高中数学 复数的乘除法(1)(附答案)
7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二
7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A ．3，2-B ．3，2i-C ．2，3-D ．2，3i-【答案】A【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．7-B ．6-C ．6D ．7【答案】A【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）A ．5BC ．25D【答案】A【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．6B ．6-C ．7-D ．7【答案】C【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（）A ．1+iB ．2+iC ．3D ．2i--【答案】D【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（）A ．5BC ．D ．【答案】B【解析】因为BC AC AB=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，所以BC表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）A ．0B ．1C D【答案】B【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ对应，由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur因为22221212122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()21232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA的复数为（）A ．39i +B ．28i+C ．9i--D ．9i+【答案】D【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA对应的复数为12i +，BC对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．【答案】()4,2-【解析】因为BA对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得AC对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--==．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()312i -；(2)()323i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)21i55-【解析】（1）()()()()()()()23212i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i=-+-+=-+（2）()()()()()()()23223i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i=-+-+=--（3）2221111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）211i ii i i 1⋅===--（5）()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 1i 2++-====-+--+-（6）()()()()221i 13i 1i13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055+-+-+--====-++--【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)i23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；【答案】(1)32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2--(4)12【解析】（1）i i(23i)32i 32i 23i (23i)(23i)131313-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 13i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222---------+-=-=-=--+⋅-+-（42212=；3.（2023湖北）计算：122i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）50820028i 1i ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）()2020222i1i 1i ⎛⎫++⎪ ⎪+-⎝⎭；（4）22021i i i +++ ．【答案】（1）513；（2）247+．（3）2i -+；（4）i .【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)12222222222-=-⨯-=--⨯-=-2(1i)2i-=-故61562155615926612(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 222-⨯--⨯-+===+=⎛⎫⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41i =，31(122-=-故50820028i+-+⎝⎭25885004248502i 2(1i)(1i)⨯+=++--25844425212(2i)i (2i)i)22=-+-++-4441122i i 2(i)247822=-+⨯-++-=+（3）()2222i22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2211i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，因此，原式()()210104252202022i 2i1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫++ ⎪⎪+-⎝⎭+-+-=-+；（4）因为()()12323*i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，所以原式()()()234567820172018201920202021i i i i i i i i ii i i i =+++++++++++++ ()50520214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.【答案】(1)1,2x =(2)1,231x -=(3)1,22x =-【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x ==.（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．【答案】(1)x =(2)x =(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.（2）210x x ++=即为22133i 244x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故12x +=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.（4）配方，得()2515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，所以()()2220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数55(12)1112(12)(12)i z i ii i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．【答案】[]2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2z -的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，2z -的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，14=12-=，所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.【一隅三反】1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．【答案】8【解析】因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故答案为：82．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）A ．1B 1C 1D【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，由图可知，min 11z =-=.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158iz =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥ 【答案】CD【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，由i z -=可得，()2215a b +-=，所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，根据复数相等的条件可得28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，所以158i z =-+，故B 项错误；对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+【答案】BC【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=,故选项D 错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．2z z z ⋅=B ．若||1z =，则1z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1【答案】CD【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()222i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则2222z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，1z -=()1,0的距离，故1z -11=，故D 正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）A．1212z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12z z =C．若120z z -=，则12z z =D．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12z z =C．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则2212z z =【答案】ABC【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得22221111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即2212z z =为假，D 不正确.故选：ABC一．单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A ．2(1i)+B ．2(1i)-C ．1i1i-+D ．4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（）A ．0B ．-1C 3iD ．-13i【答案】A【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322z =-+或1322z =--，显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A ．B ．2C ．i 2D ．2【答案】D【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以i 22z =+，即z 的虚部为2故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i23i z z+=-，则z =（）A ．3BC ．7D ．13【答案】B【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13a b a b ab +=-+=所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（）A ．20z z +=B ．0z z +=C ．0z z -=D ．220z z -=【答案】A【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z ⋅-+====+++-，1i z =-，对于A ，2222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；对于D ，2222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()727282i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()727282i 3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12nz ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】因为21131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，311131122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4111i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，611113122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =C．|i |y +D．32y x -=-【答案】BCD【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则32y y-=-.解得1y =或3y =-，故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-D．|z |=【答案】CD【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C正确.z =，所以D 正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（）A ．22cos i sin 33z ππ=+B ．212z z =C ．1z z=D ．222z z +=【答案】AC【解析】对于A，122i=cos isin2233z ππ=-+，故A 正确；对于B，2211222112z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，21122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数z =，正确的是（）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC【解析】由z =得2112z ==，则12z =对于A,1z =，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2⎛⎝⎭，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,211131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z 对应的向量为1,22OZ ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC 三．填空题13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；【答案】5i【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】8π【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()22318S ππ=⨯-=故答案为：8π.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】2i±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.【答案】4【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；(2)若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12i +；(2)7(,4)2.【解析】（1）由1i 1i12z +-=-，得()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，得22802(72)0m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得742m <<，所以实数m 的取值范围为7(,4)2.18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11izz =-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得12a =；（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)z +++===++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i1z-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12z z m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，()2i 2i z a b ∴+=++，()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩，可得2,2a b ==-，则22i;z =-（2）117172123i 22i i i 121212m m z z m m m m m m --=+-=++-=+-+-+-+，由题意，21012302m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.∴实数m 的取值范围是132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和2iz-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；(2)在复平面内，若()2113i z z m m m=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55a b za b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选③：因为2450x x -+=，则()221x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+++-=++++-=+++- ⎪⎝⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；(2)(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】(1)1=+z (2)答案见解析(3)2m =-，4n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，所以y =1=z .（2）由（1）可知1z =当1=z时，2i 12i 3i 2i 1i 444z -++===-，当1z =时，)()2i 12i 5i 444z ===-+.（3）法一：由（1）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以把1=+z ，代入20x mx n ++=得()()2110m n ++⋅++=，化简得2i 0m n +-++=，即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)()ππ4k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+∈Z ．所以，当()ππ4k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得()()()2i tan i i i 20,b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。
19高中数学“复数的乘除运算”知识点详解
高中数学“复数的乘除运算”知识点详解一、引言复数作为高中数学的重要知识点，其乘除运算是复数理论中的核心内容。
通过掌握复数的乘除运算，我们可以进一步深入理解复数的性质和应用。
本文将详细解析“复数的乘除运算”这一知识点，帮助同学们更好地掌握和应用复数理论。
二、复数的乘法运算1.复数乘法的定义：设z₁ = a + bi, z₁ = c + di 是任意两个复数，则它们的积定义为：z₁ × z₁ = (a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i。
2.复数乘法的几何意义：在复平面上，复数的乘法运算可以看作是向量的旋转和伸缩变换。
具体来说，设z₁ 对应的向量为OA, z₁ 对应的向量为OB, 则z₁ × z₁ 对应的向量为OC, 其中 C 点是由 A 点绕原点按逆时针方向旋转到 B 点所在射线上，且|OC| = |OA| × |OB|, OC 的辐角等于OA 和OB 辐角之和。
3.复数乘法的性质：复数乘法满足交换律、结合律和分配律，即对于任意复数z₁,z₁, z₁, 有z₁ × z₁ = z₁ × z₁, (z₁ × z₁) × z₁ = z₁ × (z₁ × z₁), z₁ × (z₁ + z₁) = z₁× z₁ + z₁ × z₁。
三、复数的除法运算1.复数除法的定义：设z₁ = a + bi, z₁ = c + di 是任意两个复数，且z₁ ≠ 0,则它们的商定义为：z₁ ÷ z₁ = (a + bi) ÷ (c + di) = [(a + bi)(c - di)] ÷ [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] ÷ (c² + d²)。
高中数学复数代数形式的乘除运算测试题(有答案)
高中数学复数代数形式的乘除运算测试题（有答案）选修2-23.2.2复数代数形式的乘除运算一、选择题1．(2019安徽理，1)i是虚数单位，i3＋3i＝()A.14－312iB.14＋312iC.12＋36iD.12－36i[答案] B[解析] i3＋3i＝i(3－3i)(3＋3i)(3－3i)＝3＋3i12＝14＋312i，故选B.2．在复平面内，复数z＝i(1＋2i)对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] B[解析] 考查复数的运算．z＝－2＋i，对应点位于第二象限，选B.3．已知z是纯虚数，z＋21－i是实数，那么z等于()B．iC．－iD．－2i[答案] D[解析] 本小题主要考查复数的运算．设z＝bi(bR)，则z＋21－i＝2＋bi1－i＝2－b2＋b＋22i，b＋22＝0，b＝－2，z＝－2i，故选D.4．i是虚数单位，若1＋7i2－i＝a＋bi(a，bR)，则乘积ab 的值是()A．－15B．－3C．3D．15[答案] B[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算．1＋7i2－i＝(1＋7i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝－5＋15i5＝－1＋3i＝a＋bi，a＝－1，b＝3，ab＝－3.5．设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝()B．6C．4D．2[答案] C[解析] 考查阅读理解能力和复数的概念与运算．∵a(z)表示使zn＝1的最小正整数n.又使in＝1成立的最小正整数n＝4，a(i)＝4.6．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则5iz＝()A．2－iB．2＋iC．－2－iD．－2＋i[答案] A[解析] 考查复数的运算．z＝－1＋2i，则5i－1＋2i＝5i(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)＝10－5i5＝2－i.7．设a，bR且b0，若复数(a＋bi)3是实数，则()A．b2＝3a2B．a2＝3b2C．b2＝9a2D．a2＝9b2[答案] A[解析] 本小题主要考查复数的运算．(a＋bi)3＝a3＋3a2bi－3ab2－b3i＝a3－3ab2＋(3a2b－b3)i，3a2b－b3＝0，3a2＝b2，故选A.8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，zz＝8，则zz等于() A．iB．－iC．1D．i[答案] D[解析] 本题主要考查复数的运算．设z＝a＋bi(a，bR)，则z＝a－bi，由z＋z＝4，zz＝8得2a＝4a2＋b2＝8a＝2b＝2z＝2＋2i，z＝2－2i或z＝2－2i，z＝2＋2i，zz＝2－2i2＋2i＝－i或zz＝2＋2i2－2i＝i.zz＝i，故选D. 9．(2019新课标全国理，2)已知复数z＝3＋i(1－3i)2，z －是z的共轭复数，则zz－＝()A.14B.12C．1D．2[答案] A[解析] ∵z＝3＋i(1－3i)2＝3＋i1－23i－3＝3＋i－2－23i＝3＋i－2(1＋3i)＝(3＋i)(1－3i)－2(1＋3)＝3－3i＋i＋3－8＝23－2i－8＝3－i－4，z－＝3＋i－4，zz－＝|z|2＝14，故选A.10．定义运算a bc d＝ad－bc，则符合条件1 －1zzi＝4＋2i的复数z为()A．3－iB．1＋3iC．3＋iD．1－3i[答案] A[解析] 由定义得1 －1zzi＝zi＋z＝z(1＋i)＝4＋2iz＝4＋2i1＋i＝3－i.故应选A.二、填空题11.1＋i1－i表示为a＋bi(a，bR)，则a＋b＝________. [答案] 1[解析] 本小题考查复数的除法运算．∵1＋i1－i＝(1＋i)22＝i，a＝0，b＝1.因此a＋b＝1.12．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.[答案] 1＋i[解析] 本题主要考查复数的运算．∵z＝i(2－z)，z＝2i1＋i＝1＋i.13．关于x的不等式mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于原复平面内的第________象限．[答案] 二[解析] ∵mx2－nx＋p0(m、n、pR)的解集为(－1，2)，m0(－1)＋2＝nm(－1)2＝pm，即m0，p0.故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．[答案] 83[解析] 设z1z2＝bi(bR且b0)，z1＝bi(z2)，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.a＝4b2＝3ba＝83.三、解答题15．计算：(1)－23＋i1＋23i＋21＋i2019＋1＋i3－i；(2)1＋in＋i2n＋…＋i2019n(nN)．[解析] (1)原式＝－23＋i－i(－23＋i)＋(－i)100＋1＋i3－i＝i＋1＋15＋25i＝65＋75i.(2)当n＝4k(kN)时，原式＝1＋1＋…＋1 2019＝2019.当n4k(kN)时，原式＝1－i2019n1－in＝1－i2019nin1－in＝1－in1－in ＝1.16．已知复数z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i，＝z＋ai(aR)，当2时，求a的取值范围．[解析] z＝(－1＋3i)(1－i)－(1＋3i)i＝(2＋4i)－(1＋3i)i＝1＋ii＝－i(1＋i)1＝1－i∵＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)iz＝1＋(a－1)i1－i＝[1＋(a－1)i](1＋i)2＝2－a＋ai2 z＝(2－a)2＋a222a2－2a－20，1－31＋3故a的取值范围是[1－3，1＋3]．17．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，cR)．(1)求b，c的值；(2)试证明1－i也是方程的根．[解析] (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0即b＋c＋(2＋b)i＝0b＋c＝02＋b＝0解得b＝－2c＝2.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0把1－i代入方程左边得左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立1－i也是方程的根．18．已知＝z＋i(zC)，z－2z＋2是纯虚数，又|＋1|2＋|－1|2＝16，求.[解析] 设z＝a＋bi(a，bR)z－2z＋2＝(a－2)＋bi(a＋2)＋bi＝(a2＋b2－4)＋4bi(a ＋2)2＋b2由z－2z＋2是纯虚数得a2＋b2＝4b0 ①|＋1|2＋|－1|2＝|z＋i＋1|2＋|z＋i－1|2＝|a＋bi＋i＋1|2＋|a＋bi＋i－1|2＝|(a＋1)＋(b＋1)i|2＋|(a－1)2＋(b＋1)i|2＝(a＋1)2＋(b＋1)2＋(a－1)2＋(b＋1)2＝2(a2＋b2)＋4＋4b＝8＋4＋4b＝12＋4b＝16，b＝1，将b＝1代入①得a＝3.z＝3＋i，＝3＋2i.。
高中数学(苏教版 选修2-2)教师用书第3章 3.2 第2课时 复数的乘方与除法 Word版含答案
第课时 复数的乘方与除法
.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.(重点)
.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.(重点、难点) .了解幂的周期性.(易错点)
[基础·初探]
教材整理 复数的乘方与除法
阅读教材～“练习”以上部分，完成下列问题.
