第一章第7节无穷小的比较

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七节无穷小的比较-精品

lim（１＋o()） 1，
因此~．
例2 因为当 x0时 , six~ nx , ta x~ n x ,
arx c~x s,i1 n co x~ s 1x 2. 当 x 0 时有 2
sixn xo (x ), taxn xo(x), arx cs x io (n x ),1coxs1x2o(x2).
解在x0处没有,定义
且limsin1不存.在 x0 x
y sin 1 x
x0为第二类间. 断点
这种情况称为的振荡断间点.
注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 在此例中, 令f(1)2, 则f(x)2 x, 0x1,
1x, x1,
在x1处的连.续
跳跃间断点如果 f(x)在点 x0处,左右极限都
存在 ,但f(x0)f(x0),则称x0为点函f(数 x)的
taxnsinx为x的三阶无 . 穷小
定理 1 与是等价无穷小必的要的条充件分为o().
证必要性设~，
lim

lim
1

0，

因此 o ( ) ，即 o ( ) ．
充分性设 o()．
lim limo()
f (x0)
那么就称函 y 数f (x)在点x0连续。
""定义 :
0,0,使x当 x0时 , 恒f有 (x)f(x0).
例1 试证函 f(x数 )xsin1x, x0, 在x0 0, x0,
处连. 续
证 limxsin10,
x0
x
又f(0)0, lim f(x)f(0), x 0

无穷小比较

tanu ( x) u ( x) ;
1− cosu ( x)
u x
arcsinu ( x) u ( x) ;
(2)指数函数 (3)对数函数 (4)幂函数
1 2 u ( x) ; 2
a ( ) −1 u ( x) ln a ;
u x
e ( ) −1 u ( x) ;
ln 1+ u ( x) u ( x) ;
0
时的）
同阶无穷小。特别地当 c =1 时，称它们为等价无穷小记成等价无穷小, 同阶无穷小。等价无穷小
α ( x) β ( x) ( x → x0 )
α ( x) lim = c ≠ 0, 则称 α ( x) 是β ( x) k 阶无穷小。进一步若 x→x k 阶无穷小 β ( x)
0
机动
m m
0 m > n ln(1+ x ) x lim n = lim n =1 m = n 解: x→0 ln (1+ x) x→0 x ∞ m < n x ln(x + e ) 例5. 求 lim x→0 arcsin x x x ln(x + e ) ln[1+ (x + e −1)] = lim = 解: lim x→0 arcsin x x→0 x
m
机动目录上页
ln(1+ x ) lim x→+∞ ln(1+ xn )
m
?
x lim n x→+∞ x
m
下页
返回
结束
(2) 计算极限时使用等价无穷小替换是在乘除关系时，加减时不能直接用。例解:
sin x − x lim x→0 x3

第七节无穷小比较

lim
x0
2
x
1 2
x
x
2
(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 ( x) 极限存在或有
界, 则例如,
lim ( x) lim ( x)
lim arcsin xsin 1 lim xsin 1 0
x0
x x0
x
例2. 求
tan x sin x
lim
x0
x3
.
解: 原式
x 1 x2
～
证:
an bn (a b) (an1 an2b bn1 )
～
定理1. ～证: ～
o( )
lim 1
lim(
1)
0,
即
lim
0
o( ), 即 o( )
例如, x 0 时, x 0 时,
～ tan x～x , 故
tan x x o( x)
lim x0
2 x3
原式
lim
x0
x
x3
x
定理告诉我们: 在计算只含有乘、除法的极限时, 无穷小量可以用其等价无穷小量替代.
1
例3. 求 lim (1 x2 )3 1. x0 cos x 1
解:
将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x0时
sin x ~ x
arcsinx ~ x
tan x ~ x
x0
x
解
m 1 ax n 1 bx lim
x0
x
lim (m 1 ax 1) (n 1 bx 1)
x0
x
lim m 1 ax 1 lim n 1 bx 1
x0
x
x0xBiblioteka lim1 ax m lim

