江西财经大学微积分2试卷

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将题号及答案写在答题纸上。答案错选或未选者，该题不得分。每小题3分，共15分）. 1．若),(y x f 在点),(00y x 处偏导数存在， 则下列结论正确的是（ ）．

A ．),(y x f 在点),(00y x 处可微

B ．),(y x f 在点),(00y x 处连续

C ．),(y x f 在点),(00y x 处有定义

D ．),(y x f 在点),(00y x 处不可微 2.

⎰

=+dx x dx d 2

11

（ ）.

A ．x arctan

B ．c x +arctan

C ．c x ++211

D ．2

11

x

+ 3.设 dx e I x

⎰

-=

1

1，dx e I x ⎰

-=

1

22

，则有（ ）.

A ．21I I >

B ．21I I =

C ．21I I <

D ．不能确定 4.

⎰⎰

=1

3

cos y

y

dx x

x

dy

（ ）

． A. )1cos 1(sin 2- B. )1cos 1(sin 2+ C.1cos 1- D ．1cos 1+ 5. 下列四个数项级数中绝对收敛的为 ( )．

①∑

∞

=+1

2

1sin n n n ②∑∞

=-+-11

1)1(n n n n ③ ∑∞

=-+-1

21

1)

1(n n n n ④∑

∞

=-+-1

1

3)1(n n

n n A ．① ② B ．② ③ C ．③ ④ D ． ④ ①

二、填空题（请将下列各小题的正确答案写在答题册上，在答案前标明题号；每小题3分，共15分）. 1.

=-⎰

dx x

2

11＿＿＿＿.

2．⎰

+∞

-=1

dx e x ＿＿＿＿.

3.

⎰

=++40

1

22dx x x ＿＿＿＿.

4. 差分方程121=++x x y y 的通解为＿＿＿＿.

5. 设函数),(3

x

y

xy f x z =，),(v u f 具有二阶连续偏导数，则=∂∂22y z

.

三、求隐函数的偏导数（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.

已知函数),(y x f z =由方程0=--+--x y z ze x y z 确定，求dz .

四、求不定积分（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.

求dx x

x ⎰

-2

2

)1(. 五、求面积和体积（请将正确答案写在答题卷上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.

求由x y sin =，0=x 及1=y 所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕

x 轴旋转所形成立体的体积.

六、求二重积分（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；8分）.

求

⎰⎰

--D

y x

d e σ2

2

，其中D 是由122≤+y x 所确定的闭区域．

七、解微分方程（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的证明步骤；10分）.

求解初值问题⎩⎨⎧='==-'-''==1,03200

x x y y x

y y y .

八、级数问题（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；10分）.

求幂级数∑

∞

=+-0

2

12)1(n n

n n x n 的收敛半径，收敛区间. 九、经济应用题（请将正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的计算步骤；10分）.

假设市场对两种商品的需求量分别为1Q ,2Q , 且需求函数分别为

21128P P Q +-=，2125210P P Q -+=，其中1P ,2P 为两种商品的价格，总成本函

数为2123Q Q C +=,问两种商品如何定价可获得最大利润？最大利润是多少？

十、证明题（请将下列各小题的正确答案写在答题册上，在答案前标明题号，并保留必要的证明步骤；8分）.

设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导. （1） 证明在],[b a 上至少存在一点c ，使得))(()(a b c f dx x f b

a

-=⎰；

（2） 当

))((2

1

)(2

a b a f dx x f b

b

a -=

⎰

+时，证明在),(b a 上至少存在一点ξ，使0)(='ξf .

.