° D.４５° 2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23材 C.6 D.123.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（）A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）A.λ＞310 B .λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤310 二、填空题5.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为43π，则k 的值为 . 6.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 7.已知a +b =2i -8j ,a -b =-8i +16j ,其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = .8.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )２＝______. 三、解答题9.已知|a |=1,|b |=2,(1)若a ∥b ,求a ·b ;(2)若a 、b 的夹角为60°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.10.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为60°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角.11.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +t b |最小时的t 值，并求此时b 与a +t b 的夹角.12.已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜.第10课时平面向量数量积的运算律一、选择题1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3πD.不平行也不垂直 4.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（） A.23 B .223 C. 323 D. 423 二、填空题5.已知a =(1,2),b (1,1),c=b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .6.已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 7.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =-3,则|a +b |=______,|a -b |= . 8.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 三、解答题5. 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°).6. 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜=1.7. 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x .12.如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量的坐标.第11课时平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４a ·b ＝（） A.23 B .57 C.63 D.832.已知A (1,2),B (2,3),C (-2,5)，则△ABC 为（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（）A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53(--C.)54,53(-或)53,54(-D.)54,53(-或)54,53(-4.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（） A.13 B .513 C.565D.65 二、填空题5.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )·(a -b )= .6.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ,-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 7.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =,b =,则a 与b 的夹角为 . 8.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 .三、解答题9．已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ·a =9与x ·b =-4的向量x .10.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ＡＣＢ＝９０°，若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.11.四边形ABCD 中=AB (6,1), BC =(x ,y )，CD =(-2,-3), (1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x ,y 的值及四边形ABCD 的面积.12.在△ABC 中，=(2, 3)，=(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值..第12课时平面向量的应用举例一选择题1．在四边形ABCD 中，若则,AD AB AC += ( ) A ．ABCD 是矩形 B.ABCD 是菱形C ABCD 是正方形 D.ABCD 是平行四边形 2已知:在是则中，ABC ABC ∆<∙∆,0( )A 钝角三角形B 直角三角形C 锐角三角形D 任意三角形二．解答题3．设M 、N 分别是四边形ABCD 的对边AB 、CD 的中点，求证：)(21MN +=4．求证:对角线相等的四边形是矩形.5.求证：圆的直径所对的圆周角为直角.6．求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.7．证明:三角形的三条高交于一点.8．.AC AB CE BD CE BD ABC ==∆，求证：为中线，且，中，第13课时向量在物理中的应用一选择题1某人以时速为a km 向东行走,此时正刮着时速为a km 的南风,则此人感到的风向及风速分别为( )A ．东北, 2akm/h B.东南, akm/hC ．西南, 2akm/h D.东南, 2akm/h2．一船以4km/h 的速度沿与水流方向成1200的方向航行，已知河水流速为2km/h ，则ABCDA E3h 后船的实际航程为( )A ．63km B.6km C ．53km D.5km二、填空题3．力F 1,F 2共同作用在某质点上,已知F 1=5N, F 2=12N,且F 1与F 2互相垂直,则质点所受合力的大小为_______________4．在200米山顶上.测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 60,30则塔高为__________米 5．某人向正东方向走x 千米后,他向右转150,然后朝新方向走3千米.结果他离开出发点恰好3千米,则 x=_________________.6.若用两根完全相同的绳子向两侧呈“V ”挂重物，每根绳子最大拉力为100N ，两根绳子间的夹角为600，则能挂重物的最大重量是 . 三、解答题7．一个质量为100g 的球从1.8m 的. 高处落到水平板上又弹回到1.25m 的高度，求在整个过程中重力对球所做的功。

