极小范数最小二乘解
矩阵论导教导学导考(矩阵论西北工大学)
则 Tn = Tm O 是 n 阶 Give ns 矩阵 . ( ) O In - m
3. 设 A ∈ Rn× n 的特征值是λ1 ,λ2 , … ,λn , 且 AT = A. 若 B ∈ Rn× n
与 A 正交相抵, 则 B 的奇异值是(
).
4. 已知 A ∈ Cn×n 及 A+ , 设 B = A , 则 B+ =
2 8 3i
Байду номын сангаас
- 1) 的特征值,并在复平面上画图表示 .
10
1
六、( 12 分 ) 已知 A = 0 1 , b = 1 .
11
2
1. 求 A 的奇异值分解 .
2. 利用 A 的奇异值分解求 A+ .
3. 求方程组 Ax = b 的极小范数解或极小范数最小二乘解 x0 ( 指
出 x0 的类型 ).
七、( 12 分 ) 已知多项式空间 P2 [ t] 的一个基为
0 -1
21
X1 =
,
00
00 X2 =
21
2 -1
X3 =
,
00
00 X4 =
2 -1
T 在基 X1 , X2 , X3 , X4 下的矩阵为 Λ.
八、设 A = ( aij ) n× n , C = ( cij ) n× n , 且 ( y1 , … , yn ) = ( x1 , … , xn ) C,
附录 试题精解
171
因为度量矩阵 A 可逆 , 所以 C = A- 1 . 因 此 , 满足要 求的基 y1 , … , yn 存在 , 且由 ( y1 , … , yn ) = ( x1 , … , xn ) A- 1 确定 .
关于矩阵方程组AX_C_XB_D的最小二乘解和极小范数最小二乘解_尤兴华
+
DB H ） ，
DB H ） ．
H ） = R （ A ） = R （ Q1 ） ， Q2 （ AH ） +
由于
H Q2 Q1 = O 且 R （ （ A H ） +
= O，
因而根据引理 1 ． 4 ， 有
{
H Q1 Y =
∫
+∞
0
H e －Λ2t ΛQ1 （ C + （ AH ）
+
DB H ） e －BB t dt，
H
从而（ 0 ． 1 ） 的极小范数最小二乘解可以表示为 X =A+ 定理 2 ． 2
∫ ∫
0
e － AA t A（ A H C + DB H ） e － BB t dt + F A DB + ．
H
H
（ 0 ． 1 ） 的最小二乘解的通解形式为
+∞ 0
X =A+ 这里矩阵 U∈C 证明
e － AA t A（ A H C + DB H ） e － BB t dt + F A DB + + F A UE B ，
第 28 卷第 4 期 2012 年 10 月
苏 州 大 学 学 报（ 自然科学版） JOURNAL OF SOOCHOW UNIVERSITY（ NATURAL SCIENCE EDITION）
Vol. 28 No． 4 Oct． 2012
XB = D 的最小二乘解 关于矩阵方程组 AX = C， 和极小范数最小二乘解
ST ） ，
+ S = （ I － KK + ） QP + ． 其中 K = Q（ I － P P ） ， ［1 ］ B， 引理 1 ． 4 对于矩阵 A， 设其特征值分别为 λ i ∈λ （ A） ， μ j ∈μ（ B） ． 如果特征值满足 Re（ λ i ） + Re（ μ j ） ＜ 0 （ i = 1 ， 2， …， s； j = 1 ， 2， …， t） ，
解析线性方程组中的若干问题
解析线性方程组中的若干问题施妮沙【摘要】解线性方程组是线性代数课程的最重要内容之一,通过线性方程组的一般解析法对相容线性方程组进行了一般的介绍,用微积分方法给出不相容方程组的最小二乘解以及相容线性方程组极小范数解.循序渐进的对线性方程组的求解法进行了延伸.【期刊名称】《贵阳学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(008)001【总页数】3页(P28-29,33)【关键词】相容方程组;不相容方程组;极小范数解;最小二乘解【作者】施妮沙【作者单位】贵阳学院数学与信息科学学院,贵州贵阳550008【正文语种】中文【中图分类】O151线性代数是大学理、工、经济管理、医药、农业等学科必修的一门数学基础课，是除算术外，应用最为广泛的数学方法，它是从初等数学到高等数学学习的桥梁，对学生数学的学习起重要作用。
虽然这门课所安排的学时数不是太多，但其与微积分并驾齐驱的重要性已成为人们的共识。
线性代数在工农业生产实践中也有广泛应用，如钢板受力后的变形，大气的流场，都可以用若干个微分方程来描述。
通常对微分方程进行离散，得到线性方程组，再用数值方法求解。
在试验数据处理和曲线拟合问题中，在无法完全满足给定条件的情况下，求一个比较接近的解，最常用的方法是最小二乘法。
［1－3］通过介绍基础的线性方程组在求解中的如干问题，然后用微积分方法给出不相容方程组的最小二乘解，在介绍完以上两点后笔者再来讨论特殊情况下能否找到一组解向量使它在范数意义下长度是所有解向量中最短的，这就归结为求相容线性方程组的极小范数解。
