【推荐精选】2018中考数学 专题突破导学练 第18讲 直角三角形试题

第18讲直角三角形

【知识梳理】

（一）直角三角形的性质

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。

2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（二）直角三角形的判定

1.在一个三角形中，有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。

3.在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【考点解析】

考点一：直角三角形的性质

【例1】（2017湖南株洲）

如图示在△ABC中∠B= 25°．

【考点】KN：直角三角形的性质．

【分析】由直角三角形的两个锐角互余即可得出答案．

【解答】解：∵∠C=90°，

∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣65°=25°；

故答案为：25°．

考点二、直角三角形的判定

【例2】在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( ) A．10 B．8 C．6或10 D．8或10

【知识点】勾股定理、分类讨论思想

【答案】C.

【解析】在图①中，由勾股定理，得

BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8;CD ＝AC 2－AD 2＝(210)2－62＝2;

∴BC ＝BD ＋CD ＝8＋2＝10.

在图②中，由勾股定理，得 BD ＝AB 2－AD 2＝102－62＝8;CD ＝AC 2－AD 2＝(210)2－62＝2;

∴BC ＝BD ―CD ＝8―2＝6.

故选择C.

第9题答案图②第9题答案图①D D

A

C

A C B

B

【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD 和CD ，从而可求出BC 的长.

【中考热点】

（2017宁夏）在△ABC 中，AB=6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME=DM ．当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 8 ．

【分析】根据直角三角形的性质求出DM ，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．

【解答】解：∵AM ⊥BM

，点

D

是AB 的中点，

∴DM=AC=3，

∵ME=DM，

∴ME=1，

∴DE=DM+ME=4，

∵D是AB的中点，DE∥BC，

∴BC=2DE=8，

故答案为：8．

【点评】本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

【达标检测】

1. （2017湖南岳阳）如图，点P是∠NOM的边OM上一点，PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，PQ ∥ON，则∠MPQ的度数是60°．

【分析】根据直角三角形的内角和，求得∠O，再根据平行线的性质，即可得到∠MPQ．【解答】解：∵PD⊥ON于点D，∠OPD=30°，

∴Rt△OPD中，∠O=60°，

又∵PQ∥ON，

∴∠MPQ=∠O=60°，

故答案为：60°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

2. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC 的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）

A．7 B．8 C．9 D．10

【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DF∥BM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题．

【解答】解：在RT△ABC中，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，

∴AC===10，

∵DE是△ABC的中位线，

∴DF∥BM，DE=BC=3，

∴∠EFC=∠FCM，

∵∠FCE=∠FCM，

∴∠EFC=∠ECF，

∴EC=EF=AC=5，

∴DF=DE+EF=3+5=8．

故选B．

3. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）

A．5 B．6 C．8 D．10

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∵AB=5，AD=3，

∴BD==4，

∴BC=2BD=8，

故选C．

4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．

【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．

【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行

四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．

【解答】解：连接CM，

∵M、N分别是AB、AC的中点，

∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，

∴MN=CD，又MN∥BC，

∴四边形DCMN是平行四边形，

∴DN=CM，

∵∠ACB=90°，M是AB的中点，

∴CM=AB=3，

∴DN=3，

故答案为：3．