石墨烯电子的能带和狄拉克方程

石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日）

（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）

作者： 北京东之星应用物理研究所

伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）

1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢

晶格原胞与基矢图⋅1 布里渊区与倒格子基矢图⋅2

图1中

)

0,3,3(2)0,3,3(221a a a a -===这里a =1.42

A 是。

由正格子基矢（12

2(3)0,3,1(32)0,3,1(3221a a b a b -==ππ

由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K ，'

K 的坐标是：

下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac 点或K ('

K )点

2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量

∑∑>

<+

+++-+=j i j i i

i i i i pz c h b a t b b a a H ,2).()(ε

上式还可表为矩阵形式：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∑∑∑>

<+

+><++++

j j j i ij pz ij

pz i i j j j i i i i i i i

i

pz b a t t b a b a t t b a b a b a ,22,2)(00)()(δεδεε

模型不考虑电子自旋，表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，pz 2ε是单电子2pz 轨道能量

石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A ，B 构成，任意选定一个格点位矢是i R

的A

原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B 类原子1j R ,2j R 和3j R

，如图3.

+

i a （j b ）是位于i R （j R ）的电子的产生（消灭）算符，

（4）中的对算符+i a j b 表示的物理过程描述被j b 在j R 处消灭一个电子后又在i R 由+

i a 产生一

3

2,3.j j ji i R R R R

和的三个最近邻参考原子图

个电子，此过程等同于电子由j R 跃迁到最近邻i R

，跃迁能t =2.8eV 。

考虑电子算符的傅里叶变换:

∑⋅=k

k R k i i a e N a i

ˆ1 ∑⋅=k

k R k i j b e N b j

ˆ1 这里N 是晶格原胞数。跃迁发生在A ，B 两个不等价子晶格之间，A ，B 两原子相对位矢(图3)：

2

121A B -j j i i

AB R R R R a a r r r

++=+=-=

将（5），（6）代入（4），将哈密顿量傅里叶展开，先考虑跃迁项

).(-,∑>

<++j i j i c h b a t

∑>

<+++

+++-=j i j i j i i i c h b a b a b a t ,21).(

∑∑∑∑+++-=⋅-⋅+⋅-⋅-⋅+⋅-+⋅--i

k a k i R k i k k k R k i k a k i R k i k k k R k i k k k k R k k i hc b e a e b e a e b a e t i i i i i )ˆˆN 1ˆˆN 1ˆˆN 1('''','''','',)'(21

利用公式：

∑=⋅--i k k R k k i i

e N ',)'(1

δ

哈密顿跃迁项化为：

c h b a e

e

t k

k k

a k i a k i .ˆˆ)1(-2

1

++++⋅-⋅-∑

类似计算哈密顿的原子位能项，可得

∑∑+++++=+k

k k k k pz i

i i i i pz b b a a b b a a )

ˆˆˆˆ()

(22εε

由(7）（8）代入(4),得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是

].ˆˆ)1[(-)ˆˆˆˆ(2

1

2c h b a e

e t b b a a H k

k k

a k i a k i k

k

k

k k

pz ++++=+⋅-⋅-++

∑∑ ε

3求解薛定谔方程和能量本征值

石墨烯是单层2维晶体，碳原子的s 2，x

p 2，y

p 2，

轨道通过2

sp 轨道杂化形成共面σ键，

而z p 2电子形成垂直于σ共价平面之上的离域大π

键。象σ铺垫的刚性平面之上自由流动的

电子气，π电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应，决定了石墨烯的电子结构和性质。

(7)

(8)

(9)

根据电子薛定谔定态方程

)

()()()(k k E k k H Φ=Φ

石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A ，B ，其2Pz 电子态基矢分别选取为：

0ˆ)(1+=Φk a

k ，

0ˆ)(2+=Φk

b k

这里

是粒子真空态。

（9）表达的紧束缚哈密顿)(k H 可以写为矩阵形式：

设系统的电子态矢量（波函数）为：

)

(C )(C )(2

211k k k Φ+Φ=Φ 代入薛定谔定态方程（10）有

由矩阵表达式（11）及方程 (12）有非平凡解的条件得到久期方程如下：

下面先计算哈密顿矩阵（11）的矩阵元，将（9）代入（11），

0ˆˆˆ0)1(-0ˆˆˆˆ0)1(-])0ˆˆˆ00ˆˆˆ0[0ˆˆ0''''''''2122

1

2

1'

''''++⋅⋅++⋅-⋅-+++++∑∑∑+++

+++==k

k k k k a k i a k i k k k k k a k i a k i k k

k k k k k k k pz k k b a b a e

e

t b b a a e e

t b b b a b a a a b H a H ’’

ε

)

1(-)1(-2

1

2

1

'

''a k i a k i kk k a k i a k i e

e

t e

e t

⋅-⋅-⋅-⋅-++=++=∑δ’

同样计算方法可得

pz H H 22211ε==，

)1(-2

1

21a k i a k i e

e

t H ⋅⋅++=

(11)

⎢⎢⎣⎡++0ˆˆ00ˆˆ0k

k k k a H b a H a ⎥⎥⎦

⎤++0ˆˆ00ˆˆ0k k k k b H b b H a ⎢⎣⎡2111H H =⎥⎦⎤2212H H 0)C C )((2211=Φ+Φ-E H (12) 02212=-E H H 2111H E H -(13) (10)