高等数学(上)第1章第7节[14页]

(3) 因式代替规则: 若 ~ , 且 (x) 极限存在或有界, 则
lim(x) lim (x)
例如, lim arcsin x sin 1 lim x sin 1 0
x0
x x0
x
课外作业P.37： 1;2;3;4
游晓黔制作 2018 年8月
重游庆晓黔大制作游学晓黔出版社
重庆邮电大学理学院游晓黔制作游晓黔制作重庆大学出版社
设对同一变化过程 , , 为无穷小 , 由等价
无穷小的性质, 可得简化某些极限运算的下述规则.
(1) 和差取大规则: 若 = o() , 则 ~
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且与不等价,
则 ~ , 且 lim lim .
因此，两个无穷小之比的极限，有各种不同的可能结果．在 x 0 中，3x趋于 0 的速度比 x2趋于 0 的速度慢，而与 x 趋于 0 的速度相当．那么，在自变量的同一变化过程中的两个无穷小怎样比较呢？
定义 1.10 设与都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且 0，那么
如果lim 0，则称是比高阶的无穷小，记作 o() .
1.7 无穷小的比较
在 1.5 节中知道，两个无穷小的和、差、积仍然是无穷小．但是，两
个无穷小的商却会出现不同的情况，例如，当 x 0 时，3x，x2，sin3x都
是无穷小，而
lim
x0
x2 3x
0，lim x0
3x x2
， lim x0
3x sin 3x
1．
游晓黔制作2019年8月

高等数学《无穷小比较》课件

说明:
无穷小的性质,
(1) 和差取大规则:
由等价
可得简化某些极限运算的下述规则.
若 = o() ,
(2) 和差代替规则:
例如,
例如,
(见下页例3)
(3) 因式代替规则:
界, 则
例如,
例3. 求
解:
原式
例4. 求
解:
例5. 证明: 当
时,
证:
利用和差代替与取大规则
说明
内容小结
记作
例如 , 当
～
时
～
～
又如，
故
时
是关于 x 的二阶无穷小,
～
且
例1. 证明: 当
时,
～
证:
～
例2. 证明:
证:
因此
即有等价关系:
说明: 上述证明过程也给出了等价关系:
～
～
定理1.
证:
即
即
例如,
～
～
故
定理2 . 设
且
存在 , 则
证:
例如,
设对同一变化过程 ,
, 为无穷小 ,
第一章
都是无穷小,
第七节
引例 .
但
可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .
无穷小的比较定义.若源自则称是比高阶的无穷小,
若
若
若
若
或
设
是自变量同一变化过程中的无穷小,
记作
则称是比低阶的无穷小;
则称是的同阶无穷小;
则称是关于的 k 阶无穷小;
则称是的等价无穷小,
常用等价无穷小 :
1. 无穷小的比较
设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且

07第一章第7节无穷小的比较

2 2
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
2
定义:设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0, 就说是比高阶的无穷小 , 记作 o( );
(2) 如果lim , 就说是比低阶的无穷小；
(4) 如果lim 1, 则称与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
3
(3) 如果 lim C (C 0), 就说与是同阶的无穷小;
(5) 如果lim k C (C 0, k 0), 就说是的k阶的
无穷小 .
如： x 3 o( x 2 ) ( x 0); 3
在x 3时，x 2 9和x 3是同阶无穷小；
15
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
16
思考题解答
不能．
例当 x 时
1 sin x 都是无穷小量 f ( x ) , g( x ) x x g( x ) lim sin x 不存在且不为无穷大但 lim x f ( x ) x
故当 x 时 f x ) 和 g( x ) 不能比较.
3 6 2 3 6 2
12
例8 xlim( x 7 x 2 x )
5 5 4
7 2 lim x(5 1 5 1) x x x
t
1 7 t 2t 1 lim t 0 0 t 1 5 (7t 2t ) 7 lim 5 t 0 0 t 5
故当x 0时,4 x tan 3 x为x的四阶无穷小 .
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x