在(*)式中系数矩阵、未知数向量和常数向量分别为:则方程组(*)也可表示为矩阵的形式:Ax= b (1)当向量b=0时线性方程组被称为齐次线性方程组，方程组(1)只有零解的充分必要条件是矩阵A的秩r(A)=R=n;有非零解的充分必要条件是矩阵A的秩r(A)=R＜n;其中n表示未知量个数，n－r是自由未知量个数。
特别地，当m=n(即方程个数与未知量个数相等)时，由Gramer［4］法则知(1)只有零解的充分必要条件为|A|≠0(r(A) =n)。
数值代数主要知识点
20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选)1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机本征值的稳定的算法7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分类法8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级算法数值代数上课内容：一、预备知识（基础）1）误差分析2）范数理论3）初等变换与矩阵分解二、线性方程组的求解1）直接法2）迭代法3）最小二乘问题与矩阵广义逆三、矩阵特征值问题1）普通特征值问题a)幂法和反幂法b)QR方法2）对称特征值问题各部分的主要知识要点：（主要看上课笔记）一、预备知识（基础）§1 误差分析基本要求：1）了解数值代数的研究对象与特点及主要研究内容2）了解误差的基本知识及误差来源、误差种类3）了解浮点运算和舍入误差分析4）了解算法的评价及算法的向后稳定§2范数理论基本要求：1）熟练掌握向量范数的定义，会判断给定的某个函数是否是向量范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）2）了解常用向量范数、范数等价定理3）熟练掌握矩阵范数的定义，会判断给定的某个函数是否是矩阵范数（范数的三个条件正定性、齐次性和三角不等式）4）熟练掌握几个特殊的矩阵范数－算子范数、相容范数、酉不变范数的定义5）掌握常用矩阵范数1－范数，2－范数， －范数，F－范数的定义，并清楚且会证明它们分别属于算子范数、相容范数、酉不变范数的那一种范数6）会证明常用的范数不等式7）了解矩阵的谱和谱半径的定义二、初等变换与矩阵分解§1初等变换（主要看上课笔记）基本要求：1）了解初等变换的一般形式和一般初等变换的性质2）熟练掌握两种特殊的初等变换－Gauss消元变换、Household变换a)熟练掌握Gauss消元变换的定义和性质，特别是消元性质，会利用Gauss消元变换对向量进行消元b) 熟练掌握Householder变换/初等Hermit阵的定义和性质，特别是变换性质和消元性质，会利用Householder变换对向量进行消元，会求Householder变换矩阵3)熟练掌握Givens旋转变换的定义和性质，特别是消元性质即消元特点，会灵活运用Givens 旋转变换对向量进行消元（消调某一个变量）4）了解交换阵的定义即性质§2 矩阵分解1、基于Gauss消元阵的分解基于Gauss消元阵的分解，包括无主元LU分解、列主元LU分解、对称正定阵的Cholesky 分解基本要求：1）熟练掌握无主元LU分解的具体过程，会写出相应的程序，给定一个矩阵，会计算它的LU 分解矩阵2） 了解LU 分解的不稳定性和LU 分解的唯一性及存在条件det()0(1,2,,).1n n k k n A R D A k n A L U A LU ⨯∈=≠== 若阶方阵的顺序主子式则可唯一地分解为一个单位下三角阵和非奇异的上三角阵的乘积。
矩阵论小结
矩阵论线性空间定义：本质是个集合，满足一定条件下的集合。
首先定义了加法运算（满足加法的交换结合律），在这个集合中能找到零元素，与负元素；然后定义数乘运算（数域上的元素与集合当中的元素相乘），并且满足数乘的分配，结合律（集合中的元素能否进行乘法运算并没有定义）。
最后指出，这些运算都是封闭的，运算的结果与集合中的元素唯一对应。
称这样的一个集合为线性空间。
注意：运算结果与集合中的元素对应。
例如0*a=0（此零非彼零，不是数域里的零，而是线性空间当中的零，即集合当中的零元素<很可能不是零>）核空间：矩阵A对应于齐次线性方程组Ax=0的解空间。
子空间：线性空间对应集合的一个子集，并且也满足线性空间的定义的一个子集。
其中，零空间，与线性空间本身构成平凡子空间，还存在的其他子空间构成非平凡子空间。
矩阵A的核空间就是他的一个子空间，相当于对矩阵A构成的空间中的元素进行了限定。
矩阵A的列向量的线性组合构成了矩阵A的值域空间（其中的基为最大无关组的个数）。
注意：子空间交，与子空间的和任然为子空间，但子空间的并集不一定再是子空间。
属于两个子空间的线性无关的两个基的并基构成新的元素，但是这个元素不在属于原来的两个子空间的任意一个。
子空间中的几个等价定义：（1）直和定义为V1与V2的交空间只包含零元素（不一定是数字零），构成零子空间（2）直和空间中的元素表达式唯一。
（3）V1的基于V2的基直接构成直和空间的基。
（4）和空间的维度等于V1与V2维度的和。
线性映射性质：（1）V1的零元素经过线性映射变为V2的零元素（2）线性相关组经过线性映射之后任然为线性相关（3）线性无关组经过单射线性映射后任然为线性无关同构：两个线性空间之间存在一个一一对应的线性变换，则称这两个矩阵是同构的。