.复数的乘方与(∈*)的周期性
()复数范围内正整数指数幂的运算性质 设对任何∈及，∈*，则＝＋，()＝，()＝.
()虚数单位(∈*)的周期性 .
－＝＋，－＝＋＝，＋＝，
.复数的除法
把满足(＋)(＋)＝＋(＋≠)的复数＋(，
∈)叫做复数＋除以复数＋的商，且＋＝＝＋(＋≠).
.判断正误：
()两复数的商一定是虚数.( )
() ＝.( )
()复数的加、减、乘、除混合运算法则是先乘除、后加减.( )
()若∈，则＝.( )
【答案】()× ()√ ()√ ()×
.复数＋＝.
【解析】＝＝＝，＝·＝－.
∴原式＝－＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
计算下列各式的值.
()＋＋＋…＋＋；
()＋(－)；
()＋(＋)－.
【自主解答】()＋＋＋…＋＋＝＋＋＋＝.
()∵－＝＋＝＋，且(±)＝±.
∴＋(－)
＝(＋)＋[(－)]
＝()＋(－)＝.
()＋(＋)－
＝×＋＋[(＋)]－
＝＋()－。
(新教材)2020高中数学同步导学人教A第二册：第七章 复数 7.2.2
跟踪训练 2 设 z＝31＋0ii，则 z 的共轭复数为(
)
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
解析：因为 z＝31＋0ii＝31＋0ii3－3－ii＝30i－1010i2＝1＋3i，所以－z ＝ 1－3i，故选 D.
答案：D 先用除法运算求出 z，再求－z .
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2．乘法运算律
复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律．即 z1z2 ＝__z_2z_1__；z1(z2z3)＝_(_z_1z_2_)_z3__，z1(z2＋z3)＝_z1_z_2_＋__z1_z_3.
状元随笔 1.复数乘法运算的方法
(1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果 中把 i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．
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方法归纳
怎样进行复数代数形式的乘法运算？
1．两个复数代数形式乘法的一般方法： (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将 i2 换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式： (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R) (3)(1±i)2＝±2i.
(3)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(4)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
【解析】 (1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i；
(2)－12＋
3
2
i
23＋21i(1＋i)
＝－
43－14i＋34i＋
43i2(1＋i)
＝－
43＋12i－
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）. ①两个复数不能比较大小；②复数i 1z =-对应的点在第四象限；③若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =； ④若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==. A ．0B ．1C ．2D ．33．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．34．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．325．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 6．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i - C ．2i D ．2i - 7．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i --8．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限9．已知i 是虚数单位，复数z 满足()341z i i +=+，则z 的共轭复数在复平面内表示的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．下列命题中,正确的命题是（ ） A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z > B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =11．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知复数342iz i-=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于第_____象限.16．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.17．在复平面内，复数(3)a z =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 18．已知复数[(1)]z a ai i =++（i 是虚数单位）是虚数，且||1z =，则实数a 的值是______19．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________.20．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数2(1)2(5)3i i z i++-=+.（1）求||z ；（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值. 23．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ； （2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 24．在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长.25．设复数z ：满足432243z i z i +--=-+-，求z 的最大值和最小值． 26．已知关于x 的方程2(21)30x i x m i --+-=有实数根,求实数m 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B 【分析】根据复数121,2z z ==，可得①是错误的；根据复数的表示，可得②是错误的；根据复数的分类，列出方程组，可得③是正确的；根据1231,,1z z i z ===-，可得④错误的. 【详解】对于①中，例如复数121,2z z ==，此时12z z <，所以①是错误的；对于②中，复数i 1z =-对应的点坐标为(1,1)-位于第二象限，所以②是错误的；对于③中，若()()22132i x x x -+++是纯虚数，则满足2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得1x =，所以③是正确的；对于④中，例如1231,,1z z i z ===-，则()()22110i i -++=，所以④错误的. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，以及复数的表示与复数的运算的综合应用，其中解答中熟记复数的概念与运算，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力.3．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．4．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x ⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.6．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 7．B解析：B 【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.8．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，22476555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出． 【详解】复数z 满足()341z i i +=+，∴()()()()3434134z i i i i +-=+-，∴257z i =-，∴712525z i =-． ∴712525z i =+． 则复平面内表示z 的共轭复数的点71,2525⎛⎫⎪⎝⎭在第一象限． 故选：A ． 【点睛】此题考查复数的运算和几何意义，涉及共轭复数概念辨析，关键在于熟练掌握运算法则，根据几何意义确定点的位置.10．C解析：C 【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z zz ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确. 【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z z z ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误.故选：C. 【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.11．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和22化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及82的值，然后得出88112i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()842284881111101122i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．一【分析】化简得到得到复数对应象限【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为（21）故复数在复平面内对应的点位于第一象限故答案为：一【点睛】本题考查了复数的模复数除法复数对应象限意在考查学生对于复数知识解析：一 【分析】化简得到2z i =+，得到复数对应象限. 【详解】()()()3452522222i i z i i i i i -+====+---+，复数z 在复平面内对应的点的坐标为（2,1）， 故复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故答案为：一.本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.16．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】 【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值.【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==，所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100. 【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题 解析：66i -【分析】根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果. 【详解】解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-． 故答案为：66i - 【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【解析】【分析】计算复数根据结合模长公式即可解出实数的值【详解】由题：复数是虚数则即解得或（舍）所以故答案为：【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值注意概念辨析一个复数是虚数则虚部不为零 解析：0【分析】计算复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，根据||1z =，结合模长公式即可解出实数a 的值． 【详解】由题：复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，是虚数，则10a +≠，||1z ==，即2220a a +=，解得0a =或1a =-（舍） 所以0a =． 故答案为：0 【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．19．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模. 【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以(32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z2=. 【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础.20．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+3i =-+==.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1；（2）7a =-，13b =-．【解析】试题分析：（1）利用复数的计算法则将其化简，即可求得z ；（2）利用复数的计算法则将等号左边化简，再根据等号左右两边实部虚部相等即可求解．试题（1）∵21021010(3)33310i i i z i i i +--====-++，∴z = （2）∵2(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+，∴837{{(6)113a b a a b +==-⇒-+==-． 考点：复数的计算．23．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得12a b =-⎧⎪⎨=±⎪⎩，因此，12z i =-±； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈，则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=，得()2211a b +-=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.24．z 4＝7＋3i ，210AD =【分析】由复数的几何意义得到AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1，AD AB AC ＝＋，z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，再由复数的加法运算和模长的公式得到结果.【详解】如图所示：AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD AB AC ＝＋，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1).∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为41AD z z ＝-＝()()73i 1i 62i ＋－＋＝＋＝ 【点睛】在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．25．最大值7；最小值3．【分析】先根据绝对值定义得不等式，再根据绝对值三角不等式求最值.【详解】 由已知等式得()4320z i --+-≤ ()|||43|4322||523||7z i z i z z ∴--+≤--+≤∴-≤-≤∴≤≤所以z 最大值为7； z 最小值为3．【点睛】本题考查复数模、绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.26．112m =【解析】 分析：先设方程的实根为0x ，再整理原方程为()()20003210x x m x i ++-+=，再根据复数相等的概念求m 的值.详解：设方程的实根为0x ，则()2002130x i x m i --+-=， 因为0x m R ∈、，所以方程变形为()()20003210x x m x i ++-+=， 由复数相等得200030210x x m x ⎧++=⎨+=⎩，解得012112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故112m =. 点睛：（1）本题主要考查复数方程的解法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析转化的能力.(2) 关于x 的方程()22130x i x m i --+-=,由于x 是复数，不一定是实数，所以不能直接利用求根公式求解.。
