不定积分的定义
不定积分的概念与性质
式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求
1dx x
解:
ln x 1
x
1dx x
ln
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求
2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx
不定积分的概念与性质ppt课件
例4 求 tan2 xdx
例6 求
1 sin2 x cos2 x dx
22
小结
一、不定积分的概念
（原函数、不定积分的定义及几何意义）
二、不定积分的性质
（互逆性质、线性性质）
三、直接积分法
可导函数F(x),使对任一 x I 都有F ( x) f ( x)
➢唯一性
(F(x)) f (x) (F(x) C) f (x)
若函数f(x)在区间I上存在原函数，则原函数不唯一
➢结构
F(x)的一个原函数
{f (x)的原函数} {F(x)+C} 设( x)是f (x)的另一个原函数任,则意常数( x) F( x) C
三、直接积分法举例
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot x C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arc cot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arc cos x C
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
ln a
不定积分的性质
不定积分的性质
不定积分是指在一定的定义域范围内，求解定义域内函数与常量之和的运算，称为不
定积分。
其形式为∫abf(x)dx，其中f(x)是定义域[a,b]内定义的一个连续函数，则称为
不定积分。
（一）不定积分的定义域在完成时会发生变化：
求不定积分就是求解一段区间上的函数加上一个常量的和。
也就是说，每次求不定积
分的时候，函数的定义域会发生变化，从而使积分的值也会随着变化。
不定积分的定义域会发生变化，由此引起积分限也会产生变化，比如，积分限变成以上，由此带来的积分值也会有所变化。
（三）不定积分的积分式有泰勒级数的性质：
由定义可知不定积分的求解结果具有和某个函数的泰勒展开式相似的性质，由此可知
不定积分的求解过程可以当成是求某一函数泰勒级数展开式的过程。
（四）不定积分存在正则函数：
正则函数是指在可分离的每一个区间上，它的积分值都是不变的。
而不定积分也可以
表示为一个正则函数，即一分可分离的每一个区间上，其积分值都是不变的。
（五）不定积分有极限值：
不定积分的极限值是指在某一定域内的无穷大函数的最大值，这有助于我们在求解不
定积分的时候能够给出一个合理的结果。
不定积分可以通过变换来改变积分式，这有助于我们求出一些不容易求出的积分值，
比如要求b>a时的积分值，可以通过将变量x变成−x的形式来改变积分式，从而求出结果。
总之，不定积分具有定义域、积分限、正则函数及极限值、变换性等特性，是很重要
的一类积分的概念。
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
不定积分常用的16个基本公式
不定积分常用的16个基本公式近年来，随着数学研究的深入发展，不定积分及其应用在许多领域发挥着重要作用。
它不仅可以在数学方面发挥重要作用，而且可以在工程，物理，经济学等多个学科中得到应用。
不定积分可以根据它的定义和它的公式来求解，其中有16个主要的基本公式。
首先，不定积分的定义是什么？它是用来表示一个函数的增量的定义，就是说，它是一个函数f（x）的“梯形”，得到这个梯形的面积，可以用不定积分法来进行计算。
其中，有16个主要的基本公式，分别是：1）不定积分公式：intf（x）dx=f（x）+ c2）乘积公式：intu（x）v（x）dx=intu（x）dx intv（x）dx 3）反函数公式：int（1/U）dx=ln|U（x）|+c4）倍拆公式：int（f（x）+g（x））dx=intf（x）dx+intg（x）dx5）定积分公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b6）分部积分公式：intf（x）dx=f（x）intf（x）dx+c7）牛顿-洛克（N）公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b + (b-a) intf（x）dx|_a^b8）级数积分：int[f（x）+ fi（x）]dx= intf（x）dx+ intf （x）dx|_a^b9）变量变换：intu（x）dx= intu（u）du10）定积分变换：int_a^bf（x）dx= int_a^bf（u）du11）约瑟夫-马尔科夫（J-M）公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f （x） intf（x）dx|_a^b12）奇拆公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f（x） intf（x）dx|_a^b 13）展开与积分公式：intu（x）v（x）dx= intu（x）dx intv （x）dx+intv（x）dx intu（x）dx14）矩形公式：int_a^bf（x）dx=frac{f（a）+f（b）}{2} int_a^b1dx 15）双曲函数公式：intfrac{1}{u（x）}dx=intfrac{1}{u（x）}dx+c 16）椭圆曲线公式：intfrac{1}{u（x）v（x）}dx= intfrac{1}{u （x）}dx+ intfrac{1}{v（x）}dx上述16个基本公式，构成了不定积分的基础，是解决不定积分问题不可缺少的重要部分。
不定积分的概念与性质
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
不定积分的定义和性质
F ( x) G( x) C（C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数 称为 f ( x )在区间 I 内的不定积分，记为
f ( x)dx 。
即：
积分号
f ( x)dx F ( x) C
积分常数
被积 函数 积分 变量
求不定积分的中心问题是 寻求被积函数f ( x ) 的一个 原函数。
（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如， 曲线 y F ( x) 沿y轴平行移 C 位而得到。当 C 0 时向上移动； 当 C时，向下移动。 0 y f ( x) （2）由于 [ F ( x) C ]' F ' ( x) f ( x) ，即横坐标相同点x处， o x f (x) 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 ，从而 使相应点的切线平行。
现证(1) f ( x)dx g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5
求积分 (
3
2
3
2
1 x 2
x x
(6)
cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;
cos
sin
dx
2 2
(12)
(7)
(13)
a dx
x
a
x
C;
ln a
(8)
x
sec xdx tan x C ;
csc xdx cot x C;
5.1不定积分的概念
d [ f ( x )dx ] f ( x )dx ,
F ( x )dx F ( x ) C ,
dF ( x ) F ( x ) C .