相应的线性变换称为同构映射。
任一线性空间都能够找到一个数域向量与其同构，这个向量就是坐标。
线性变换T的秩，线性映射的坐标表示：T表示线性空间到线性空间的映射，在具体的基底下（两个线性空间基都确定的情况），可以由一个矩阵A表示T，为V到V‘的线性映射。
最小二乘法(least sqaure method)
最小二乘法（least sqauremethod）专栏文章汇总文章结构如下：1：最小二乘法的原理与要解决的问题2 ：最小二乘法的矩阵法解法3：最小二乘法的几何解释4：最小二乘法的局限性和适用场景5：案例python实现6：参考文献1：最小二乘法的原理与要解决的问题最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，形式如下式：标函数 = \sum（观测值-理论值）^2\\观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。
目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。
举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有 m 个只有一个特征的样本： (x_i, y_i)(i=1, 2, 3...,m)样本采用一般的 h_{\theta}(x) 为 n 次的多项式拟合，h_{\theta}(x)=\theta_0+\theta_1x+\theta_2x^2+...\theta_nx^n,\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 为参数最小二乘法就是要找到一组\theta(\theta_0,\theta_1,\theta_2,...,\theta_n) 使得\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^2 (残差平方和) 最小，即，求 min\sum_{i=1}^n(h_{\theta}(x_i)-y_i)^22 ：最小二乘法的矩阵法解法最小二乘法的代数法解法就是对 \theta_i 求偏导数，令偏导数为0，再解方程组，得到 \theta_i 。
矩阵法比代数法要简洁，下面主要讲解下矩阵法解法，这里用多元线性回归例子来描：假设函数h_{\theta}(x_1,x_2,...x_n)=\theta_0+\theta_1x_1+...+\t heta_nx_n 的矩阵表达方式为：h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta\\其中，假设函数 h_{\theta}(\mathbf{x})=\mathbf{X}\theta 为 m\times1 的向量, \theta 为 n\times1 的向量，里面有 n 个代数法的模型参数。
最小二乘法
最小二乘法原理及极值点判定(2013-06-27 05:50:07)转载▼标签：最小二乘法极值分类：Tim赤子心最小二乘法的本质原理本文主要以最简单的二元线性函数为基础，阐述最小二乘法的原理，事实上，最小二乘法可以更广泛地应用于非线性方程中，但本文以介绍为主，希望能以最简单的形式，使读者能够掌握最小二乘法的意义。
在物理实验数据统计时，我们会记录一些数据，记做数据x和数据y。
但是，在记录数据后，我们依然不知道x和y 的具体关系。
例如，测算男人手掌面积和身高的关系，我们会得到两组数据，如图，图1数据点分布这并不是一条严格意义上的直线，但这些数据对于实验研究员来说，可以作为某种依据，从而判断出两种数据之间的关系。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
事实上，我们更关注的是如何才能找到这么一条漂亮的曲线。
那么，找到这条曲线的方法称作“最小二乘法”。
曲线拟合中最基本和最常用的是直线拟合。
设x和y之间的函数关系由直线方程y=ax+b给出。
式中有两个待定参数，b代表截距，a代表斜率。
下面的问题在于，如何找到“最合适”的a和b使得尽可能多的数据落在或者更加靠近这条拟合出来的直线上。
即数据对这条直线的逼近程度最佳。
当然，当我们将直线拟合出来之后，就可以反过来进行预测了。
所以说最小二乘法是很有用的一种测算方法。
实际上，我们并不关心x和y到底是多少，因为x和y是给定的，当然x和y与其本质的内在关系之间肯定存在误差。
我们关心的是方程中的a和b，也就是说，在这个待定的方程中，a和b才是所求的变量，它们可以描述出x和y的关系。
所以我们接下来的任务就是找到一组最好的a和b。
我们对a和b的要求就是，使得所有x和y相对拟合直线的误差总和最小。
也就是说，我们要考虑的是，要使这些数据点距离拟合直线的和最小，距离最短，这样就可以使得尽可能多的数据成为有效点。
接下来我们的工作就是，最小化误差了。
Loewner方程组极小范数最小二乘解的快速算法
Ｃ ＨＡＩ ｕ —ｅ ｇ Ｔ ｎｆｎ ， ＯＮＧ Ｑｉ－ ａ Ｊ ｕｊ ｎ ｕ
