第八章参数估计习题课
参数估计练习题
参数估计练习题一、选择题1. 在统计学中，参数估计通常指的是：A. 估计总体参数的值B. 估计样本的均值C. 估计样本的方差D. 估计样本的中位数2. 下列哪项不是点估计的特点？A. 唯一性B. 精确性C. 随机性D. 简洁性3. 区间估计与点估计的主要区别在于：A. 区间估计提供了一个范围B. 点估计提供了一个范围C. 点估计比区间估计更精确D. 区间估计比点估计更精确4. 以下哪个分布的参数估计通常使用最大似然估计法？A. 正态分布B. 均匀分布C. 二项分布D. 泊松分布5. 以下哪个统计量是正态分布的参数估计？A. 方差B. 均值C. 标准差D. 所有上述选项二、填空题6. 点估计的误差可以通过________来衡量。
7. 区间估计的置信水平为95%，表示我们有95%的把握认为总体参数位于________内。
8. 样本均值的抽样分布服从________分布，当样本量足够大时。
9. 样本方差的抽样分布服从________分布，当样本量足够大时。
10. 正态分布的参数估计中，均值μ的估计量是________。
三、简答题11. 简述点估计与区间估计的区别。
12. 描述最大似然估计法的基本原理。
13. 解释为什么在样本量较大时，样本均值的分布会接近正态分布。
14. 说明在进行区间估计时，置信水平和置信区间宽度之间的关系。
15. 描述如何使用样本数据来估计总体比例。
四、计算题16. 假设有一个样本数据集{2, 4, 6, 8, 10}，请计算样本均值和样本方差。
17. 假设你有一个正态分布的样本，样本均值为50，样本标准差为10，样本量为100。
请计算总体均值的95%置信区间。
18. 假设你有一个二项分布的样本，样本量为200，样本比例为0.4。
请使用最大似然估计法估计总体比例。
19. 假设你有一个泊松分布的样本，样本量为100，总观察值为200。
请估计泊松分布的参数λ。
20. 假设你有一个均匀分布的样本，样本最小值为1，样本最大值为10。
参数估计习题解答
参数估计习题与习题解答6.11．从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据(单位：h ）:1 050, 1 100， 1 130, 1 040， 1 250， 1 300， 1 200， 1 080试对这批元件的平均寿命以及分布的标准差给出矩估计。
解：样本均值 75.11438108011301101050=++++=x样本标准差 ∑=-=812)(71i i x x s []22)75.11431080()75.11431050(71-++-=0562.96= 因此,元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143。
75和96.05622． 设总体),0(~θU X ，现从该总体中抽取容量为10的样本，样本值为0。
5,1.3,0。
6，1.7，2.2，1.2，0。
8,1。
5，2.0,1.6试对参数θ给出矩估计.解：由于E(X ）=2θ,即θ=2E(X ),而样本均值106.13.15.0+++=x =1.34，故θ的矩估计为68.22ˆ==x θ3． 设总体分布列如下,n x x ,1是样本，试求未知参数的矩估计.10,,3,2,)1()1()()2(,1,,2,1,0,1)()1(22<<=--==-===-θθθ k k k X P N N k Nk X P k ；（正整数）是未知参数 解：（1) 总体均值E （X )=21110-=-+++N N N ，解之可得N =2E （X )+1故N 的矩估计量12ˆ+=x N，其中x 为样本均值，若x 2不是整数，可取大于x 2的最小整数代替.2x（2) 总体均值E （X )==---+∞=∑222)1()1(k k k k θθ∑+∞=---222)1)(1(k k k k θθ，由于3222)1)(1(θθ=--∑+∞=-k k k k ,故有E(X ）θθθ2232=⨯=,即θ)(2X E =,从而参数的 θ 矩估计为.2ˆx=θ 4．设总体密度函数如下，n x x ,,1 是样本,试求未知参数的矩估计.0,,1),;()4(;0,10,);()3(;0,10,)1();()2(;0,0),(2);()1(12>>=><<=><<+=><<-=---θμθμθθθθθθθθθθθθθμθθx ex p x x x p x x x p x x x p x解：（1) 总体均值E （X ）==-⎰dx x x )(22θθθθθθθ31)(222=-⎰dx x x ，即即)(3X E =θ,故参数θ的矩估计为.3ˆx =θ(2)总体均值E(X ）=dx x x ⎰+1)1(θθ=21++θθ,所以1E(X)E(X)21--=θ，从而参数θ的矩估计.121ˆ--=x xθ （3)由E （X )=dx x x 11-⎰θθ=1+θθ可得2)(1)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X E X E θ，由此,参数θ的矩估计.1ˆ2⎪⎭⎫⎝⎛-=x x θ(4)先计算总体均值与方差E （X ）=dx ex x θμμθ--∞+⎰1=dt e t tθθ-∞+⎰01+dt e tθμθ-∞+⎰1=μθ+)(2X E =dx ex x θμμθ--∞+⎰12=dt e t tθθμ-∞+⎰+1)(02=dt e ttθθ-∞+⎰12+dt e t tθθμ-∞+⎰012+dt e tθθμ-∞+⎰12=.2222μμθθ++V a r(X )=22))(()(X E X E -=2θ由此可以推出)()(,)(X Var X E X Var -==μθ,从而参数μθ,的矩估计为.ˆ,ˆs x s -==μθ 5．设总体为)1,(μN ，先对该总体观测n 次,发现有k 次观测为正，使用频率替换方法求μ的矩估计。