无穷小量的比较

错解当x 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
x x 原式 lim 3 0. x 0 (2 x )
解
当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
tan x sin x 例1. 求 lim . 3 x 0 x
解: 原式
xx 原式 lim 3 x 0 x
lim
2 x 1 x 2 x 0
x3
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tan2 2 x 例３求 lim . x 0 1 cos x
1 2 解当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 ( 2 x )2 原式 lim 8. x 0 1 x2 2
2 2
定义:设, 是同一过程中的两个无穷小, 且 0.
(1) 如果 lim 0，就说是比高阶的无穷小, 记作 o( )；
( ２ ) 如果 lim ，就说是比低阶的无穷小． ( 3) 如果 lim C 0, 就说与是同阶的无穷小 ; 特殊地，如果 lim 1, 则称与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
o()，即 o()．
o( ) o( ) lim （１＋） 1， lim lim ~ ．目录上一页下一页退出
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式． 1 2 例如, 当x 0时, sin x ~ x , 1 cos x ~ x . 2 sin x x o( x ), 1 y x2

7无穷小量的比较

例1
x → 0 时的几个无穷小量的比较：
2
x (1) lim x→0 x 1 − cos x (3) lim x →0 sin 2 x
1 x sin x (5) lim x →0 x
( 2)
sin x + 2 x lim x →0 x
(4)
sin x lim x →0 x
1 − cos x (6) lim 2 x→0 x
备用
1 − cos(1 − cos 2 x) 求 lim . 4 x →0 x
x2 由 1 − cos x ~ ( x → 0), 得 2
等价无穷小替代
解
1 − cos(1 − cos 2 x) (1 − cos 2 x) 2 lim = lim 4 x →0 x →0 x 2 x4
(2 x) 2 = lim x →0 2x4
定理2. 定理证:
～ ~
β = α + o(α) β lim = 1 α β β −α lim( −1) = 0, 即 lim =0 α α
β −α = o(α) , 即 β = α + o(α)
例如, 例如 x → 0 时 ,
~
tan x~ x , 故
x →0 时 ,
tan x = x + o(x)
= 1−1 = 0 .
例12
当 x → 0 时,
3 2
3
5 x 2 − 5 x 3 是 x 的几阶无穷小量?
2 3
解
5x − 5x = x
3
3
5 − 5x ,
f (x) lim k = C x
由于
lim
x →0
x
2 3

1-7无穷小的比较

意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．
例如, 当x 0时, sin x ~ x ,
sin x x o( x ), 1 2 1 cos x x o( x 2 ). 2
常用等价无穷小: 当x 0时,
1 2 1 cos x ~ x . 2
y 1 2 x 2
y 1 cos x
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1 x ) 1 2 x ~ e 1, 1 cos x ~ x , (1 x ) a 1 ~ ax (a 0) 2
x
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
证明：（必要性）设 ~ ， lim lim 1 0， o()，即 o()．（充分性）设 o()．
o( ) o( ) lim （１＋） 1， lim lim ~ ．
ln 1 ( x 1) ln x x 1 （2）lim lim ln[1 ( x 1)] 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1)
1 ( x 1) sin x 1 lim sin 1 （3）lim 不存在. x 1 x 1 x 1 x 1
lim( ) 证明： lim lim lim lim lim .
tan 2 x 例4 求 lim x 0 sin 5 x
解： x 0 时， tan 2 x ~ 2 x,
sin 5 x ~ 5 x .
tan 2 x 2x 2 故 lim . lim x 0 sin 5 x 5 x 0 5 x