(常考题)人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．32．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i 3．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i --4．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）A ．12B 1C ．1D ．125．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限6．若复数z 满足22iz i =-（i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点所在的象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --8．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+ B ．2i -C ．2i --D ．2i +9．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限10．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C．D．12．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ＋1-2i |的最小值为（ ） A1BC ．3D ．2二、填空题13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________. 14．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；15．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.16．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．17．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题: ①若12z z ＞,则12z z ＞； ②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞； ④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞. 其中所有真命题的序号为______________.18．若复数(3)(12)z i i =--，则z 的共轭复数z 的虚部为_____ 19．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．20．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________．三、解答题21．（1）计算：()()432-2i （i 为虚数单位）；（2）已知z 是一个复数，求解关于z 的方程，313z z i z i ⋅-⋅=+（i 为虚数单位）.22．已知()()212162=10,25,,51z a i z a i a R i a a--=+-∈+-为虚数单位.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值；（2）求12z z ⋅的值.23．已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为(2,1)A -，(,3)B a ，（a R ∈）. （1）若125z z +≤，求a 的值；（2）若复数12·z z 对应的点在二、四象限的角平分线上，求a 的值. 24．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位） （1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．25．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 26．已知关于x 的方程x 2+kx+k 2﹣2k=0有一个模为1的虚根，求实数k 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又22|1|(1)(1)z i x y -+-++(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离． 则由几何意义得()()x 22ma |1|2110121z i -+=-+--=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．2．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.3．B解析：B 【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．4．A解析：A 【解析】 【详解】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()11111122i i i z i ii i +===+--+，则z，故选A. 5．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6．B解析：B 【解析】分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数，然后求z 的共轭复数，即可得到z 在复平面内对应的点所在的象限． 详解：由题意，()()()222222,i i i z i i i i -⋅--===--⋅-22,z i ∴=-+ 则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.点睛：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.8．C解析：C【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．9．D解析：D 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则22z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -． 10．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C11．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max 20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.12．A解析：A 【分析】根据1z =分析出z 在复平面内的轨迹方程，再根据12z i +-的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果. 【详解】因为22|||i |1z x y x y =+=+=，所以221x y +=，即z 在复平面内表示圆O ：221x y +=上的点；又22|12i ||(1)(2)i |(1)(2)z x y x y +-=++-++-，所以|12i |z +-表示圆O 上的动点到定点(12)A -,的距离，所以min |12i |z +-为||1OA r -=， 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z =对应的轨迹方程以及掌握12z i +-的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.二、填空题13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题 解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =.【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以34z i =+， 故答案为：34i + 【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.14．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.15．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出． 【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算解析：0 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根， 1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.17．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③ 【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号. 【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确. 对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③ 【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.18．7【分析】利用复数乘法运算化简为的形式由此求得共轭复数进而求得共轭复数的虚部【详解】故虚部为【点睛】本小题主要考查复数乘法运算考查共轭复数的概念考查复数虚部的知识解析：7 【分析】利用复数乘法运算化简z 为a bi +的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数的虚部. 【详解】()()31217z i i i =--=-，17z i =+，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.19．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四 【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简再根据复数实部概念求结果详解：因为则则的实部为点睛：本题重点考查复数相关基本概念如复数的实部为虚部为模为对应点为共轭复数为解析：2【解析】分析：先根据复数的除法运算进行化简，再根据复数实部概念求结果.详解：因为12i z i ⋅=+，则12i 2i iz +==-，则z 的实部为2. 点睛：本题重点考查复数相关基本概念，如复数+i(,)a b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、、对应点为(,)a b 、共轭复数为i a b -.三、解答题21．（1）8；（2）13z i =-+或1z =-【分析】（1）()()()()()()4222232-22-22-28i i i i -=即可化简得值；（2）设,,z a bi a b R =+∈，建立等式()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，列方程组求解.【详解】（1）()()()()()()4222232-22-22-286488i i i i --===-； （2）设,,z a bi a b R =+∈，313z z i z i ⋅-⋅=+，即()()()313a bi a bi i a bi i +---=+，223313a b b ai i +--=+，所以2231,33a b b a +-=-=，解得13a b =-⎧⎨=⎩或10a b =-⎧⎨=⎩， 所以13z i =-+或1z =-.故答案为：13z i =-+或1z =-【点睛】此题考查复数的运算，关键在于根据题意利用复数的运算法则，准确计算求解. 22．（1）3；（2）3i -+.【分析】（1）求出12z z +，再根据复数的分类求出a 值；（2）写出共轭复数，然后由复数的乘法运算法则计算．【详解】（1）()2116105z a i a =--+，()22251z a i a=+--， ()()()()2212162162102525105151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=--++-=++--- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭由题意知12z z +为实数， ∴()()225100,50,10,a a a a ⎧---=⎪⎨+≠⎪-≠⎩，解得3a =. （2）当3a =时，12z i =-，21z i =-+， 12z i =+，则()()12213z z i i i ⋅=+-+=-+.【点睛】本题考查复数的加法、乘法运算法则，考查共轭复数的概念，考查复数的分类，属于基础题．23．(1)15a -≤≤;(2)1a =-.【解析】分析：（1）由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z z ，的代数形式，通过复数的模125z z +≤，列出不等式即可求出a 的范围；（2）利用复数的运算法则和几何意义即可得出结果．详解：1）由题意可知12z i =-+,23z a i =+∴()1224z z a i +=-+ ∴()2212216z z a +=-+ ∴()221625a -+≤即()()510a a -+≤ ∴15a -≤≤由12z i =--∴()()()()12·23326z z i a i a a i =--+=--+由12·z z z =对应的点在二、四象限的角分线上可知()()3260a a --+=∴1a =-点睛：本题考查了复数的几何意义和模的计算公式、复数的运算法则，先由已知复数12,z z 在平面内对应的点分别为()2,1A -，(),3B a ，写出复数12z i =-+,23z a i =+求出a 的范围，再借助12·z z 的积，然后运用题设建立方程求解．24．（1）23z i =-；（2）11m -<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.试题（1）1255z z i =-+，21555532i i z i z i-+-+===--+ （2）()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限，，所以实数m 的取值范围是25．-190【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.26．1【解析】分析：设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，利用韦达定理列方程可求得k 的值，结合判别式小于零即可得结果.详解：由题意，得()222423800k k k k k k ∆=--=-+<⇒<或83k >， 设两根为1z 、2z ，则21=z z ， 21==1z z ，得12=1z z ⋅，212=2z z k k ⋅- 221k k ⇒-= 1211k k ⇒==．所以1k =点睛：本题考查复数代数形式乘除运算，韦达定理的使用，实系数方程有虚数根的条件，共轭复数的性质、共轭复数的模，意在考查基础知识的掌握与综合应用，属于中档题.。
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》知识点总复习含解析
【高中数学】《复数》考试知识点(1)一、选择题1．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A ．12i - B ．12i +C ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入zi，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由题意，2z i =-+，则22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】A 【解析】 【分析】设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】设()z x yi x y R =+∈、，1x yi ++=，()11iz i x yi +=++=y x =-，所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．3．若复数21z i i=+-（i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．3C ．5D ．5【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算，化简复数，再根据模的定义求解即可. 【详解】22(1)121(1)(1)i z i i i i i i +=+=+=+--+，22||125z =+=.故选C. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数模的概念，属于中档题.4．已知i 是虚数单位，复数134z i =-，若在复平面内，复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅= A ．25- B ．25C ．7-D ．7【答案】A 【解析】 【分析】根据复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-，求出2z ，代入计算即可 【详解】Q 复数1z 与2z 所对应的点关于虚轴对称，134z i =-234z i ∴=--()()12343425z z i i ⋅=---=-故选A 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题5．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2iC ．12i -+D ．12i --【答案】B 【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.6．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.7．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i -- B ．1i -C ．1i +D ．1i -+【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.8．已知两非零复数12,z z ，若12R z z ∈，则一定成立的是A ．12R z z ∈B ．12R z z ∈ C ．12R z z +∈D ．12R z z ∈ 【答案】D 【解析】 利用排除法：当121,1z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而()21212z z i i R =+=∉，选项A 错误，1211z i i R z i+==∉-，选项B 错误， 当121,22z i z i =+=-时，12z z ∈R ，而123z z i R +=-∉，选项C 错误， 本题选择D 选项.9．设i 是虚数单位，则复数734ii++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】 因为734i i++(7)(34)2525=1(34)(34)25i i i i i i +--==-+-， 所以所对应的点为(1,1)-，位于第四象限，选D.10．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线D ．线段【答案】D 【解析】 【分析】由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立. 因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．复数12i2i+=-（ ）． A ．iB ．1i +C ．i -D ．1i -【答案】A 【解析】 试题分析：12(12)(2)2422(2)(2)5i i i i i i i i i +++++-===--+，故选A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.12．若复数1a iz i+=-，且3·0z i >，则实数a 的值等于（ ） A ．1 B ．-1C ．12D ．12-【答案】A 【解析】 【分析】由3·0z i >可判定3·z i 为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由实部为0，且虚部不为0列式求解即可. 【详解】()()()()()i 1i 11i i 1i 1i 1i 2a a a a z ++-+++===--+Q ，所以3·z i =()()()()341i 1i 1i 122a a a a -++--++=，因为3·0z i >，所以3·z i 为实数，102a --= 可得1a =，1a =时3,?10z i =>,符合题意，故选A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.13．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ）A ．3B ．4C ．5D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为()()22231412412AB +=--+--+=+，最小值为2412AB -=-，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.14．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①若，，则的充要条件是；②若，且，则；③若，则．A ．B ．C ．D ． 【答案】A 【解析】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 考点：复数的有关概念.15．已知复数134z i=+，则下列说法正确的是（ ） A ．复数z 的实部为3B ．复数z 的虚部为425iC ．复数z 的共轭复数为342525i + D ．复数的模为1【答案】C 【解析】 【分析】直接利用复数的基本概念得选项. 【详解】1343434252525i z i i -===-+， 所以z 的实部为325，虚部为425-， z 的共轭复数为342525i +，模为2234125255⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关复数的概念和运算，属于简单题目.16．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则21z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i +C ．312i -D ．312i +【答案】D 【解析】21z z +=-323122i i i -=+- ，选D.17．已知复数z 满足()11z i i +=-，则z = （ ） A ．i B ．1C ．i -D ．1-【答案】B 【解析】()()1i 1i z +=-，则()()()21i 1i 2i 1i 1i 1i 2z ---====-++-i ，1z ∴=，故选B.18．若复数满足，则复数的虚部为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为，所以，因此复数的虚部为，选B.点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为19．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=u u u v u u u v（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】先求出(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-， 则44z i =+，(4,4)OA =u u u r ，(4,4)OB =-u u u r， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=u u u r u u u r.故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【详解】为纯虚数，故且，即.故选：.【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。