参数估计习题及答案
参数估计习题及答案参数估计在统计学中是一个重要的概念，它涉及到根据样本数据来估计总体参数的过程。
下面，我将提供一些参数估计的习题以及相应的答案，以帮助学生更好地理解这一概念。
习题一：假设有一个班级的学生数学成绩，我们从这个班级中随机抽取了10名学生的成绩，得到样本均值 \(\bar{x} = 85\)，样本标准差 \(s = 10\)。
请估计总体均值 \(\mu\)。
答案：根据样本均值 \(\bar{x}\) 来估计总体均值 \(\mu\)，我们可以使用以下公式：\[ \hat{\mu} = \bar{x} \]因此，\(\hat{\mu} = 85\)。
习题二：在习题一中，如果我们想要估计总体方差 \(\sigma^2\)，我们应该如何操作？答案：总体方差 \(\sigma^2\) 通常使用样本方差 \(s^2\) 来估计，样本方差的计算公式为：\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]其中 \(n\) 是样本大小，\(x_i\) 是第 \(i\) 个观测值。
在这个例子中，\(n = 10\)，\(\bar{x} = 85\)，\(s = 10\)。
因此，我们可以使用以下公式来估计总体方差：\[ \hat{\sigma}^2 = s^2 = \frac{1}{10-1} \times 10^2 = 100 \]习题三：一个工厂生产的产品长度服从正态分布，样本均值为 \(\bar{x} =50\) 厘米，样本标准差为 \(s = 2\) 厘米。
如果我们知道总体均值\(\mu\) 为 \(50\) 厘米，我们如何估计总体标准差 \(\sigma\)？答案：根据已知的样本均值 \(\bar{x}\) 和样本标准差 \(s\)，我们可以使用以下公式来估计总体标准差 \(\sigma\)：\[ \hat{\sigma} = s \]因此，\(\hat{\sigma} = 2\) 厘米。
应用统计学：参数估计习题及答案
简答题1、矩估计的推断思路如何？有何优劣？2、极大似然估计的推断思路如何？有何优劣？3、什么是抽样误差？抽样误差的大小受哪些因素影响？4、简述点估计和区间估计的区别和特点。
5、确定重复抽样必要样本单位数应考虑哪些因素？计算题1、对于未知参数的泊松分布和正态分布分别使用矩法和极大似然法进行点估计，并考量估计结果符合什么标准2、某学校用不重复随机抽样方法选取100名高中学生，占学生总数的10%，学生平均体重为50公斤，标准差为48.36公斤。
要求在可靠程度为95%（t=1.96）的条件下，推断该校全部高中学生平均体重的范围是多少？3、某县拟对该县20000小麦进行简单随机抽样调查，推断平均亩产量。
根据过去抽样调查经验，平均亩产量的标准差为100公斤，抽样平均误差为40公斤。
现在要求可靠程度为95.45%（t=2）的条件下，这次抽样的亩数应至少为多少？4、某地区对小麦的单位面积产量进行抽样调查，随机抽选25公顷，计算得平均每公顷产量9000公斤，每公顷产量的标准差为1200公斤。
试估计每公顷产量在8520-9480公斤的概率是多少？（P(t=1)=0.6827, P(t=2)=0.9545,P(t=3)=0.9973）5、某厂有甲、乙两车间都生产同种电器产品，为调查该厂电器产品的电流强度情况，按产量等比例类型抽样方法抽取样本，资料如下：试推断：（1）在95.45%（t=2）的概率保证下推断该厂生产的全部该种电器产品的平均电流强度的可能范围（2）以同样条件推断其合格率的可能范围（3）比较两车间产品质量6、采用简单随机重复和不重复抽样的方法在2000件产品中抽查200件，其中合格品190件，要求：（1）计算样本合格品率及其抽样平均误差（2）以95.45%的概率保证程度对该批产品合格品率和合格品数量进行区间估计。
（3）如果极限误差为2.31%，则其概率保证程度是多少？7、某单位按重复抽样方式随机抽取40名职工，对其业务考试成绩进行检查，资料如下：68 89 88 84 86 87 75 73 72 6875 82 99 58 81 54 79 76 95 7671 60 91 65 76 72 76 85 89 9264 57 83 81 78 77 72 61 70 87（1）根据上述资料按成绩分成以下几组：60分以下、60-70分、70-80分、80-90分、90-100分。
参数估计练习题
参数估计练习题参数估计练习题参数估计是统计学中的一个重要概念，它用于根据样本数据来估计总体参数的值。
在实际应用中，参数估计扮演着至关重要的角色，它可以帮助我们了解总体特征，并做出相应的决策。
本文将介绍一些参数估计的练习题，通过解答这些问题来加深对参数估计的理解。
1. 假设我们有一个服从正态分布的总体，我们希望估计其均值。
我们从该总体中抽取了一个样本，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
请问，如何利用这些信息来估计总体均值的值？答：根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
因此，我们可以使用样本均值x̄作为总体均值的估计值。
同时，我们可以计算样本均值的标准误差，即s/√n，来衡量估计的精确程度。
2. 在某个电商平台上，我们想要估计用户对某个产品的满意度。
我们从该平台上随机抽取了100个用户进行调查，他们对该产品的满意度进行了评分，评分范围为1到10。
请问，如何利用这些信息来估计用户对该产品的满意度的平均值？答：我们可以计算样本的平均得分，即样本均值x̄，作为用户对该产品满意度的估计值。