结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
思考 1、 （1）求 （2）求 （3）求
若f ( x)的一个原函数为sin x
f ( x)dx
基 (1) 本 ( 2) 积 分 ( 3) 表
x x dx 1 C ( 1);
C kdx kx 1
( k是常数);
dx x ln | x | C ;
（sin x） cos x
/
（cos x） sin x
/
1 2 （tan x） sec x 2 cos x 1 / (cot x) 2 csc 2 x sin x
W W W B W B Cv y ( ln ), 2 g C C W B
令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出
y= 238.4 (英尺)＜300(英尺)
问题的实际解答： 美国原子能委员会处理放射性废物的做 法是极其危险的，必须改变.
数学是有用的
应用2
洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体。 当水箱装满水时，计算水箱的一个端面所受的压力。
解：
Q i (t ) lim Q / (t ) t 0 t
Q / (t ) i (t ), 且Q(t ) t 0 0
Q(t ) － 时域的电容电路
+
（ 3
）
2
16
（
） 16 4
27
（
开方.
） log 3 27 3
不定积分的概念与性质
例如 (sin x) cos x, sin x 是 cos x 的原函数.
(ln x ) 1 , ln x 是 1 在的原函数 .
x
x
原函数存在定理
如果函数 f ( x) 在区间 I 内连续, 那么在区间 I 存在可导函数 F ( x) ,使对任意 x I , 都有
F ( x) f ( x).
简言之, 连续函数一定有原函数. 问题: (1) 原函数是否唯一?
(2) 若不唯一它们之间有什么联系?
例如 (sin x) cos x, (sin x C ) cos x. (C 为任意常数)
关于原函数的说明: (1) 若 F( x) f ( x),则对于任意常数 C, F(x) C 都是 f (x)的原函数. (2) 若 F ( x) 和G( x) 都是 f ( x)的原函数,则
[
f ( x)dx]
f ( x),
d[
f ( x)dx]
f ( x)dx,
F( x)dx F ( x) C, dF ( x) F ( x) C.
结论: 微分运算与求不定积分的运算是互逆的.
二、 基本积分表
例如,
x 1
x
1
x dx
x 1
1
C.
( 1)
启示: 能否根据求导公式得出积分公式?
dx
ln
x C.
例1 求积分 x5dx.
解
x
6
x5,
6
x5dx x6 C . 6
例2
求积分
1
1 x2
dx.