高中数学复数的四则运算(1) 例题解析
复数的四则运算(1) 例题解析【要点梳理】1. 设di c z bi a z +=++=21,是任意两个复数(1)复数的加法法则：(2)复数的减法法则:：(3)两个复数相加(减)就是2. 复数bi a z +=（R b a ∈,）的共轭复数记作 z ,=z3. 复数z 是实数的充要条件为4. =z =±21z z【指点迷津】1. 复数的加减法法则可以推广到复数相加减吗?可以2. 复数的加法满足交换律,结合律吗?满足3. 实数有共轭复数吗？有, 实数的共轭复数仍是它本身【典型例题】例1．计算：(1))]31()43[(5i i i +--+-解析： )]31()43[(5i i i +--+-=i i i 44)4(5+-=+-(2)i bi a bi a 3)32()(---+ （R b a ∈,）解析： i bi a bi a 3)32()(---+i b a i b b a a )34(]3)3([)2(-+-=---+-=点评：（1）类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．（2）算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后把实部和虚部分别相加．例2．已知复数i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数，求实数m 的值． 解析：由i m m m z )(1221+++=与i m z )31(22-+= )(R m ∈是共轭复数得：⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+)31(2122m m m m 解得：⎩⎨⎧=±=11m m 从而1=m 。
即1=m 时，21,z z 是共轭复数．点评：应准确把握共轭复数的代数特征：实部相同，虚部互为相反数． 例3．已知,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=求)(z f -的值．分析：先利用,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=得到复数z 满足的等式，然后设bi a z += （R b a ∈,）利用复数相等得到关于实数b a ,的方程组，解方程组即可． 解：因为,36)(,32)(i i z f i z z z f -=+-+=i z z i i z i z i i z i z i i z i z i z f 223)(23)(23)()(2)(-+=--++=-+++=-+++=+所以i z z 3662-=-+即i z z -=+62设bi a z += ),(R b a ∈则bi a z -=，所以i bi a bi a -=++-6)()(2即i bi a -=-63 由复数相等的定义知：⎩⎨⎧-=-=163b a ，解得：⎩⎨⎧==12b a 所以i z +=2 所以 i i i i z f 463)2()2(2)(--=-+-+--=-点评：本题中要求)(z f -的值关键是先求出z ，在求复数z 时通常设复数),(R b a bi a z ∈+=，利用复数相等的定义将问题实数化，从而使问题得到解决．。
(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点题库
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点题库单选题1、在复平面内，复数z=1+i2−i（i是虚数单位），则复数z的共轭复数所对应的点位于（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限答案：A分析：根据复数除法运算化简z，再根据共轭复数的概念和复数的几何意义可得解.因为z=1+i2−i =(1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+3i+i24−i2=1+3i5=15+35i，∴z̅=15−35i，对应点为(15,−35)，在第四象限，故选：A．2、设复数z满足|z−i|=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则A．(x+1)2+y2=1B．(x−1)2+y2=1C．x2+(y−1)2=1D．x2+(y+1)2=1答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．z=x+yi,z−i=x+(y−1)i,|z−i|=√x2+(y−1)2=1,则x2+(y−1)2=1．故选C．小提示：本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3、复数1−3i(1−i)(1+2i)=（）．A．−1B．−i C．35−45i D．35−i答案：B解析：根据复数的乘法、除法的运算法则，准确运算，即可求解.根据复数的运算法则，可得1−3i (1−i)(1+2i)=1−3i 3+i =(1−3i)(3−i)(3+i)(3−i)=−10i 10=−i .故选：B.4、i 为虚数单位，已知复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，则a 等于（ ）A ．±1B ．1C ．−1D ．0答案：C解析：根据纯虚数的定义，实部为0，虚部不为0，列方程组求解.复数a 2−1+(a −1)i 是纯虚数，所以{a 2−1=0a −1≠0，得a =−1. 故选：C.5、复数z 满足(1+2i )z =3−i ，则|z |=（ ）A ．√2B ．√3C ．2D ．√5答案：A分析：先求出复数z ，再求|z |.因为(1+2i )z =3−i ，所以z =3−i 1+2i =(3−i )(1−2i )(1+2i )(1−2i )=15−75i ，所以|z |=√(15)2+(−75)2=√2.故选：A6、已知z =2+i ，则z̅−i1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z̅=2−i ，所以z̅−i1+i =2−i−i1+i=2(1−i)×(1−i)(1+i)×(1−i)=2×(1−2i+i2)2=−2i.故选：D.7、设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（）A．0B．−1C．1D．√2答案：B分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a+1=0，即可得答案. ∵复数(1+i)(a+i)=(a−1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上，∴a+1=0，即a=−1．故选：B8、在复平面内,复数2−i1−3i对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A分析：根据复数的运算法则，求得2−i1−3i =12+12i，结合复数的几何意义，即可求解.由题意，复数2−i1−3i =(2−i)(1+3i)(1−3i)(1+3i)=5+5i10=12+12i，所以该复数在复平面内对应的点为(12,12)，在第一象限.故选：A.9、已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．−1B．1C．−3D．3答案：C分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值. (1+ai)i=i+ai2=i−a=−a+i=3+i，利用复数相等的充分必要条件可得：−a=3,∴a=−3.故选：C.10、若z=1+i，则|z2–2z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：D分析：由题意首先求得z2−2z的值，然后计算其模即可.由题意可得：z2=(1+i)2=2i，则z2−2z=2i−2(1+i)=−2.故|z2−2z|=|−2|=2.故选：D.小提示：本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.填空题11、已知复数z=|3−4i|2−i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于第_____象限. 答案：一解析：化简得到z=2+i，得到复数对应象限.z=|3−4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)(2+i)=2+i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数z在复平面内对应的点位于第一象限.所以答案是：一.小提示：本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.12、已知复数z＝√3+i(1−√3i)2，则z·z̅＝________.答案：14分析：化简z,计算z·z̅即可.z＝√3+i(1−√3i)2＝√3i2(1−√3i)2＝√3i)(1−√3i)2＝1−√3i＝√3i)(1−√3i)(1+√3i)＝−√34+i4z̅=−√34−i 4z ⋅z̅=316+116=14 所以答案是：1413、已知关于x 的实系数方程x 2−2ax +a 2−4a +4=0两个虚根为x 1，x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a =______. 答案：12解析：根据关于x 的实系数的方程有两个虚根，由Δ<0解得a 的范围，再根据|x 1|+|x 2|=3及两根互为共轭，由|x 1|=|x 2|=√a 2−4a +4=32求解. 由Δ=16a −16<0，得a <1，因为|x 1|+|x 2|=3，所以|x 1|=|x 2|=√a 2−4a +4=32即a 2−4a +74=0， 解得a =12或72(舍)， 所以a =12.所以答案是：1214、复数12+√32i 的三角形式是______． 答案：cos π3+i sin π3分析：直接利用辅助角公式计算得到答案.12+√32i =cos π3+i sin π3.所以答案是：cos π3+i sin π3.15、设z =52+i ，其中i 为虚数单位，则Imz =________答案：−1解析：直接利用复数的除法运算化简得到z的代数形式，再根据定义即得结果.因为z=52+i =5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)22−(−1)=2−i所以Imz=−1.所以答案是：−1.解答题16、已知z1=3−4i，z2=3−2i.求：(1)z1⋅z2；(2)z1z2；(3)(1+i)2n+(1−i)2n（n为正整数）；(4)(1+i)15+(1−i)15(1+i)14−(1−i)14.答案：(1)1−18i(2)1713−613i(3)(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N(4)i分析：（1）根据复数的加减法和乘法运算规则计算得出结果；（2）根据复数的四则运算规则计算得出结果；（3）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果；（4）根据复数的乘方及四则运算规则计算得出结果.（1）根据复数的加减法和乘法运算规则得，z1·z2=(3−4i)·(3−2i)=1−18i. （2）根据复数的四则运算规则得，z1z2=3−4i3−2i=(3−4i)(3+2i)(3−2i)(3+2i)=17−6i13=1713−6i13.（3）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i)2n+(1−i)2n=(2i)n+(−2i)n={2n+1,n=4k,k∈N∗, 0,n=4k+1,k∈N,−2n+1,n=4k+2,k∈N,0,n=4k+3,k∈N （4）根据复数的乘方及四则运算规则得，(1+i)15+(1−i)15 (1+i)14−(1−i)14=(1+i)14·(1+i)+(1−i)14·(1−i)(2i)7−(−2i)7=(2i)7·(1+i)+(−2i)7·(1−i)−28i=−27i+27+27i+27−28i=i17、已知复数z=(m2+2m)+(m2−2m−3)i, m∈R，其中i为虚数单位．（I）若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；（II）若z满足z⋅z̅−4i z=9−12i，求m的值．答案：（I）m的取值范围是−2<m<−1；（II）m=1．分析：（I）由实部小于0且虚部大于0，联立不等式组求解即可；（II）设出z=x+y i(x,y∈R)，先利用复数的共轭的概念和负数的乘法运算化简已知等式的左端，利用两个复数相等的充要条件可求出z的两个值,进而根据题设条件对应得到两个关于m的方程组，分别求解即得．解：（I）∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴{m2+2m<0m2−2m−3>0，解得：−2<m<−1，所以m的取值范围是−2<m<−1；（II）设z=x+y i(x,y∈R)，∵z⋅z̅−4i z=9−12i，∴(x2+y2)−4i(x+y i)=9−12i，即(x 2+y 2+4y )−4x i =9−12i ，∴{x 2+y 2+4y =9−4x =−12， ∴{x =3y =0 或{x =3y =−4， ∴z =3或z =3−4i .∵z =(m 2+2m )+(m 2−2m −3)i ，∴当z =3时，{m 2+2m =3m 2−2m −3=0，无解； 当z =3−4i 时，{m 2+2m =3m 2−2m −3=−4，解得m =1， 综上可知：m =1．18、已知复数z =b i (b ∈R)，z+31−i 是实数.(1)求复数z ；(2)若复数(m −z)2−8m 在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.答案：(1)z =−3i(2)(0,9)分析：（1）先将z =b i 代入z+31−i 化简，再由其虚部为零可求出b 的值，从而可求出复数z ，（2）先对(m −z)2−8m 化简，再由题意可得{m 2−8m −9<0,6m >0, 从而可求得结果 (1)因为z =b i ，所以z+31−i =3+b i 1−i =(3+b i )(1+i )2=3−b+(b+3)i 2， 因为z+31−i 是实数，所以b +3=0，解得b =−3.故z =−3i .(2)因为z =−3i ，所以(m −z)2−8m =(m +3i )2−8m =(m 2−8m −9)+6m i .因为复数(m −z)2−8m 所表示的点在第二象限，所以{m 2−8m −9<0,6m >0,解得0<m <9，即实数m 的取值范围是(0,9).19、已知i 是虚数单位，设复数z 满足|z −2|=2.（1）求|z +1−4i |的最小值与最大值；（2）若z +4z 为实数，求z 的值. 答案：（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析解析：（1）根据题意|z −2|=2，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，|z +1−4i |表示点(x,y)到(−1,4)的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据z +4z 为实数，列出等量关系式，求得结果.（1）设z =x +yi ，根据|z −2|=2，所以有(x −2)2+y 2=4，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以|z +1−4i |=|(x +1)+(y −4)i |=√(x +1)2+(y −4)2，其表示点(x,y)到(−1,4)的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(−1,4)的距离减半径，所以最大值为√(2+1)2+42+2=7，最小值为√(2+1)2+42−2=3；（2）z +4z =x +yi +4x+yi =x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=(x +4x x 2+y 2)+(y −4y x 2+y 2)i ， 因为z +4z 为实数，所以y −4y x 2+y 2=0，即y(1−4x 2+y 2)=0，所以y =0或x 2+y 2=4，又因为(x −2)2+y 2=4，所以{x =0y =0 （舍去），{x =4y =0 ，{x =1y =√3 ，{x =1y =−√3， 所以z =4或z =1+√3i 或z =1−√3i .小提示：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.。
高中数学第三章3.2复数的四则运算(第一课时)复数的加减与乘法运算讲义(含解析)苏教版选修2_2