同时，我们可以计算样本均值的标准误差，即样本标准差s/√n，来衡量估计的精确程度。
此外，我们还可以计算样本的置信区间，来估计总体平均得分的范围。
3. 在某个城市的交通调查中，我们想要估计每天通勤时间的均值。
我们从该城市的不同地区随机抽取了100个通勤者，并记录了他们的通勤时间。
请问，如何利用这些信息来估计每天通勤时间的均值？答：我们可以计算样本的平均通勤时间，即样本均值x̄，作为每天通勤时间均值的估计值。
同时，我们可以计算样本均值的标准误差，即样本标准差s/√n，来衡量估计的精确程度。
此外，我们还可以计算样本的置信区间，来估计总体通勤时间均值的范围。
4. 在一项医学研究中，我们想要估计某种药物的治疗效果。
我们从患者中随机抽取了100个人，其中50人接受了药物治疗，另外50人接受了安慰剂。
《参数估计习题》word版
参数估计习题一、填空题1、设总体2(,)X Nμσ，若2σ已知，总体均值μ的置信度为1α-的置信区间为：x x⎛-+⎝，则λ=；2、设由来自正态总体2(,0.9)X N μ的样本容量为9的简单随机样本，得样本均值5x=，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为；3、设12,X X为来自总体2(,)X Nμσ的样本，若1211999CX X+为μ的一个无偏估计，则C=；4、设12,,,nX X X为来自正态总体2(,)Nμσ的样本，,a b为常数，且0a b<<，则随机区间2211()(),n ni ii iX Xb aμμ==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∑∑的长度L的数学期望为；5、设ˆθ是未知参数θ的估计量，若称ˆθ为θ的无偏估计量，则ˆ()Eθ=；6、设12ˆˆ,θθ为总体未知参数θ的两个无偏估计量，若称1ˆθ比2ˆθ更有效，则1ˆ()Dθ1ˆ()Dθ；7、设θ为总体的未知参数，若由样本确定的两个统计量1ˆθ和2ˆθ，且12ˆˆθθ<，对于预先给定的α值（01α<<），满足12ˆˆ{}1Pθθθα<<=-，则称随机区间12ˆˆ(,)θθ为θ的1α-或100(1)%α-置信区间，其中为置信上限，为置信下限，称为置信度；8、设12,,,nX X X为来自正态总体2(,)Nμσ的一个样本，样本均值11niiX Xn==∑是的无偏估计量；9、设12,,,nX X X是取自总体X的一个样本，2()D Xσ=，则2211()1niiS X Xn==--∑为的无偏估计量；10、设12,,,n x x x 是取自总体2(,)XN μσ的一组样本值，则2σ的置信度为(1)α-的置信区间是 。
二、 选择题 1、 设总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，则总体均值μ的置信区间长度l 与置信度1α-的关系是（ ）.1-.1-.1-.A l B l C l D ααα当缩小时，缩短 当缩小时，增大当缩小时，不变 以上说法均错2、 设总体2(,)XN μσ，2σ已知，若样本容量n 和置信度1α-均不变，则对于不同的样本观测值，总体均值μ的置信区间的长度（ ）....A B C D 变长 变短 不变 不能确定3、 设随机变量12,,,n X X X 相互独立且同分布2(,)XN μσ，11ni i X X n ==∑，2211()1ni i S X X n ==--∑，2()i D X σ=，则2S （ ） 2....A B C D σσμ是的有效估计 是的无偏估计是的无偏估计 不能确定4、设ˆθ是未知参数θ的估计量，如果ˆ()E θθ=，则称ˆθ为θ的（ ） ....A B C D 有偏估计量 无偏估计量一致估计量有效估计量5、设总体X 的分布中，未知参数θ的置信度为1α-的置信区间是[]12,T T ，即12()1P T T θα≤≤=-，则下列说法正确的是（ ）1212121212.[,].[,]..[,]A T T t t ,t t B T T C D T T θθααθθθ∈对，的观测值，必有 以的概率落入区间区间以1-的概率包含 的数学期望E()必属于6、α越小，则1α-就越大，θ落在区间12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦内的概率就越大。
第8章参数估计习题解答
2
D. X 12 是 p 的有偏估计量.
ˆ1 = 11. 设 X 1 , X 2 是来自正态总体 N ( µ ,1) 的样本，则对统计量 µ ˆ2 = µ
2 1 X1 + X 2 ， 3 3
1 3 1 1 ˆ 3 = X 1 + X 2 ，以下结论中错误的是( B ). X1 + X 2 ， µ 4 4 2 2
4. 通过矩估计法求出的参数估计量( C A. 是唯一的. C. 不一定唯一 . 5. 若似然函数存在，则下列命题错误的是( A. 最大似然估计可能不唯一. C. 最大似然估计一定存在. ). B. 是无偏估计量. D. 不唯一，但是无偏估计. D ). B. 最大似然估计不一定是无偏估计. D. 似然函数是样本 x1 , x 2 , L , x n 的函数.
16. 设某种元件的寿命 X : N ( µ , σ ) ,其中参数 µ , σ 未知,为估计平均寿命 µ 及方差
2 2
σ 2 ,随机抽取 7 只元件得寿命为(单位:小时):1575,1503,1346,1630,1575,1453,1950.则 µ
的矩估计为
ˆ= µ
1 n ∑ xi = x = 1576 n i =1
6. 设总体 X 服从 [0,
θ ] 上的均匀分布， X 1 , X 2 ,L , X n 为样本，记 X 为样本均值，
).
则下列统计量不是 θ 的矩估计量的是( A
1
A.