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
不定积分概念
ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、 基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例 求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例 求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解 当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数） 原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
不定积分与定积分
不定积分与定积分在微积分中，不定积分和定积分是两个重要的概念。
它们都涉及到对函数进行积分，但在具体的应用和计算过程中有所不同。
不定积分，也被称为积分的原函数，表示的是函数在某个区间上的积分。
不定积分的计算可以通过找到一个函数的原函数来完成。
我们知道，函数的导数和原函数之间是互逆的关系，也就是说，如果一个函数的导数是另一个函数，那么这个另一个函数就是前一个函数的原函数。
因此，计算不定积分的方法就是逆向地求导数。
不定积分的结果可以表示为一个带有积分常数的函数，这是因为一个函数的原函数是不唯一的，可以通过加上任意常数得到其他的原函数。
不定积分通常用符号∫f(x)dx来表示，其中f(x)是要积分的函数。
定积分，也被称为积分的定义，表示的是函数在某个区间上的面积。
定积分的计算是通过将函数表示为无穷小的小矩形面积的和来进行的。
我们将区间分成无数个小区间，并在每个小区间上选择一个代表点，然后计算每个小区间的函数值与区间长度的乘积，最后将这些乘积相加就得到了整个区间上的面积。
定积分的结果是一个具体的数值，表示函数在给定区间上的总体积。
定积分通常用符号∫a^bf(x)dx来表示，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)是要积分的函数。
不定积分和定积分之间有着紧密的联系。
根据微积分的基本定理，如果一个函数在某个区间上存在原函数，那么该函数在该区间上的定积分就等于该函数的原函数在该区间上的差值。
这就是说，不定积分和定积分是互逆的操作。
通过计算不定积分，我们可以得到函数的原函数，再通过计算定积分，我们可以得到函数在某个区间上的面积。
在实际应用中，不定积分和定积分都有着广泛的应用。
不定积分可以用于解决微分方程、计算函数的反导函数等问题。
而定积分则可以用于计算曲线下的面积、求解路径长度、质量和质心等问题。
微积分的发展也为物理学、经济学、工程学等学科提供了重要的数学工具。
总结起来，不定积分和定积分是微积分学中的两个基本概念，它们分别表示函数在某个区间上的积分和面积。
不定积分的定义
不定积分的定义不定积分是微积分中重要的概念之一，可以用来求出函数的原函数。
这篇文章旨在介绍不定积分的定义，以及如何求解不定积分。
不定积分定义不定积分的定义是：设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得对于区间内任意一点x∈I，都有F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)在区间I上的一个原函数，记作：∫ f(x) dx = F(x) + C其中C是任意常数，称为“积分常数”。
不定积分的求解方法在求解不定积分时，我们需要先找到f(x)的原函数F(x)，然后将F(x)加上一个任意常数C，即可得到函数的不定积分。
但是，F(x)的求解并不总是容易的，有时需要使用一些技巧和公式。
下面介绍一些常用的求解不定积分的方法：1. 直接求导数对于一些常见的函数，我们可以根据其求导数的知识来求解其不定积分。
例如，我们知道sin(x)的导数是cos(x)，那么sin(x)的不定积分就是-cos(x) + C。
2. 代换法有时候，我们可以通过代换来简化不定积分的求解。
例如，当需要求解∫2x(1+x^2)dx时，我们可以将1+x^2看做一个整体，令u = 1+x^2，那么dx = du/2x，将其代入原式中得到：∫2x(1+x^2)dx = ∫u du = (u^2/2) + C = (1+x^2)^2/2 + C3. 分部积分法对于一些积分形式为乘积形式的函数，我们可以使用分部积分法来求解其不定积分。
例如，需要求解∫x^2sin(x)dx时，我们可以将其分解为x^2的导数和sin(x)的原函数相乘，即：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2∫xcos(x)dx对于∫xcos(x)dx，我们仍然可以使用分部积分法，将x看做一个整体，cos(x)的原函数为sin(x)，以此类推。
最终得到：∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C4. 三角换元法三角换元法是一种常用的代换方法，在需要求解一些三角函数的不定积分时特别有用。
不定积分与定积分的概念与计算方法
不定积分与定积分的概念与计算方法概念介绍在微积分中，积分是一个重要的概念，它分为不定积分和定积分两种形式。
不定积分也被称为原函数，而定积分则是对某个函数在某个区间上求和的结果。
本文将对这两种积分的概念进行详细介绍，并探讨它们的计算方法。
不定积分不定积分是对函数的积分运算。
给定一个函数f(x)，它的不定积分记作∫f(x)dx。
其中∫称为积分号，f(x)为被积函数，dx表示对自变量x进行积分。
不定积分的结果是一个新函数，被称为原函数或不定积分。
即∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为原函数，C为常数。
不定积分的计算方法多种多样，常用的有换元积分法、分部积分法和特殊函数积分法。
换元积分法是通过变量代换将被积函数转化为另一种形式，以便进行简化。
分部积分法是通过将被积函数分解为乘积的形式，再进行积分运算。
特殊函数积分法是根据特定函数的性质，采用相应的积分公式来计算。
定积分定积分是对函数在某个特定区间上的积分运算。
给定一个函数f(x)，定义域为[a,b]，定积分记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分的结果是一个数值。
它表示函数f(x)在区间[a,b]上的累积和，也可以理解为曲线与x轴之间的有向面积。
定积分可以用于计算函数的平均值、曲线长度、曲线下面积等。
定积分的计算方法主要有基本定积分法和换元积分法。
基本定积分法是根据函数的特性，采用不同的积分公式来计算。
换元积分法也可以用于定积分的计算，通过变量代换将被积函数进行简化，再进行求解。
计算方法示例为了更好地理解不定积分与定积分的计算方法，以下分别给出一个例子。
不定积分示例：求函数f(x) = 2x的不定积分。
解：根据不定积分的定义，∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)为原函数，C为常数。
对于函数f(x) = 2x，它的不定积分为∫2xdx = x^2 + C，其中C为常数。
定积分示例：计算函数f(x) = x在区间[0,1]上的定积分。
不定积分的定义和性质(精)
d f ( x), f ( x ) dx dx
d [ f ( x)dx] f ( x)dx,
F ( x)dx F ( x) C,
dF ( x) F ( x) C.