3.2复数的四则运算第一课时复数的加减与乘法运算复数的加减法已知复数z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)．问题1：多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？提示：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．问题2：复数的加法满足交换律和结合律吗？提示：满足．1．复数的加法、减法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)．2．复数加法的运算律(1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1；(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).复数的乘法设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，(a，b，c，d∈R)问题1：如何规定两复数相乘？提示：两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．即z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝ac＋bc i＋ad i＋bd i2＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.问题2：试验复数乘法的交换律．提示：z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i，z2z1＝(c＋d i)(a＋b i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.故z1z2＝z2z1.1．复数的乘法设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么它们的积(a ＋b i)(c ＋d i)＝ac ＋bc i ＋ad i ＋bd i 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i(a ，b ，c ，d ∈R )．2．复数乘法的运算律 对于任意z 1、z 2、z 3∈C ，有交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1结合律 (z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)乘法对加法的分配律z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3共轭复数问题：复数3＋4i 与3－4i ，a ＋b i 与a －b i(a ，b ∈R )有什么特点？ 提示：两复数的实部相等，虚部互为相反数．1．把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数． 2．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数记作z －，即z －＝a －b i.3．当复数z ＝a ＋b i 的虚部b ＝0时，z ＝z －，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．复数加、减法的规定：实部与实部相加(减)、虚部与虚部相加(减)．两个复数的和或差仍是一个复数．2．复数的乘法与多项式的乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部，虚部分别合并、两个复数的积仍是一个复数，可推广到任意多个复数，任意多个复数的积仍然是一个复数．[对应学生用书P38]复数的加减运算[例1] 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．[思路点拨] 解答本题可根据复数加减运算的法则进行．[精解详析] (1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.[一点通] 复数加减运算法则的记忆方法：(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．1．(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝________.解析：(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)＝(3－4－3)＋(－5－1－4)i＝－4－10i.答案：－4－10i2．若(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝2，则x＋y＝________. 解析：(－7i＋5)－(9－8i)＋(x＋y i)＝(5－9＋x)＋(－7＋8＋y)i＝(x－4)＋(y＋1)i.∴(x－4)＋(y＋1)i＝2，即x－4＝2，y＋1＝0.∴x＝6，y＝－1.∴x＋y＝5.答案：53．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i；(2)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.复数的乘法[例2] 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.[思路点拨] 应用复数的乘法法则及乘法运算律来解．[精解详析] (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.[一点通] (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式，完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.4．(浙江高考改编)已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 解析：(－1＋i)(2－i)＝－2＋i ＋2i －i 2＝－1＋3i. 答案：－1＋3i5．若(1＋i)(2＋i)＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则a ＋b ＝________. 解析：∵(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ＝a ＋b i ，∴a ＝1，b ＝3， 故a ＋b ＝4. 答案：46．计算下列各题． (1)(1＋i)2；(2)(－1＋3i)(3－4i)； (3)(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)．解：(1)(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i.(2)(－1＋3i)(3－4i)＝－3＋4i ＋9i －12i 2＝9＋13i. (3)法一：(1－i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ＝－1＋3i.共轭复数的概念[例3] 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . [思路点拨]设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )―→z ＝a －b i(a ，b ∈R )―→代入等式利用复数相等的条件求解.[精解详析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，所以z ＝－1或z ＝－1＋3i. [一点通](1)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (2)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．7．已知复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z ·z －z －1＝________. 解析：∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ， ∴z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，∴z ·z －z －1＝2－(1＋i)－1＝2－1－i －1＝－i. 答案：－i8．复数z 满足(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ，∴a －b i ＋2a i ＋2b ＝4＋3i ， 即(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解之得a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i. 答案：2＋i9．已知复数 z ＝1＋i ，求实数 a ，b 使 az ＋2b z ＝(a ＋2z )2成立． 解：∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z ＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i. ∵a ，b 都是实数， ∴由 az ＋2b z＝(a ＋2z )2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4(a ＋2).两式相加，整理得 a 2＋6a ＋8＝0.解得 a 1＝－2，a 2＝－4，对应得 b 1＝－1，b 2＝2. ∴所求实数为 a ＝－2，b ＝－1 或 a ＝－4，b ＝2.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i 看作关于“i”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法，只需要“合并同类项”就行，不需要记加、减法法则．2．复数的乘法运算复数的乘法可以把虚数单位i 看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i 2化为－1，进行最后结果的化简．[对应学生用书P40]一、 填空题1．计算(－i ＋3)－(－2＋5i)的结果为________． 解析：(－i ＋3)－(－2＋5i) ＝－i ＋3＋2－5i ＝－6i ＋5.答案：5－6i2．若复数z ＝1－2i ，(i 为虚数单位)则z ·z ＋z 的实部是________． 解析：∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. 答案：63．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 解析：∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i) ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i. 答案：5＋5i4．(北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 解析：(x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，由复数相等的定义知x ＝2. 答案：25．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 解析：∵z 2＝t ＋i ， ∴z 2＝t －i ，∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.答案：34二、解答题6．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2i ； (2)(3＋2i)＋(3－2)i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i ；(3)(3＋2i)＋(3－2)i ＝3＋(2＋3－2)i ＝3＋3i ；(3)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i) ＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i ＝8＋2i. 7．计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i)． 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32i (4i －6)＋2＋i ＝2i ＋6i 2－3－9i ＋2＋i ＝－7－6i.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i (1＋i) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎪⎫34－14i (1＋i)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋12i (1＋i) ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i.8．(江西高考改编)z 是z 的共轭复数．若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，求z .解：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， ∵z ＋z ＝2a ＝2，∴a ＝1. 又(z －z )i ＝2b i 2＝－2b ＝2. ∴b ＝－1. 故z ＝1－i.法二：∵(z －z )i ＝2，∴z －z ＝2i＝－2i又z＋z＝2.∴z－z＋(z＋z)＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.。
复数的运算-高中数学知识点讲解(含答案)
复数的运算（北京习题集）（教师版）一．选择题（共3小题）1．（2019秋•大兴区期末）已知复数z 在复平面上对应的点为(,1)m ，若iz 为实数，则m 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-2．（2020•怀柔区模拟）若复数z 满足1zi i =-，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --3．（2020•北京模拟）在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)-二．填空题（共9小题）4．（2019秋•丰台区期末）已知i 是虚数单位，复数31ii+=+ ． 5．（2019秋•海淀区校级期末）复数(34)(2)z i i =+-的虚部为 ． 6．（2019秋•丰台区期末）复数11i+的实部为 ． 7．（2020•朝阳区模拟）设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的虚部为 ，1z= ． 8．（2020•平谷区一模）如果复数z 满足1i z i =+，那么||z = (i 为虚数单位）．9．（2020•朝阳区模拟）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的实部为 ，虚部为 ．10．（2019•房山区一模）复数31iz i+=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 ． 11．（2019•平谷区一模）复数2i i+= ． 12．（2018秋•通州区期末）复数(1)i i +的虚部为 ． 三．解答题（共3小题）13．（2019秋•海淀区校级期末）已知复数z 满足||z =z 的实部大于0，2z 的虚部为2； （1）求复数z ；（2）设复数z ，2z ，2z z -之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求()OA OB OC +的值．14．（2019春•西城区校级期中）已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)(z i z i i -=+为虚数单位），1||z = （Ⅰ）求1z 的值；（Ⅱ）若1z 的虚部大于零，且11(,)mz n i m n R z +=+∈，求m ，n 的值． 15．（2018春•海淀区校级期中）已知复数124z i =+，2()z a i a R =+∈，12(1)z z i =+，求2||z ．复数的运算（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．（2019秋•大兴区期末）已知复数z 在复平面上对应的点为(,1)m ，若iz 为实数，则m 的值为( ) A ．1-B ．0C ．1D ．1或1-【分析】由题意求得z ，再由iz 为实数列式求得m 值． 【解答】解：由题意，z m i =+， 再由()1iz i m i mi =+=-+为实数， 得0m =． 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题． 2．（2020•怀柔区模拟）若复数z 满足1zi i =-，则(z = ) A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【分析】利用除法法则求出z ，再由共轭复数的定义求z ． 【解答】解：因为1zi i =-，所以11iz i i-==--， 则1z i =-+． 故选：C ．【点评】本题考查了共轭复数以及复数的加减运算，属于基础题． 3．（2020•北京模拟）在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为( ) A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(2)12i i i +=-+，∴复数(2)i i +对应的点的坐标为(1,2)-，故选：B ．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 二．填空题（共9小题）4．（2019秋•丰台区期末）已知i 是虚数单位，复数31ii+=+ 2i - ． 【分析】利用复数的四则运算法则进行化简即可．【解答】解：23(3)(1)334221(1)(1)22i i i i i i i i i i i ++-+---====-++-．故答案为：2i -．【点评】本题主要考查复数的四则运算，比较基础．5．（2019秋•海淀区校级期末）复数(34)(2)z i i =+-的虚部为 5 ． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(34)(2)6384105z i i i i i =+-=-++=+，∴复数(34)(2)z i i =+-的虚部为5．故答案为：5．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 6．（2019秋•丰台区期末）复数11i +的实部为 12． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：11111(1)(1)22i i i i i -==-++-， ∴复数11i +的实部为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．7．（2020•朝阳区模拟）设复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的虚部为 4 ，1z= ． 【分析】设(z a bi a =+，b R ∈且0a >，0)b >，由||5z =，6z z +=，得关于a ，b 的方程组，求解可得a ，b 的值，再由复数代数形式的乘除运算化简求得1z． 【解答】解：设(z a bi a =+，b R ∈且0a >，0)b >， 由||5z =，6z z +=，得222526a b a ⎧+=⎨=⎩，解得3a =，4b =．z ∴的虚部为4；11343434(34)(34)2525i i z i i i -===-++-． 故答案为：4；342525i -． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．8．（2020•平谷区一模）如果复数z 满足1i z i =+，那么||z i 为虚数单位）．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 【解答】解：1i z i =+，21(1)()1i i i z i i i++-∴===--，||z ∴=【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．9．（2020•朝阳区模拟）已知复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，且满足||5z =，6z z +=，则z 的实部为 3 ，虚部为 ．【分析】设复数z a bi =+(,)a R b R ∈∈，且0a >，0b >，由6z z +=可求出a 的值，再由||5z =求出b 的值即可． 【解答】解：设复数z a bi =+(,)a R b R ∈∈，且0a >，0b >， ||5z =，6z z +=，∴5=，6a bi a bi ++-=，3a ∴=，4b =，z ∴的实部为 3，虚部为4，故答案为：3，4．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 10．（2019•房山区一模）复数31iz i+=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的虚部为 1- ． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i ++--====-++-， ∴复数z 的虚部为1-．故答案为：1-．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 11．（2019•平谷区一模）复数2i i+= 12i - ． 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以i ，分子变化成实数，写成最简形式，得到结果． 【解答】解：复数2(21)12121i i i ii i i i ++-+===-- 故答案为：12i -【点评】本题考查复数的除法运算，本题解题的关键是熟练应用复数除法的法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，本题是一个基础题．12．（2018秋•通州区期末）复数(1)i i +的虚部为 1 ． 【分析】化简复数为a bi +的形式，即可得到结果． 【解答】解：复数(1)1i i i +=-+．复数的虚部为：1． 