第一章第七节等价无穷小的比较课件ppt课件

注可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。
9/13
例5 解
(2 x ) 原式 l i m x 0 1 x2 2
1 2 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
8/13
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ , 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 证毕
1 cos x ~ 1 x2 2

x 1 lim 2 x 0 x lim( 1 cos x )
x 0
10/13
例7
错解当x 0时, tan x ~ x, xx 原式 lim 0. 3 x 0 (2 x )
x
当 x 0 时， ln( 1 x ) ~ x， e 1 ~ x.
x
4/13
常用等价无穷小:
当 x 0时，
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 x ) ~ x，
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
tan x sin x为x的三阶无穷小 . 证毕
6/13
定理1 与是等价无穷小 o( ) (称是的主要部分)．证 ~ lim 1 1 o(1) o( )．证毕

高等数学第七节无穷小的比较

第七节无穷小的比较,,,sin ,002都趋于时当x x x x →.)(都是无穷小.但速度各不相同1000010009900102.,.,.sin ,.====x x x x 则如果取.变化过程中的无穷小是在同一自变量的相同和定义βα,,lim .)的高阶无穷小是称αβαβ01=.)(αβo =记为)(快比αβ0→,,lim .)的低阶无穷小是称αβαβ∞=2)(慢比αβ0→,,lim .)是同阶无穷小与称αβαβ03≠=c .)(αβO =记为,,lim .)阶无穷小的是称k c αββ04≠=-56P.lim lim ,~,~αβαβββαα''=''则设定理.用等价无穷小来代换分子及分母中的因子可时即求无穷小之比的极限,αβlim .证ααβαββ⋅'⋅''⋅'⋅=lim αααβββ'⋅''⋅'=lim lim lim .lim αβ''=:我们可以证明,时当0→x ,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,,lim .)是等价无穷小与称αβαβ15=.~βα记为.,为重要等价无穷小在应用上最以上各种比较中xx x tan lim.)02→,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=→x x x x cos sin lim 10xx x x x cos lim sin lim 100→→⋅=,1=.~tan x x ⇒202113x x x cos lim ).-→2202122x x x sinlim →=220x x x x x ⋅⋅=→sin sin lim ,1=.~cos 2211x x -⇒,sin lim )..110=→x xx 证.~sin x x ⇒,~sin .)x x 1,~tan .)x x 2,~cos .)22113x x -,~arcsin .)x x 4.~arctan .)x x 5,arctan .).x =α设证5,tan x =α则αααtan lim arctan lim 00→→=x x x ,1=.~arcsin x x 类似地可证.)4.~arctan x x ⇒:请熟记时有当0→x x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~)ln(~x +1,~1-xe ,~)(x x αα11-+.~cos 2211x x -.~211x x -+特例31xxx x sin tan lim.-→例xx x x x cos )cos (sin lim31-=→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~sin xx x x x cos lim 3202⋅=→x x cos lim 210→=.21=xx x 21220cos )(arcsin lim.-→例⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-212x x x x ~cos ,~arcsin 22220)(limx x x →=.21=xx ee xx x sin lim.sin --→03例()x x eexx xx sin limsin sin --=-→1xx e exx x xx sin limlim sin sin --⋅=-→→10()0→-=x x y sin y e yy 110-⋅=→lim()yey~1-.1=:小结.,,,,等价无穷小阶无穷小同阶无穷小低阶无穷小高阶无穷小k :.基本概念1:.熟记2x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~时有当0→x )ln(~x +1,~1-xe .~cos 2211x x -,~)(x x αα11-+.~211x x -+特例.lim lim ,~,~.αβαβββαα''=''则设定理3分子及分母中的因子可限时求无穷小之乘除法的极,.用等价无穷小来代换)!(换加减号隔开的项不能代:.经验公式4,)(lim 00=→x f x x 设.)()(lim c x g x f x x =→0().)(lim )(cx g x x e x f =+→10则#().)(lim )()(lim )(x g x f x g x x x x ex f ⋅→→=+01。