人教新课标A版必修4数学2.1平面向量的实际背景及基本概念同步检测同步测试

人教新课标A版必修4数学2.1平面向量的实际背景及基本概念同步检测同步测试共 25 题一、选择题1、如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有( )A.6B.7C.8D.92、若a为任一非零向量,b的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③3、如图所示,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式成立的是( )A.=B.=C.=D.=4、下列说法中错误的是( )A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的5、与反向的单位向量是( )A. B.C. D.6、下列命题中正确的是( )A.若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合.B.模相等的两个平行向量是相等向量.C.若和都是单位向量,则 . D.两个相等向量的模相等.7、某人先向正东方向走了x km，然后他向右转90°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为( )A. B.C.3D.或8、如图，D、E、F分别是△ABC边AB ， BC ， CA上的中点，有下列4个结论：①；②；③；④ .其中正确的为( )A.①②④B.①②③C.②③D.①④9、有下列四个命题：①时间、速度、加速度都是向量；②向量的模是一个正实数；③所有单位圆上以圆心为起点以终点为在圆上向量都相等；④共线向量一定在同一直线上，其中真命题的个数是( )A.0B.1C.2D.310、设是两个单位向量，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.11、下列各量中不是向量的是( )A.浮力B.风速C.位移D.密度12、下列说法正确的个数是( )①若向量a,b共线,向量b,c共线,则a与c也共线;②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点;③向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;④若,,则.A.1B.2C.3D.413、下列命题正确的是( )A.a与b,b与ｃ共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行14、已知O点固定,且=2,则符合题意的A点构成的图形是( )A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定15、下列命题中正确的个数是( )①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量与向量平行，则方向相同或相反；③若下列向量、满足，且与同向，则；④若，则的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A.0B.1C.2D.3二、填空题16、在四边形ABCD中, ,则这个四边形的形状是________.17、把平面上所有单位向量都移动到共同的起点,那么这些向量的终点所构成的图形是________.18、有下面命题;①平行向量的方向一定相同；②共线向量一定是相等向量；③相等向量一定是共线向量，不相等向量一定不共线；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤相等向量、若起点不同，则终点一定不同；⑥不相等的向量一定不平行；其中正确命题的序号是 ________19、某A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________.20、如图所示,O是正三角形ABC的中心;四边形AOCD和AOBE均为平行四边形,则与向量相等的向量有________;与向量共线的向量有________;与向量的模相等的向量有________.(填图中所画出的向量)三、解答题21、已知O是正方形ABCD对角线的交点,在以O,A,B,C,D这5点中任意一点为起点,另一点为终点的所有向量中,写出:(1)与相等的向量;(2)与长度相等的向量;(3)与共线的向量.22、用向量表示小船的下列位移(用1∶500 000的比例尺)：（1）由A地向东北方向航行15 km到达B地;（2）由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地,再由C地向正南方向航行25 km到达D地.(1)由A地向东北方向航行15 km到达B地;(2)由A地向西偏北60°方向航行20 km到达C地,再由C地向正南方向航行25 km到达D地.23、如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且 .(1)与的模相等的向量有多少？(2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与共线的向量有哪些？(4)请一一列出与相等的向量.24、如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且(1)画出所有的向量 ;(2)求| |的最大值与最小值.25、在平行四边形ABCD中，E,F分别是AD，BC的中点，如图所示(1)写出与向量共线的向量；(2)求证： .参考答案一、选择题1、【答案】D【解析】解答：本题主要考查向量的表示与向量共线的向量有共9个，故选D.分析：由题结合所给图形，根据共线向量的定义进行观察即可.2、【答案】B【解析】【解答】①中,|a |的大小不能确定,故①错误;②中,两个非零向量是否平行取决于两个向量的方向,故②错误;④中,向量的模是一个非负实数,故④错误;③正确.选B.【分析】本题主要考查了向量的模，解决问题的关键是根据向量不能比较大小，向量的模可以比较大小，向量是有方向和长度的量.3、【答案】D 【解析】【解答】根据相等向量的定义,分析可得:A 中与的方向不同,故 = 错误;B 中与的方向不同,故= 错误;C 中与的方向相反,故= 错误;D 中与的方向相同,且长度都等于线段EF 长度的一半,故 = ，正确【分析】本题主要考查了相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给图形对应向量满足的条件结合相等向量与相反向量的定义进行发现解决即可.4、【答案】A 【解析】【解答】本题主要考查零向量的概念，对于选项A,零向量的方向是任意的；零向量的方向是任意的；零向量与任一向量平行；故A 是的.【分析】由题根据零向量的概念进行分析即可.5、【答案】C【解析】【解答】本题主要考查单位向量的概念，与反向的单位向量 .【分析】本题主要考查了单位向量与相反向量，解决问题的关键是首先计算出所求向量的单位向量，然后根据方向相反得到结果.6、【答案】D【解析】解答：本题主要考查向量的概念，根据向量相等的定义易知两个相等向量的模相等，故选D ；对于选项A ，若两个向量相等,则它们的起点和终点不一定相等的；选项B ：模相等的两个平行向量是相等向量是错误的，可以是方向相反的向量；C. 若和都是单位向量,则模是相等的，但是两个向量不一定相等；D. 两个相等向量的模相等是正确的.