第三章 正态分布

答案：B
【评析】 本题考点：正态分布的对称性和面积分布规律
正态分布曲线下 μ ± 1.64σ 范围内面积占 90%，则 μ ± 1.64σ 外的面积为 10%，又据正态分布的对 称性得，曲线下横轴上小于等于 μ + 1.64σ 范围的面积为 95%，故 X 的第 95 百分位数等于 μ + 1.64σ 。
om 代入第二章百分位数的计算公式得：
P0.5
=10＋
1 7
(4.98
−
0)
=10.71（岁）
（2）求 P95.5 先求第 95.5 百分位数所在组为“18～”组，因此得
.c ∑ f L =985， LX = 18 ， f X =8， iX =1
j 代入计算公式得：P95.5 =18＋ 1 (991.02 − 985) =18.25（岁） t 8
www. 二、教学内容精要
（一）正态分布 1.正态分布
网
若 X 的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）
习 f ( X ) = 1 e−( X −μ)2 (2σ 2 ) − ∞ < X < +∞ （3-1） σ 2π
学 则称 X 服从正态分布，记号 X ～ N (μ,σ 2 ) 。其中 μ 、 σ 是两个不确定常数，是正态分布的参数， 计 不同的 μ 、不同的σ 对应不同的正态分布。
6.调查得成都市 1979 年 996 名女学生月经初潮年龄的分布如下，本资料宜用何法确定其双侧 99%
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参考值范围？试估计之。
3.若正常成人的血铅含量 X 近似服从对数正态分布，拟用 300 名正常人血铅值确定 99%参考值范围，
最好采用公式（ ）计算。（其中 Y=logX）
A. X ± 2.58S
答案：D
B. X + 2.33S
C. log−1(Y ± 2.58SY )
D. log−1 (Y + 2.33SY )
m 【评析】 本题考点：对数正态分布资料应用正态分布法制定参考值范围
3.对称分布在“ X ± 1.96 S 标准差”的范围内，也包括 95%的观察值吗？
分布，故该变换被称为标准化变换。
3.标准正态分布表
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标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从－∞到 u 范围内的面积比例 Φ(u) 。
. 该成年男子不一定有病。因为参考值范围是指绝大多数正常人的指标值范围，故不在此范围内的对
w 象也可能是正常人。 ww 5.假定正常成年女性红细胞数 (×1012 / L) 近似服从均值为 4.18，标准差为 0.29 的正态分布。令 X
代表随机抽取的一名正常成年女性的红细胞数，求：
网 （1）变量 X 落在区间（4.00，4.50）内的概率；
解：本题所给资料明显属于偏态分布资料，所以宜用百分位数法估计其参考值范围。又因此指标过
大、过小均属异常，故此参考值范围应是双侧范围。
（1）求 P0.5 首先要找到第 0.5 百分位数所在组，根据累计频率第 0.5 百分位数在第 1 组，因此得
∑ f L =0， LX = 10 ， f X =7， iX =1
0 成都市女学生月经初潮年龄的双侧 99%参考值范围是 10.71~18.25（岁）。
00 四、习题 1 （一）单项选择题 w. 1.标准正态分布的均数与标准差分别为（ ）。 w A.0 与 1 B.1 与 0 C.0 与 0 D.1 与 1 w 2.正态分布有两个参数 μ 与σ ，（ ）相应的正态曲线的形状越扁平。
. 某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的随机误差，呈现为正态 j 或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态 0t 分布，可按正态分布规律处理。其中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。
0 1.估计频数分布 0 一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可根据公式（3-2）估计任意取值 ( X1, X 2 ) 范围 1 内频数比例。 . 2.制定参考值范围 w （1）正态分布法 适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转换后服从正态分布的指 w 标。 w （2）百分位数法 常用于偏态分布的指标。表 3-1 中两种方法的单双侧界值都应熟练掌握。
t 态分布法 99%范围单侧上限值是均数＋2.33 倍标准差。 0 4.正常成年男子红细胞计数近似正态分布，95%参考值范围为 3.60～5.84 (×1012 / L) 。若一名成年
00 男子测得红细胞计数为 3.10 (×1012 / L) ，则医生判断该男子一定有病。
1 【评析】 本题考点：参考值范围的涵义
（2）问题属于求某个指标的参考值范围问题，因为正常成年女性红细胞数近似服从正态分布，可以
直接用正态分布法求参考值范围，又因该指标过高、过低都不正常，所以应求双侧参考值范围，具体做
法如下：
下限为： X −1.96σ = 4.18 −1.96(0.29) = 3.61(×1012 / L)
上限为： X +1.96σ = 4.18 +1.96(0.29) = 4.75(×1012 / L) 95%的正常成年女性红细胞数所在的范围是 3.61 ~ 4.75(×1012 / L) 。
−
Φ(u1 )
（3-2）
其中， u1
=
X1 − σ
μ
， u2
=
X2 − σ
μ
。
2.几个重要的面积比例
X 轴与正态曲线之间的面积恒等于 1。正态曲线下，横轴区间 μ ± σ 内的面积为 68.27%，横轴区间
m μ ± 1.64σ 内的面积为 90.00%，横轴区间 μ ± 1.96σ 内的面积为 95.00%，横轴区间 μ ± 2.58σ 内的面积 o 为 99.00%。 c （四）正态分布的应用
本时近似正态分布，因而大样本时这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。
三、典型试题分析
1.正态曲线下、横轴上，从均数到 + ∞ 的面积为（ ）。
A.95% B.50% C.97.5% D.不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 【评析】本题考点：正态分布的对称性
