理解幂级数的概念和性质掌握泰勒级数展开方法教学重点
泰勒级数与幂级数
泰勒级数与幂级数泰勒级数与幂级数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。
本文将介绍泰勒级数与幂级数的定义、性质和应用。
一、泰勒级数的定义和性质泰勒级数是一类特殊的无限级数，可以将函数表示为一组无穷多个项的和。
它是由苏格兰数学家詹姆斯·格雷戈里·泰勒在18世纪首次提出并发展的。
1.泰勒级数的定义对于一个实数或复数函数f(x)，如果它在某个区间上的无限次可导，则可以将该函数表示为一个幂级数的形式：f(x) = a0 + a1(x-x0) + a2(x-x0)^2 + a3(x-x0)^3 + ...其中，a0、a1、a2...都是常数系数，x0是展开点（展开点可以选择函数定义域内的任意一点）。
展开后的系数a0、a1、a2...可以由函数在展开点的导数来确定。
2.泰勒级数的性质（1）泰勒级数可以用来求解函数在展开点附近的近似值。
当x与x0的距离趋近于0时，级数中的每一项也会趋近于0，从而可以用有限项的和来近似表示函数的值。
（2）泰勒级数的收敛性要求函数f(x)在展开点附近是光滑的。
如果函数在展开点处的各阶导数都存在且有界，则泰勒级数一定收敛于f(x)。
（3）泰勒级数的展开点的选择会影响级数的收敛性和收敛速度。
一般情况下，选择离函数的兴趣点最近的点作为展开点，可以得到更好的近似结果。
（4）泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，因此它也具有幂级数的性质。
比如，可以对泰勒级数进行求和、求导和积分等操作。
二、泰勒级数的应用泰勒级数作为一种重要的数学工具，在科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举一些典型的应用场景。
1.函数逼近与近似计算泰勒级数可以用来近似计算各种数学函数的值，特别是在计算机科学中。
对于一些复杂的函数，直接进行计算可能非常困难，但通过泰勒级数展开后可以用多项式来表示，从而可以简化计算。
2.研究函数的性质通过泰勒级数展开，可以更好地研究函数的性质。
比如，可以通过泰勒级数判断函数的增减性、凸凹性和拐点等，从而更好地了解函数的特点并进行相关应用。
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
函数的幂级数展开
Rn (x) (x − x0 )n+1
=
Rn (x) − Rn (x0 ) (x − x0 )n+1 − 0
=
(n
Rn (1) +1)(1 − x0 )n
(1 在x0与x之间),
= Rn (1) − Rn (x0 ) (n +1)(1 − x0 )n − 0
=
Rn(2 ) n(n +1)(2 − x0 )n−1
7
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(3) 当 n = 0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x) = f ( x0 ) + f ( )( x − x0 ) .
(4) 因为
lim lim x→x0
Rn (x) (x − x0 )n
=
x→ x0
f (n+1) ( )( x − x0 ) = 0 ,
所以 R n ( x ) = o[( x − x0 ) n ] . 佩亚诺(Peano)型余项
f (0) + f (0) x + f (0) x 2 + + f (n) (0) x n +
2!
n!
为 f (x) 的麦克劳林级数.
3
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2. 泰勒(Taylor)公式
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开 区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一
(2
在x0与1之间),
=
=
R (n+1) n
(
)
(n +1)!