分析：本题主要考查了相等向量，解决问题的根据是根据相等向量的定义就发现解决即可.7、【答案】B【解析】解答：本题主要考查向量的概念，依题意，由勾股定理可得，故选B.分析：本题主要考查了向量的基本概念的物理背景，难度不大，主要是根据所学余弦定理计算路程，然后得到位移即可.解答：由题根据所给图形满足条件结合对应向量的关系不难得到，，，，所以②③正确，故选C.分析：本题主要考查了向量的模、相等向量、平行向量，解决问题的根据是结合所给图形对应的向量满足的几何关系结合向量的有关对应进行分析解决.9、【答案】A【解析】【解答】本题主要考查向量的概念，时间不是向量；向量的模是非实数；单位向量的模相等但方向不一定相同；共线向量可以在一条直线上，也可用分别在互相平行的直线上.故选A.【分析】本题主要考查了向量的物理背景与概念、向量的模、向量的几何表示、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据向量的有关定义进行分析即可.10、【答案】D【解析】【解答】由题根据单位向量长度为1，方向不定，不难得到所有单位向量的模相等，故选D.【分析】本题主要考查了单位向量的定义，根据定义集合选项不难解决问题.11、【答案】D【解析】【解答】密度只有大小没有方向.【分析】由题根据所给物理量结合向量的定义进行分析即可.12、【答案】B【解析】【解答】由于零向量与任意向量都共线,故当b为零向量时,a,c不一定共线,所以①不正确;两个相等的非零向量可以在同一直线上,故②不正确;向量a与b不共线,则a与b都是非零向量,否则不妨设a为零向量,则a与b共线,与a与b不共线矛盾,故③正确;,则a,b的长度相等且方向相同;,则b,c的长度相等且方向相同,所以a,c的长度相等且方向相同,故,④正确.【分析】本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量有关的定义进行发现解决即可.13、【答案】C【解析】【解答】题主要考查向量的概念，由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与ｂ不都是非零向量，即a与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与ｂ共线，不符合已知条件，所以有a与ｂ都是非零向量，所以应选C.【分析】有关平行向量与共线向量、相等向量与相反向量的定义属于平时练习和考试的常考知识点，一定要认真理解，准确运用，难度不大.14、【答案】C【解析】解答：∵ = 2,∴终点A到起点O的距离为2,又O点固定,∴A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆,故选C.分析：本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据向量的模结合向量的模的几何意义进行分析即可.【解答】本题主要考查向量的概念①错误，把共线向量与平面几何中的共线“混淆”；②错误，忽视了如果其中有一个是零向量，则其方向不确定；③错误，把向量与实数混为一谈，事实上向量不能比较大小；④错误，由，只能说明的长度相等，确定不了方向；⑤错误，不清楚零向量的概念.规定零向量与任一向量平行.故选A.【分析】本题主要考查了零向量、单位向量、平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合定义进行分析解决.二、填空题16、【答案】【第1空】平行四边形【解析】【解答】由 ,可得DC与AB平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形【分析】本题主要考查了相等向量，解决问题的关键是根据相等向量定义结合向量的几何意义进行分析即可.17、【答案】【第1空】以单位长度为半径的圆【解析】【解答】由题根据所给问题所有向量组成了以单位长度为半径的圆.【分析】本题主要考查了单位向量、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足条件结合向量的几何意义进行分析即可.18、【答案】【第1空】⑤④【解析】【解答】主要考查向量的概念①错，两向量方向相同或相反都是共线向量；②③⑥均错，共线向量也叫平行向量，对向量的长度没有要求，共线向量不一定是相等，相等向量一定共线，不相等向量可以是共线向量，如两个向量的共线，但是可以不相等的向量.【分析】本题主要考查了平行向量与共线向量、相等向量与相反向量，解决问题的关键是根据定义进行分析即可.19、【答案】【第1空】西北方向【解析】【解答】由题根据A,B,C三地的位置关系结合勾股定理不难得到 ,结合方位角不难得到C地相对于B地的位移是西北方向 .【分析】本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据实际情况进行计算，然后写出对应位移即可.20、【答案】【第1空】【第2空】【第3空】【解析】【解答】∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴结合相等向量及共线向量定义可知:与相等的向量有;与共线的向量有；与的模相等的向量有 .【分析】本题主要考查了向量的模、相等向量与相反向量、平行向量与共线向量，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系结合图形及向量的有关定义进行发现解决即可.三、解答题(1). 解：画出图形,如图所示.易知BC∥AD,BC=AD,所以与相等的向量为(2). 解：由（1）图像得：O是正方形ABCD对角线的交点知OB=OD=OA=OC,所以与长度相等的向量为, ,,,,,(3). 解：由（1）图像得：与共线的向量为,, .【解析】【分析】本题主要考查了平共线向量、相等向量的有关概念，解决问题的关键是根据所给向量满足的条件进行正确作图，然后观察所求向量即可.22、【答案】(1)解：B地在A地的东北方向,即 B地在A地北偏东45°方向,线段AB的长度画为3 cm即可.如图所示.(2)解：由于C地在A地的西偏北60°方向,则线段AC与表示正北方向的线的夹角为30°,且线段AC的长度画为4 cm;D地在C地的正南方向,则画竖直向下的线段,长度为5 cm即可,连接AD,即为所求位移.如图所示.【解析】【分析】本题主要考查了向量的物理背景与概念，解决问题的关键是根据有关方位角的知识进行发现计算即可. 23、【答案】(1)解：与的模相等的向量有23个(2)解：与的长度相等，方向相反的向量有(3)解：与共线的向量有(4)解：与相等的向量有：；与相等的向量有：；与c向量相等的向量有： .【解析】24、【答案】(1)解：画出所有的向量如图所示.(2)解：由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时,| |取得最小值；②当点C位于点C5和C6时,| |取得最大值 .∴| |的最大值为 ,最小值为 .【解析】【分析】本题主要考查了向量的模、向量的几何表示，解决问题的关键是根据所给向量满足的几何关系进行作图计算即可.(1). 解：共线向量满足的条件与向量共线的向量有：(2). 证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC,AD=BC，又分别是AD，BC的中点，所以ED∥BF且ED=BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故【解析】【分析】本题主要考查了共线向量、相等向量，解决问题的关键是根据所给几何图形满足的条件结合有关向量的知识进行观察，计算，证明即可.。