能否根据求导公式得出积分公式？ 结论： 微分运算与求不定积分的运算是互逆的. 1 1 x x 实例: x x dx C. ( 1) 1 1 结论：既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
例1
求
5 x dx.
6
解:
x 5 x , 6
6 x x5 dx C. 6
1 例2 求 dx. 2 1 x
解:
1 , arctan x 2 1 x
1 dx arctan x C. 2 1 x
二、不定积分的基本性质
1 1 1 dx tan x C. 2 2 cos x 2
四、不定积分的几何意义
若 y F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，则称 y F ( x)的图形是
f ( x) 的积分曲线。 y
y f ( x) C
它对应的图形是一族积分曲线，称为积分曲线族。 积分曲线族 y F ( x) C的特点是：
cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;
(12)
x a (13) a x dx C; ln a
dx 2 (8) sec xdx tan x C; 2 cos x
dx (9) 2 csc2 xdx cot x C; sin x
有一个导数公式就 相应地有一个不定 积分公式。
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例如
cos xdx sin x C
xdx
1 2 x C 2
三、不定积分的几何意义
设 F (x) 和 f (x)满足F (x)=f (x)，所以
f ( x)dx F ( x) C
其中 C 是积分常数，可以取任意实数。 函数 y=F (x)+ C 曲线，称为函 数 f (x) 的积分曲线，
不定积分的概念
淮南职业技术学院
问题：导数（或微分）的逆运算
不定积分是 做什么的？
就是导数运算 逆运算问题，
( F (x? ) + C ) = f (xΒιβλιοθήκη )一、原函数的概念！
定义 1. 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 和 f (x)
满足 F (x)=f (x) 或 dF(x)=f(x)dx，
f ( x)dx F ( x) C
拉格朗日定理推论：如果两个函数的 导 数相等，则两个函数相差一个常 数！
如果 F (x)= G (x) = f (x) , 则 G (x)=F (x)+ C. 即 若 F (x) 是函数 f (x) 的一个原函数 ，则 {F (x)+ C} 为 f (x) 的所有的原函数集。
二、不定积分的定义 ！
1 x x dx 1 C
( 1)
由
(ln | x |)
1 x
dx ln | x | C 得 x
由导数基本公式可得不定积分基本公式，共计 14个。 但 ( ？) = tan x
总结
1. 不定积分是导数的逆运算，求函数的不 定积分是求函数的所有原函数。 2. 求不定积分只要找到一个原函数就可以了， 即如果 F (x)=f (x)，则
则称F(x)为f(x) 在区间 I 上的一个原函数 .
如果函数有原函数，则原函数有无限多个 例如 因为(sin x)= cos x，所以 sin x是 cos x 的原函数. sin x+ C 也是 cos x 的原函数。 1 2 因为 ( x ) x 所以x2/2+C 是函数 x 的原函数。 2
[F (x)+ C] =f (x)
y=F (x)+ C
曲线 y=F (x)+ C 在 x 点处的切线 是相互平行的。
所以曲线 y=F (x)+ C也称为是相互平行的积分曲线族。
x
积分的几何意义：
四、不定积分的基本公式 ！
由导数基本公式 由 ( x u )=u xu-1 ，即 ( xu+1)= (u+1) x u , 所以
定义2 若函数 f (x) 在区间I上的全体原函数 ，称它 为f (x)在区 间I上的不定积分，记为：
f ( x )dx
其中： 称为积分号；f (x) 称为被积函数；x 称为积分 变量；f (x) dx 称为被积表达式； 如果 F (x)=f (x)，则
f ( x)dx F ( x) C