模糊数学教学完整

（3）向量表示法 A ( A( x1), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
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A( x)
A
xU x
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例1. 有100名消费者，对5种商品 x1, x2, x3, x4, x5 评价， 结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好， 所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
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模糊数学 一 模糊集合及其运算
二 模糊聚类分析
三 模糊模式识别
四 模糊综合评判
五
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模糊线性规划
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模糊集合及其运算
一、经典集合与特征函数 集合：具有某种特定属性的对象集体。
通常用大写字母A、B、C等表示。
论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。
通常用大写字母U、V、X、Y等表示。
模糊数学绪论
用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为：
1.确定性现象：如水加温到100oC就沸腾，这种现象的规律
性靠经典数学去刻画；
2.随机现象：如掷筛子，观看那一面向上，这种现象的规律
性靠概率统计去刻画;
3.模糊现象：如 “今天天气很热”，“小伙子很高”，…等 等。
此话准确吗？有多大的水分？靠模糊数学去刻画。
则模糊集A（质量好）
A 0.81 0.53 1 0 0.24
x1
x2 x3 x4 x5
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例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集，
(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于高个子的程度为0.8, 另一个人属于 高个子的程度为0.3等.
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模糊数学绪论
• 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支
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{ 0, 1 } 特征函数
[ 0, 1 ] 隶属函数
二、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
~
x A( x) [0,1]
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为A 的隶属函
~
~
~
数，A( x) 称为x 对 A的隶属程度，简称隶属度。
~
~
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论域U中的每个对象u称为U的元素。
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模糊集合及其运算
.u
A uA
.u
A uA
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模糊集合及其运算
在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个
经典集合A，则必有 u A或者u A ，用函数表示为：
A : U {0,1} u A(u),
其中
A (u)
例如：某班学生对于对某一教师上课进行评价 从{清楚易懂，教材熟练，生动有趣，板书清晰}四方面 给出{很好，较好，一般，不好}四层次的评价 最后问该班学生对该教师的综合评价究竟如何。
4.模糊线性规划——将线性规划的约束条件或目标函数模糊
化，引入隶属函数，从而导出一个新的线性规划问题，其最优 解称为原问题的模糊示 x 隶属于A 的程度越小；
~
A( x) 越接近于1, 表示 x 隶属于A 的程度越大；
~
A( x)＝0.5, 最具有模糊性，过渡点
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
A
~
和
A
~
。
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模糊数学绪论
2.模糊模式识别——已知某类事物的若干标准模型， 给出一个具体的对象，确定把它归于哪 一类模型。 例如：苹果分级问题 苹果，有{I级，II级，III级，IV级}四个等级。 现有一个具体的苹果，如何判断它的级别。
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模糊数学绪论
3.模糊综合评判——从某一事物的多个方面进行综合评价
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模糊集合及其运算
模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有： （1）Zadeh表示法
A A( x1 ) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
这里
A( xi xi
)
表示
xi
对模糊集A的隶属度是
A( xi
)。
如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为
A 1 0.8 0.2 0 12 34
1, 0,
u A u A
非此即彼
函数 A 称为集合A的特征函数。
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模糊集合及其运算
亦此亦彼
A U
模糊集合 A , 元素 x ~
若 x 位于 A 的内部， 则用1来记录， 若 x 位于 A 的外部， 则用0来记录， 若 x 一部分位于 A 的内部，一部分位于 A 的外部， 则用 x 位于 A 内部的长度来表示 x 对于 A 的隶属程度。
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模糊数学绪论
年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。
共同特点：模糊概念的外延不清楚。
模糊概念导致模糊现象
模糊数学——研究和揭示模糊现象的 定量处理方法。
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模糊数学绪论
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐
• 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
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模糊数学绪论
• 课堂主要内容 一、基本概念 模糊集，隶属函数，模糊关系与模糊矩阵 二、主要应用 1. 模糊聚类分析——对所研究的事物按一定标准进行分类 例如，给出不同地方的土壤，根据土壤中氮磷以 及有机质含量，PH值，颜色，厚薄等不同的性 状，对土壤进行分类。
可省略
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表示方法1的说明
A A( x1) A( x2 ) A( xn )
x1
x2
xn
❖ 不是分式求和，只是一个符号
❖ “分母”是论域X的元素
❖ “分子”是相应元素的隶属度
❖ 当隶属度为0时，该项可以不写入
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模糊集合及其运算
（2）序偶表示法 A {( x1, A( x1)),( x2, A( x2 )),,( xn , A( xn ))}