1.7 无穷小的比较

原式 = lim ( x + 1)x = lim( x + 1) = 1.
x→0 x
x→0
注意不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的乘积因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.
tan x − sin x
例５求 lim
.
x→0 sin3 2 x
错解当x → 0时, tan x ~ x, sin x ~ x.
+
1 2
x
+
o( x2 ) x
=Leabharlann 5.x→03 + o( x)
3
x
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2、等价无穷小的代换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
作业习题七:
三、四
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x x ~ ln(1 + x) ~ e x − 1 1 − cos x ~ 1 x2 ,
2 n 1 + x − 1 ~ 1 x , (1 + x)a − 1 ~ ax (a ≠ 0)
n
二、等价无穷小代换
定理２(等价无穷小代换定理)
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能．例当 x → +∞ 时
f ( x) = 1 , g( x) = sin x 都是无穷小量
x
x
但 lim g( x) = lim sin x 不存在且不为无穷大 x→+∞ f ( x) x→+∞

第七节无穷小的比较精选全文完整版

解
lim tan x0
x sin x x3
tan lim( x0 x
x 1 cos x x2 )
1, 2
tan x sin x为x的三阶无穷小.
常用等价无穷小: 当x 0时,
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x, arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x, 1 cos x ~ 1 x2 .
3、lim sin x sin x ；
x0
x
4、lim tan x tan a ； xa x a
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ) .
x 2n1 sin x cos(a bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x1
lim f ( x) f (1) .
x1
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
,m n
4、；
5、x ； 6、a ； n
7、3；
81、 , 2. 2
1 二、1、；
2、e ；
2
3、； 4、sec2 a .
x0
1 x
不存在.
ห้องสมุดไป่ตู้不可比.
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地如果lim 1,则称与是等价的无穷小;

无穷小比较.ppt

解 tan5x 5x o( x), sin3x 3x o( x),
1 cos x 1 x2 o( x2 ). 2
分子, 分母同除以x
5x o( x) 1 x2 o( x2 )
原式 lim
2
x0
3x o( x)
o( x) 1 o( x 2 )
5 x lim x 2
x x3
sin
x
.
解: 原式

lim
x0
x

1 2
x
2
x3
原式

lim
x0
x x3
x
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常用等价无穷小当x 0时
sin x ~ x, arcsin x ~ x, tan x ~ x,
arctan x ~ x, ln(1 x) ~ x, e x 1 ~ x,
例如,
lim
x0
sin x3
x 3x
lim x x0 3x
1 3
(2) 和差代替规则: 若 ~ , ~ 且与不等价,
则

~

,
且
lim

lim

,

但 ~ 时此结论未必成立.
例如,
lim tan 2x sin x0 1 x 1
1 x 1 ~ 1 x, n1 x 1 ~ 1 x,
2
n
1 cos x ~ 1 x2 . 2
并有从而
无穷小的比较
~ o( )
例求 lim tan5x cos x 1

§1.7 无穷小的比较

arcsin x ~ x ,
arctan x ~ x , ln(1 + x ) ~ x ,
1 1 + x − 1 ~ x, 2 1 2 1 − cos x ~ x . 2
n
e − 1 ~ x,
x
1 1 + x − 1 ~ x, n
5
无穷小的比较
lim
1 − cos x 1 = 2 x →0 2 x
21
极限存在准则两个重要极限
思考题
1. 求极限 lim ( 3 + 9 )
x x → +∞ 1 x x
x
1 1 2. 求极限 lim cos + sin x →∞ x x
3. 2002年考研数学二 8分年考研数学二, 分年考研数学二
xn ( 3 − xn )( n = 1,2,L), 证明数列{ xn }的极限存在 , 并求此极限 . 答案 : 3 2
§1.7 无穷小的比较
无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限小结思考题作业
函数与极限第一章函数与极限
1
无穷小的比较
一、无穷小的比较
时如,当x → 0时, x ,
观察各极限
x2 = 0, lim x→0 3 x
sin x lim = 1, x →0 x
2
1 x , sin x , x sin x
10
β β′ β′ 若 ~α′, β~β′, 且lim 存 , 则lim =lim . α 在 α α′ α′
例
求lim tan 2x . x→0 sin 5x 解当x→0时, tan 2x~2x, sin 5x~5x, 所以 → 时 , , lim tan 2x = lim 2x = 2 . x→0 sin 5x x→0 5x 5