函数的泰勒展开与幂级数的理论与应用
函数的泰勒展开与幂级数的理论与应用函数的泰勒展开和幂级数是数学中重要的概念和工具，被广泛应用于各个领域的数学和物理问题的求解中。
本文将简要介绍泰勒展开和幂级数的理论，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、泰勒展开的理论基础泰勒展开是一种近似表示函数的方法，它利用函数在某一点处的导数信息，将函数表示为一组多项式的和。
对于一个充分光滑的函数，可以将其泰勒展开为如下形式的级数：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$$式中，$f'(a)$代表函数在点$a$处的一阶导数，$f''(a)$代表函数在点$a$处的二阶导数，依此类推，$R_n(x)$是剩余项。
二、幂级数的理论基础幂级数是一种形如$\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n$的级数，其中$a_n$是常数，$a$是常数点。
幂级数具有在收敛区间内收敛的性质，当$x$取常数点$a$时，级数只有第一项$a_0$，所以在该点处幂级数就等于函数本身。
在幂级数的收敛区间内，我们可以对其进行求和、求导、求积分等操作。
三、泰勒展开与幂级数的关系实际上，泰勒展开是幂级数的一种特殊形式。
当我们将函数$f(x)$在常数点$a$处进行泰勒展开时，将会得到一个幂级数形式。
而幂级数则是泰勒展开的一般形式，它的常数点可以是任意值。
四、泰勒展开与幂级数在实际问题中的应用1. 近似计算泰勒展开和幂级数在科学计算中广泛应用于函数的近似计算。
由于幂级数具有在收敛区间内收敛的性质，我们可以通过截取幂级数的有限项来近似表示一个函数。
特别是在某些函数的计算非常复杂的情况下，使用幂级数的近似计算方法可以大大简化问题。
2. 解析函数拓展使用泰勒展开和幂级数可以对某些有限定义域内的函数进行扩展，得到更为广泛的定义域。
泰勒展开与幂级数
泰勒展开与幂级数在数学领域中，泰勒展开与幂级数是一种重要的概念和方法。
它们可以用来近似计算函数的值，并在各个学科领域中被广泛应用。
本文将介绍泰勒展开和幂级数的概念、性质和应用。
一、泰勒展开泰勒展开是一种将函数表达为无穷级数形式的近似方法。
它可以将复杂的函数表示为一系列简单的项的和。
泰勒展开的基本思想是，将函数在某一点处展开成幂函数的形式，并通过不同次数的幂函数逼近原函数。
设函数f(x)在x=a处有n阶导数，则函数f(x)在x=a处的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + Rn(x)其中，f(a)、f'(a)、f''(a)、...、f^n(a)分别表示函数f(x)在点x=a处的第0阶到第n阶导数的值，(x-a)^k表示(x-a)的k次幂，n!表示n的阶乘，Rn(x)表示余项。
泰勒展开的精确性与展开阶数有关，阶数越高，展开结果越精确。
当展开到无穷阶时，泰勒展开可以精确地表示原函数。
二、幂级数幂级数是指以自变量的幂次作为系数的级数。
一般地，幂级数可以表示为：f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ...其中，a0、a1、a2、a3等为常数，称为幂级数的系数。
根据幂级数的收敛性判别法，幂级数的收敛域可以是一个点、一个区间或整个实数轴。
对于收敛于某个区间上的幂级数，我们可以将其看作是函数在该区间上的泰勒展开。
幂级数的计算和求和需要注意收敛性，即幂级数是否能收敛于特定的值。
常用的幂级数有指数级数、三角函数级数和对数级数等，它们在数学和物理领域中有着广泛的应用。
三、泰勒展开与幂级数的应用泰勒展开与幂级数在科学和工程领域中有着重要的应用。
以下列举其中几个典型的应用场景：1. 近似计算函数的值通过用泰勒展开的前几项逼近原函数，我们可以方便地计算出一些复杂函数在某个点附近的近似值。
数列与级数的幂级数与泰勒级数展开
数列与级数是数学中常见的概念，而幂级数与泰勒级数展开是数列与级数中重要的一种运算方法。
本文将介绍数列与级数的概念，并探讨幂级数与泰勒级数展开的应用。
首先，我们来了解数列与级数的概念。
数列是按照一定规律排列的一组数，可以用函数的形式表示。
数列中的每一个元素称为项，通常用a₁, a₂, a₃, …, a ₙ表示。
例如，1, 2, 3, 4, …就是一个数列。
而级数是将数列中的所有项相加得到的结果。
级数的和可以是有穷的，也可以是无穷的。
例如，1 + 1/2 +1/4 + 1/8 + … 就是一个无穷级数，它的和是2。
接下来，让我们来了解幂级数与泰勒级数展开。
幂级数是形如∑(an * xn)的级数，其中an是系数，xn是变量的幂。
幂级数可以用来表示各种函数，比如三角函数、指数函数和对数函数等。
而泰勒级数展开是一种特殊的幂级数展开，用来近似表示函数。
泰勒级数展开的基本思想是将函数在某个点上展开成幂级数的形式。
具体来说，对于一个在点a处有n阶可导的函数f(x)，它的泰勒级数展开形式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + f'''(a)(x - a)³/3!+ ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示二阶导数，以此类推。
当x = a时，上述级数就是函数f(x)在点a处的泰勒级数展开式。
通过泰勒级数展开，我们可以将各种函数近似表示为幂级数的形式。
这对于函数的计算和分析非常有帮助。
例如，我们可以利用泰勒级数展开来计算复杂函数的近似值，或者研究函数在某个点的性质。
总结起来，数列与级数是数学中常见的概念，用来研究一组按照规律排列的数。
而幂级数与泰勒级数展开则是数列与级数中的一种重要运算方法，用来近似表示各种函数。
通过幂级数与泰勒级数展开，我们可以计算和分析函数的性质，提高对函数的理解和应用能力。
幂级数函数的幂级数展开法
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
§6.3 幂级数
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
证:
lim
n
an 1 x n 1 an xn
lim an1 n an
x
1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数收敛;
当
x
1,
即
x
1
时,
原级数发散.