人教版高中数学必修四2.1《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习

2.1《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习1．判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等.（2）向量a与b平行,则b与a方向相同（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。

（7）如果a=b，则a与b长度相等。

（8）如果a=b，则与a与b的方向相同。

（9）若a=b，则a与b的方向相反。

（10）若a=b，则与a与b的方向没有关系。

2.请写出初中物理中的三个向量_________________________3.关于零向量，下列说法中错误的是（）A零向量是没有方向的。

B 零向量的长度是0C 零向量与任一向量平行D零向量的方向是任意的。

4.如果对于任意的向量a，均有a b,则b为_________________5.给出下列命题：①向量的大小是实数②平行响亮的方向一定相同③向量可以用有向线段表示④向量就是有向线段正确的有_________________________6.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_________________________7.把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______________参考答案1．（1）√（2）×（3）×（4）×（5）×（6）×（7）√（8）×（9）×（10）√ 2．力、位移、速度 3．A 4．零向量O 5．①③ 6．直线 7．圆。

高一数学人教A版必修4练习2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版含解析

第二章平面向量
．平面向量的实际背景及基本概念
．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．
一、向量的概念
．向量的实际背景．
有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，
其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．
．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能
比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．
练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？
答案：位移、力
．直角坐标平面上的轴、轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？
解析：轴，轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．
二、向量的几何表示
．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点，为终点的有向线段记作．起点要写在终点的前面．
有向线段包含三个要素起点、方向、长度．
．向量的有向线段表示方法．
向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．
．向量也可以用黑体的字母表示，如，，.
强调：箭头不能不写，否则表示数量．
．向量的模．。

高中数学人教A版必修4第二章2.1平面向量的实际背景与基本概念题型专题练(含解析)

《平面向量的实际背景与基本概念》题型专题练题型一：向量的有关概念1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2．下列关于向量的命题正确的是（）A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c 3．下列结论中正确的是（）①若//a b 且||||a b =，则a b =；②若a b =，则//a b 且||||a b =；③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =；④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠.A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④4．下列四个命题正确的是（）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 5．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列说法中正确的是（）．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >7．以下说法正确的是（）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C．共线向量又叫平行向量D．若a和b都是单位向量，则a b题型二：向量的表示1．某人从A点出发向西走了200m到达B点，然后改变方向向西偏北60°走了450m到达C点，最后又改变方向向东走了200m到达D点（1）作出向量AB，BC，CD(1cm表示200m)；（2）求DA的模.2．如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A点出发，以/h的速度向垂km h．直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．3．一个人从点A出发沿东北方向走了100m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达点C．AB BC CA；（2）求CA.（1）画出,,题型三：共线向量（平行向量）1．（多选题）如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A ．AB DC = B ．AB DC = C ．AB DC >D ．BC AD ∥ 2．在如图所示的向量,,,,a b c d e 中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有；（2）方向相反的向量有；（3）模相等的向量有 .3．如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .（1）与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a 共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量.5．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与FE共线及相等的向量.《平面向量的基本概念》解析题型一：向量的有关概念1．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.故选：A.2．下列关于向量的命题正确的是（）A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c【解析】A. 若||||a b =，则,a b 不一定相等，因为向量是既有大小，又有方向的，||||a b =只能说明向量的大小相等，不能说明方向相同，所以该选项错误；B. 若||||a b =，则,a b 不一定平行，所以该选项错误；C. 若a b =，b c =，则a c =，所以该选项是正确的；D. 若//a b ，//b c ，则//a c 错误，如：=0b ，,a c 都是非零向量，显然满足已知，但是不一定满足//a c ，所以该选项错误.故选：C3．下列结论中正确的是（）①若//a b 且||||a b =，则a b =；②若a b =，则//a b 且||||a b =；③若a 与b 方向相同且||||a b =，则a b =；④若a b ≠，则a 与b 方向相反且||||a b ≠.A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④【解析】由题意，对于①中，由//a b ，||||a b =，则向量a 与b 同向或反向，当向量a 与b 同向时，可得a b =，当向量a 与b 反向时，则a b ≠，所以不正确的；对于②中，若a b =，根据相等向量的概念，可得//a b 且||||a b =，所以是正确的；对于③中，若a 与b 方向相同且||||a b =，根据相等向量的概念，可得a b =，所以是正确的；对于④中，若a b ≠，根据向量的概念，则a 与b 方向不一定相反且不一定||||a b ≠，所以不正确.故选：B .4．下列四个命题正确的是（）A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B ． 5．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等.其中假命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；对于②，在平行四边形ABCD 中，,C AB D 是大小相等，方向相反的向量，即AB CD =-，故②是假命题；对于③，显然若m n =，n k =，则m k =，故③是真命题；对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.故选：C.6．下列说法中正确的是（）．A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >【解析】对于A ，零向量的方向是任意的，故A 错误；对于B ，平行向量就是共线向量，故B 错误；对于C ，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C 正确；对于D ，两个向量不能比较大小，故D 错误．故选：C ．7．以下说法正确的是（）A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =【解析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A 错误，零向量是没有方向的向量，B 错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C 正确；若a ，b 都是单位向量，两向量的方向不定，D 错误；故选：C.题型二：向量的表示1．某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点，然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB ，BC ，CD (1cm 表示200m )；（2）求DA 的模.【解析】（1）根据题意，如图所示.（2）由题意及（1）可得，四边形ABCD 为平行四边形,所以||||450DA BC m ==.2．如图所示，为了调运物资，一艘船从江的南岸A 点出发，以/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5/km h ．(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行速度的大小与方向（用与江水的速度方向的夹角表示）．【解析】 (1)如图所示，AD 表示船速，AB 表示江水的速度．易知AD AB ⊥，以AD ，AB 为邻边作矩形ABCD ，则AC 表示船实际航行的速度．(2)在Rt ABC 中，||5,||||53AB BC AD ===22||||||510AC AB BC =+===，因为||tan 3||BC CAB AB ∠==60CAB ︒∠=，因此，船实际航行的速度的大小为10/km h ，方向与江水的速度方向的夹角为60︒.3．一个人从点A 出发沿东北方向走了100m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m 到达点C ．（1）画出,,AB BC CA ；（2）求CA .【解析】（1）如图所示.（2）因为||100,||100AB BC ==，451560ABC ︒︒︒∠=+=，所以ABC 为正三角形，故||100CA =. 题型三：共线向量（平行向量） 1．（多选题）如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）A ．AB DC = B ．AB DC = C ．AB DC >D ．BC AD ∥ 【解析】AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确；向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误；等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以//BC AD，故D正确；故选：BD. 2．在如图所示的向量,,,,a b c d e中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：（1）是共线向量的有；（2）方向相反的向量有；（3）模相等的向量有.【解析】（1）a d∥，e b∥，故a和d，e和b是共线向量.（2）a和d，b和e是方向相反的向量.（3）由勾股定理可得，模相等的向量有,,a c d.3．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c.相等的向量．【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE .（2）由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.（3）由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量有FO，ED，AB.4．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量.【解析】画出图形，如图所示．（1）易知BC//AD，BC＝AD，所以与BC相等的向量为AD.（2）由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，所以与OB长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO.（3）与DA共线的向量为AD，BC，CB.5．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，四边形BCGF是平行四边形，试分别写出与FE共线及相等的向量.【解析】（1）与FE共线的向量：EF，FG，GF，EG，GE，BD，DB，DC，CD，BC，CB.（2）与FE相等的向量：EG，BD，DC.。

