江苏专转本高数 第一节 映射与函数(一)

x
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(6) 【取最值函数】
y max{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
y min{ f ( x ), g( x )}
y
f ( x) g( x )
o
x
o
x
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(7)【分段函数】
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.
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2.【逆映射与复合映射】
⑴【逆映射】设
f : X Y
是单射
定义 g : f ( X ) X 称映射 g 为映射 f 的逆映射
记作
f 1
【注】 ①只有 f 是单射才存在逆映射.
X f ( X ) 满且单，故而是双射
② 逆映射 f 1是指从值域 f ( X )到X的映射
函数y f ( x )的图形.
【注意】微积分所研究的函数都是单值函数。
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4.【几个特殊的函数举例】
(1)【常数函数】
yc
c为常数
y
yc
o
图形是一条平行于 x轴的直线
源自文库
x
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(2)【绝对值函数】
x y x x
x0 x0
因变量 函数 自变量 函数值
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的 函数值
函数值全体组成的数集 R f { y y f ( x ), x D} 称为函数的 值域
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2.【函数的两要素】定义域与对应法则.
(
x
D
对应法则f
x0 )
f ( x0 )
[x]表示不超过
y 4 3 2 1 o
x 的最大整数
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
该函数是数论中一个 极为重要的函数
阶梯曲线
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(5) 【 狄利克雷函数】
1 当x是有理数时 y D( x ) 0 当x是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
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某班学生的集合 按一定规则入座
某教室座位 的集合
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【引例2】
【引例3】
(点集) (点集) 向 y 轴投影
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(1)【定义4】 设X,Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 有唯一确定的 与之对应 ,则 f : X Y 称 f 为从X 到Y 的映射, 记作 则f ,使得
从 Y 到 X不一定是映射
如以上三例中，只有例3存在逆映射.
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⑵【复合映射】 ①【引例】
D1
D
手电筒
D2
D 复合映射
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②【复合映射】
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设有两个映射 g : X Y1 , f : Y2 Z 且Y1 Y2
定义
f g:X Z
M * 表示 M 中排除 0 的集 ;
M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
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(2) 【表示法】 ① 列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 【例】有限集合 A a1 , a2 , , an 自然数集
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a i N 0 , 1 , 2 , , n , n
对偶律（反演律或德· 摩根律）
( A B) A B
C C
C
( A B) A B
C C
C
［并之补等于补之交，交之补等于补之并］
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3.区间和邻域
⑴【区间】 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a , b R, 且a b.
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如果自变量在定义 域内任取一个数值时， 对应的函数值总是只有 一个，这种函数叫做单 值函数，否则叫多值函 数．
y
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y
W
o
( x, y)
x
例如，x y a ．
2 2 2
x
D
3.【函数图形】 【定义】点集C {( x , y ) y f ( x ), x D} 称为
【规定】空集为任何集合的子集.
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（2）运算 【定义3】给定两集合A、B,定义下列运算: 并集 A B x
A B
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交集 A B x
差集 补集 直积
A\ B x
C
且 且 x B
或
B A
A\ B
A B
A I \ A ( 其中A I )
2.集合间的关系及运算：
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（1）关系 【定义2 】 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A
是B 的子集,或称 B 包含 A , 记作 A B .
若
且
则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
若AB，且A≠B，则称 A 是 B 的真子集.记作A B ≠ 【例如】 显有关系: , ,

n i 1
②描述法： M x x 所具有的特征 【例】整数集合 Z x x N 或 x N p p Z , q N , p 与 q 互质 有理数集 Q q 实数集合 R x x 为有理数或无理数
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2
x R
非满射
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f ( R) y y 0
【例2】 f : X Y 其中
Df R