（ ｏ ｏ ｌｏ ｉｎ ｅ ，Ｘｉａ ｉｅ ｓｔ ｆＰｏ ｔａ ｄ Ｔｅｅ ｏ ｍｕ ｉａ ｉｎ ，Ｘｉａ ０ ６ Ｓ ｈ ｏ ｆＳｃｅ ｃｓ ’ｎ Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｓ ｎ ｌｃ ｍ ｎｃ ｔｏ ｓ ’ ｎ７１ ０ ２，Ｃｈｎ ） ｉａ
文献 Ｅｉ 过单 调 矩 阵 函数 的特 征及 有 理插 ｌ通 值 问题研究 了各 种 Ｌ ｅ ｅ 矩 阵之 间 的关 系 ； ｏｗｎ ｒ 文
济与 生物工 程等领 域 中有着广 泛 的应 用［ 。如 在 ８ ］ 控 制理 论 中 ， 常利用 最小 二乘概 念构造 目标 函数 ；
献［］ ２给出了 Ｈ ｎ ｅ 矩阵和 Ｌ ｅ ｎｒ 阵之 问 ａ ｋｌ ｏｗ ｅ 矩
ｍ ｅｈ ｄ ｉ ０（ ） Ｏ（ ０ ，ｗｈ ｌ ｈ ｍｏ ｎ ｆｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｆｒｔ ｅｃ ｎ ｔｕ ｔ ｎ ｏ ｈ ｏ ｍａ ｑ ａ ｔ ｏ Ｓ ｍ ＋ ） ｉ ｔ ｅａ ｕ ｔ ｏ ｕ ａ ｉ ｏ ｈ ｏ ｓｒ ｃｉ ｆｔ ｅｎ ｒ ｌ ｕ — ｅ ｏ ｏ ｏ ｅ
柴 军锋 ， 仝秋 娟
（ 西安 邮电学院 学院 ， 陕西 西安 ７０６） １０ ２
摘
要： 对于秩为 的 ｍ× 阶 Ｌ ｅ ｅ ｏｗｎ 矩阵 ， 通过构造分块矩 阵并 研究其三角分解 ， 进而得 到了求线性方程
组 的极小范数最小二乘解 的快 速算法 ， 所需运算量 为 Ｏ（ ｎ ４ Ｏ（ 算 量为 Ｏ（ 。） ｒ ， ＋Ｏ（ 。 用正交化法虽然避免了构造 法方程组 ， ｎｚ ｍ ）， 但所需 的运算量更大 。
【文献综述】关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比
文献综述信息与计算科学关于非齐次线性方程组Ax=b两类解法的对比矩阵理论既是学习经典数学的基础，又是一门最有实用价值的数学理论。
它不仅是数学的一个重要的分支，而且业已成为现代各科技领域处理大量有限维空间形式与数量关系的强有力的工具。
特别是计算机的广泛应用，为矩阵论的应用开辟了广阔的前景。
广义逆矩阵是对逆矩阵的推广。
若A为非奇异矩阵，则线性方程组Ax=b的解为x=A^(-1)b，其中A的A的逆矩阵A^(-1)满足A^(-1)A=AA^(-1)=I(I为单位矩阵)。
若A 是奇异阵或长方阵，Ax=b可能无解或有很多解。
若有解，则解为x=Xb+(I-XA)у，其中у是维数与A的列数相同的任意向量，X是满足AXA=A的任何一个矩阵，通常称X为A的广义逆矩阵，用A^g、A^-或A^(1)等符号表示，有时简称广义逆。
线性方程组的逆矩阵解法一般只适用于一种特殊情况,即适用于系数矩阵为方阵的时候，用于一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统本文探讨了线性方程组的广义逆矩阵解法。
对一般的线性方程组,可以应用矩阵的广义逆来研究并表示它的解而且与其它解法相比解的讨论更完整,表达形式更简洁系统。
本文通过运用相关定理，进行线性方程组的广义逆矩阵解法和初等矩阵法的对比。
这对于我们理解相关广义逆矩阵的应用会有帮助。
白素英（2010）在《关于非齐次线性方程组 A x=b两类解法的对比》一文中给出相容的非齐次线性方程组的两种不同的解法，即矩阵的初等变换法及广义逆矩阵法，并证明了两种方法通解的等价性，通过实例给出了惟一的极小范数解。
对于不相客的非齐次线性方程组，用广义逆矩阵法由实例给出了惟一的极小范数最小二乘解。
侯双根（1992）在《广义分块对角矩阵的广义逆矩阵》一文中对广义分块对角矩阵的广义逆矩阵给出了一个运算规则，并且利用它可以简化求广义分块对角矩阵的广义逆矩阵。
最小范数解和最小二乘解
最小范数解和最小二乘解在数学和工程学中，最小范数解和最小二乘解是两个常用的概念。
它们在解决线性方程组和最优化问题时具有重要的意义。
最小范数解是指在所有解中，范数最小的解。
范数是一种度量向量或者矩阵大小的函数。
在线性代数中，常用的范数有L1范数、L2范数和无穷范数等。
对于给定的线性方程组Ax=b，如果存在一个向量x使得Ax=b成立，同时x的范数最小，那么x就是该线性方程组的最小范数解。
最小二乘解是指在所有解中，使得误差平方和最小的解。
在实际问题中，往往会遇到超定线性方程组，即方程组的未知数个数多于方程个数。
这时候，很可能无法找到一个精确的解使得方程组成立。
最小二乘解可以通过最小化误差平方和来找到一个最接近的解。
对于给定的超定线性方程组Ax=b，最小二乘解x可以通过求解最小化目标函数||Ax-b||2的优化问题得到。
最小范数解和最小二乘解在一些问题中具有相似的性质，但在某些情况下它们的解可能不同。
在实际应用中，最小范数解和最小二乘解都有广泛的应用。
例如，在信号处理中，最小范数解可以用于信号恢复和降噪；在图像处理中，最小范数解可以用于图像复原和去噪；在机器学习中，最小二乘解常用于线性回归和参数估计等问题。
最小范数解和最小二乘解的求解方法也有很多。
对于最小范数解，可以使用线性代数中的求解方法，如矩阵的奇异值分解（SVD）等。
对于最小二乘解，可以使用数值优化算法，如梯度下降法、牛顿法等。
这些方法可以有效地求解最小范数解和最小二乘解，并且在实际应用中具有较好的性能。
总结来说，最小范数解和最小二乘解是解决线性方程组和最优化问题中常用的概念。
