函数的极值与导数公开课 ppt课件

值点， f(a) 叫做函数 y＝f(x)的极小值．y 函数取极小值时 f′(x) ，f(x)的变化情况:
x
a左侧 x=a
a右侧
f′(x) f(x)
-
0f′(x)<0+
f′ (x)>0
x
单调递减 极小值 单调递减f′a (a)=0
二、极值概念形成：如图是函数 y＝f(x)的图象．
问题 1：y＝f(x)在 x＝a 处的导数 f′(a)等于多少？ f′(a)＝0. 问题 2：当 x＝a 时，f(x)取最大值吗？x=a 附近 f(x)是最大值吗？
（1）确定函数的定义域
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成
若干个开区间，并列成表格
（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断
f(x)在这个根处取极值的情况
x0
若f 若f
’’((xx００))左左正负右右负正，，则则ff((xx００))为为极极大小值值；+
(3)极大值点和极小值点统称为 极值点 ，极大值和极小值统称
为函数的 极值 ．
b
x
极值与极值点辨析 函数的极值点是指函数取得极值时对应点的横坐标，而不 是点；极值是函数在极值点处取得的函数值，即函数取得极值 时对应点的纵坐标．
(a,f(a））
牛刀小试
1.下图是函数 y f (x) 的图象, 指出哪些是极大值
【课堂小结】 1.知识总结
2.方法总结
求函数y=f(x)的极值的方法
解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时: (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值. (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值.
课堂检测：
点, 哪些是极小值点.
思考：（1）函数的极大值就是函数的最大值吗？ （2）函数的极大值一定大于极小值吗？ （3）函数的极值点唯一吗？
极值概念的理解：
（1）函数的极值是一个局部概念，是某个点的 函数值与它附近的函数值比较是最大的或最小的， 不一定是最大值或最小值; （2）函数的极值不一定唯一, 可能有多个，也可能 极值不存在；极大值与极小值没有必然关系，极大 值可能比极小值还小.
③x＝2时，f(x)取到极大值； ④在x＝3时，f(x)取到极小值． 其中正确的是__________．
注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别
例2： 求函数 f x1x3 4x4的极值
3
新疆 王新敞
奎屯
巩固练习： 求函数 f x1x2 lnx的极值
2
-
求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
在 x＝d 附近左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0.
1．极值点与极值
(1)极小值点与极小值 若函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在 点 x＝a 附近其 他点 的函数值都小，f′(a)＝ 0 ，而且在点 x＝a 附近的左侧
f′(x) < 0，右侧 f′(x) > 0，就把 a 叫做函数 y＝f(x)的极小
1、函数 f (x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f (x)
(a,b) 内的图像如图所示，则函数 f (x)在开区间(a,b)
内有（ A ）个极小值点。
3.3.2函数的极值 与导数
一、回顾导入 1.利用导数的正负判断函数单调性的步骤？
(1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)判断导数的正负：在函数f(x)的定义域内解 不等式f′(x)>0和f′(x)<0；
(4)在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0， 那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。
若f(x0) 是极值，则f ’(x0)=0。 反之， f ’=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x) 在这点取得极值的 必要不充分条件。
典例分析：
例1、如图是函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图
象，对此图象，有如下结论：
①区间(－2,1)内f(x)是增函数； ②在区间(1,3)内f(x)是减函数；
（3） 极值点一定在区间的内部，端点不可能为 极值点．
课堂检测1：
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
①函数f(x)＝
1 x
（x>0）有极值.(
×)
②函数 y x2 2x的极大值点是（1，-1）. ( × )
③在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.( √ ) ④导数值为0的点一定是函数的极值点.(× )
二、极值概念形成：如图是函数 y＝f(x)的图象．
当 x＝d 时， 问题 1：y＝f(x)在 x＝d 处的导数 f′(d)等于多少？ f′(d)＝0 问题 2：当 x＝d 时，f(x)取最小值吗？x=d 附近 f(x)是最小值吗？
不是，但 f(d)比 x＝d 附近的函数值都小；
问题 3：在 x＝d 附近两侧导数 f′(x)的符号有什么特点？
不是，但 f(a)比 x＝a 附近的函数值都大．
问题 3：在 x＝a 附近两侧导数 f′(x)的符号有什么特点？
在 x＝a 附近左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0.
(2)极大值点与极大值 若函数 y＝f(x)在点 x＝b 的函数值 f(b)比它在 点 x＝b 附近其
他点 的函数值都大，f′(b)＝ 0 ，而且在点 x＝b 附近的左侧
-
+
-
求定义域—求导—求导数的零点— 列表—求极值
x0
例3：已知函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在点x ＝1处的极小值为－1，试确定a，b的值， 并求f(x)的单调区间．
结论：已知函数极值，确定函数解析式中参 数时：
(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组， 利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条 件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，就把 b 叫做函数 y＝f(x)的极大
值点， f(b) 叫做函数 y＝f(x)的极大值．
y 函数取极大值时 f′(x) ，f(x)的变化f′情(况b:)=0
x
a左侧 x=a
a右侧 f′(x)<0
f′(x)
+ f′ 0(x)>0 -
f(x)
单调递增 极大值 单调递减