§6.3 幂级数
因此级数的收敛半径 R 1 .
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数
绝对收敛 , 因此 R ;
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛
区间为
§6.3 幂级数
(k 0, 1, 2, )
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件
o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
幂级数与泰勒展开知识点
幂级数与泰勒展开知识点在数学领域中，幂级数与泰勒展开是重要的概念与工具。
它们被广泛应用于函数逼近、数值计算、解析几何和物理学等领域。
本文将介绍幂级数与泰勒展开的基本概念、性质以及应用。
一、幂级数的定义与性质幂级数是指形如 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-c)^n$ 的函数表达式，其中 $a_n$ 是常数系数，$c$ 是参考点。
幂级数在参考点的收敛域内具有无限可微的性质。
幂级数的收敛域可以通过求解其收敛半径来确定。
收敛半径的计算可以通过使用庞加莱-霍尔默尔公式或柯西-阿达玛公式。
这些公式基于级数的常数系数 $a_n$，通过计算极限来获得收敛半径。
幂级数的性质包括加法、乘法、求导和积分等。
对于幂级数$f(x)$ 和 $g(x)$，它们的和、差、乘积和复合等运算结果均为幂级数。
此外，对幂级数进行求导和积分操作后仍然可以得到幂级数。
二、泰勒展开的定义与应用泰勒展开是幂级数的一种特殊形式，它将任意函数表示为一个幂级数的形式。
泰勒展开的核心思想是使用函数在某个点处的导数信息来逼近函数的值。
若函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处具有无穷阶可导的性质，则其泰勒展开式为 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$，其中 $f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的 $n$ 阶导数。
泰勒展开在函数逼近中具有广泛的应用。
通过选择适当的参考点和截断级数，可以利用泰勒展开将复杂函数近似为简单的幂级数形式。
这种逼近方法在计算机科学、物理学和工程学等领域中起着重要作用。
三、应用案例1. 求解函数的近似值：通过泰勒展开可以将复杂函数逼近为幂级数形式，从而可以通过有限项级数来近似计算函数的值。
这在科学计算和数值解法中非常有用。
2. 函数图像的绘制：幂级数具有较好的可视化性质，可以通过有限项级数来逼近函数的图像。
微积分 第九章 第五节 泰勒公式与幂级数展开
n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数
大学数学泰勒展开与幂级数
大学数学泰勒展开与幂级数泰勒展开是数学中常用的近似函数的方法之一，它是利用函数在某一点的导数信息来逼近原函数的方法。
而幂级数是一类特殊的函数级数，可以表示为无穷多个项的和，每一项都是自变量的幂函数。
一、泰勒展开的概念与基本原理泰勒展开是函数在某一点附近的一种近似表示。
设函数f(x)在点x=a处有无穷阶可导，那么它在x=a点附近的泰勒展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ……其中，f(n)(a)表示函数f(x)的n阶导数在点x=a处的值，(x-a)ⁿ表示(x-a)的n次幂。
泰勒展开的基本思想是用函数在某点的导数值来逼近函数在该点的函数值。
二、泰勒展开的应用领域1. 函数近似计算：通过泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的多项式，便于计算与分析。
2. 误差估计：通过泰勒展开，可以得到近似函数与原函数之间的误差，并进行估计。
3. 函数图像研究：利用泰勒展开，可以分析函数在某一点的局部特性，如极值、拐点等。
三、泰勒展开的具体步骤1. 确定展开点：通常选择函数的某一特殊点作为展开点，如0点、极值点等。
2. 求导数：计算函数在展开点处的各阶导数。
3. 求导数的值：将展开点代入各阶导数的表达式，求得导数在展开点处的值。
4. 按泰勒展开式公式写出泰勒展开式：根据泰勒展开式的形式，将函数、展开点和导数的值代入。
四、幂级数的概念与性质幂级数是函数项级数的一种特殊形式，它可以表示为：f(x) = a₀ + a₁(x-a) + a₂(x-a)² + a₃(x-a)³ + ……幂级数的性质有：1. 收敛半径：幂级数可以收敛于某个范围内的实数，这个范围就是收敛半径。