R
除y 0外原像都不唯一
X ( x, y ) x 2 y 2 1
y
Y ( x,0) x 1 Df X
f (X ) Y

非单射

X
x
满射但非单射
Y
o
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①映射具备三要素 a . 定义域 D f X
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b. 值域 f ( X ) R f Y
c . 对应法则 f
②映射的特点 ① 任一 x X 在Y 中都有像
② x 的像 y 必须唯一 ③ y 的原像 x 不一定唯一 ④ 值域 R f Y (不一定R f Y )
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X f ( X ) R f 必是满射
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②对单射 f 而言，元素 y 的原像 x 必唯一. ③单射、满射前提条件首先是映射.
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【说明】映射 f (算子)在不同数学分支中的惯用名称: ①泛函： X (≠ )
f
Y (数集)
例如： «实变函数与泛函分析» f ②变换： X (≠ ) X 如：« 线性代数»中的线性变换、矩阵变换、变换群等. ③函数: X (数集 或点集 ) f R , 例如： « 高等数学»中的函数。
X
f
Y
元素y 称为元素x 在映射f 下的像 , 记作 y f ( x ). 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
集合X 称为映射 f 的定义域 ;记作Df =X
Y 的子集 R f f ( X ) f ( x ) x X 称为 f 的值域 .
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【注意的问题】
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【例3】 f : , 1,1 2 2 D f , 2 2
f ( x ) sin x
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y

2
1
R f 1,1
单射、满射
f : X Y
o
1
2
x

一一映射
【注意】 ①定义域到值域的映射必为满射. 即 但 是映射但不一定是满射
自变量
(
Rf
y
)
因变量
【注意】两要素是判断两函数是否相同的唯一标准.
如 y x 与 s t 是相同的函数 , 与字母无关
【约定】定义域是自变量所能取的使算式有意义的 一切实数值.（自然定义域）
如，y 1 x 2
1 D : [1,1] ； y 1 x2
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D : ( 1,1)
三、函数概念
【引例】 圆内接正多边形的周长
S n 2nr sin n
S3
S4
S5
圆内接正n 边形
S6
O
n
n 3 ,4 ,5 ,
r
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1.【函数定义】设数集D包含于R，则称映射 f ：D→R 为定义在D上的函数，通常简记为:
定义域
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y f ( x ) , x D,
开区间 ( a , b ) x a x b

b
闭区间 [ a , b ] x a x b
o
a

x
o
a
b
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x
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半开区间
有限区间 无限区间 无限区间
o
a o
b
x x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
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称 f g 为映射 g 和 f 构成的复合映射
( f g )( x ) f g( x ) Z , x X
【注意】
(1) 构成复合映射的条件 ：g ( X ) R g D f 不可少
(2) f g 与 g f 是有区别的.
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⑵【邻域】
点a 的 邻域


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a a a x
(
)
去心 邻域
其中,
a 称为邻域中心 ,
称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
注意， x a 意味着 x a 0
Flash动画演示
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二. 映射
1. 【映射的概念】
【引例1】 某校学生的集合 学号的集合 按一定规则查号
故 D f : [3,1]
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四、函数的特性
1.【函数的有界性】
(1)【定义】 若数集X D, K1 , x X , 有 f ( x ) K1
称函数 f ( x ) 在 X 上有上界 ( K1是其中的一个 上界 )
若K 2 , 使得
f ( x) K2
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对映射 (2)【定义】
X
f
Y f (X )
①满射 若 f ( X ) Y ,则称 f 为满射; 引例2, 3
②单射
若
有
X
Y
则称f 为单射; 引例2 ③双射 若f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射 或一一映射.
引例2
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【例1】
f :R R
f ( x) x
y
y x
o
x
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(3) 【符号函数】
1
y
1 当x 0 y sgn x 0 当x 0 1 当x 0
o -1
x
x sgn x x
或
x sgn x x
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(4) 【取整函数 】y=[x]
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第一节
映射与函数（一）
一. 基本概念 二. 映射 三. 函数概念 四. 函数的特性 五. 反函数 六. 小结 思考题
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一、基本概念
1. 定义及表示法
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(1)【定义 1】 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.
组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 . 元素 a 属于集合 M , 记作 a M . 元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) . 【注】M 为数集
A B ( x , y ) x A , y B
特例: R R 记
IC A
B
A
R2 为平面上的全体点集
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A B A
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（3）运算律 【集合的并、交、补运算的运算律】
交换律 结合律 分配律
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A B B A
A B B A
( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C ) ( A B) C ( A C ) ( B C )
例如,
2 x 1, f ( x) 2 x 1,
y x2 1
x0 x0
y 2x 1
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【例1】
1 0 x1 设f ( x ) , 求函数 f ( x 3)的定义域 . 2 1 x 2
1 0 x1 【解】 f ( x ) 2 1 x 2 1 0 x31 f ( x 3) 2 1 x 3 2 1 3 x 2 2 2 x 1