人教A版高考数学必修四同步练习2.1平面向量的实际背景及基本概念

第二章 2.1A 级基础巩固一、选择题1．下列说法中，正确的个数是导学号 14434558( B )①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 对于①，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确．2．下列说法中，不正确的是导学号 14434559( D )A ．向量AB →的长度与向量BA →的长度相等B ．任何一个非零向量都可以平行移动C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．3．下列命题中正确的个数为导学号 14434560( B )①两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同；②若非零向量AB →与CD →共线，则A 、B 、C 、D 四点共线；③若非零向量a 与b 共线，则a ＝b ；④四边形ABCD 是平行四边形，则必有|AB →|＝|CD →|；⑤a ∥b ，则a 、b 方向相同或相反．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[解析] ①显然错误；②中AB →与CD →共线，只能说明AB 、CD 所在直线平行或在一条直线上，所以错；③a 与b 共线，说明a 与b 方向相同或相反，a 与b 不一定相等，所以③错；④对；⑤a 可能为零向量，则a ∥b ，但零向量的方向为任意的，所以⑤错．4．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进1003米，则此人位移的方向是导学号 14434561( C )A ．南偏东60°B ．南偏东45°C ．南偏东30°D ．南偏东15°[解析] 如图所示，此人从点A 出发，经由点B ，到达点C ，则tan ∠BAC ＝1003100＝3，∴∠BAC ＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C ．5．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”导学号 14434562( C )A ．恒成立B ．当a≠0时成立C ．当b≠0时成立D ．当c≠0时成立6．下列说法正确的是导学号 14434563( C )A ．若|a|＝|b|，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →C ．若a≠b，则a 与b 可能是共线向量D ．若非零向量AB →与CD →平行，则A 、B 、C 、D 四点共线[解析] A 不正确．|a|＝|b|，但a 与b 方向可任意．B 不正确，向量不能比较大小．C 正确．D 不正确.AB →与CD →平行，则直线AB 与CD 可能平行，可能重合，则A ，B ，C ，D 四点不一定共线，故选C ．二、填空题7．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”、“相等”、“无关”). 导学号 144345648．等腰梯形ABCD 两腰上的向量AB →与DC →的关系是 |AB →|＝|DC →| .导学号 14434565三、解答题9．如右图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，导学号 14434566(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．[解析] (1)与AF →相等的向量为BE →、CD →，与AE →相等的向量为BD →.(2)DA →，CF →，FC →.10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：导学号 14434567(1)与AB →相等的向量共有几个； (2)与AB →平行且模为2的向量共有几个？(3)与AB →方向相同且模为32的向量共有几个？[解析] (1)与向量AB →相等的向量共有5个(不包括AB →本身)． (2)与向量AB →平行且模为2的向量共有24个．(3)与向量AB →方向相同且模为32的向量共有2个．B 级素养提升一、选择题1．若|AB →|＝|AD →|且BA →＝CD →，则四边形ABCD 的形状为导学号 14434568( C )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形[解析] 由BA →＝CD →⇒BA ∥CD 且|BA →|＝|CD →|，又|AB →|＝|AD →|，故四边形ABCD 为菱形.2．下列说法中错误的是导学号 14434569( C )A ．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D ．方向相反的两个非零向量必不相等[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C 错误．3．等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点P ，点E ，点F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P 且EF ∥AB ，则下列等式正确的是导学号 14434570( D )A ．AD →＝BC →B ．AC →＝BD → C ．PE →＝PF → D ．EP →＝PF →[解析] 由相等向量的定义，显然EP →＝PF →.4．已知A ＝{与a 共线的向量}，B ＝{与a 长度相等的向量}，C ＝{与a 长度相等，方向相反的向量}，其中a 为非零向量，则下列命题中错误的是导学号 14434571( B )A ．B ．A∩B＝{a}C ．D ．[解析] 因为A∩B 中还含有a 方向相反的向量，所以B 错．二、填空题5．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →中，相等的有__2__对.导学号 14434572[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →.其余不等．6．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__.导学号 14434573[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.三、解答题7．如图所示，已知四边形ABCD 和四边形ABDE 都是平行四边形.导学号 14434574(1)与AB →相等的向量有哪些？(2)与AB →共线的向量有哪些？(3)若|AB →|＝1.5，求|CE →|的大小．[解析] (1)与AB →相等的向量即与AB →同向且等长的向量，有ED →，DC →.(2)与AB →共线的向量即与AB →方向相同或相反的向量，有BA →，ED →，DC →，EC →，DE →，CD →，CE →.(3)若|AB →|＝1.5，则|CE →|＝|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝3.8．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？导学号 14434575[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km.又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.C 级能力拔高如图四边形ABCD 、CEFG 、CGHD 都是互相全等的菱形，则下列关系不一定成立的是导学号 14434576( C )A ．|AB →＝|EF →|B ．AB →与FH →共线C ．BD →＝EH → D ．DC →与EF →共线[解析] A 一定成立，B 一定成立，D 因DC →与EF →一定不共线，故一定不成立，故选C ．。