2. 收敛区间：幂级数收敛的区间称为收敛区间，收敛区间的两个端点可能包括在内，也可能不包括在内。
函数的泰勒级数和幂级数展开
函数的泰勒级数和幂级数展开泰勒级数和幂级数展开是微积分中的重要概念，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
这种展开方式在数学和工程中有广泛的应用，能够帮助我们更好地理解和计算各种函数。
一、泰勒级数展开泰勒级数展开是将一个函数表示为多项式的形式，通过求函数在某个点的各阶导数来展开。
设函数f(x)在x=a附近有各阶导数，那么泰勒级数展开可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2 + ...其中f'(a)，f''(a)分别表示函数f(x)在x=a处的一阶导数和二阶导数。
泰勒级数展开的一般形式为：f(x) = f(a) + \frac{{f'(a)}}{{1!}}(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 + ...泰勒级数展开依赖于函数在某点附近的导数，当函数在该点的导数存在且具有一定的性质时，展开式收敛于原函数。
二、幂级数展开幂级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，通过将函数进行幂级数展开，可以更好地研究其性质和行为。
幂级数展开的一般形式为：f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n其中a_n为展开式的系数，(x-a)^n为幂项。
幂级数展开的关键在于求解展开系数a_n。
具体求解方法根据具体的函数和要求而定，有时需要利用函数的导数，有时需要使用复杂的数学技巧。
幂级数展开有很好的数学性质，可以在一定条件下收敛于原函数。
通过取幂级数展开的有限项，可以得到原函数的近似值。
在实际计算中，幂级数展开也有广泛的应用，比如在工程中用于信号处理、电路分析等领域。
总结：函数的泰勒级数和幂级数展开是微积分中常用的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
泰勒级数展开是将函数表示为多项式，而幂级数展开是将函数表示为无穷级数。
通过泰勒级数和幂级数展开，我们可以更好地理解函数的性质和行为，并在实际应用中应用这些展开式进行计算。
解析函数的泰勒级数展开
1
( ) = a + a1 ( z 0 )+ a ( z 0) … 1 1 两边乘以 2 i z 1 a0 1 a1( z0 ) 1 a2 ( z0 )2 1 ( ) 2i z 2i z 2i z 2i z
n p
Sn p Sn
k 成立。 k n 1
说明从n＞N后面项的和为一小数，所以收敛。 证明见高等数学教材。
6
（3） 复数项级数的收敛定义 如果复数项级数 k 的部分和序列
k
s 有极限S，即
n
s1 1
s2 1 2
这时极限S称为这级数的和
k 1 k
( z z 0) ( z z 0)
k 1
k
ak 1 lim ( z z0 ) 1 k a k
收敛半径为
绝对收敛。 即
a z z0 lim k k a k 1
ak R lim k a k 1
18
2）Cauchy法求收敛半径 k k ak z z 0 ＜1对收敛。 lim K 收敛半径为 R = lim a
25
三、幂级数性质
1、幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛 证明 收敛圆半径为R, 做比收敛圆稍微缩小的圆周C R1 ,半径为R1 ∵
k a ( z z 0) ≤ a k R1
k k
由 a k R 构成的常数项级数
k 1
a R
k 0 k
k
1
则有
a R = lim a R = lim a a R
2 k
、 ….
1
2
2 k
第三章 幂级数展开
f (z) ak (z z0 )k k
其中 ak
1
2i
C
(
f
( ) d
z0 ) k 1
，C
为环域
R2
z z0
R1
内任意闭曲线，积分沿逆时针。
证明：如图 3.3 所示，对任意给定的 z R2 z z0 R1，
总存在 R2 R2 R1 R1 ，使得 z R2 z z0 R1 ，
f (z) 1
f ( )d
2i CR1 z
1
1
1
1
z ( z0 ) (z z0 ) ( z0 ) 1 z z0
z0
z
在
C R1
内部，
在
C R1
上，
z
z0 z0
1
1 z
1 z0
k 0
z
z0 z0
k
z z0 k k0 z0 k1
Ñ f (z) 1
k0 (2k )!