θˆ1 =
1 X. 2
ˆ = B. θ 2
12 n (X i − X )2 . ∑ n i =1
ˆ = C. θ 3
3 n 2 Xi . ∑ n i =1
两边取对数
xi ln L( p ) = ∑ ln(Cm ) + ∑ xi ln p + ∑ (m − xi )ln(1 − p ) i =1 i =1 i =1 n n n
贾俊平统计学第7版 第八章例题课后习题
第8章假设检验例题8.1由统计资料得知，1989 年某地新生儿的平均体重为3190克，现从1990年的新生儿中国机抽取100个，测得其平均体重为3210克，问1990年的新生儿与1989年相比，体重有无显著差异?★解:从调查结果看，1990 年新生儿的平均体重为3210克，比1989年新生儿的平均体重3190克增加了20克，但这20克的差异可能源于不同的情况。
_种情况是，1990 年新生儿的体重与1989年相比没有什么差别，20克的差异是由于抽样的随机性造成的;另一种情况是，抽样的随机性不可能造成20克这样大的差异，1990年新生儿的体重与1989年新生儿的体重相比确实有所增加。
上述问题的关键点是，20克的差异说明了什么?这个差异能不能用抽样的随机性来解释?为了回答这个问题，我们可以采取假设的方法。
假设1989年和1990年新生儿的体重没有显著差异，如果用μo表示1989年新生儿的平均体重，μ表示1990年新生儿的平均体重，我们的假设可以表示为μ=μ或μ心=0，现要利用1990年新生儿体重的样本信息检验上述假设是否成立。
如果成立，说明这两年新生儿的体重没有显著差异;如果不成立，说明1990年新生儿的体重有了明显增加。
在这里，问题是以假设的形式提出的，问题的解决方案是检验提出的假设是否成立。
所以假设检验的实质是检验我们关心的参数一1990 年的新生儿总体平均体重是否等于某个我们感兴趣的数值。
例8.2某批发商欲从厂家购进一批灯泡，根据合同规定灯泡的使用寿命平均不能低于1 000小时，已知灯泡燃烧寿命服从正态分布，标准差为200小时。
在总体中随机抽取了100个灯泡，得知样本均值为960小时，批发商是否应该购买这批灯泡?★解:这是一个单侧检验问题。
显然，如果灯泡的燃烧寿命超过了1 000小时，批发商是欢迎的，因为他用已定的价格(灯泡寿命为1 000小时的价格)购进了更高质量的产品。
因此，如果样本均值超过1000小时，他会购进这批灯泡。
《统计学概论》第八章课后练习题答案
《统计学概论》第八章课后练习答案一、思考题1．什么是相关系数它与函数关系有什么不同P237- P2382．什么是正相关、负相关、无线性相关试举例说明。
P238- P2393．相关系数r的意义是什么如何根据相关系数来判定变量之间的相关系数P2454．简述等级相关系数的含义及其作用P2505．配合回归直线方程有什么要求回归方程中参数a、b的经济含义是什么P2566．回归系数b与相关系数r之间有何关系P2587．回归分析与相关分析有什么联系与区别P2548．什么是估计标准误差这个指标有什么作用P261【9．估计标准误差与相关系数的关系如何P258-P26410．解释判定系数的意义和作用。
P261二、单项选择题1．从变量之间相互关系的方向来看，相关关系可以分为（）。
A．正相关和负相关B．直线关系与曲线关系C．单相关和复相关D．完全相关和不完全相关2．相关分析和回归分析相比较，对变量的要求是不同的。
回归分析中要求（）。
A．因变量是随机的，自变量是给定的B．两个变量都是随机的C．两个变量都不是随机的D．以上三个答案都不对3．如果变量x与变量y之间的相关系数为－1，这说明两个变量之间是（）。
'A．低度相关关系B．完全相关关系C．高度相关关系D．完全不相关4．初学打字时练习的次数越多，出现错误的量就越少，这里“练习次数”与“错误量”之间的相关关系为（）。
A．正相关B．高相关C．负相关D．低相关5．假设两变量呈线性关系，且两变量均为顺序变量，那么表现两变量相关关系时应选用（）。
A．简单相关系数r B．等级相关系数r sC．回归系数b D．估计标准误差S yx6．变量之间的相关程度越低，则相关系数的数值（）。
A．越大B．越接近0…C．越接近－1 D．越接近17．下列各组中，两个变量之间的相关程度最高的是（）。
A．商品销售额和商品销售量的相关系数是0．9B．商品销售额和商品利润率的相关系数是0．84C．产量与单位成本之间的相关系数为－0．94D．商品销售价格与销售量的相关系数为－0．918．相关系数r的取值范围是（）。
参数估计习题参考答案精编版
参数估计习题参考答案班级：姓名：学号：得分一、单项选择题：1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是( B )（A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值（C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ）（A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于103、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ）（A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（A ）（A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布（C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布5. 区间估计表明的是一个( B )（A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（A ）A. α越大长度越小B. α越大长度越大C. α越小长度越小D. α与长度没有关系7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ）（A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将（ D ）（A）增加（B）不变（C）减少（D）以上都对9．在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1／3，则样本容量（ C ）（A）增加9倍（B）增加8倍（C）为原来的2.25倍（D）增加2.25倍10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第三册习题课件 第八章第2课时 一元线性回归模型参数的最小二乘估计
100
100
，且
1.059 66
1.059 66
≈ 94,
所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积约为94平方米.
4.5
的残差为−0.15，则表中的值为____.
[解析]由在样本(, )处的残差为−. ,可得ො = . .故. = . × + ,解得
= . .
由题意可知产量的平均值 = × ( + + + ) = . .
因为经验回归直线过点(, )，
所以 = . + . = . × . + . = . .又因为 = (. + + + )，
所以 = . .