高数第一册第一章7

例5.
x 解：原式 = lim 3 x→ x + 3x 0
1 = lim 2 x→ x + 3 0
1 = 3
例6. 解:
小结
1. 无穷小的比较对同一自变量的变化过程为无穷小, 设 α , β 对同一自变量的变化过程为无穷小且 α ≠ 0
β 是 α 的高阶无穷小高阶无穷小 β 是 α 的低阶无穷小低阶无穷小 β 是 α 的同阶无穷小同阶无穷小 β 是 α 的等价无穷小等价无穷小 β 是 α 的 k 阶无穷小
tan2x 2x 2 例3. lim = = lim x→ sin5x 0 x→ 5x 0 5
( tan2x ~ 2x, sin5x ~ 5x )
例4. 解: 原式
x⋅ 1 x2 = lim 23 x→ 0 x
x− x 原 = lim 3 式 x→ 0 x
应用：求两个无穷小之商的极限时，分子与分母都可应用：求两个无穷小之商的极限时，乘法项可用，用等价无穷小来代替，但注意乘法项可用用等价无穷小来代替，但注意乘法项可用，加减法项不可用！不可用！
lim
x −9 lim ， = 6, 故x →3时 x2 −9与x−3是阶穷同无小 x→ x −3 3 x 1−cos x 2sin2 2 1 lim = lim x 2 = 故 x → 0 时, 2 x→ 0 0 x→ 4 ) → (2 x 2
1 n n→ 1 ∞ 2 n 2
1 , = ∞ 故n→∞ ，是 n 低的穷时 n 比1 阶无小
x→ xα ( 0
x2 x⋅ ta x(1−co x) n s x3−α = lim = lim α 2 = lim ， α x→ 0 0 x→ x ⋅ 2 x ⋅2 x→ 0 4

第1章极限第7节--无穷小量阶的比较

所以
x x0
lim
f ( x) g ( x) g ( x) lim[1 ] 1 1 0 ． x x0 f ( x) f ( x)
即 f ( x) g ( x) o( f ( x)) ( x x0 ) ．定理 17 设函数 f ( x) 与 g ( x ) 在 x x0 时是等价无穷小量，函数 h( x) 在 x0 的某去心邻域
且 lim
x x0
h( x ) f ( x) 1 ，所以 A ， lim x x 0 g ( x) f ( x)
x x0
lim
h( x) h( x) f ( x) lim A 1 A ． x x 0 f ( x) g ( x) g ( x)
定理 17 中的结果通常称为极限运算中的等价无穷小代换法．简单地说就是：在极限运算中，乘法因子和除法因子可以用它们在同一个极限过程下的等价无穷小代替．前面我们已经得到了当 x 0 时，有 sin x ~ x ，1 cos x ~
a
lim
ea ln(1 x ) 1 a ln(1 x) = lim =a ． x 0 x 0 x x
x 0 时的 2 阶无穷小量．
例 1
证明：如果在自变量 x 的某个趋向下， f ( x) 与 g ( x ) 是等价无穷小量，那么
f ( x) g ( x) 是 f ( x) 的高阶无穷小量．
证
不妨假设自变量的趋向是 x x0 ．
根据题设可知
x x0
lim
g ( x) 1， f ( x)
仿．lim
x0
1 cos x 0 说明当 x 0 时， 1 cos x 的值要远远小于 ln(1 x) 的值，前者趋向于 0 ln(1 x)