例 3. 在 z0 1的邻域上把 f (z) ln z 展开为泰勒级数。
解： f (z) ln z 的奇点为 z 0 ，所以其泰勒级数的收
敛圆为 z 1 1，收敛半径为 R 1
f (1) ln1 2ni
f (z) 1 ， f (1) 1， f (z) 1 ，
z
3! 5! 7!
sin z
如果定义：
f
(z)
z
z0
1
z 1
则： f (z) 在整个复平面上解析，其泰勒级数为：
f (z) 1 1 z2 1 z4 1 z6 3! 5! 7!
例
2.
在 z0
1的邻域上把函数
f (z)
1 (z 1)( z 2)
数学分析中的泰勒级数与幂级数展开
在数学分析中，泰勒级数与幂级数展开是重要的概念和工具。
它们为我们提供了一种将函数用无穷序列表示的方法，这对于研究函数的性质和计算近似值至关重要。
在本文中，我们将介绍泰勒级数和幂级数展开的概念、性质以及它们的应用。
首先，让我们从泰勒级数展开开始。
泰勒级数是将函数在某一点处展开为幂级数的表达式。
具体来说，我们假设函数f(x)在某一点a附近具有无限阶可导性质。
那么，泰勒级数展开的公式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...其中，f'(a)表示函数f(x)在点a处的一阶导数，f''(a)表示函数f(x)在点a处的二阶导数，以此类推。
这个展开式可以理解为用各阶导数的系数乘以(x-a)的幂的方式来近似表示函数的值。
当x接近于a时，前面几项的影响更大，后面的项的影响逐渐减小。
泰勒级数展开的优点之一是它可以用有限的项来近似表示函数。
通过截断级数，我们可以得到一个多项式，它在原函数附近是一个很好的逼近。
例如，对于f(x) = sin(x)，在点a=0处展开，我们可以得到泰勒级数展开式：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...通过截取前几项，例如取前四项，我们可以得到一个多项式近似sin(x)的函数：P(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7!该多项式在原函数sin(x)附近非常接近，并且当x接近于0时，他们的值越来越接近。
幂级数是泰勒级数的一种特殊情况，它以零点为展开点。
幂级数展开不仅适用于函数的近似，还可以用于计算函数的和、积分以及微分等数学问题。
幂级数的一般形式为：f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + a_3(x-a)^3 + ...其中，a_0，a_1，a_2等是待定常数，x-a是每一项的幂。
3.3泰勒级数展开
证明：为避免涉及泰勒级数在圆周CR 上的敛散性问题，作较CR小 当包含z且与CR同心的圆周CR1，则f ( z )在CR1 及其内部解析，所以满足柯西公式 1 f ( ) CR1 ( z )d 2 i
z CR
z0 CR1
|z0-|
f ( z )＝ 将
11 1 z
＝e(1+z+
3 2 13 3 z + z +...),收敛圆为：|z|<1 2! 3!
• • • • • • • • • • • • •
3.3 泰勒级数
• 教学重点：泰勒级数展开公式证明及应用 • 复习并思考：幂级数之和在收敛圆内部为解析函数，反过来解析函数可否 •
展开为幂级数呢？ 任意阶的导数都存在的实变函数可以展开为泰勒级数，而解析函数的任意 阶导数都存在，那么，可否把解析函数展开为复变项的泰勒级数呢？
（2）在z0＝0的邻域上把f1(z )= sin z和f 2 ( z ) cos z展开 解： f1'(z )=cosz , f1'(0)=1. f1(3)(z )=- cos z , f1(3)(0)=-1 f1(0)=0 f1''(z )= sin z , f1''(0)=0 f1(4)(z )= sin z , f1(4)(0)=0
e
1 1 z
1 1 m! k ( 1) z m ( k 1) k 1 ( 1) ( k 1)! m 0 [ m ( k 1)]! k 0 k !
1 1 m! z m ( k 1) k 1 k ! ( k 1)! m 0 ( m k 1)!
