石墨烯电子的能带和狄拉克方程

石墨烯电子能带之数理演绎 （2015年2月20日）（为苦研物理学理论的探路者提供数理基础的参考）作者： 北京东之星应用物理研究所伍 勇 ， 贺 宁（计算机软件工程师）1. 石墨烯晶格的基矢和倒格子基矢晶格原胞与基矢图⋅1 布里渊区与倒格子基矢图⋅2图1中)0,3,3(2)0,3,3(221a a a a -===这里a =1.42A 是。

由正格子基矢（122(3)0,3,1(32)0,3,1(3221a a b a b -==ππ由此计算图2第一布里渊区的两个狄拉克(Dirac)点K ，'K 的坐标是：下面能带计算表明只有第一布里渊区的六个顶点在费米面上，称费米点，又称Dirac 点或K ('K )点2. 石墨电子紧束缚近似二次量子化形式的哈密顿量∑∑><++++-+=j i j i ii i i i pz c h b a t b b a a H ,2).()(ε上式还可表为矩阵形式：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑><++><++++j j j i ij pz ijpz i i j j j i i i i i i iipz b a t t b a b a t t b a b a b a ,22,2)(00)()(δεδεε模型不考虑电子自旋，<i,j >表示只对最近邻格点的电子跃迁求和，pz 2ε是单电子2pz 轨道能量石墨晶格是由两类几何环境彼此不等价的碳原子A ，B 构成，任意选定一个格点位矢是i R的A原子为参考原子，环绕它的是三个最近邻B 类原子1j R ,2j R 和3j R，如图3.+i a （j b ）是位于i R （j R ）的电子的产生（消灭）算符，（4）中的对算符+i a j b 表示的物理过程描述被j b 在j R 处消灭一个电子后又在i R 由+i a 产生一32,3.j j ji i R R R R和的三个最近邻参考原子图个电子，此过程等同于电子由j R 跃迁到最近邻i R，跃迁能t =2.8eV 。

考虑电子算符的傅里叶变换:∑⋅=kk R k i i a e N a iˆ1 ∑⋅=kk R k i j b e N b jˆ1 这里N 是晶格原胞数。

跃迁发生在A ，B 两个不等价子晶格之间，A ，B 两原子相对位矢(图3)：2121A B -j j i iAB R R R R a a r r r++=+=-=将（5），（6）代入（4），将哈密顿量傅里叶展开，先考虑跃迁项).(-,∑><++j i j i c h b a t∑><++++++-=j i j i j i i i c h b a b a b a t ,21).(∑∑∑∑+++-=⋅-⋅+⋅-⋅-⋅+⋅-+⋅--ik a k i R k i k k k R k i k a k i R k i k k k R k i k k k k R k k i hc b e a e b e a e b a e t i i i i i )ˆˆN 1ˆˆN 1ˆˆN 1('''','''','',)'(21利用公式：∑=⋅--i k k R k k i ie N ',)'(1δ哈密顿跃迁项化为：c h b a eet kk ka k i a k i .ˆˆ)1(-21++++⋅-⋅-∑类似计算哈密顿的原子位能项，可得∑∑+++++=+kk k k k pz ii i i i pz b b a a b b a a )ˆˆˆˆ()(22εε由(7）（8）代入(4),得到动量表象的紧束缚模型二次量子化哈密顿是].ˆˆ)1[(-)ˆˆˆˆ(212c h b a ee t b b a a H kk ka k i a k i kkkk kpz ++++=+⋅-⋅-++∑∑ ε3求解薛定谔方程和能量本征值石墨烯是单层2维晶体，碳原子的s 2，xp 2，yp 2，轨道通过2sp 轨道杂化形成共面σ键，而z p 2电子形成垂直于σ共价平面之上的离域大π键。

象σ铺垫的刚性平面之上自由流动的电子气，π电子参与石墨烯的一切外在物理过程和化学反应，决定了石墨烯的电子结构和性质。

(7)(8)(9)根据电子薛定谔定态方程)()()()(k k E k k H Φ=Φ石墨烯一个原胞内包含两个不等价原子A ，B ，其2Pz 电子态基矢分别选取为：0ˆ)(1+=Φk ak ，0ˆ)(2+=Φkb k这里是粒子真空态。