人教A版必修四高一数学必修4同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念(含解析)

高一数学同步练习——2.1平面向量的实际背景及基本概念（含解析）一、选择题：共12题每题5分共60分1．如图所示,等腰梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点P,点E,F 分别在两腰AD,BC 上,EF 过点P,且EF ∥AB,则下列等式成立的是( )A.=B.=C.=D.= 2．已知O 点固定,且||=2,则符合题意的A 点构成的图形是 A.一个点B.一条直线C.一个圆D.不能确定 3．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量是A.相等的向量B.平行的向量C.有相同起点的向量D.模相等的向量 4．给出下列命题： ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②两个单位向量是相等向量；③若, ,则；④若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；⑤若,则.⑥若与共线, 与共线,则与共线其中正确命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个 5．给出下列命题:①和的模相等;②方向不同的两个向量一定不平行;③向量就是有向线段;④0=0;⑤>.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3 6．下列说法正确的是（）. A.方向相同或相反的向量是平行向量 B.零向量是C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量 7．下列说法正确的是A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C.向量的大小与方向有关.D.向量的模可以比较大小.8．若a 为任一非零向量,b 的模为1,下列各式:①|a|>|b|;②a ∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正确的是( )A.①④B.③C.①②③D.②③ 9．已知圆心为O 的上有三点A 、B 、C ，则向量、、是 A.有相同起点的相等向量 B.长度为1的向量C.模相等的向量D.相等的向量 b c = a c =a b = O。