故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本概念，考查计算能力． 三．解答题（共3小题）13．（2019秋•海淀区校级期末）已知复数z满足||z =z 的实部大于0，2z 的虚部为2； （1）求复数z ；（2）设复数z ，2z ，2z z -之在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，求()OA OB OC +的值． 【分析】（1）设复数z x yi =+，x 、y R ∈；列方程组求得x 、y 的值，得出复数z ； （2）求出复数z 、2z 和2z z -对应的点A 、B 、C 的坐标，计算()OA OB OC +的值． 【解答】解：（1）设复数z x yi =+，x 、y R ∈；由||z =222x y +=； 又z 的实部大于0x >，2222z x y xyi =-+的虚部为22xy =， 所以1xy =； 解得1x =，1y =； 所以复数1z i =+；（2）复数1z i =+，22(1)2z i i =+=，2(1)21z z i i i -=+-=-； 则(1,1)A ，(0,2)B ，(1,1)C -；所以()(1OA OB OC +=，3)(1，1)113(1)2-=⨯+⨯-=-．【点评】本题考查了复数的代数形式运算问题，也考查了平面向量的运算问题，是基础题．14．（2019春•西城区校级期中）已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)(z i z i i -=+为虚数单位），1||z = （Ⅰ）求1z 的值；（Ⅱ）若1z 的虚部大于零，且11(,)mz n i m n R z +=+∈，求m ，n 的值． 【分析】（Ⅰ）设1(,)z x yi x y R =+∈，则2z x yi =-+，由题意列方程组求得x ，y 的值，则答案可求； （Ⅱ）求得1z ，代入11mz n i z +=+，利用复数代数形式的乘除运算化简化简，再由复数相等的条件求解． 【解答】解：（Ⅰ）设1(,)z x yi x y R =+∈，则2z x yi =-+，12(1)(1)z i z i -=+，1||z =∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩， 即11z i =-或11z i =-+；（Ⅱ）1z 的虚部大于零，11z i ∴=-+，则11z i =--， 则有(1)1mi n i i+--=+-+， ∴12112mn m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，解得41m n =-⎧⎨=⎩．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．15．（2018春•海淀区校级期中）已知复数124z i =+，2()z a i a R =+∈，12(1)z z i =+，求2||z ．【分析】把124z i =+，2()z a i a R =+∈代入12(1)z z i =+，整理后利用复数相等的条件列式求得a ，再由复数模的计算公式求解． 【解答】解：124z i =+，2()z a i a R =+∈，由12(1)z z i =+，得24()(1)(1)(1)i a i i a a i +=++=-++． ∴1214a a -=⎧⎨+=⎩，即3a =．2|||3|z i ∴=+=．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，训练了复数模的求法，是基础题．。
新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)(1)
一、选择题1．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-2．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数2a ii+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-14．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -5．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．126．设复数()()2cos sin z a a i θθ=+++（i 为虚数单位）.若对任意实数θ，2z ≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．55⎡-⎢⎣⎦D ．11,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -8．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．设3iz i+=，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．-1C ．3D ．-310．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz+＝（ ）A ．32i+ B ．132i+ C ．332i+ D ．12i+ 11．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2C D12．若(),a bia b i+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．3-D ．3二、填空题13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________； 16．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数12z i --的最大值为______.17．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．18．已知复数032z i =+，其中i 是虚数单位，复数z 满足003z z z z ⋅=+，则复数z 的模等于__________. 19．已知复数z 满足43(zi i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 20．若复数214tz t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 三、解答题21．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.22．在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.23．已知i 为虚数单位，当实数m 取何值时，复平面内，复数22(4)(6)i z m m m m =-+--的对应点满足下列条件？（1）在第三象限；（2）在虚轴上；（3）在直线30x y -+=上．24．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积. 25．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．26．已知复数z 满足|z|2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限， (1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a a z i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a a x y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a -==-+++， 又因为a R ∈，所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a-<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．C解析：C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案． 【详解】()()()()212121,1,1111i i i iz i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．C解析：C 【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 4．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 5．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.6．C解析：C 【分析】由1212z z z z +≤+可知()()cos sin 2cos sin 2i a ai i a ai θθθθ+++≤+++，令max2z≤，即可求出a 的范围.【详解】因为对任意θ，2z ≤，则max2z≤,()()cos sin 2cos sin 21z i a ai i a ai θθθθ=+++≤+++=，12∴≤，解得a ≤≤故选：C. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，以及不等式的恒成立问题，属于中档题.7．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以12z -±=，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：x =2b x -±=.9．D解析：D 【解析】 因为z=3ii+13i =-∴z 的虚部为-3，选D. 10．B解析：B 【分析】由复数1z i =+，得到1z i =-，进而得到121z iz i++=-，根据复数的除法运算法则，即可求解. 【详解】由题意，复数1z i =+，可得1z i =-，则()()()()2112131112i i z i i z i i i +++++===--+. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及共轭复数的概念及应用，其中解答中熟练应用复数的除法运算的法则，以及熟记复数的共轭复数的概念是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．B解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论． 【详解】 因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ． 二、填空题13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题 解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =.【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩，所以34z i =+， 故答案为：34i + 【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.16．【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】解：设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆如图：表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为故解析：1【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由12z i --的几何意义求解即可． 【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，如图：2212(1)(2)z i a b --=-+-z 在复平面内对应点到点(1,2)P 的距离所以12z i --最大值为22||1(11)(02)1212PA +=--+-=． 故答案为：221． 【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.17．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算解析：0 【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解. 【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根， 1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0 【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题.18．【分析】可设出复数z 通过复数相等建立方程组从而求得复数的模【详解】由题意可设由于所以因此解得因此复数的模为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算相等的条件比较基础 13 【分析】可设出复数z ，通过复数相等建立方程组，从而求得复数的模.【详解】由题意可设z a bi =+，由于003z z z z ⋅=+，所以(32)(23)(33)(23)a b a b i a b i -++=+++，因此32332323a b a a b b -=+⎧⎨+=+⎩，解得132a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，因此复数z=【点睛】本题主要考查复数的四则运算，相等的条件，比较基础. 19．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.20．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦， 在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.三、解答题21．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1. 【分析】 （1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=；当52a =时，7744z i =-，7344z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题22．（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号.【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=-证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++ ()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ . 【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．23．（1）(0,3)；（2）0m =或4；（3）3m =．【分析】（1）根据复数对应的点在第三象限，得到实部和虚部都小于0，得到不等式组解之得结果；（2）根据复数对应的点在虚轴上，得到实部等于0，解方程得结果；（3）根据复数对应的点在直线30x y -+=上，得到实部和虚部满足此方程，由此解得m 的值.【详解】复数22(4)(6)i z m m m m =-+--对应点的坐标为22(4,6)Z m m m m ---．（1）因为点Z 在第三象限，所以224060m m m m ⎧-<⎨--<⎩，解得0423m m <<⎧⎨-<<⎩， 所以03m <<，故实数m 的取值范围为(0,3)．（2）因为点Z 在虚轴上，所以240m m -=，解得0m =或4m =．（3）因为点Z 在直线30x y -+=上，所以22(4)(6)30m m m m ----+=，即390m -+=，解得3m =．【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点所处的位置的问题，要明确虚轴是y 轴，属于简单题目.24．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题. 25．1,22【解析】【分析】根据复数相等的概念得到实部虚部均为0，即21020x y y -+=⎧⎨-=⎩求得参数值. 【详解】∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴21020x y y -+=⎧⎨-=⎩解得12x = ,y=2 所以实数x ，y 的值分别为12，2. 【点睛】这个题目考查了复数相等的概念，两个复数相等则需要实部等于实部，虚部等于虚部即可. 26．(1) z=1+i . (2)25. 【解析】 分析：（1）设z=x+yi(x,y ∈R)，根据题意得到x,y 的方程组，即得z.(2)先求z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点，再利用向量的夹角公式求cos ∠ABC.详解：(1)设z=x+yi(x,y ∈R). ∵|z|2,=∴x 2+y 2=2. ①又z 2=(x+yi)2=x 2-y 2+2xyi,∴2xy=2,∴xy=1. ②由①②可1,-1,1-1.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得或 ∴z=1+i 或z=-1-i.又x>0,y>0,∴z=1+i.(2)z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1+i-2i=1-i.如图所示,∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),()()BA 1,1,BC 1,3,∴=-=-∴cos ∠ABC BA?BC 25|BA||BC|21025====⨯点睛：（1）本题主要考查复数的求法和复数的几何意义，考查向量的夹角，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则cos θ=.。
高中数学《复数》基础知识及经典练习题(含答案解析)
高中数学《复数》基础知识及经典练习题（含答案解析）一、基础知识：复数题目通常在高考中有所涉及，题目不难，通常是复数的四则运算1、复数z 的代数形式为(),z a bi a b R =+∈，其中a 称为z 的实部，b 称为z 的虚部（而不是bi )，2、几类特殊的复数：（1）纯虚数：0,0a b =≠ 例如：5i ，i 等（2）实数： 0b =3、复数的运算：设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈（1）21i =−（2）()()12z z a c b d i ±=+++（3）()()()()212z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=+++=−++ 注：乘法运算可以把i 理解为字母，进行分配率的运算。
只是结果一方面要化成标准形式，另一方面要计算21i =−（4）()()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad i z a bi z c di c di c di c d +−++−+===++−+ 注：除法不要死记公式而要理解方法：由于复数的标准形式是(),z a bi a b R =+∈，所以不允许分母带有i ，那么利用平方差公式及21i =的特点分子分母同时乘以2z 的共轭复数即可。
4、共轭复数：z a bi =−， 对于z 而言，实部相同，虚部相反5、复数的模：z = 2z z z =⋅ (22z z ≠) 6、两个复数相等：实部虚部对应相等7、复平面：我们知道实数与数轴上的点一一对应，推广到复数，每一个复数(),a bi a b R +∈都与平面直角坐标系上的点(),a b 一一对应，将这个平面称为复平面。
横坐标代表复数的实部，横轴称为实轴，纵轴称为虚轴。
8、处理复数要注意的几点：（1）在处理复数问题时，一定要先把复数化简为标准形式，即(),z a bi a b R =+∈（2）在实数集的一些多项式公式及展开在复数中也同样适用。
高中数学-复数的运算
运算与模
z1 z2 z1 z2 z1 z2
z1z2 z1 z2
z1 z2
z1 z2
z2
0
zn z n
复数的乘方
• 棣美佛定理：
rcos sin n rn cos n sin n
说明：公式对r 0及cos i sin同样适用.