它们在实际应用中具有广泛的应用价值，并且可以通过不同的数学方法和算法进行求解。
无论是在工程领域还是在科学研究中，了解和掌握最小范数解和最小二乘解的概念和求解方法都是非常重要的。
最小二乘法的综述及算例
题目:最小二乘法的综述及算例院系：航天学院自动化班级：学号：学生签名：指导教师签名：日期：2011年12月6日目录1．综述 (3)2．概念 (3)3．原理 (4)4．算例 (6)5．总结 (10)参考文献 (10)1．综述最小二乘法最早是由高斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统计方法。
高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确定了某些行星和彗星的天体轨迹。
这类天体的椭圆轨迹由5个参数确定，原则上，只要对它的位置做5次测量就足以确定它的整个轨迹。
但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。
最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的高维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。
最小二乘法普遍适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。
它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。
比如说，我们引入等效时间的概念,根据Arrhenius 函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化,最后采用最小二乘法回归分析试验数据,确定绝热温升和等效时间的关系式。
为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题：(1)假设已知一组二维数据（i i y x ,），（i=1,2,3···n ），怎样确定它的拟合曲线y=f(x)（假设为多项式形式f(x)=nn x a x a a +++...10）,使得这些点与曲线总体来说尽量接近？(2)若拟合模型为非多项式形式bxae y =，怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？怎样从给定的二维数据出发，寻找一个简单合理的函数来拟合给定的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。
2．概念在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数（i i y x ,）（i=1,2,3···m ）中寻找自变量x 与y 之间的函数关系y=F(x).由于观测数据往往不准确，此时不要求y=F(x)经过所有点（i i y x ,），而只要求在给定i x 上误差i δ=F （i x ）i y -（i=1,2,3···m ）按某种标准最小。
第6章 最小二乘估计理论及算法
由(2)式得
e = b - bˆ = b - Aw
取共轭转置有
eH = bH - wH AH (3)
横向滤波器的设计原则是，寻找权向量使得误差信号
e(n) 在某种意义下取得极小值。
根据方程个数与未知量个数的大小关系，有
（1）当 M > N - M + 1 时，令 e = 0 方程组有无穷多组解。
即， PA PA = PA ， PA^ PA^ = PA^ （2）矩阵 PA 与PA^ 相互正交，即
PA PA^ = 0
（3）矩阵 PA 与 PA^ 都是Hermite矩阵，即
( ) PAH = PA
，
PA^
H
=
PA^
根据投影矩阵与正交补投影矩阵的概念，可利用 向量空间理论来解释最小二乘估计。由于
第6章 最小二乘估计理论及算法
•本章要回答的关键问题是，怎样利用最小二乘估计及 算法即能根据有限个数的观测数据寻求滤波器的最优 值。 •最小二乘估计原理及特性
•基于奇异值分解的最小二乘求解算法
•基于最小二乘的FBLP谱估计原理
•最小二乘求解的两种递归算法，即RLS算法和QRRLS算法
6.1预备知识：线性方程组解的形式
d (1), d (2)L d (N)
定义 n 时刻的输入信号向量
u(n)= 轾 臌u(n) u(n - 1) L u(n - M + 1) T
滤波器权向量
w = [w0
w1 L
] w T M- 1
则滤波器的估计输出为
dˆ (n) = wHu(n) = uT (n)w* (1)
估计误差信号为
e(n) = d (n)- dˆ(n) = d (n)- wHu(n)= d (n)- uT (n)w*
最小二乘法的基本原理和多项式拟合
最小二乘法的基本原理和多项式拟合一 最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=mi ir2=从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