8.某公司近5年产品研发年投资额（单位：百万元）与年销售量（单位：千件）的
数据统计表如下：
年投资额
1
2
3
4
5
年销售量
则 = =1
∑
=1
2
2 −
=
13,4−5×3×0,5
12 +22 +32 +42 +52 −5×32
= 0.59
ො = − = 0.5 − 0.59 × 3 = −1.27,，
所以Ƹ = lnො = 0.59 − 1.27，
即ො = e0.59−1,27 ，
故年销售量关于年投资额的非线性经验回归方程为ො = e0.59−1.27 .
故ℎ = × 1.044 × (1% + 1) = 1.054 44 ；
当90 < ≤ 140时，契税为计税价格的1.5%，
徐国祥《统计学》(第2版)配套题库【课后习题】(参数估计)
第8章参数估计1．什么是统计推断？统计推断的两类问题是什么？答：统计推断就是根据样本的信息，对总体的特征作出推断，它包括参数估计和假设检验，其中参数估计可分为点估计和区间估计两大类。
2．什么是点估计？什么是区间估计？两者各有什么优缺点？答：点估计是根据样本数据计算的一个估计值，其优点在于它通过样本资料就能够明确地估计总体参数。
不足之处是，一般点估计值不会等于总体参数的真值，并且无法给出它与真值的误差以及估计可靠性程度。
区间估计是通过样本来估计总体参数可能位于的区间。
优点是指出了未知参数所在区间的上下限，同时指出该区间包含真值的可靠度（置信度），弥补了点估计的不足。
3．评判一个估计量好坏的标准有哪些？答：评判一个估计量的好坏有以下三个标准：（1）无偏性如果样本统计量的期望值等于该统计量所估计的总体参数，则这个估计量叫做无偏估计量。
这是一个好的估计量的一个重要条件。
（2）一致性当样本容量n增大时，如果估计量越来越接近总体参数的真值时，就称这个估计量为一致估计量。
估计量的一致性是从极限意义上讲的，它适用于大样本的情况。
（3）有效性有效性是指估计量的离散程度。
如果两个估计量都是无偏的，其中方差较小的（对给定的样本容量而言）就可认为相对来说是更有效的。
4．确定样本容量大小的因素有哪些？ 答：决定样本容量大小的因素有以下三点： （1）受总体方差σ2数值大小的影响总体方差大，抽样误差大，则应多抽一些样本容量，反之，则可少抽一些。
当然，总体方差为0时，那么只需抽出其中一个就能代表总体。
但实际工作中，我们往往不知道总体方差，因而必须做试验性调查，或以过去的历史资料做参考。
（2）可靠性程度的高低要求可靠性越高，所必需的样本容量就越大。
也就是说，为获得所需精度而指定的概率越大，所需要的样本容量就越大。
（3）允许误差的大小这主要由研究的目的而定。
若要求推断比较精确，允许误差应该低一些，随之抽取的样本容量也要求多一些；反之，若允许误差可以大一些，样本容量也可以少一些。
参数估计练习题
参数估计练习题参数估计在统计学中是一个重要的概念，它涉及到根据样本数据来估计总体参数的过程。
以下是一些参数估计的练习题，可以帮助你更好地理解和掌握这一概念。
# 练习题1：简单随机抽样的均值估计问题描述：假设你有一个班级，班级里有30名学生，他们的数学成绩如下（单位：分）：[72, 85, 65, 90, 78, 88, 74, 82, 92, 68, 81, 76, 84, 70, 95, 80, 73, 86, 79, 75, 83, 91, 77, 87, 66, 71, 89, 93]练习要求：1. 计算这个样本的均值（\(\bar{x}\)）。
2. 假设总体均值未知，使用样本均值估计总体均值。
解答提示：- 均值计算公式为：\(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i\) - 样本均值可作为总体均值的一个估计。
# 练习题2：样本方差的计算与估计问题描述：使用上述班级数学成绩数据，计算样本方差。
练习要求：1. 计算样本方差（\(s^2\)）。
2. 使用样本方差估计总体方差。
解答提示：- 方差计算公式为：\(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\)- 样本方差是总体方差的无偏估计。
# 练习题3：正态分布的参数估计问题描述：假设一个总体服从正态分布，其均值和方差未知。
从该总体中随机抽取一个样本，样本数据如下：[101, 103, 99, 105, 102, 98, 100]练习要求：1. 计算样本均值和样本方差。
2. 使用样本均值和样本方差估计总体均值和总体方差。
解答提示：- 正态分布的参数估计与简单随机抽样类似，但需要注意样本量较小时，样本均值的分布可能不是正态分布。
# 练习题4：置信区间的计算问题描述：假设你已经计算出了一个样本的均值和样本标准差，样本量为36。
练习要求：1. 计算95%置信水平下的总体均值的置信区间。
参数估计习题及答案
参数估计习题及答案参数估计习题及答案在统计学中，参数估计是一种重要的技术，用于根据样本数据估计总体的未知参数。
参数估计的目标是通过样本数据推断总体参数的取值范围，并得到一个接近真实值的估计。
本文将通过几个习题来探讨参数估计的方法和应用。
习题一：某研究人员想要估计某种新药对病人的治疗效果。
他从一家医院中随机选取了100名患者，并将他们随机分为两组，一组接受新药治疗，另一组接受传统药物治疗。
研究人员希望通过样本数据估计新药的治疗效果是否显著优于传统药物。
解答：在这个问题中，我们需要估计两个总体的治疗效果，即新药组和传统药物组的平均治疗效果。
为了估计这两个总体的差异，我们可以使用两个独立样本的 t检验。
假设新药组的平均治疗效果为μ1，传统药物组的平均治疗效果为μ2。
我们的零假设是H0: μ1 = μ2，备择假设是H1: μ1 > μ2。
通过计算样本均值和标准差，我们可以得到 t 统计量的值，并进行假设检验。
习题二：某公司的销售部门想要估计他们的销售额与广告投入之间的关系。
他们收集了过去一年的数据，包括每个月的广告投入和销售额。
现在他们希望通过样本数据来估计广告投入对销售额的影响程度。
解答：在这个问题中，我们需要估计两个变量之间的关系，即广告投入和销售额之间的线性关系。
为了估计这个关系，我们可以使用简单线性回归模型。
假设广告投入为 x，销售额为 y。
我们的回归模型可以表示为y = β0 + β1x + ε，其中β0 和β1 是回归系数，ε 是误差项。
通过最小二乘法，我们可以估计回归系数的值，并进行假设检验来判断广告投入对销售额的影响是否显著。
习题三：某研究人员想要估计某个城市的人口数量。
他从该城市的不同地区随机选取了若干个样本点，并统计了每个样本点的人口数量。
现在他希望通过样本数据估计整个城市的人口数量。
解答：在这个问题中，我们需要估计一个总体的数量，即整个城市的人口数量。
为了估计这个数量，我们可以使用抽样调查的方法。
第八章参数估计答案