复数的开方
复数rcos sin 的n次方根是
y
这些点均匀分布在
x2
x1
以原点为圆心、以 n z0 为半径的圆上。
n z0
O
xn x
复数的三角形式
z a bi rcos i sin
r a2 b2 ,tg b 的终边过点a,b
a
说明： （1）模r 0 （2）同一个角 （3）实部为余弦，虚部为 正弦
（4）用加号连结 : cos sin cos sin
（5）0向量的模为0，辐角为任意角。
复数的模与辐角
1.模：向量OZ长度 a2 b2叫做z的模,记做 z。
in in1 in2 in3 0
练习： ( 1 )i1 i 2 i 2003 ( 2 )i1i 2 i 2003
( 2 )：此处特指1的虚数立方根
3 1, 2 1 0
12
2
,
2 2
1 ,1
2 ,2
1
1 2 1,12 1
n n1 n2 0
共轭复数的运算
n r cos 2k sin 2k k 0,1,2 , n 1
n
n
复数的nn N 次方根是n个复数，它们的
模都等于这个复数的模 的n n 1倍的和的n分之一。
复数开方的几何意义
方程xn z0 z0 C 的根的几何意义是：
高中数学第七章复数典型例题(带答案)
高中数学第七章复数典型例题单选题1、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，根据题意，可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示z 1⃗⃗⃗ ,z 2⃗⃗⃗ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BA⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.2、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D3、复平面中的下列哪个向量对应的复数是纯虚数（ ）A ．OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)B ．OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3，0)C ．OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)D ．OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1，-2) 答案：C分析：结合纯虚数概念判断即可向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，23)对应的复数为23i ，是纯虚数. 故选：C4、已知a,b ∈R ，a 1+i +b 1−i =1，则a +2b =（ ）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i)(1−i)，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b 1−i =1 ，所以a(1−i)+b(1+i)=(1+i)(1−i)=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i =2所以{a +b =2b −a =0 解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3故选：A5、设π<θ<5π4，则复数cos2θ+isin2θcosθ−isinθ的辐角主值为（ ）A ．2π−3θB ．3θ−2πC ．3θD ．3θ−π答案：B分析：根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解．解：cos2θ+isin2θcosθ−isinθ=cos2θ+isin2θcos(−θ)+isin(−θ)=cos3θ+isin3θ，因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π4，所以π<3θ−2π<7π4，所以该复数的辐角主值为3θ−2π．故选：B.6、复数z =−2+i 2049的共轭复数z =（ ）A ．12+i 2B ．12−i 2C ．−2−iD ．−2+i答案：C分析：先由复数的运算可得z =−2+i ，然后求其共轭复数即可.解：因为z =−2+i 2049=−2+(i 4)512⋅i =−2+i ，则z =−2−i ，故选：C.7、设(1+i)x =1+yi ，其中i 为虚数单位，x,y 是实数，则|x +yi |=（）A ．1B ．√2C ．√3D ．2答案：B分析：先利用复数相等求得x ，y ，再利用复数的模公式求解.因为(1+i)x =1+yi ，所以{x =1y =x ，解得{x =1y =1，所以|x+yi|=√x2+y2=√2.故选：B.8、已知i是虚数单位，则复数z=2−i20202+i2021对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D分析：先化简i2020,i2021，再利用复数的除法化简得解.z=2−i20202+i2021=12+i=2−i(2+i)(2−i)=2−i5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限，故选：D小提示：名师点评复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.多选题9、下列说法中正确的有（）A．若a∈R，则(a+1)i是纯虚数B．若x2−1+(x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=±1C．若a≤0，则z=a2−b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数D．若a,b∈R，且a>b，则bi2>ai2答案：CD分析：根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.对于A中，当a=−1，可得的(a+1)i=0不是纯虚数，故A错误；对于B中，当x=−1，可得x2+3x+2=0，此时x2−1+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数，所以B错误；对于C中，当a≤0时，可得|a|+a=0，所以z=a2−b2为实数，所以C正确；对于D中，由i2=−1，且a>b，所以bi2>ai2，所以D正确．故选：CD10、设复数z=1a+2i(a∈R)，当a变化时，下列结论正确的是（）A ．|z |=|z |恒成立B ．z 可能是纯虚数C ．z +1z 可能是实数D ．|z |的最大值为12 答案：ABD分析：首先根据题意得到z =a a 2+4−2a 2+4i ，再结合复数的定义和运算性质依次判断选项即可.z =1a+2i =a−2i (a+2i )(a−2i )=a a 2+4−2a 2+4i ， 对选项A ，z =a a 2+4+2a 2+4i ，|z |=|z |=√a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2，故A 正确.对选项B ，z =aa 2+4−2a 2+4i ， 当a =0时，z =−12i 为纯虚数，故B 正确.对选项C ，z +1z =a a 2+4−2a 2+4i +a +2i =(a a 2+4+a)+(2−2a 2+4)i令2−2a 2+4=0，即a 2+3=0无解，故C 错误.对选项D ，|z |2=a 2(a 2+4)2+4(a 2+4)2=1a 2+4≤14，当且仅当a =0时取等号.所以|z |的最大值为12，故D 正确.故选：ABD11、下列命题中正确的有（ ）A ．若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；B ．若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；C ．若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2；D ．若复数z ∈R ，则z ∈R ．答案：AD分析：根据复数的运算性质，即可判定A 正确；取z =i ，可判定B 不正确；取z 1=1+i,z 2=2−2i ，可判断C 不正确；根据复数的运算法则，可判定D 正确.对于A 中，设复数z =a +bi,(a,b ∈R)，可得1z=a−bi (a+bi )(a−bi )=a a 2+b 2−b a 2+b 2i ， 因为1z ∈R ，可得b =0，所以z =a ∈R ，所以A 正确；对于B中，取z=i，可得z2=−1，所以B不正确；对于C中，例如：z1=1+i,z2=2−2i，则z1z2=(1+i)×2(1−i)=4∈R，此时z1≠z2，所以C不正确；对于D中，设z=a+bi,(a,b∈R)，由z∈R，可得b=0，即z=a，可得z=a∈R，所以D正确.故选：AD12、已知复数z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，若z1+z2为实数，则（）A．a=1B．z1z1=√5C．z26为纯虚数D．z1z2对应的点位于第二象限答案：AC分析：先求出z1+z2，再由其为实数可求出a的值，然后逐个分析判断即可因为z1=6a+2+(a2−2)i,z2=1−ai(a∈R)，所以z1+z2=6a+2+(a2−2)i+1+ai=a+8a+2+(a2+a−2)i，因为z1+z2为实数，所以{a 2+a−2=0a+2≠0，解得a=1，所以A正确，z1=2−i,z2=1−i，所以z1z1=(2−i)(2+i)=5，所以B错误，z26=(1−i)6=[(1−i)2]3=(−2i)3=8i为纯虚数，所以C正确，z1 z2=2−i1−i=(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i−i−i22=32+12i，其在复平面内对应的点在第一象限，所以D错误，故选：AC13、若z−z=−14i,|z|=5√2，则z可能为（）A．1−7i B．1+7i C．−1−7i D．−1+7i答案：AC分析：待定系数法设复数，列方程组后求解设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi，由题意可得{z−z=2bi=−14i, |z|=√a2+b2=5√2,解得{b =−7,a =1或{b =−7,a =−1,所以z =1−7i 或−1−7i ． 故选：AC填空题14、已知|z −1−i |=1，则|z +i |的取值范围是_____________；答案：[√5−1,√5+1]分析：利用复数的几何意义求解，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，|z +i |表示复平面内到点(0,−1)的距离，结合两点间距离公式可求范围.因为在复平面内，|z −1−i |=1表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；|z +i |表示复平面内的点到点(0,−1)的距离，最小值为√(0−1)2+(−1−1)2−1=√5−1，最大值为√(0−1)2+(−1−1)2+1=√5+1，所以|z +i |的取值范围是[√5−1,√5+1].所以答案是：[√5−1,√5+1].小提示：名师点评本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z =x +yi ，则|z −a −bi |表示复平面内点(x,y)与点(a,b)之间的距离，|z −a −bi |=r 表示以(a,b)为圆心，以r 为半径的圆上的点.15、复数z 1,z 2满足：|z 1|=3，|z 2|=4，|z 1+z 2|=5，则|z 1−z 2|=______．答案：5分析：根据给定条件，结合复数模公式计算作答.设复数z 1=a +bi,z 2=c +di,a,b,c,d ∈R ，z 1+z 2=(a +c)+(b +d)i ，z 1−z 2=(a −c)+(b −d)i ， 由|z 1|=3得a 2+b 2=9，由|z 2|=4得c 2+d 2=16，由|z 1+z 2|=5得(a +c)2+(b +d)2=25，因此ac +bd =0，所以|z 1−z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2−2(ac +bd)+c 2+d 2=5所以答案是：516、已知a 为实数，若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则a =________．答案：−1分析：根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.解：若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数，则{a 2−3a −4=0a −4≠0，解得a =−1. 所以答案是：−1.解答题17、已知复数z 1=2−5i ，z 2=1+(2cosθ)i .(1)求z 1⋅z 1；(2)复数z 1，z 2对应的向量分别是OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，当θ=π3时，求OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值.答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出z 1，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数z 1=2−5i ，则z 1=2+5i ，所以z 1⋅z 1=(2−5i)(2+5i)=29.(2)依题意，OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−5)，当θ=π3时，OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2cosθ)=(1,1)， 所以OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(−5)×1=−3.18、对任意的复数z =x +yi(x 、y ∈R)，定义运算P (z )=x 2[cos (yπ)+isin (yπ)]．则直线l ：x −y −9=0上是否存在整点(x,y )（x 、y 均为整数的点），使得复数z =x +yi(x 、y ∈R)经运算P 后，P (z )对应的点也在直线l 上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．答案：存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．分析：写出P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))，根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．解：P(z)对应点坐标为(x 2cos(yπ)，x 2sin(yπ))由题意{y=x−9x2sinyπ=x2cosyπ−9x,y∈Z，得x2sin(xπ−9π)=x2cos(xπ−9π)−9∴x2sinxπ=x2cosxπ+9，∵x∈Z，∴①当x=2k，k∈Z时，得x2+9=0不成立；②当x=2k+1，k∈Z时，得x2−9=0，∴x=±3成立，此时{x=3y=−6或{x=−3y=−12，故存在满足条件的整点(3,−6)、(−3,−12)．。
(精选试题附答案)高中数学第七章复数知识点总结归纳