高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第17课时平面向量的实际背景及其基本概念含解析

第 17平面向量的背景及其基本观点目1.通物理、几何模型的研究，认识向量的背景．掌握向量的有关观点及向量的几何表示．2．掌握相等向量与共向量的观点．化1．既有大小，又有方向的量叫向量．→a，b，c，⋯2．向量能够用有向段 AB表示，也可用字母表示，印刷顶用黑体小写字母→→→表示，写，能够用箭的小写字母 a ，b， c，⋯表示．3．表示向量的有向段的度，叫向量的模，模零的向量叫零向量；模 1 的向量叫位向量．4．模相等、方向同样的向量叫相等向量；方向同样或相反的两个向量叫平行向量，也叫共向量．定零向量与任何向量共．作一、1．出以下物理量：① 量；②速度；③位移；④力；⑤行程；⑥功；⑦加快度．其中是向量的有 ()A．4 个B．5 个C．6 个D．7 个答案： A分析：速度、位移、力、加快度， 4 个物理量是向量，它都有方向和大小．→|PD |2．已知 D 平行四形ABPC 两条角的交点，→的()|AD |11A. 2B.3C．1D． 2答案： C分析：因四形 ABPC 是平行四形， D 角 BC 与 AP 的交点，所以DPA →|PD |的中点，所以→的 1.|AD |3．以下法正确的选项是 ()A ．若 a 与 b 平行， b 与 c 平行， a 与 c 必定平行B．点同样的两个向量不共C．若 |a|>|b|， a>bD．位向量的度1答案： D分析： A 中，因零向量与随意愿量平行，若b＝0， a 与 c 不必定平行． B 中，两向量点同样，若角是0 °或 180 ，° 共． C 中，向量是既有大小，又有方向的量，不能够比大小．→ → → 4．如图，在⊙ O 中，向量 OB 、 OC 、AO 是()A ．有同样起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量答案： C5．以下命题正确的选项是 ( ) A ．若 |a|＝ |b|，则 a ＝ b B ．若 a ≠ b ，则 |a|≠ |b|C ．若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 可能共线D ．若 |a|≠ |b|，则 a 必定不与 b 共线答案： C分析：由于向量既有大小又有方向，只有方向同样、大小 (长度 )相等的两个向量才相等，所以 A 错误．两个向量不相等，但它们的模能够相等，故B 错误．无论两个向量的模能否相等，这两个向量都可能共线， C 正确， D 错误．6．给出以下四个命题：①两个向量相等，则它们的起点同样，终点同样； ②若 a ＝ b ， b ＝ c ，则 a ＝ c ；③设 a 0 是单位向量，若 a ∥ a 0，且 |a|＝ 1，则 a ＝ a 0； ④ a ＝b 的充要条件是 |a|＝ |b|且 a ∥ b. 此中假命题的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 答案： C分析： ①不正确．两个向量起点同样，终点同样，则两向量相等；但两个向量相等，不必定有同样的起点和终点．②正确．依据向量相等的定义判断．③不正确． a 与 a 0 均是单位向量， a ＝ a 0 或 a ＝－ a 0. ④不正确． a ＝b 的充要条件是 |a|＝ |b|且 a ， b 同向．二、填空题→ → → →7．在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， |AB|≠ |CD |，则四边形 ABCD 是 ________．答案：梯形8．给出以下四个条件： (1)a ＝ b ；(2)|a|＝ |b|；(3)a 与 b 方向相反； (4)|a|＝ 0 或 |b|＝0.此中能使 a ∥ b 建立的条件是 ________．答案： (1)(3)(4)分析：若 a ＝ b ，则 a 与 b 大小相等且方向同样，所以a ∥b ；若 |a|＝ |b|，则 a 与 b 的大小相等，而方向不确立，所以不必定有a ∥b ；方向同样或相反的向量都是平行向量，所以若a与 b 方向相反，则有 a ∥b ；零向量与随意愿量平行，所以若|a|＝ 0 或 |b|＝ 0，则 a ∥b.9.如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则→(1)与 AO 相等的向量有 ________； →(2)与 AO 共线的向量有 ________；→(3)与 AO 模相等的向量有 ________个．→→→→→→→→→→→→ ； (3)23答案： (1)BC ， OD ， FE ； (2)BC ，OD ， FE ， CB ， DO ，EF ， OA ， AD ， DA 分析：依据向量的有关观点，可得 →→ → → → (1)与 AO 相等的向量有 BC ，OD ，FE ；(2) 与AO 共线的→ → →→→→→ → →向量有 BC ， OD ， FE ， CB ， DO ， EF ， OA ， AD ， DA ； (3)正六边形的每一条边和每一条中心与极点连成的线段，长度与 →12 条，再注意到方向，共 AO 的模都相等，这样的线段共有24 个向量，除掉 → 23 个． AO 自己，知足条件的向量有三、解答题→ → → →10．已知在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，求AD 与 BC 分别知足什么条件时，四边形ABCD知足以下状况． (1)四边形 ABCD 是等腰梯形；(2)四边形 ABCD 是平行四边形．→ → → →解： (1)|AD |＝ |BC|，且 AD 与 BC 不平行．→ →→ ∵ AB ∥ CD ，∴四边形 ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形 ABCD 为等腰梯形，则 |AD → |＝ |BC|，同时两向量不共线．→ → → → (2)AD ＝ BC(或 AD ∥ BC)．→ →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形 ABCD 为平行四边形．若 AD ＝ BC 11．一架飞机向北飞翔了 300 km ，而后又向西飞翔了 300 km. (1)飞机飞翔的行程是多少？ (2)两次飞翔结束后，飞机在出发地的什么方向？距离出发地多远？ (保存根号 ) 解： (1)300 ＋300＝ 600(km) ，飞机飞翔的行程是 600 km.(2)两次飞翔结束后，飞机在出发地的西北方向 (或北偏西 45°)，距离出发地 300 2 km.能力提高→12．如下图的 4×5 的矩形 (每个小方格都是正方形)，与 AB 相等，而且要求向量的起点和终点都在方格的极点处的向量能够作出 ________个．答案： 33→(1)x 、 y 为什么值时， AB ＝0?→(2)x 、 y 为什么值时， AB 为单位向量？解： (1)已知点 B(x ， y)是直线 n 上的动点，要使得 →B(x ，y)与 A 重AB ＝ 0，一定且只要点合，于是 x ＝0， y ＝－ 2，即当 x ＝ 0， y ＝－ → 2时， AB ＝ 0. (2) 2 2→→2如图，要使得 AB 是单位向量，一定且只要 |AB|＝1.由已知 m ∥ n 且 A 0，－2 ，∴点 B 1 的坐标是2， 0 .2→→ →在 Rt △AOB 1 中，有 |AB 1|2＝ |OA|2 ＋|OB 1|2＝ 1.上式表示，向量 →AB 1是单位向量，同理可得，当点 B 2 的坐标是2 2 时，向量 →－，－ AB 2也是单位向量．2综上，有当 x ＝ 2 ， y ＝0 或 x ＝－ 2 →2， y ＝－ 2时， AB 为单位向量．2。