第三章 幂级数展开
• 目的要求：掌握泰勒级数及罗朗级数的展开方法 • 重点难点：重点介绍幂级数的性质、幂级数收敛半径的求法，泰勒级数展开
6.4 函数的幂级数展开
1 3 1 5 x n 1 sinx x x x (1) 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
用直接法还可得到,对任意实数
a
2 n 1
a,有
a(a 1) 2 a(a 1)(a 2) 3 (1 x ) 1 ax x x 2! 3! a(a 1)(a n 1) n x n! ( 1 x 1)
例题6-23
将函数 f ( x ) cos x 展开为x的幂级数.
x ) cosx , 解 因为(sin
2 n 1 1 3 1 5 x sinx x x x (1)n1 3! 5! ( 2n 1)! ( x ) .
而
所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得
中的余项 rn ( x) 0(n ) 时,函数f(x)能
够在x0点的邻域内展开为 ( x x0 ) 的幂级数
式(6.8),即有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) n ( x x0 ) (6.9) n!
在x 1点处展开式是否成立,要视 a值而定，
1 1 对应于 a 1, a , a , 有 2 2 1 1 x x 2 x 3 ( 1 x 1) 1 x 1 1 2 1 3 3 1 3 5 4 1 x 1 x x x x 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 ( 1 x 1)
例 6-21 试将函数 f(x) = ex 展开成 x
的幂级数.
( n) x 由 f ( x ) e (n 1 , 2 , 3 ,) , 可以 解
《高等数学教学课件》第三节 幂级数
设幂级数 an x n的收敛半径为R, 和函数为s( x), n0
则在( R, R)内, s( x)可导, 且有逐项求导公式
s( x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x ( R, R)
n0
n1
n1
幂级数 nan x n1与 an x n有相同的收敛半径.
设sn
n
( 1) k 1
k1 (2k 1)(2k 1)!
rn
s sn
un1
1
104
(2n 1)(2n 1)!
(2n 1)(2n 1)! 104
取n 3, 7 7! 104
1 sin x
3
(1) k 1
11
dx
1 0.9461.
0x
k1 (2k 1)(2k 1)! 3 3! 5 5!
n0
an n
x 1
n1与
n0
an
x
n具有相同的收敛半径.
例1、求幂级数 x n 的收敛半径,收敛区间及收敛域,并求和函数.
解 lim
1
n0 n 1
1 lim n 1 1; R 1;
n n (1)n
n0 n 1 s( x)
2 莱
n 1 n n 2 1n 布 尼 兹 级 数,收 敛. n0 n
解
1
( x)n (1)n x n
1 x 1.
1 x n0 x
1
n0
dx
x
(1)n x ndx
( 1) n
x x ndx
ln(1 x)
(1)n
n0
x n1 n1
x 0
0 1 x
(1)n
n0
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n0
2n 1
n0
2n 1
上式中令x = 1，得
(1)n
1
n0
2n 1 4
泰勒级数
若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有直到 n 1阶导数,
则在该邻域内 f (x) 的n阶泰勒公式
f (x)
0
x
(
0
an xn )dx
n0
n0
x 0
an xndx
n0
an xn1 n 1
幂级数在收敛区间内可以逐项积分，积分后所得幂级数的 收敛半径不变，其和函数为原级数的和函数在相应区间上 的积分．
例题
例6
求幂级数
n0
x n 1 n 1
的和函数．
解
设和函数为 s(x)，即
s(x)
x n 1
n0 n 1
函数项级数
主视图
幂级数
收敛域
运算
函数展开 泰勒级数
收敛半径
加减运算
直接展开 麦克劳林基数
微分运算 间接展开
积分运算
函数项级数
给定一个无穷函数列 {un (x)} (x I )
n
sn (x) uk (x) u1(x) u2 (x) L un (x)
k 1
n=1
un
(x)
=
lim
n
sn
(x)
n0
称为x的幂级数
回主视图
收敛半径
anxn 的x是变量,故可以视为任意项级数来判定
n0
考察 an xn n0
令 R lim an
a n n1
令 un an xn 则
lim un1 | x |
u n n
R
lim un1 lim an1 x
u n n
a n n
(1)若 | x | 1即| x | R
lim un1 n un
lim
n
2n1 x2n1 2n x2n1
lim 2 x 2 2 x 2 n
当 2 x 2 1, 即 x 2 时， 所给级数绝对收敛；当
．2
2 x 2 1, 即 x 2 时，所给级数发散．
2
则幂级数的收敛半径 R 2
2
回主视图
幂级数的加法
两收敛的幂级数在公共的收敛区间 (R, R)
s(x)
un (x)称为 {un(x)}的函数项级数 ,简称为{un(x)}的级数
n=1
{sn ( x)}称为级数的部分和函数数列
s(x) 称为级数的和函数
ห้องสมุดไป่ตู้
un(x)称为级数的一般项或通项．
{sn (x0 )}有极限称级数 在x=x0收敛,否则,称级数在x=x0发散
全部收敛点的集合称为级数的收敛域
n1 n 2n
的收敛区间为(－2，2)．当 t
2 时，级数成为
n1调(1和)n 1n级，数收n1 敛1n ，．所发以散级；当数tn1 nt2n2n时的，收级敛数域成为为交2 错t级 2数，
从而原级数的收敛域为 1, 3 .