第八章 参数估计答案一、1、122222()()()(())E X E X D X E X μμμμσ==⎧⎨==+=+⎩12221μμσμμ=⎧∴⎨=-⎩，^1^2222211ni i A XA X X Xn μσ=⎧==⎪∴⎨=-=-⎪⎩∑ 2、①③④⑤是统计量，①④⑤是2σ的无偏估计量①：2222111111(())()(2)n n n i i i i i i i E X X E X X n n n μμμμ===-=-=-+∑∑∑22221111(()2())(()(())2())n n i i i i i i i E X E X D X E X E X n n μμμμ===-+=+-+∑∑ 2222221111(2)n n i i n n σμμμσσ===+-+==∑∑∴①是2σ的无偏估计量④：2211()1ni i X X S n =-=-∑，22()E S σ=，∴④是2σ的无偏估计量 ③：22111()n i i n X X S n n=--=∑，222111()()n n n E S E S n n n σ---==， ∴③不是2σ的无偏估计量⑤：21(0,2)i i X X N σ+- ，令1i i i Y X X +=-，1,2,...,1i n =-2221111111(())()()2(1)2(1)2(1)nn ni i i i i i i E X X E Y E Y n n n +===-==---∑∑∑ 222211111(()(()))(20)(1)22(1)2(1)2(1)n ni i i i D Y E Y n n n n σσσ===+=+=-=---∑∑ ∴⑤不是2σ的无偏估计量 3、44、122()(;)()3xE X xf x dx x dx δδμδδδ∞-∞===-=⎰⎰13αμ∴=，α∴的矩估计量^133A X σ==5、10.99α-=，0.01α∴=，0.9σ==，5x = μ∴的置信区间：0.0050.00522,5,5Z Z αα⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 6、2S ； 6、(0,)X θ⋃ ，10()22E X θθμ+===，12θμ∴=， θ∴的矩估计量^122A X θ==二、1、D （用排除法）； 2、D ； 3、D ；4、A ；5、C 5、A ，μ的置信区间：2(1)n α⎛⎫- ⎪⎝⎭X ，∴区间长度2(1)L n α=-， 1α-↓，α↑，2α↑，2(1)t n α-↓，L ∴↓三、1、将原题改为(;)(0,1,2,,0)!x e P x x x θθθθ-==<<+∞ （泊松分布）1）1()E X μθ==，1θμ∴=，^1A X θ∴==，即θ的矩估计量为X2）11112()(,)!!!!inn x i n ni i i i i n x e eL P x x x x x θθθθθθ--======∑∏∏112121ln ()ln ln ln(!!!)ln ln(!!!)nii nx n n i n i L ex x x x n x x x θθθθθ=-=∑=+-=--∑1ln ()nii X d L n d θθθ==-∑，令ln ()0d L d θθ=，得 11n i i x x n θ===∑ θ∴的最大似然估计值为x ，θ的最大似然估计量为X 2、1）11111()(,)()niii x x n nnii i L x eeθθθϕθθθ=-==∑===∏∏； 1ln ()ln nii xL n θθθ==--∑12ln ()ni i X d L n d θθθθ==-+∑，令ln ()0d L d θθ=，得 11n i i x x n θ===∑，∴θ的最大似然估计量为X2）1111111()()()n nn i i i i i E X E X E X n n n n nθθθ========∑∑∑X ∴是θ的无偏估计量 3、1）σ已知，5n =，0.05α=， 22.321.522.021.821.421.45x ++++==∴置信区间0.0250.02522,21.4,21.4Z Z αα⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 2）σ未知，5n =，0.05α=，21.4x =，S == ∴置信区间0.0250.02522(1),(1)21.4(4),21.4(4)n n αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 4、0.1α=，置信区间0.050.0522,,Z αα⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x x x0.050.052Z ≤，可求出n5、总体X 服从(01)-分布，X ⎧=⎨⎩1，废品0，否则1()E X P μ∴==，∴1P μ=， 6011114606015i i P X X =∴===⨯=∑ 四、1、将题目中()0D θ>改为 ()0D θ> ()0E θ= ， 2222()()(())()E D E D θθθθθθ∴=+=+> ∴ 2θ不是2θ的无偏估计量 2、见一、填空题2，相合估计略去即可。
参数估计练习题
参数估计练习题一、选择题1. 在统计学中，参数估计通常指的是：A. 确定数据的中心趋势B. 估计总体参数的值C. 计算样本的方差D. 进行假设检验2. 点估计和区间估计的区别在于：A. 点估计总是比区间估计更准确B. 点估计提供了一个估计值，而区间估计提供了一个估计范围C. 区间估计总是比点估计更准确D. 点估计和区间估计是同一个概念3. 以下哪个是参数估计中的常用方法？A. 均值B. 方差C. 最大似然估计D. 标准差4. 置信区间的确定依赖于：A. 样本大小B. 总体分布C. 样本均值D. 所有上述因素5. 如果一个参数的估计值是10，标准误差是0.5，那么95%置信区间的宽度大约是：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题6. 假设总体服从正态分布，样本均值为\( \bar{x} \)，样本标准差为s，样本容量为n，那么总体均值μ的95%置信区间为\( \bar{x} \pm ______ \times \frac{s}{\sqrt{n}} \)。
7. 在最大似然估计中，参数的估计值是使_________达到最大值的参数值。
8. 当样本量足够大时，根据中心极限定理，样本均值的分布将趋近于_________分布。
9. 一个参数的估计精度可以通过_________来衡量。
10. 在进行参数估计时，如果样本数据不满足正态分布，可以考虑使用_________估计方法。
三、简答题11. 描述最大似然估计的基本原理，并给出一个简单的例子。
12. 解释为什么在小样本情况下，使用t分布而不是正态分布来计算置信区间。
13. 什么是贝叶斯估计？它与频率学派的参数估计有何不同？四、计算题14. 假设有一个样本数据集{10, 12, 8, 14, 11}，请计算样本均值、样本方差和样本标准差。