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第七章复数知识点总结归纳单选题1、设i为虚数单位，若z i=2+√5i，则|z|=（）A．√3B．2C．√5D．3答案：D分析：根据复数的乘法，利用对应相等先求得z=√5−2i，再求模长即可得解.令z=a+b i，z i=a i−b=2+√5i，所以a=√5,b=−2，即z=√5−2i，所以|z|=√5+4=3，故选：D2、复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足|z−3|=|z−i|，则动点Z的轨迹为（）A．直线B．线段C．两条射线D．圆答案：A分析：设出动点Z坐标为(x,y)，根据题意列出方程，求出结果.设动点Z坐标为(x,y)，则z=x+y i，所以|x+y i−3|=|x+y i−i|，即(x−3)2+y2=x2+(y−1)2，化简得：3x−y−4=0，故动点Z的轨迹为直线.故选：A3、已知z(1−2i)=i，则下列说法正确的是（）A ．复数z 的虚部为i 5B ．复数z 对应的点在复平面的第二象限C ．复数z 的共轭复数z =25−i 5D ．|z |=15 答案：B分析：由复数除法求出复数z ，然后可判断各选项．由已知得z =i 1−2i =1(1+21)(1−2i)(1+2i)=−25+i 5，所以复数z 的虚部为15，而不是i 5，A 错误；在复平面内，复数z 对应的点为(−25,15)，在第二象限，B 正确. z =−25−i 5，C 错误；|z|=√(−25)2+(15)2=√55，D 错误；故选：B ．小提示：本题考查复数的除法，考查复数的几何意义，共轭复数的概念及模的定义，属于基础题．4、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解. 根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.5、已知a,b ∈R ，a 1+i +b1−i =1，则a +2b =（ ）A ．3B ．√3C ．√2D ．1答案：A分析：等式两边同乘(1+i )(1−i )，整理化简后利用复数相等的条件可求得a +2b 的值因为a 1+i +b 1−i =1 ，所以a(1−i )+b(1+i )=(1+i )(1−i )=1−i 2=2即(a +b)+(b −a)i=2所以{a +b =2b −a =0解得{a =1b =1 ，所以a +2b =3 故选：A6、欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数e 2i 在复平面内对应点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B分析：根据欧拉公式有e 2i =cos2+isin2，判断cos2, sin2即可确定e 2i 对应点所在象限.由题意知：e 2i =cos2+isin2，而π2<2<π，∴cos2<0, sin2>0，故e 2i 对应点在第二象限.故选：B7、已知i 是虚数单位，若z =i +a 1+i 为纯虚数，则实数a =（ ） A ．1B ．−1C ．2D ．−2答案：B分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解．因为z =i +a 1+i =(a+i )(1−i )(1+i )(1−i )=a−a i +i −i 22=a+12+1−a 2i 为纯虚数， 所以{a+12=01−a 2≠0 ，a =−1．故选：B ．8、设2(z +z )+3(z −z )=4+6i ，则z =（ ）A ．1−2iB ．1+2iC ．1+iD ．1−i答案：C分析：设z =a +bi ，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .设z =a +bi ，则z =a −bi ，则2(z +z )+3(z −z )=4a +6bi =4+6i ，所以，{4a =46b =6，解得a =b =1，因此，z =1+i . 故选：C.9、若复数z 满足z(1−2i )=5，则（ ）A ．z =1−2iB ．z +1是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则cos α=√55 答案：D分析：利用复数的除法求复数z 及对应点坐标，并确定所在的象限，结合各选项描述判断正误.由题设，z =51−2i =1+2i 且对应点在第一象限，A 、C 错误；z +1=2+2i 不是纯虚数，B 错误；由z 在复平面内对应的点为(1,2)，所以cos α=√55，D 正确.故选：D10、在复平面内，O 是原点．向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为12−√32i ，其中i 为虚数单位，若点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．12+√32i B ．12−√32i C ．−12+√32i D ．−12−√32i分析：根据对称求得点B 的坐标，从而OB⃑⃑⃑⃑⃑ 求出对应的复数 由题意，得A (12,−√32)，B (−12,−√32)， 所以向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为−12−√32i 所以向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数的共轭复数为−12+√32i ， 故选：C ．填空题11、以下四个命题：①满足z =1z 的复数只有±1，±i ；②若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数；③|z ＋z |＝2|z |；④复数z ∈R 的充要条件是z ＝z ，其中正确的有_____.答案：④分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念、复数的模逐一判断即可.①令z ＝a ＋bi (a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，若z ＝1z ，则有a －bi ＝1a+bi ，即a 2＋b 2＝1＝|z |2，错误； ②(a －b )＋(a ＋b )i ＝2ai ，若a ＝b ＝0，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0，不是纯虚数，错误；③若z ＝i ，|i －i |≠2|i |，错误；④z ＝z ，则其虚部为0，正确，综上所述，正确的命题为④.所以答案是：④12、设i 为虚数单位，则1−i 1+i 的虚部为______．解析：根据复数除法运算化简复数，进而得结果1−i 1+i =(1−i)⋅(1−i)(1+i)⋅(1−i)=1−2i+i21−i2=−2i2=−i所以答案是：−1小提示：易错点睛：本题考查了复数的实部和虚部，在解题时一般利用分子、分母同乘分母的共轭复数进行运算，化简为a+bi的形式，b就是这个复数的虚部，一定要注意符号，考查学生的运算求解能力，属于易错题.13、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z=___________.答案：−2−8i##−8i−2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(3,−5)，则z=3−5i，所以(1−i)z=(1−i)(3−5i)=−2−8i.所以答案是：−2−8i14、已知|z|=1，k∈R且z是复数，当|z2+kz+1|的最大值为3，则k=_______.答案：±1分析：由|z|=1可知，z⋅z=1，化简|z2+kz+1|可得其最值为|k|+2，进而求出k的值.设z=a+b i，a，b∈R，因为|z|=1，所以|z|2=1，z⋅z=1，所以|z2+kz+1|=|z2+kz+z⋅z|=|z(z+z+k)|，因为z+z=a+b i+a−b i=2a∈R，所以|z2+kz+1|=|z(z+z+k)|=|z+z+k|⋅|z|=|2a+k|，因为|z|=√a2+b2=1，所以a∈[−1,1]，所以|z2+kz+1|max=|k|+2=3，解得，k=±1，所以答案是：±1.15、已知i 为虚数单位，则∑(1−i 1+i )k2022k=1=___________. 答案：−1−i ##−i -1分析：根据除法运算先化简1-i 1+i =−i ，然后根据周期性即可求解.1-i 1+i=(1-i )(1-i )(1+i )(1-i )=−i ，且∵(-i )+(-i )2+(-i )3+(-i )4=0,∴(-i )4n+1+(-i )4n+2+(-i )4n+3+(-i )4n =0， 故∑(1−i 1+i )k 2022k=1=∑(-i )k 2022k=1=(-i )+(-i )2=-i -1 所以答案是：−1−i解答题16、已知方程x 2+x +p =0有两个根x 1，x 2，p ∈R ．（1）若|x 1−x 2|=3，求实数p 的值；（2）若|x 1|+|x 2|=3，求实数p 的值．答案：（1）p =52或−2；（2）p =−2或94． 解析：（1）根据韦达定理，得出x 1+x 2=−1,x 1x 2=p ，|x 1−x 2|2=|(x 1+x 2)2−4x 1x 2|，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根x 1,x 2进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.解：（1）∵方程x 2+x +p =0有两个根x 1，x 2，则由韦达定理知：x 1+x 2=−1,x 1x 2=p ，∴|x 1−x 2|2=|(x 1+x 2)2−4x 1x 2|=|1−4p |=9，∴p =52或−2；（2）①当x 1，x 2为两个实根，△=1−4p ≥0，即p ≤14时，(|x 1|+|x 2|)2=x 12+x 22+2|x 1x 2|=(x 1+x 2)2−2x 1x 2+2|x 1x 2|，∴1−2p +2|p |=9，则p =−2，②当x 1，x 2为一对共轭虚根，△=1−4p <0，即p >14时，由|x 1|+|x 2|=3，|x 1|=|x 2|，得|x 1|=32， 由韦达定理可得p =|x 1|2=94，综上所述，p =−2或94.小提示：关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.17、如图，已知复平面内平行四边形ABCD 中，点A 对应的复数为−1，AB⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为2+2i ，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为4-4i .（1）求D 点对应的复数；（2）求平行四边形ABCD 的面积.答案：（1）3﹣4i ；（2）16.分析：（1）利用复数的几何意义､向量的坐标运算性质､平行四边形的性质即可得出.（2）利用向量垂直与数量积的关系､模的计算公式､矩形的面积计算公式即可得出.解：（1）依题点A 对应的复数为−1，AB⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为2+2i ， 得A (-1，0)，AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(2，2)，可得B (1，2). 又BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为4-4i ，得BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,-4)，可得C (5,-2). 设D 点对应的复数为x +yi ，x ，y ∈R.得CD⃑⃑⃑⃑⃑ =(x -5，y +2)，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2，-2). ∵ABCD 为平行四边形，∴BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =CD⃑⃑⃑⃑⃑ ，解得x =3，y =-4， 故D 点对应的复数为3-4i .（2）AB⃑⃑⃑⃑⃑ =(2，2)，BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,-4)， 可得：AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，∴ AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⊥BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |AB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2√2，|BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4√2 故平行四边形ABCD 的面积为2√2⋅4√2=1618、当实数m 分别为何值时，(1)复数z =m 2+m −2+(m 2+5m +6)i 是：实数？虚数？(2)复数z =log 2(m 2−3m −3)+i log 2(3−m)纯虚数？答案：(1)当m =−3或m =−2时复数z 为实数，当m ≠−3且m ≠−2时复数z 为虚数(2)当m =−1时复数z 为纯虚数分析：(1)根据实数的特点列方程求m 使得复数z 为实数，再根据虚数的特点列方程求m 使得复数z 为虚数，(2)根据纯虚数的特点列方程求m 使得复数z 为纯虚数.(1)若复数z =m 2+m −2+(m 2+5m +6)i 为实数，则m 2+5m +6=0∴ m =−3或m =−2，若复数z =m 2+m −2+(m 2+5m +6)i 为虚数，则m 2+5m +6≠0∴ m ≠−3且m ≠−2，(2)若复数z =log 2(m 2−3m −3)+i log 2(3−m)纯虚数，则log 2(m 2−3m −3)=0且log 2(3−m)≠0，由log 2(m 2−3m −3)=0可得m =−1或m =4，又m=4时log2(3−m)不存在，m=−1时log2(3−m)=2，所以m=−1.19、计算：（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)；（2）已知z1=2+3i，z2=−1+2i，求z1+z2，z1−z2．答案：（1）1+i（2）1+5i,3+i分析：（1）根据复数的加减法法则，实部与实部对应加减，虚部与虚部对应加减，即可运算得到结果；（2）根据复数的加法、减法法则运算即可.（1）(13+12i)+(2−i)−(43−32i)=(13+2−43)+(12−1+32)i=1+i；（2）∵z1=2+3i，z2=−1+2i，∴z1+z2=2+3i+(−1+2i)=1+5i，z1−z2=2+3i−(−1+2i)=3+i。
人教高中数学A版必修二第七章复数的乘、除运算
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1.两个复数代数表达式乘法的一般方法 首先按多项式的乘法展开；再将 i2 换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为 复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i.
2a
.
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[自主检测]
1．若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则 z ＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
解析：∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i， ∴ z ＝2－3i.
答案：A
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2．复数1－3＋3ii(i 为虚数单位)等于( A．1 C．i
5．计算： (1)(1－i)(－1＋i)＋(－1＋i)； (2)(1＋i)(12－ 23i)(12＋ 23i)．
解析：(1)原式＝－1＋i＋i－i2－1＋i＝－1＋3i. (2)原式＝(1＋i)(14＋34)＝1＋i.
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探究一 复数代数表示式的乘法运算
[提示] z ＝a－bi，z z ＝a2＋b2 是一个实数．
(2)将式子ac＋＋dbii(a，b，c，d∈R，且 c＋di≠0)的分子与分母都乘以 c－di，根据复数 的乘法化简后的结果是什么？ [提示] ac＋＋dbii＝ac＋＋dbiicc－－ddii＝acc2＋ ＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i.
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