例题
例5 求幂级数 2n x2n1 的收敛半径． n0 解 幂级数缺少偶数次幂的项，不属于级数(9-13)的标准形 式，因此不能直接用公式(9-14)求收敛半径，这时可以根据 比值审敛法求其收敛半径：
n
n!
n 1
所以该级数的收敛域为 (, ).
例4
求幂级数
(x 1)n n1 n 2n
的收敛域．
解 令 t x 1，上述级数变为t的幂级数
1
t n
n1 n 2n
，因为
R lim an lim n 2n lim 2(n 1) 2
a n n1
n
1
n n
(n 1) 2n1
因此
t n
两端求导，并注意到
1 1 x x2 xn , x (1, 1)
1 x
可得
s(x) ( xn1 ) xn 1
n0 n 1 n0
1 x
上式两端从 0 到 x 积分，得
s(x) s(0) x 1 dx ln(1 x) 0 1 x
x (1,1)
由于 s(0) 0 ．又当
则 an xn 收敛,
an
xn
绝对收敛
R
n0
n0
(2)若
| x | 1即| x | R R
则
| un1 || un || u1 |, un 0
an xn 发散
n0
(3)若 | x | 1即| x | R 则
an xn发散,但
an xn
收敛性不确定
R
n0
n0
称R为幂级数的收敛半径
例题
例1
求幂级数 (1)n1 xn 的收敛域．
x 1
时，
(1)n1
n0 n 1
收敛，所以
xn1
n0 n 1
ln(1 x)
x [1, 1)
例7
求幂级数
n0
(1)n
x 2 n 1 2n 1
例题
的和函数，并求级数 (1)n
n0
1 2n 1
的和．
解 设和函数为s(x) ，则 s(x) (1)n x2n1
n0
2n 1
两端求导得
n 1
n
解 收敛半径
R lim an
1
lim n 1
a n n1
n 1 n1
收敛区间为(－1，1) ．
当
x 1
时，级数成为交错级数
(1)n1
n 1
1 n
，收敛；
当
x 1时，
级数成为
(
n 1
1 ) ，发散．
n
所以该级数的收敛域为 1, 1.
例2 求幂级数 nnxn的收敛域． n 1
解
收敛半径
s(x)
(1)n x2n
n0
( x2 )n
n0
1
1 x
2
x (1,1)
上式两端从 0 到 x 积分，得
s(x) s(0)
x 0
1
1 x
2
dx
arctan
x
x (1,1)
,,
由于 s(0) 0 ．又当 x 1时,
(1)n
1 收敛; 当x 1时，
n0
2n 1
(1)n
1
收敛，所以 (1)n x2n1 arctan x , x 1, 1
R lim n
an an1
lim
n
nn (n 1)n1
lim[( n )n n n 1
1] n 1
e1
0
0
收敛域为 x x 0，即级数仅在 x 0 处收敛．
xn
例3 求幂级数 n0 n! 的收敛域．
例题
解 收敛半径 R lim an lim (n 1)! lim n 1
a n n1
回主视图
幂级数
形如
an (x x0 )n a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 L an (x x0 )n L
n0
的函数项级数，称为 x x0 的幂级数，其中 a0, a1,L , an ,L 称为幂级数的系数．
当 x0 0 时
an xn a0 a1x a2 x2 L an xn L
an xn bn xn (an bn )xn.
n0
n0
n0
微分运算
s(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n1
幂级数在收敛区间内可以逐项求导，求导后所得幂级数的收 敛半径不变，其和函数为原级数的和函数的导数．
积分运算
x
s(x)dx