（9）表达的紧束缚哈密顿)(k H 可以写为矩阵形式：设系统的电子态矢量（波函数）为：)(C )(C )(2211k k k Φ+Φ=Φ 代入薛定谔定态方程（10）有由矩阵表达式（11）及方程 (12）有非平凡解的条件得到久期方程如下：下面先计算哈密顿矩阵（11）的矩阵元，将（9）代入（11），0ˆˆˆ0)1(-0ˆˆˆˆ0)1(-])0ˆˆˆ00ˆˆˆ0[0ˆˆ0''''''''2122121'''''++⋅⋅++⋅-⋅-+++++∑∑∑++++++==kk k k k a k i a k i k k k k k a k i a k i k kk k k k k k k pz k k b a b a eet b b a a e et b b b a b a a a b H a H ’’ε)1(-)1(-2121'''a k i a k i kk k a k i a k i eet ee t⋅-⋅-⋅-⋅-++=++=∑δ’同样计算方法可得pz H H 22211ε==，)1(-2121a k i a k i eet H ⋅⋅++=(11)⎢⎢⎣⎡++0ˆˆ00ˆˆ0kk k k a H b a H a ⎥⎥⎦⎤++0ˆˆ00ˆˆ0k k k k b H b b H a ⎢⎣⎡2111H H =⎥⎦⎤2212H H 0)C C )((2211=Φ+Φ-E H (12) 02212=-E H H 2111H E H -(13) (10)将以上结果代入（13）得：0)1(-)1(-222121=-++++-⋅⋅⋅-⋅-Eeet ee t Epz a k i a k i a k i a k i pz εε对应石墨烯是理想结构的情况，可以选取原子轨道能级 作为 能带能量)(k E 的参考点。

展开（14），解得石墨烯的能带：)]}(cos[2)cos(2)cos(23{)1)(1(21212222121a a k a k a k t e e e et E a k i a k i a k i a k i -⋅+⋅+⋅+=++++=⋅-⋅-⋅⋅ 其中y x y x k a k a a a k k a k 2323)23,23)(,(1+==⋅y x k a k a a k 23232-=⋅y ak a a k 3)(21=-⋅经过初等三角函数和差运算后，得到石墨烯能带，即 电子的色散关系)(k E :)23cos()23cos(4)3cos(23),(a k a k a k t k k E x y y y x ++±=± 作者将（15）尝试用Mathematica 软件作图，如图4所示，-号对应较低π轨道能谱，+号对应较高的*π反键轨道能谱.。

作者曾在参考文献（2）（3）粗略计算过石墨烯原子片的电子态密度（Density of states (DOS)）,如图5所见，E F 以下的价带（π）完全被电子占据，近满带，而EF 以上导带（*π）空空荡荡，视为空穴占据，近空带，导带与价带是连通的，在狄拉克点附近DOS 接近零。

对于零温，由（15）描述的能带， π带与*π带关于E=E F =0完全对称，二者在布里渊区高度对称的六个K 点相交，费米面也刚好穿过，或说费米面在这里退缩为共面的六个点，位于价带导带之间，成为石墨烯导带和价带的对称面，所以石墨烯是零带隙的半导体，因而有卓越的导电性。

在K 点附近，图（4）所描绘的能量与动量的色散关系是线性的，这直线在K 点绕布里渊区(B.Z)平面的垂线旋转一周，形成对顶的双圆锥，称狄拉克锥。

这种独特的能带结构，决定了石墨烯电子的无质量狄拉克费米子的属性，不能再用传统薛定谔方程描述，必须建立石墨烯的狄拉克方程，关于石墨烯2维狄拉克方程的数理演绎请见我们将撰写上传的后续文档。

图6是用MATLAB 软件制作的能带图，它在复制到Word 过程中，在狄拉克锥尖端细节丢失较多,但海浪与彩虹交映齐飞的景象，可能更显示石墨烯的独特不凡，我们愿意将它呈现在这篇文档里。

02=pz επ(14)(15)πK'K band*πbandπ点）点（个相交于与导带。

价带石墨烯电子的能带结构图K Dirac 64.*ππ0=F E ）状态密度（石墨烯原子片的电子总图DOS 5.5-4-5-4-3-2-1012345-0.06-0.04-0.0200.020.040.06)(6.MATLAB 。

石墨烯电子的能带结构图参考文献1). A. H. Castro Neto, F. Guinea et al.: The electronic properties of graphene, 14 January 2009 2). 伍 勇：碱金属在石墨表面化学吸附的EHT 研究，复旦学报（自然科学版），No.2 /2000 3).伍 勇：Theoretical Study on Electronic Properties of Potassium Adsorption on Graphite Surface, 发光学报，No.1 /2004.4)伍 勇，贺 宁：石墨烯能带旋转图，石墨烯能带旋转图b, 视频剪辑 (.avi) 2015年2月22日 /bbs/viewthread.php?tid=8570394。