在曲线拟合中，函数类Φ可有不同的选取方法.6—1二 多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)[ ] ∑ = = - mi ii y x p 02 min ) (当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
欠定方程组的最小范数解
欠定方程组的最小范数解欠定方程组是指方程个数少于未知数个数的线性方程组。
在数学和工程领域中，研究欠定方程组的最小范数解具有很重要的意义。
欠定方程组的最小范数解是指在所有满足方程组的解中，范数最小的解。
本文将介绍欠定方程组的定义和解法，并探讨最小范数解的性质和应用。
一、欠定方程组的定义和性质欠定方程组是指方程个数少于未知数个数的线性方程组。
设有m个方程和n个未知数的欠定方程组可以表示为：A*x = b其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
欠定方程组的解集可以表示为：S = {x | A*x = b}由于方程个数少于未知数个数，所以欠定方程组存在无穷多个解。
不同的解可能有不同的范数，而最小范数解是其中范数最小的解。
二、最小范数解的求解方法求解欠定方程组的最小范数解可以使用不同的数学方法。
以下介绍两种常用方法。
1. 最小二乘法最小二乘法是一种常见的求解欠定方程组最小范数解的方法。
该方法通过最小化残差向量的2范数来求解最优解。
残差向量的定义如下：r = A*x - b最小二乘法的目标是找到使得残差向量的2范数最小的解。
这可以通过求解以下最优化问题来实现：min ||A*x - b||2其中，||·||2表示向量的2范数。
最小二乘法可以通过求解正规方程组来获得最小范数解。
正规方程组的定义如下：A^T * A * x = A^T * b其中，A^T表示A的转置矩阵。
求解正规方程组可以使用各种数值算法，如QR分解、Cholesky分解等。
2. 奇异值分解奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是另一种用于求解最小范数解的方法。
SVD将矩阵分解为三个矩阵的乘积：A = U * S * V^T其中，U和V是正交矩阵，S是一个对角矩阵。
通过对矩阵S 中的奇异值进行处理，可以得到最小范数解。
三、最小范数解的性质和应用最小范数解具有以下特性：1. 最小范数解是欠定方程组的一个解，但不一定是唯一解。
最小二乘问题的解法
Hx
x
u
w
proof
(1)显然成立， ( 2)和(3)可直接得出， 事实上 H T H H 2 ( I 2 ww T )( I 2 ww T ) I 4 ww T 4 ww T ww T I
2
w
令w ( x y ) / x y 2 , 构 造Householde r变 换 2 H I 2 ww T I ( x y )( x y ) T 2 x y 2 注意到 x T x y T y (已 知),于 是 2 x y 2 ( x y ) T ( x y ) 2( x T x y T x ) 2 ( x y ) T x 从而 2 Hx x ( x y )( x y ) T x x ( x y ) y 2 x y 2 proof
i 1 T n
这 里A a i ,, a n .
于 是, 令x ( x1 , , x n ) ,即 有Ax b. 定理得证 Th3.1.2 方程 组 Ax b的解 存在 , 并且 假定 x是其 任一 给 定的 解 , 则方 程组 的全 部解 的集 合是 x N ( A) proof : 如 果y满 足 方 程 组 , 则A( y x ) 0,即( y x ) N ( A), 于是有 y x ( y x ) x N ( A).反 之, 如 果y x N ( A),则 存 在z N ( A),使y x z, 从 而 有 Ay Ax Az Ax b. 证 毕.
最小二乘法的综述及算例
百度文库•让每个人平等地捉升口我题目：最小二乘法的综述及算例院系：航天学院自动化班级: 学号：学生签名: 指导教师签名：日期：2011年12月6日目录1・综述 (3)2.概念 (3)百度文邮-让每个人平零地捉升口我3.原理 (4)4.算例 (6)5・总结 (10)参考文献 (10)1.综述最小二乘法最早是由髙斯提出的，这是数据处理的一种很有效的统汁方法。
高斯用这种方法解决了天文学方面的问题，特别是确立了某些行星和彗星的天体轨迹。
这类天体的椭圆轨迹由5个参数确龙，原则上，只要对它的位苣做5次测量就足以确定它的整个轨迹。
但由于存在测量误差，由5次测量所确定的运行轨迹极不可靠，相反，要进行多次测量，用最小二乘法消除测量误差，得到有关轨迹参数的更精确的值。
最小二乘法近似将几十次甚至上百次的观察所产生的髙维空间问题降到了椭圆轨迹模型的五维参数空间。
最小二乘法普颯适用于各个科学领域，它在解决实际问题中发挥了重要的作用。
它在生产实践、科学实验及经济活动中均有广泛应用。
比如说，我们引入等效时间的概念，根据Arrhenius函数和指数函数研究水化热化学反应速率随温度的变化，最后采用最小二乘法回归分析试验数据，确定绝热温升和等效时间的关系式。
