材料力学第二章 轴向拉压

0,
max
( 0)
max
(
0
,横截面上。
(2) max :
45

2
,450斜截面上。
19

2
)
四、拉压杆的强度计算
1、极限应力、许用应力
⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生 过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“ζ jx”（ζ u、ζ 0） ⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[ζ ]”
8、公式的使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
16
三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
FN= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 F F F
F


FN
x
p
②应力公式—— FN F F p cos cos A A A cos
F
25KN
X
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
170MPa 3、强度校核： max 162MPa
此杆满足强度要求，能够正常工作。
23
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
2
活塞杆
厂房的立柱 F
F
3
二、轴向拉压的概念：
外力合力作用线与杆轴线重合。 （1）受力特点：
（2）变形特点：杆沿轴线方向伸长或缩短。 FN1
B
A C
F FN2 FN1 FN2
以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。
4
§2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件 一、轴向拉压杆横截面的内力
FN2
FN 2 FB FC FD 0
FN2= –3F，
求BC段内力：
X 0 FN 3 FC FD 0
FN3= 5F，
求CD段内力：
X 0
FN 4 FD 0
FN4= F
FN1 2F ,
FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
FN1 2F , FN2= –3F， FN3= 5F， FN4= F
1.内力
——
轴力（用FN 表示）
X 0,
FN P 0
FN P
5
例：已知外力 F，求：1－1截面的内力FN 。 解： （截面法确定） 1—1 F ①截开。
②代替，FN 代替。 ③平衡， ∑X=0, FN - F = 0, FN = F。 以1－1截面的右段为研究对象： FN
F
B
a C
2) 计算：
Fa 3Fa 4 Fa FN L (1). L LAC LAB LBC EA EA EA EA 3Fa (2). B LBC 负值表示位移向下 EA Fa LAB F EA (3). AB LAB a EA 40

jx
n
（其中 n 为安全系数,值 ＞ 1）
⑶、安全系数取值考虑的因素：
（a）给构件足够的安全储备。
（b）理论与实际的差异。
20
2、强度条件：最大工作应力小于等于许用应力
max ≤
等直杆： max 变直杆： max
FN max A
FN A max
斜撑杆
26
解：1. 斜撑杆受力分析
M A 0,
FN,max
FN
Fx hcos
Fl h cos
2. q 最佳值的确定
由强度条件
A
FN,max [ ]
，
FN,max Fl Amin [ ] [ ]hcos
VBD Aminl BD
欲使VBD 最小
Fl h 2Fl [ ]h cos sin [ ]sin 2
sin 2 1
opt 45
27
例 试求薄壁圆环在内压力作用下径向横截面上的环向拉应 力。已知：d 200mm, δ 5mm, p 2MPa。 b p
解：
d
可认为径向截面上的拉应力沿壁厚均匀分布
A b
28
y
p
FN
p
FR d FN
根据对称性可得，径截面上内力处处相等
FN 1 2F [ t ], [ t ] A1 A1
A1[ t ] F 14.14 kN 2
F [ c ] A2
F A2[ c ] 15.0 kN
25
[ F ] 14.14 kN
例 已知：l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [ ]. 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值.
21
3、强度条件的应用： （解决三类问题）：
（1）、校核强度——已知：F、A、[ζ ]。求： max ≤
？
FN max ？ max A （2）、设计截面尺寸——已知：F、 [ζ ] 。求：A
解：
FN max 解： max A
A ≥ FNmax／ [ζ ] 。
应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
32
§2-4 轴向拉压杆的变形 一、轴向拉压杆的变形
节点的位移
1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。
33
分析两种变形 1、轴向变形： ΔL= L1 - L ，
L
L （1）轴向线应变： L （2）虎克定律:
N or A
N MPa 2 mm
15
——轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式
N Pa 2 m
6、拉压杆内最大的正应力：
等直杆： max
FN max A
变直杆： max
FN A
max
7、正应力的符号规定——同内力
拉应力为正值，方向背离所在截面。 压应力为负值，方向指向所在截面。
F
FN
F
内力 FN 沿轴线方向，所以称为轴力。
6
2、轴力的符号规定：
拉伸—拉力，其轴力为正值。方向背离所在截面。 压缩—压力，其轴力为负值。方向指向所在截面。 F FN （＋）FN F
F
FN （－）FN
F
7
3、轴力图： 轴力沿轴线变化的图形
F FN F
4、轴力图的意义
① 直观反映轴力与截面位置变化关系；
30
§2-3
应力集中
应力集中概念
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
应力集中因数
max K 0
max－最大局部应力 31 0 －名义应力(净截面上的平均应力）
应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 max＝b 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当max达到s 后再增加载荷， 分布趋于均匀化，不影响构件静强度
在弹性范围内, (当 p时)
L1