因为无论 μ ，σ 取什么值，正态曲线与横轴间的面积总等于 1，又正态曲线以 X = μ 为对称轴呈对 称分布，所以 μ 左右两侧面积相等，各为 50%。
网 A. μ 越大 B. μ 越小 C.σ 越大 D.σ 越小
3.对数正态分布是一种（ ）分布。
习 A.正态 B.近似正态 C.左偏态 D.右偏态
4.正态曲线下、横轴上，从均数－1.96 倍标准差到均数的面积为（
）。
学 A.95% B.45% C.97.5% D.47.5%
5.标准正态分布曲线下中间 90%的面积所对应的横轴尺度 u 的范围是（
统 正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于 1。
2.正态分布的特征
华 服从正态分布的变量的频数分布由 μ 、σ 完全决定。
（1） μ 是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以 x = μ 为对称轴，左右
中 完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于 μ 。 （2）σ 描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ 越大，数据分布越分散，σ 越小，数据分布越集
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第三章 正态分布
一、教学大纲要求
（一）掌握内容 1.正态分布的概念和特征
（1）正态分布的概念和两个参数； （2）正态曲线下面积分布规律。
2.标准正态分布 标准正态分布的概念和标准化变换。
m 3.正态分布的应用 co （1）估计频数分布； . （2）制定参考值范围。 j （二）熟悉内容 t 标准正态分布表。 0 （三）了解内容 00 1.利用正态分布进行质量控制 1 2.正态分布是许多统计方法的基础
X + 2.33S
P0.5 ~ P99.5
P1
P99
统 3.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以 X ± 2S 作为上、下警戒值，以 X ± 3S 作
为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误差服从正态分布。
华 4.正态分布是许多统计方法的理论基础。 t 检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要 中 求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样
）。
计 A.－1.64 到＋1.64
（二）名词解释
B. − ∞ 到＋1.64
C. − ∞ 到＋1.28
D.－1.28 到＋1.28
统 1.正态曲线
华 2.正态分布
3.标准正态分布
中 4.标准化变换
（三）简答题
1.简述医学中参考值范围的涵义及制定参考值范围的一般步骤。
2.正态分布、标准正态分布与对数正态分布的联系与区别。
中。σ 也称为是正态分布的形状参数，σ 越大，曲线越扁平，反之，σ 越小，曲线越瘦高。
（二）标准正态分布
1.标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的 μ = 0 ，σ 2 = 1 ，通常用 u （或 Z）表示
服从标准正态分布的变量，记为 u ～N（0，12 ）。 2.标准化变换： u = X − μ ，此变换有特性：若 X 服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ，则 u 就服从标准正态 σ
（三）正态曲线下面积分布
1.实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比，或变量值
落在该区间的概率（概率分布）。不同 ( X1, X 2 ) 范围内正态曲线下的面积可用公式 3-2 计算。
∫ D =
X2
σ X1
1 2π
−( X −μ )2
e
(2σ 2 )
dx
=
Φ(u2 )
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2.若 X 服从以 μ ，σ 为均数和标准差的正态分布，则 X 的第 95 百分位数等于（ ）。 A. μ −1.64σ B. μ + 1.64σ C. μ + 1.96σ D. μ + 2.58σ
年岁 10～ 11～ 12～ 13～ 14～ 15～ 16～ 17～ 18～ 19～ 20～ 合计
人数 7 44 153 244 269 191 61 16 8 1 2 996
累计频率% 0.7 5.1 20.5 45.0 72.0 91.2 97.3 98.9 99.7 99.8 100.0
【评析】 本题考点：参考值范围的制定
计 P(4.00 < X < 4.50) = P( 4.00 − 4.18 < X − μ < 4.50 − 4.18)
0.29
σ
0.29
统 = P(−0.62 < u < 1.10)
= 1 − Φ(−1.10) − Φ(−0.62)
华 = 1− 0.1357 − 0.2676
= 0.5967
中 变量 X 落在区间（4.00，4.50）内的概率为 0.5967。
o 根据题意，正常成人的血铅含量 X 近似对数正态分布，则变量 X 经对数转换后所得新变量 Y 应近
.c 似服从正态分布，因此可以应用正态分布法估计 Y 的 99%参考值范围，再求反对数即得正常成人血铅含
j 量 X 的 99%参考值范围。因血铅含量仅过大为异常，故相应的参考值范围应是只有上限的单侧范围。正
（2）正常成年女性的红细胞数 95%参考值范围。
习 【评析】 本题考点：正态分布的应用 学 （1）根据题意，变量 X 近似服从正态分布，求变量 X 落在区间（4.00，4.50）内的概率，即是求此
区间内正态曲线下的面积问题，因此，可以把变量 X 进行标准化变换后，借助标准正态分布表求其面积，
具体做法如下：
表 3-1 常用参考值范围的制定
概率（%） 双侧Baidu Nhomakorabea
90
X ± 1.64S
95
X ± 1.96S
网 正态分布法 单侧
习下限上限
X − 1.28S X + 1.28S
学X −1.64S
X + 1.64S
百分位数法
双侧
单侧 下限上限
P5 ~ P95
P10
P90
P2.5 ~ P97.5
P5
P95
99
计 X ± 2.58S X − 2.33S