15. 根据题目14中的数据，计算总体均值的95%置信区间。
（假设总体标准差未知，使用t分布）16. 如果你有一个样本容量为30的正态分布总体的样本，样本均值为50，样本标准差为10，请计算总体均值的95%置信区间。
统计学第七章、第八章课后题答案
统计学复习笔记第七章一、思考题1．解释估计量和估计值在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。
估计量也是随机变量。
如样本均值，样本比例、样本方差等。
根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。
2．简述评价估计量好坏的标准（1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。
（2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。
对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。
（3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。
3．怎样理解置信区间在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。
置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。
有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。
因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。
在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。
这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。
4．解释95%的置信区间的含义是什么置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。
也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。
不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。
5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。
1. 估计总体均值时样本量n 为2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为与置信水平成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所需要的样本量越大；与总体方差成正比，总体的差异越大，所要求的样本量也越大；与与总体方差成正比，样本量与估计误差的平方成反比，即可以接受的估计误差的平方越大，所需的样本量越小。
二、 练习题1． 从一个标准差为5的总体中采用重复抽样方法抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。
(完整word版)参数估计习题参考答案
参数估计习题参考答案班级：姓名：学号：得分一、单项选择题：1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是( B )（A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值（C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ）（A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于103、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ）（A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差为4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（A ）（A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布（C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布5. 区间估计表明的是一个( B )（A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（A ）A. α越大长度越小B. α越大长度越大C. α越小长度越小D. α与长度没有关系7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ）（A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均值的置信区间长度将（ D ）（A）增加（B）不变（C）减少（D）以上都对9．在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小1／3，则样本容量（ C ）（A）增加9倍（B）增加8倍（C）为原来的2.25倍（D）增加2.25倍10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间13分钟，总体服从正态分布且标准差为3分钟。
参数估计[整理版]
![参数估计[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/dcab26f09a89680203d8ce2f0066f5335a816718.png)
选择题：1. 在参数估计中，要求用来估计总体参数的估计量的平均值等于被估计的总体参数。
这种评价标准称为（）A. 无偏性B. 有效性C. 一致性D. 充分性知识点：参数估计难易度：12. 评价估计量的一致性标准是指（）A. 样本统计量的值恰好等于待估的总体参数B. 所有可能样本估计值的期望值等于待估总体参数C. 估计量与总体参数之间的误差最小D. 随着样本量的增大，估计量越来越接近总体参数知识点：参数估计难易度：13. 一项抽样研究表明，客运航班晚点平均时间的95%的置信区间为5分钟～20分钟之间。
