振动和波动计算题及答案

振动和波动计算题

1..一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求

(1)周期T ；

(2)当速度是12 cm/s 时的位移．

解：设振动方程为t A x ωcos =，则 t A ωωsin -=v

(1) 在x = 6 cm ，v = 24 cm/s 状态下有

t ωcos 126= t ωωsin 1224-=

解得 3/4=ω，∴ 72.2s 2/3/2=π=π=ωT s 2分 (2) 设对应于v =12 cm/s 的时刻为t 2，则由

t A ωωsin -=v 得 2sin )3/4(1212t ω⨯⨯-=， 解上式得 1875.0sin 2-=t ω 相应的位移为

8.10sin 1cos 22

2±=-±==t A t A x ωω cm 3分

2. 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止 ，再把物体向下拉10 cm ，然 后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力；

(3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起到它运动到上方5 cm 处所需要的最短时间． 解： k = f/x =200 N/m ，

07.7/≈=m k ω rad/s 2分 (1) 选平衡位置为原点，x 轴指向下方（如图所示）， t = 0时， x 0 = 10A cos φ ，v 0 = 0 = -A ωsin φ．

解以上二式得 A = 10 cm ，φ = 0． 2分 ∴ 振动方程x = 0.1 cos(7.07t ) (SI) 1分 (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时，弹簧对物体的拉力

f = m (

g -a )，而a = -ω2x = 2.5 m/s 2 ∴ f =4 (9.8－2.5) N= 29.2 N

3分

(3) 设t 1时刻物体在平衡位置，此时x = 0，即 0 = A cos ω t 1或cos ω t 1 = 0．

∵ 此时物体向上运动， v < 0 ∴ ω t 1 = π/2， t 1= π/2ω = 0.222 s

1分

再设t 2时物体在平衡位置上方5 cm 处，此时x = -5，即

-5 = A cos ω t 1，cos ω t 1 =－1/2

3. 一质点作简谐振动，其振动方程为 )4

1

31c o s (10

0.62

π-π⨯=-t x (SI)

(1) 当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？

(2) 质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解：(1) 势能 221kx W P =

总能量 22

1

kA E = 由题意，4/212

2kA kx =， 21024.42

-⨯±=±

=A x m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s 从平衡位置运动到2

A x ±

= ∆t 为 T /8．

∴ ∆t = 0.75 s ． 3分

4. 一质点作简谐振动，其振动方程为x = 0.24)3

121cos(π+πt (SI)，试用旋转矢量法求出

质点由初始状态（t = 0的状态）运动到x = -0.12 m ，v < 0的状态所需最短时间∆t ．

解：旋转矢量如图所示． 图3分 由振动方程可得

π2

1

=ω，π=∆31φ 1分

667.0/=∆=∆ωφt s 1分

5. 两个物体作同方向、同频率、同振幅的简谐振动．在振

动过程中，每当第一个物体经过位移为2/A 的位置向平衡位置运动时，第二个物体也经过此位置，但向远离平衡位置的方向运动．试利用旋转矢量法求它们的相位差．

解：依题意画出旋转矢量图． 3分

由图可知两简谐振动的位相差为π2

1

． 2分

6. 一简谐振动的振动曲线如图所示．求振动方程．

解：(1) 设振动方程为 )cos(φω+=t A x

由曲线可知 A = 10 cm , t = 0，φcos 1050=-=x ，0sin 100<-=φωv 解上面两式，可得 φ = 2π/3 2分

由图可知质点由位移为 x 0 = -5 cm 和v 0 < 0的状态到x = 0和 v > 0的状态所需时间t = 2 s ，代入振动方程得 )3/22c o s (100π+=ω (SI)

则有2/33/22π=π+ω，∴ ω = 5 π/12 2分

故所求振动方程为 )3/212/5cos(1.0π+π=t x (SI) 1分 7. 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为

x 1 =5×10-2cos(4t + π/3) (SI) , x 2 =3×10-2sin(4t - π/6） (SI) 画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程．

解： x 2 = 3×10-2 sin(4t - π/6)

= 3×10-2cos(4t - π/6- π/2)

= 3×10-2cos(4t - 2π/3)．

作两振动的旋转矢量图，如图所示． 图2分

由图得：合振动的振幅和初相分别为

A = (5-3)cm = 2 cm ，φ = π/3． 2分

合振动方程为 x = 2×10-2

cos(4t + π/3) (SI)

1分

8. 两个同方向的简谐振动的振动方程分别为

x 1 = 4×10-2cos2π)81

(+t (SI), x 2 = 3×10-

2cos2π)4

1

(+

t (SI) 求合振动方程．

解：由题意 x 1 = 4×10-2cos )4

2(π+πt (SI)

x 2 =3×10-2cos )2

2(π+πt (SI)

按合成振动公式代入已知量，可得合振幅及初相为

22210)4/2/cos(2434-⨯π-π++=A m

= 6.48×10-

2 m 2分 )

2/cos(3)4/cos(4)

2/sin(3)4/sin(4arctg

π+ππ+π=φ=1.12 rad 2分

合振动方程为

x = 6.48×10-2 cos(2πt +1.12) (SI) 1分

9. 一平面简谐波沿x 轴正向传播，其振幅为A ，频率为ν ，波速为u ．设t = t ＇时刻的波形

-

x

O ωωπ/3-2π/3

A

1

A 2

A x

u O t =t ′y