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专题七平面向量的实际背景与线性运算（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在中，已知是中点，设，则（）A. B. C. D. 【答案】A.【解析】，∴选A. 2.【2018届海南省（海南中学、文昌中学、海口市第一中学、农垦中学）等八校高三上学期新起点】设为线段的中点，且，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由为线段的中点，且，得：2，，即故选：D3.在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】ABC ∆M BC ,CB a CA b ==AM =-21+2112a b -12a b +12AM AC CM b a =+=-+D BC 6AB AC AE +=-2AD AE =3AD AE =2AD EA =3AD EA =D BC 6AB AC AE +=-6AD AE =-3AD AE =-3AD EA =AB DC =AD AB AC +=AB AD BD -=AD CD BD +=由向量的有关知识可知，，正确．而错误．选C.4. 设为所在平面内一点，则（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题知=，故选A. 5.在中，为边上一点，，，则=（） A ． B. C. D. 【答案】B 6.设是所在平面内一点，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为是所在平面内一点，，所以P 是AC 的中点，则.7. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）【答案】AB DC =AD AB AC +=AD CD BD +=AB AD BD -=D ABC ∆3BC CD =1433AD AB AC =-+1433AD AB AC =-4133AD AB AC =+4133AD AB AC =-11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC ∆D AB 12AD DB =　23CD CA CB λ=+λ13-1312P ABC ∆2BC BA BP +=0PA PB +=0PB PC +=0PC PA +=0PA PB PC ++=P ABC ∆2BC BA BP +=0PC PA +=OA OB OC OD +++..2.3.4A OM B OM C OM D OM D【解析】由已知得，而所以，选.8.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．③ (为实数)，则必为零．其中错误的命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】 9.给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=． ③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线．以上命题中，正确命题序号是（） A ．① B．② C ．①和③ D．①和④【答案】A【解析】根据零向量和单位向量的定义，易知①正确②错误，由向量的表示方法可知③错误，由共线向量的定义和四点共线的意义可判断④错误解：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向可不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；与向量互为相反向量，故③错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于与无公共点，故A ，B ，C ，D 四点不共线，故④错误，故选A.1111,,,,2222OA OM CA OB OM DB OC OM AC OD OM BD =+=+=+=+,,CA AC DB BD =-=-4OA OB OC OD OM +++=D 0a λ＝λλB10.【2018届山东省青岛市胶南市第八中学高三上学期期中】在中，若，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由得，，所以,故选Ｃ． 11. 已知是△ABC 所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在( )A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上【答案】【解析】由得，∴.则为共线向量，又有一个公共点三点共线，即点在直线上．故选. 12.【2018届河南省南阳市高三上学期期中】已知O 是所在平面内的一定点，动点P 满足，则动点P 的轨迹一定通过的（） A. 内心 B. 垂心 C. 外心 D. 重心【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）13.++= .【答案】【解析】. ABC ∆2AB AC AP +=PB =1322AB AC -+1322AB AC -1122AB AC -1122AB AC -+2AB AC AP +=AP =12AB AC +（）111222PB PA AB AB AC AB AB AC =+=-++=-（）P CB PA PB λ=+P B CB PA PB λ=+CB PB PA λ-=CP PA λ=,CP PA ,CP PA P C P A ∴，、、P AC B ABC ∆(),0,AB AC OP OA AB AC λλ⎛⎫ ⎪=++∈+∞ ⎪⎝⎭ABC ∆0=-=++AC AC CA BC AB14.在中,,若,则的值为_________.【答案】【解析】由题可得,如图,则,所以,故填.15.【2018届江西师大附属中学高三10月月考】平行四边形中，为的中点，若，则__________．【答案】【解析】由图可知，，所以))所以，故，即，即得ABC ∆2BD DC =12AD AB AC λλ=+12λλ34-32AD AB BD AB BC =+=+()32AB AC AB =+-1322AB AC =-+1234λλ=-34-ABCD M BC AB AM DB λμ=+λμ-=13AB DC =12AB AM MB AM CB =+=+1(2AM DB DC =+-1(2AM DB AB =+-1122AM DB AB =+-3122AB AM DB =+2133AB AM DB =+2133λμ==，13λμ-=16. 给出下列命题：①的充要条件是且； ②若向量与同向，且，则； ③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；④若向量与向量平行，则向量与的方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑥任一向量与它的相反向量不相等．其中真命题的序号是________．【答案】⑤【解析】①当与是相反向量时，满足且，但≠，故①假； ②向量不能比较大小，故②假；③与任意向量平行，故③假；④当与中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故④假；⑤由相等向量定义知，⑤真；⑥的相反向量仍是，故⑥假．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题10分）如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，将用表示.【答案】 a b ＝||a b |＝|a b //a b ||ab |>|a b >a b a b a b ||a b |＝|a b //a b 0a b 00ABCD E DC F BC EF ,AB AD 1223AB AD18.（本小题12分）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若＝，＝＋λ，求λ的值. 【答案】【解析】∵＝＋，＝＋，∴＝＋＋＋.又∵＝，∴＝＋＋＝＋＋ (－) ＝＋. ∴＝＋，即λ＝. 19.（本小题12分）如图所示，已知，点在线段上，且，设，求.【答案】【解析】依题意可知,且,故 ,. AD 2DB CD 13CA CB 23CD CA AD CD CB BD 2CD CA CB AD BD AD 2DB 2CD CA CB 13AB CA CB 13CB CA 23CA 43CB CD 13CA 23CB 231,3,0OA OB OA OB ===C AB 30AOC ∠=︒(),OC mOA nOB m n R =+∈m n -12OC AB ⊥13,22AC BC ==13OC OA AC OA AB =+=+()131444OA OB OA OA OB =+-=+12m n -=20.（本小题12分）中，点为边的中点，点为边的中点，交于点，若，求.【答案】21.（本小题12分）在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，将用表示.【答案】【解析】，因为是的中点,,所以， == ，＝.22.（本小题12分）已知D 为△AOB 所在平面内一点，＝2，点C 为B 关于A 的对称点，DC 和OAABC ∆E AB F AC BF CE G AG x AE y AF =+x y +43GF EABCD AC BD O E ，OD AE CD F AC =a BD =b AF ,a b 2133a b +,AC a BD b ==11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+E OD ||1||3DE EB ∴=13DF AB =()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1166AC BD -1166a b -11112266AF AD DF a b a b =+=++-2133a b +OD DB交于点E ，设＝，＝b.（Ⅰ）用和b 表示向量、；（Ⅱ）若＝λ，求实数λ的值．【答案】(1) =2－b ， =2－b;(2) . 【解析】试题分析：(1) 点C 为B 关于A 的对称点即A 是BC 的中点，又＝，结合平行四边形法则，即可用和b 表示向量、;(2)由可得对应系数成比例，解得实数λ的值. 试题解析:(1)由题意，A 是BC 的中点，且＝，由平行四边形法则，＋＝2.∴＝2－＝2－b ，＝－＝(2－b)－b ＝2－ b. (2)又∵＝－＝(2－b)－λ＝(2－λ) －b ，＝2－b ， ∴＝ OA a OB a OC DC OE OA OC a DC a 5345OD 23OB a OC DC //EC DC OD 23OB OB OC OA OC OA OB a DC OC OD a 23a 53//EC DC EC OC OE a a a DC a 5322λ-153。