为了更好地掌握最小二乘法，我们引入以下两个问题：(1)假设已知一组二维数据(“片)，(i=l,2,3・・・n),怎样确定它的拟合曲线y=f(x)(假设为多项式形式f(x)=4 +®Y +...+“”X")，使得这些点与曲线总体来说尽量接近？(2)若拟合模型为非多项式形式,怎样根据已知的二维数据用最小二乘线性拟合确定其系数，求出曲线拟合函数？怎样从给左的二维数据岀发，寻找一个简单合理的函数来拟合给泄的一组看上去杂乱无章的数据，正是我们要解决的问题。
2.概念在科学实验的统汁方法研究中，往往要从一组实验数(兀,儿)(i=1.2,3・・・m)中寻找自变量x 与y之间的函数关系y=F(x).由于观测数拯往往不准确，此时不要求戶F(x)经过所有点(心,儿)，而只要求在给立心上误差J. =F ( x, ) (i=l,2,3・・・m)按某种标准最小。
常用算法分析——最小二乘法
常用算法分析——最小二乘法目录1.引言2.普通最小二乘法（OLS）3.OLS实现4.广义最小二乘法（GLS）简介1、引言最小二乘法应该是我们最早接触的一种数值估计算法。
它的特殊形式，一元线性回归，被广泛地应用于多种数值统计分析场合。
例如，在验证欧姆定律（U = IR）时，通常的实验方法是分别测量出多个不同电压Ui下，通过电阻的电流值Ii，然后将这些(Ui, Ii)观测点，代入到一元最小二乘公式(1-1)中，便可计算出\hat{R}。
\begin{cases}a&=&\frac{\sum{xy}-\frac{1}{N}\sum{x}\sum{y}}{\sum{x^2}-\frac{1}{N}(\sum{x})^2}\\b&=&\frac{1}{N}\sum{y}-\frac{a}{N}\sum{x}\end{cases} (1-1)由此可得出线性拟合式(1-2)\hat{y}=a\hat{x}+b (1-2)其中，\hat{y}=\hat{U},\ \hat{x}=\hat{I},\ a=\hat{R},\ b 是残差。
通过此方法将观测点及拟合曲线绘制在同一个直角坐标系中，正常情况下可以直观地看到，观测点会均匀分布在直线附近，且每个点的残差平方和（即方差）最小。
“最小二乘法”由此得名。
2、普通最小二乘法（OLS）最小二乘法显然不只是一元线性回归那么简单，它还可以应用于多元参数的拟合。
本节将对普通最小二乘法（Ordinary Least Squares）的原理进行简单的推导和证明。
2.1、高斯—马尔可夫定理高斯—马尔可夫定理（the Gauss–Markov theorem，简称G-M定理）在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量（即Best Linear Unbiased Estimator，简称BLUE)。
G-M定理共对OLS普通线性方程提出5个假设：假设1（线性关系）：要求所有的母集团参数（population parameters）为常数，用来保证模型为线性关系。
【免费下载】秩亏网平差若干计算方法
秩亏网平差若干计算方法1.概述在测量平差中，控制网中除了必要起算数据外还有多余起算数据的是附合网，仅有必要起算数据的是自由网，这两种控制网在间接平差时误差方程系数矩阵都是满秩的，由此得到的法方程系数阵也是满秩的，即法方程B N =B T PB 有唯一解。
这是经典平差的范畴。
自由网中有一种具有特殊用途的控制网，就是秩亏自由网，这种自由网没有起始数据参与平差并且以待定点的坐标为待定参数。
此时的误差方程的系数阵是列亏阵，由此所得的法方程系数阵也是秩亏阵。
一般设网中全B N =B T PB 部的待定坐标个数为，必要观测数为，全部观测数为，为阶矩阵，相u t n B n ×u 应的法方程系数阵是阶矩阵，，秩亏数都为N u ×u R （B ）=R （N ）=t <u ，所以法方程有无穷组解。
这里产生秩亏的原因是控制网中没有起算d =u ‒t 数据，所以就是网中必要的起算数据个数。
对于水准网，必要起算数据是一个d 点的高程，故；对于测角网，必要起算数据是两个点的坐标，故；d =1d =4对于测边网或是边角网，必要起算数据是一个点的坐标和一条边的方位，故。
d =32.秩亏网平差模型以间接平差为例，令个坐标参数的平差值为，观测向量为，则秩亏网的误u X ~L 差方程为：（1）V =Bx ~‒l 式中，，，，R （B ）=t <u d =u ‒t X ~=X 0+x ~l =L ‒L0随机模型是：（2）D =σ2Q =σ2P ‒1根据最小二乘原理，在下，可组成发方程如下：V T PV =min （3）B T PBx ~‒B T Pl =0若是按照直接解法用如下的方程组来解求的解：x ~（a ）{V =Bx ~‒lB T PBx ~-B T Pl =0V T PV =min容易得到，即该方程组有解但不唯一，虽然满足最小二乘准则，但|B T PB|=0有无穷多组的解，无法求得唯一的，因为参数必须在一定的坐标基准下x ~x ~x ~才能唯一确定。
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第十四讲 矛盾方程（组）的解---最小二乘法
一、从实验数据处理谈起
设有一组实验数据(t 1，s 1)，(t 2，s 2)，……，(t n ，s n )，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。
