CVaR风险度量下的稳健最优投资组合

KEY WORDS: CVaR, robustness, worst-case CVaR, coherent risk measure, mixture distribution
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上海交通大学硕士学文论文
符号说明
CVaR ：条件风险价值
：最坏情形 CVaR Worst-case CVaR （ WCVaR ）
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the same time VaR got. Also we introduce the mean-CVaR model. We give some assumptions, including the worst-case CVaR (also a coherent risk measure), the mixture distribution and an important lemma about the minimax problem. And then we construct the robust portfolio under CVaR. Firstly, we construct the robust portfolio when the random vector of return has a mixed normal distribution, and try to find its solution. Secondly, we construct the robust portfolio when the random vector of return has an ordinary mixture distribution, and get the linearization of the model. In addition, we introduce skewness into our model. Finally, market data simulation examples are presented to illustrate the methods. There are two innovations here. One is that we prove the existence and uniqueness of the analytic solution for the robust portfolio when the random vector of return has a mixed normal distribution, the other is we use the Monte Carlo method to produce linear programs which can be efficiently solved when the random vector of return has an ordinary mixture distribution. In comparison with the original CVaR, numerical experiments imply that the portfolio selection model using the worst-case CVaR as the risk measure performs robustly in practice, and provides more flexibility in portfolio decision analysis.
ρ w ：最坏情形风险度量
Ρ ：概率分布的集合
Φ Μ ：混合正态分布的集合
Ρ Μ ：一般正态分布的集合
µ i ：风险资产的第 i 个可能的期望收益率向量
Σi ：收益率向量的第 i 个可能的协方差矩阵
w ：风险资产的投资比例
y|it| ：资产收益向量在第 i 个可能分布下的第 t 个情景因子
r ：组合要求的最低回报率
Iபைடு நூலகம்
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法。我们还在模型中引入了偏度，并考虑偏度的线性化方法，构造了 带偏度的稳健的投资组合选择模型。最后，我们用市场数据进行了相 关模型的数值模拟。 本文的创新之处有二：一是在收益率服从混合正态分布时，证明 了 CVaR 稳健模型的解的存在唯一性； 二是在收益率服从一般混合分 布时，给出了 CVaR 稳健模型的 Monte Carlo 线性规划，并利用市场 数据进行了数值模拟，使问题得到了有效的求解。与非稳健的投资组 合相比，本文的稳健组合具有明显的优势，在投资组合选择上也更具 灵活性，对于投资实务有着重要的指导意义。
上海交通大学 硕士学位论文 CVaR风险度量下的稳健最优投资组合 姓名：李灏 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：叶中行 20070101
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CVaR 风险度量下的稳健最优投资组合
摘 要
CVaR（Conditional Value-at-Risk，条件风险价值）风险度量方法 是近年来在 VaR（Value-at-Risk，风险价值）风险度量方法的缺陷基 础上所产生的， 最早是在 1999 年底由 Rockafellar 提出的， 其含义是： 组合损失超过 VaR 的条件均值，反映超额损失的平均水平。它是一 致风险度量，较之 VaR，更好的反映组合的潜在风险。 研究表明：资产收益概率分布的不确定性造成了模型风险，稳健 性投资组合模型应运而生。在这篇文章中，我们假设风险资产的收益 分布并不完全知道， 在最坏情形 CVaR 意义下考虑了稳健最优投资组 合。本文的前半部分给出了投资组合风险度量的发展概述，其中着重 介绍了风险价值 VaR 和条件风险价值 CVaR。 接下来我们给出了 CVaR 的严格数学表述，继而引出均值-CVaR 模型。本文的后半部分在均值 -CVaR 模型的基础上，引入了新的风险度量：最坏情形 CVaR，我们 证明了它也有着良好的性质，也是一致风险度量。我们介绍了资产收 益率分布的各种不确定性，特别说明了混合分布的情况。Minimax 引 理是本文研究中的一个重要的工具。 本文重点讨论了两类 CVaR 下的 稳健模型。 我们首先在资产收益服从混合正态分布的情况下建立稳健 投资组合，并试图寻求其理论解。接着，我们又在资产收益服从一般 混合分布的情况下建立了稳健投资组合模型， 并寻求线性化的求解方
学位论文作者签名：李灏 日期： 2007年1月20日
指导教师签名：叶中行 日期： 2007年1月20日
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第一章
引言
1.1
最优投资组合及风险度量概述
1.1.1.
最优投资组合的风险度量
一般来说， 投资组合的最优化有两种方法： 效用最大化和收益风险权衡分析。 在收益风险权衡分析中，风险的度量往往是对损失的数量化，因此易于理解，这 种方法在理论界和实务界都被广泛运用。虽然效用最大化的方法理论上很完美， 但是它不是对风险的直接度量，因此在实务界很少运用。 资产组合的风险控制是管理与投资过程相关的不确定性， 风险的识别和测定 是控制风险的基础，而风险度量被认为是风险特性的量化。对于早期相对简单的 证券类型，风险特性量化的手段也比较简单，例如用随机收益率的方差、标准差 等来度量风险（Markowitz, 1952、1959）[44]。然而研究表明：只有在收益率服从 正态分布时，标准差才是风险的有效度量之一。使用标准差度量风险不但意味着 投资者认为资产的收益和损失均匀分布在均值左右， 而且意味着收益和损失带给 投资者的感觉是一样的。 实证研究表明绝大多数金融变量的收益率存在明显的非 对称，“肥尾”等显著的非正态分布特征，并且收益和损失对风险确定的贡献有所 不同，即投资者对待收益和风险的态度是不同的。而标准差无法识别这些差异， 这使得 Markowitz 理论体系只适用于正态分布。 一个更确切的风险刻画量是下半方差，即对于均值的负偏差的平方的期望 值。Markowitz（1959）[46]和 Mao（1970）[43]等讨论了均值-下半方差模型。在收 益率分布是对称的情况下，这种改进的意义不大，因为该情况下的下半方差正好 是方差的一半，均值-方差有效前沿与均值-下半方差有效前沿完全一致。Konno 和 Suzuki（1995）[34]给出了均值-方差-偏度模型。这种模型在收益不对称的情况 下是有价值的。因为在该情况下，具有相同的均值和方差的投资组合很可能有不 同的偏度，而偏度大的投资组合获得较大收益的可能性也大。但是该模型是三次 非凸规划模型，求解比较困难。
关键词：CVaR，稳健性，最坏情形 CVaR，一致风险度量，混合 分布
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ROBUST PORTFOLIO UNDER CONDITIONAL VALUE AT RISK CONSTRAINTS
ABSTRACT
The risk measure method of Conditional Value-at-Risk is developed on basis of the shortcoming of Value-at-Risk method, which is raised by Rockafellar in 1999. The implication of CVaR is the conditional loss over VaR of portfolio, which reflects the average exceed quota. CVaR method reflects underlying loss better than VaR method. It is indicated that the modeling risk arises due to the uncertainty of the underlying probability distribution. The uncertainty of the distribution can be observed in the case where enough data samples are not available, or the data samples are unstable. Recently, a few researchers have paid more attention to the issue of lack of robustness. This paper introduces many kinds of traditional risk measure methods and then analysis the defects of these methods, then puts forward VaR and CVaR risk measure methods. Besides, we introduce the fast development of the robust portfolio. Then, we introduce the mathematical definition and the properties of VaR and CVaR. Through the relation between VaR and CVaR, we introduce a simple method of solve CVaR, at