量子力学导论习题答案(曾谨言)

第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1）

在8.2节式（21）中给出了自旋（2

1

）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数

j

ljm φ，这相当于

21,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 2112

1

解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()

21),0( 21+=≠-=m m l l j j

j

ljm φ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-++---+=+=21,212

1,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-=

j l

j

ljm φ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++---=

+11121

lm lm Y m l Y m l l ()

⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ）

()21++j l

此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2

12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。

因此，（21a ）式可重写为

jm ∑=2

22112

211m jm m j m j m j m j

2

1

212121212121211111111

1--+=m j jm m j m j jm m j ⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+=2121122121211221112111112

111

21

121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ，

21

1111122121

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=＋j m j jm m j 而2

12-=m 时，

21

1111122121

21⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=-＋j m j jm m j 对于21211-=-=j l j 的（21b ）式，有

21

111111221,21

2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-＋j m j m j m j

2

1111111221,21

2121⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=--＋j m j m j m j

9－2）设两个全同粒子角动量21j j j ==，耦合成总角动量J ，

JM

j

2

ψ()()21212

121jm jm m m JM m j jm ψψ∑=

（1）

利用CG 系数的对称性，证明

()

JM

j

J

j JM j p 2

2212ψψ--=

由此证明，无论是Bose 子或Fermi 子，J 都必须取偶数

证：由式（1），

JM j p 212ψ()()12212

121jm jm m m JM jm jm ψψ∑=

把21m m ↔, ()()12122

112jm jm m m JM jm jm ψψ∑=

利用CG 系数的对称性 ()

()()21212

112212jm jm m m J

j JM m j m j ψψ∑--=

()

JM

j

J

j 2

2ψ--= (2)

对于Fermi 子，=j 半奇数，=j 2奇数，但要求ψψ-=12p ， 即要求()

12-=--J

j ，所以J 必须为偶数。

12max -=j J ，（j J 2max =情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此

()()0,2,32,12 --=j j J

可验证：态JM

j 2ψ

的总数为()12+j j 。 [()()12121

20

+=+∑-=j j J j J ]。

对于Bose 子，=j 整数，=j 2偶数，但要求ψψ=12p 即()

12=--J

j ，故J 也必须为偶数

0,2,22,2 -=j j J

9－3）设原子中有两个价电子，处于nl E 能级上，按LS 耦合方案，L L L =+21，s s s =+21，J s L =+（

总角动量）

证明： （a ）s L +必为偶数；

（b ）

s

L s L J -+=,, 。当

=s 时，

L

J =（偶）；

1=s 时，1,,1-+=L L L J ，J 可以为奇，也可以为偶。

证： 自旋的耦合：2

121==s s ，⎩⎨

⎧

=)

.(0)

.(1反对称，单态对称，三重态s

轨迹角动量的耦合：l l l ==21，.0,1,,12,2 -=l l L

其中=L 偶是对称态，=L 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以

0=s 时，.0,,22,2 -=l l L 1=s 时，.1,,12,2 -=l l L

在两种情况下，s L +都为偶数，但

s L s L J -+=,,

对于0=s ，==L J 偶；

1=s ，1,,1-+=L L L J 。 J 可以为奇，也可以为偶

［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按jj 耦合方案，似乎J 必为偶数）。提示：在本题中，若用jj 耦合来分析，=j ？是否只有一个j 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］

9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为

的态

00

jj ψ，

证明z z j j 21-=j j j --=,,1, 的几率却相等，即()121+j 。 提示：利用 ()1200+-=--j m jmj m

j （P235，式（23））

证：Dirac 符号表示，有 00

jj ψ

JM j j 21=00jj =，

JM JM j j =21∑=1

22112

211m JM m j m j m j m j （1）

在本题的情况下，j j j ==21，0==M J ，m m m 令

21-=。 则（1）成为 00jj ∑

--=m

m jmj m jmj 00 （2）

其中

00m jmj -即为耦合表象中的态

00

jj 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG

系数，其模即表示体系处于00jj 态时，测得z j 1取值m （同时z J 2取值m -，m 取j j j --,,1, 各可能值）的几率。

由提示，()

1200+-=--j m jmj m

j （3）