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其他公式类似
如x 0 asix n1~sinxlna x0, 1coxs3~x2 6
x 0时，
513x32x21~15(3x32x2)
7
二、等价无穷小替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 li存 m ,则 l在 i m li. m
证 lim lim()
lim lim lim lim .
2、lxim0 a(rsicnsxi)nxmn =________.
3、limln(12x)=_________.
x0
x
4、lim x0
1 xsinx 1=________. x2 arctanx
5、lim2n n
x sin2n
=________.
1
6 、 li(1 m a)n x 1 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x 0 x
8
例3 求lxim 01tacn2o2xsx.
解当 x 0 时 ,1 cx o ~ 1 2 s x 2 , ta 2 x ~ n 2 x .
原式 lxim0 (122xx)22 8.
注意不能滥用等价无穷小代换. 对于代数和中各无穷小不能分别替换.
9
例4 求lx im 0tasxn i3 n2sxin x. 错解当 x 0 时 ,tx a ~ x ,n sx i ~ x n .
18
7、当 x 0 时， a x 3 a(a 0)
对于 x 是_______阶无穷小 .
8 、当 x 0 时，无穷小 1 cos x 与 mx n
m _______, n _______ .
二、求下列各极限：

1
、
lim
x 0
tan
x sin
3
sin x
x；
2 、 lim e e ；
原式lxim 0(x2x)x3 0.
解当 x0时 , si2n x~2x,
原t 式x a lxims 0 (n 122x xi x )33t n 1x a 16( 1 . c n x ) o ~ 12 xs 3,
10
例5 lxi m 0(1ln1c(oxxs22))s(2xinx13)
lim
15
思考题
任何两个无穷小量都可以比较吗？
16
思考题解答
不能．例当 x 时
f (x) 1 , g(x) sinx 都是无穷小量
x
x
但 lim g(x) limsinx 不存在且不为无穷大 x f ( x) x
故当 x 时f(x)和 g(x)不能比较 .
17
一、填空题：
练习题
1、limtan3x=__________. x0 sin2x
t l i0m 0 15(7tt2t5)
7 5
.
13
三、小结
1.无穷小的比较:
反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶.
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
14
作业
习1题 7 P59
2, 3, 4(2,3,4).
2、确定 a, b 的值,使得lim f ( x) f (1)， x 1 lim f ( x) f (1) . x 1
20
练习题答案
一、1、3 ； 2
0,m n 2、1, m n ；3、2；
, m n
4、；
5、x ； 6、a ； n
7、3；
8、1 , 2. 2
二、1、1 ； 2、e ； 2
3 、 lim sin x sin x ；
x 0
x
4 、 lim tan x tan a ； xa x a
等价，则
19
三、证明：若 , 是无穷小，则 ~ 0( ).
x 2n1
sin
x
cos(a
bx)
四、设 f(x)=lim n
2 x2n 1
求：1、 f ( x) 的表达式 .
x0
x4 2
x
ln
2
x2 x3
ln 2 2
.
例6
lim(
x1
x1)(3 x1)(n x1) (x1)n1
令x 1tlt i0m ( 1t1)3(1ttn 11) (n1t1)
lim
t0
t 2
t 3
nt
tn1
1 n!
.
11
例7 试确定a常和b数使下式成立
lim (31x6a2xb)0
x
解由 lim (31x6ax 2b)lim x2(3x61ab x 2)
3、； 4、sec 2 a .
21
第一章第7节无穷小的比较
常用等价无穷小当 x0时 ,
sin x ~ x,
arcsin x ~ x,
tan x ~ x,
arctan x ~ x,
ln(1 x) ~ x, ex 1 ~ x,
ax1~xlna,
1co
sx
~
x2 2
,
(1x)1~x, 1x1~2x.
6
一般形式
如 l1 n f( ( x )~ )f( x )(f( x ) 0 )
x
x
得li(m 3x 61ab 2 x )0 x
alim (3 x61bx 2)1 x
blim (31x6ax2)lim(31x6 x2)
x
x
l i m
1
0.
x 3(1x6)2x231x6x4
12
例8 lim (5 x57x42x) x
xl im x(517 xx251)
t1xt li0m 0517tt 2t51