l l

E
b1
b

FN A

a1 a
FN L L EA
（虎克定律的另一种表达方式）
EA－抗拉（压）刚度 l－伸长为正，缩短为负
34
L
2、横向变形：
a a1 a,
b b1 b
L1
b1
b
横向线应变：
在弹性范围内：
轴力图如下图示
O
A
FA
B
FB 5F 3F
C
FC F
D FD
FN
2F
x
11
二、轴向拉压杆横截面的应力
推导思路：实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式
1、实验：
变形前
受力后
F F
2、变形规律： 横向线——仍为平行的直线，且间距增大。
纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
3、平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面且各横截
面沿杆轴线作相对平移
12
横向线——仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距减小。
13
横向线——仍为平行的直线，且间距减小大。 纵向线——仍为平行的直线，且间距增大。
14
4、应力的分布规律——内力沿横截面均匀分布
5、应力的计算公式：
F

FN
A FN
FN A
or A N
+
x
② 确定出最大轴力的数值及其所在位置，即确定危险截面位置，为 强度计算提供依据。
8
例
图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8
F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆
的轴力图。
O A FA FN1 A FA B FB B FB C FC C FC D FD D FD
FN
17
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos2
p sin
2 sin 2
F


p
2、符号规定 ⑴、：斜截面外法线与 x 轴的夹角。
由 x 轴顺时针转到斜截面外法线——“”为负值
用拉应力 [t ]=200 MPa，许用压应力 [c ]=150 MPa 试求：载荷F的许用值 [F]
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解：1. 轴力分析
由
F
x
0,
F
y
0
FN1 2F (拉伸)
FN2 F (压缩)
2. 利用强度条件确定[F]
（A1=A2=100 mm2，许用拉应力 [ t ]=200 MPa，许用压应力 [ c ]=150 MPa）
FR FN 2
29
y FR
d d F p(b d ) 2
d
FN
d ( pb d )sin pbd 0 d 2 FN pbd FN 2 1 pbd pd FN ( ) b 2 2 A
π
p
FR d Fsin
0
π
(2MPa)(200mm ) 40MPa 2(5mm)

由 x 轴逆时针转到斜截面外法线——“” 为正值；
⑵、σ：同“σ”的符号规定
⑶、τ：在保留段内任取一点，如果“τ”对该点之矩为 18 顺时针方向，则规定为正值，反之为负值。
3、斜截面上最大应力值的确定
F


FN
x
cos ,
2

2
sin 2
( wk.baidu.com ) max :
a a
b b


a1 a
横向变形系数（泊松比）：
35
a. 等直杆受图 示载荷作用，计算总变形。（各段 EA均相同）
N i li 1 n l N i li n 3 EA i 1 i 1 EA
n
36
b. 阶梯杆，各段 EA 不同，计算总变形。
例 已知：l = 54 mm ，di = 15.3 mm，E＝200 GPa，
0.3，拧紧后，l ＝0.04 mm。 试求：(a) 螺栓横截面上的正应力
FNi Li L L1 L2 L3 Ei Ai
37
c. 轴向变形的一般公式
d( l )
FN ( x )dx EA( x )
FN ( x ) l dx l EA( x )
38
例
试分析杆 AC 的轴向变形 l
分段求解:
FN1 F2 F1
FN2 F2
（3）确定外荷载——已知： [ζ ] 、A。求：F。
FN max 解： max A
FNmax ≤ [ζ ] A。→ F
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例 已知一圆杆受拉力F =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求(校核强度)。
F
FN 解：1、轴力FN =F =25kN 2、应力： max
第二章 轴向拉伸和压缩
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例 §2-2 轴向拉压杆横截面的内力、应力及强度条件
§2-3 应力集中概念 §2-4 轴向拉压杆的变形 节点的位移
§2-5 材料在拉压时的力学性质
§2-6 轴向拉压杆系的超静定问题
1
§2-1 轴向拉伸与压缩概念与实例
一、轴向拉压的工程实例：
工程桁架
FN1l1 FN2l2 ( F2 F1 )l1 F2 l2 l EA EA EA EA
F2 (l1 l2 ) F1l1 l EA EA
39
A a
F 2F 3F
x F
例 ：已知杆件的 E、A、F、a 。
求：△LAC 、δ B（B 截面位移） ε AB （AB 段的线应变）。 解：1)画 FN 图： FN
解： 求OA段内力FN1：设截面如图
X 0
FD FC FB FA FN1 0
FN1 2F
9
F 4F 8F 5F FN1 0
O
A
FA
B
FB B FB FN3
C
FC C FC C FC FN4
D
FD D FD D FD D FD
10
求AB 段内力：
X 0