这里的95%是指（）A. 航班晚点的概率为95%B. 可以用95%的概率保证航班晚点的平均时间在5分钟～20分钟之间C. 在多次估计中，航班晚点的平均值在5分钟～20分钟之间的频率约为95%D. 100个航班中，有95个航班晚点知识点：参数估计难易度：34. 下面参数估计的陈述中，正确的是（）A. 90%的置信区间将以90%的概率包含总体参数B. 当样本量不变时，置信水平越大得到的置信区间就越窄C. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越窄D. 当置信水平不变时，样本量越大得到的置信区间就越宽知识点：参数估计难易度：35. 总体均值的置信区间等于样本均值加减估计误差，其中的估计误差等于所要求置信水平的临界值乘以（）A. 样本均值的标准误差B. 样本标准差C. 样本方差D. 总体标准差知识点：参数估计难易度：16. 从总体中抽取一个样本量为50的简单随机样本，用该样本均值构建总体均值99%的置信置信区间，这里的99%是指（）A. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为99%B. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为99%C. 总体参数落在该样本所构造的区间内的概率为1%D. 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中，包含总体参数的区间比例为1%知识点：参数估计难易度：27. 下面关于参数估计的陈述中，哪一个是正确的（）A. 一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数B. 一个小样本给出的估计量比一个大样本给出的估计量更接近总体参数C. 一个大样本给出的总体参数的估计区间一定包含总体参数D. 一个小样本给出的总体参数的估计区间一定不包含总体参数知识点：参数估计难易度：28. 要估计全校学生的平均月生活费支出，从全校学生中随机抽取200人，得到的平均月生活费支出为520元。
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机样本，X的密度函数为
0 1
求未知参数 的矩估计量与极大似然估计量。
E ( X ) x( ln )dx 解： 0 0
xd x 0
x x
1 X 因此， 则Eபைடு நூலகம்( X ) X，得： 的矩估计量 为 ln
ˆe
1 X
的矩估计值和极大似然估计值。
解：（1）利用E ( X ) X 得：
1 2 (1 ) 2 2 3(1 2 ) (3 3 3 3 1 1 2) 2 8 1 ˆ 。 所以 的矩估计值为： 4
L( ) 4 6 (1 ) 2 (1 2 ) 4 （2）由已知似然函数为： 取对数 ln L( ) ln 4 6 ln 2 ln(1 ) 4 ln(1 2 )
参数估计习题课
一、主要内容 二、重、难点 三、典型例题
一、主要内容
矩估计量
最大似然估 计量 似 然 函 数
估 计 量 的 评 选
无偏性 有效性 相合性
正态总 体均值 方差的 置信区 间与上 下限
最大似然估计的性质
截尾样本的最 大似然估计
求置信区间的 步骤
置信区间和上下限
二、重、难点
1.重点
（1）矩估计、最大似然估计. （2）一个正态总体参数的区间估计. 2. 难点 （1）极大似然估计 （2）参数的区间估计
三、典型例题
1、填空、选择题 （1）设 X1, X 2 , X 3 是来自正态总体 N (, 2 ) 容量为3的 样本，其中 1 3 1 1 5 ˆ X X X , ˆ 1
1
5
1
10
2
2
3
2
1 1 1 ˆ 3 X1 X 2 X 3 则 ˆ1, ˆ2 , ˆ皆为 3 3 3 3
n 的样本，求 p 的极大似然估计量。
解：由总体X的概率密度函数知，似然函
L( p ) p (1 p ) 数为：
i 1 n 1 xi
p n (1 p )
n
n
i 1
n
xi
取对数
ln L( p) n ln p (n xi ) ln(1 p)
i 1
令
n d ln L( p) n 1 ( n xi ) 0 i 1 dp p 1 p
n 1 解得极大似然估计值为：p n x 所以 p xi
1 p 。 的极大似然估计量为： X
i 1
(3) 设总体X的分布列为：
X
p
0
2
1
2 (1 )
2
2
3
1 2
1 其中 (0 ) 是未知参数，利用总体X的如 2
下样本值：
3，1，3，0，3，1，2，3，求
样本，则极大似然函数 L _______, 的极大 似然估计量是 _______。
2 2 N ( , ) X 1 , X 2 ,, X n 已知。 (4)设总体X服从 ，
为来自总体X的样本，则 的置信度为 1 的 置信区间是 。
p (5)设总体X服从分布 B(n, p，其中 为未知参 ) p的极大似然估计量是 数，为固定的整数，则 n 。
3
X1
4
X2
12
X3
的
________
估计，其中________在 的估计中最有效。
X （2）设
]上的均匀分布，其中 总体服从[0¸
0 为未知参数， X1, X 2 ,, X n 为来自总体X的样
本，则 的矩估计量是 估计是 。
， 的极大似然
x ( 1) , x 1 (3)设总体 X 的概率密度是 f ( x) 其它 0 ( 1, 是未知参数)X1, X 2 ,, X n为来自总体X的
（6）总体 X N ( , 2 )， 2 已知， n 时， 才能使总体均值 的置信度为 0.95 的置信区间长不大 于L 2 2 2 2 （A）15 / L ; （B）15.3664 / L ; 2 （C）16 / L2 ; （D）16
（ 7 ） 设 X 1 , X 2 , , X n 为 总 体 X 的 一 个 随 机 样 本 ，
d ln L( ) 6 2 8 0 ，解之得： 令 d 1 1 2 7 13 7 13 ˆ ˆ 解得极大似然估计值为： 12 12
(4)设
X1, X 2 , X n , 是来自总体X的一个简单随
x ln , x 0 f ( x) 0, x 0
，又似然函数为：
xi n i 1 ln ( ln ) L( ) i 1
n
xi
n
ln n ln( ln ) xi ln
i 1
n
两边对 求导得似然方程
n 1 ( ) ln
1 X
xi i 1
n
0，
E ( X ) , D( X ) 2 ， C ( X i 1 X i )2 为 2 的
2 i 1 n1
无偏估计，则 C＝ 1 1 （A） （B） n n1
1 1 （C） （D） n2 2 n 1
2.解答题
(1)设总体X服从｛1，2，…，N ｝上的均匀分 1 布，即 P( X k ) k 1,2, n 其中N是未知
N
参数（N为正整数），试求N的矩估计量。
1 1 解：利用 E ( X ) X 得： N ( N 1) X ， 2 N ˆ 2X 1 解之得： N ，所以 N的矩估计量为：
ˆ 2X 1 N
(2) 设总体X的分布列为： P( X k ) p(1 ， p) k 1
X1, X 2 ,, X n k 1,2,是来自总体X的容量为
n n 即 ln xi i 1
1 X
e ，因此， 的极大似然估计量为 e
（ 4）设总体 X U 0, ,( X 1 , X 2 , , X n ) 是来自 X 的 样本，求 的极大似然估计量