假定规律为：2t c +1s=c ，由于存在误差i 2
t c (i 1,2,,n)≠+=i 1s c ，令
1121
22n n t 1s t 1c s A ,x ,b c t 1s ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
， 则：
Ax=b 实际无解，或者说矩阵方程Ax=b 成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有“解”。
怎么办？
一般处理是，定义一种目标函数，例如：
n
2
12i i 1i 2i i 1E(c ,c )w (s c t c )w 0==-->∑为加权系数
使误差12E(c ,c )最小化。
w i =1(i=1～n)时2
122E(c ,c )Ax b -＝
二、 最小二乘法（解）
对于矛盾方程Ax=b ，最小二乘法是求其“解”的一种方法。
即求使2Ax b min -=的解。
t
s
引理：m n A C ⨯∈设,A{1,3}由如下方程的通解构成：
(1,3)(1,3)(1,3)n m AX AA A{1,3}{A (I A A)Z Z C }⨯=→=+-∈
其中，A (1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。
证：1。
方程既然相容，设X 是其某个解，则
(1,3)H
(1,3)H
(1,3)
(i)
AXA AA A A X A{1}
(iii)(AX)(AA )AA
AX X A{3}
==→∈===→∈
即方程的解必在A{1,3}中。
2。
设X 为A 的一个{1,3}-逆矩阵，则 (
)()
()()()iii
H
H
(1,3)
(1,3)H
(1,3)
H
H
H
H (1,3)H
H
(1,3)(1,3)
AX AA
AX AA
AX A A X A A (AXA)AA AA
======
即，A 的{1,3}-逆矩阵必满足方程AX=AA (1,3)
{}
{
}
(1,3)(1,3)
(1,3)
n m
A{1,3}AX AA A
(I A
A)Z Z C
⨯∴==+-∈方程的所有解
＝
令(1,3)(1,3)X A I A A)Z ＝＋（－，则
(1,3)(1,3)(1,3)
(1,3)
(1,3)
H
(i)AX A AA A AZA AA AZA A X A{1}
(iii)AX AA
(A AA
A)Z A A
(AX)
X A{3}
=+-=∈=+-==∈
定理：矩阵方程Ax=b 的最小二乘解为 (1,3)x A b =，其中A (1,3)为A
的任何一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在X ，对于任何m b C ∈均有Xb 成为Ax=b 的最小二乘解，则X A{1,3}∈。
证明：
R(A)R(A)R(A)R(A)R(A)R (A)Ax b (Ax P b)(P b b)
(Ax P b)R(A),(P b b)(I P )b P b R (A)
⊥⊥
-=-+--∈-=--=-∈
所以，2222
R(A)R(A)R(A)22
2
2Ax b Ax P b P b b b P b -=-+-≥-， 故2
2Ax b -取得极小值的条件是x 为方程R(A)Ax P b = 的解。
任取一个(1,3)A A{1,3}∈，我们知道(1,3)R(A)AA P =。
而对于(1,3)x A b =，有(1,3)R(A)Ax AA b P b ==（但最小二乘解是否一定具有A (1,3)b 的形式呢？）
方程(1,3)Ax AA b =的通解为
{}
{}
(1,3)(1,3)(1,3)n
(1,3)(1,3)
(1,3)
n
x A AA b y A Ay y C y A b z
A
b (I A
A)z z C
=+-∈=+=+-∈
显然最小二乘解并不一定都具有A (1,3)b 的形式。
反之，若对于m (1,3)b C ,x Xb A b AA b ∀∈==R(A)均使x=P ，即
(1,3)(1,3)b,AXb AA b AX AA X A{1,3}∀=→=→∈有
推论：x 是方程Ax ＝b 的最小二乘解的充要条件是，x 为方程
H H A Ax A b =的解。
证：R(A)x Ax P b ⇔=为最小二乘解，而H R(A)N(A )b P b P b =+，故
H H H N(A )x Ax b P b N(A )A (Ax b)0
⇔-=-∈→-=为最小二乘解
最小二乘解一般不唯一。
三、 极小范数最小二乘解
定理2 ：设m n m A C ,b C ⨯∈∈ ，则x ＝+A b 是方程Ax ＝b 的极小范数最小二乘解。
反之，若存在n m X C ⨯∈，若对于所有m b C ∈，x ＝Xb 均
成为方程Ax ＝b 的极小范数最小二乘解，则X ＝+A 。
证：最小二乘解满足Ax ＝AA (1,3)b ，其极小范数解唯一，且为
b A b AA A x +==)()3,1()4,1(，反之，m b C ,Xb ∀∈均成为唯一的极小范数最小二乘解b A +，所以：X ＝+A 。
定理3：矩阵方程AXB ＝D 的极小范数最小二乘解唯一，且为
++=DB A X
证明略.。