正态分布和寿命问题的建模

误差问题的建模

---正态分布的建立

正态分布模型最初是由高斯（Gauss ）在研究误差理论时建立的。

对随机变量的高斯假定

设X 是可由物理手段测量的随机变量，μ是X 的稳定值（理想化的取值），则 εμ+=X ， 并称με-=X 为测量误差.

对测量误差ε的统计建模

记误差ε的概率密度函数为)(εf ，求)(εf 的解析表示. 设对X 进行n 次独立观测，可得误差ε的样本

,με-=i i x n i ,,2,1Λ=， 显然)()(με-=i i x f f 中含未知分布参数μ.

讨论未知分布参数μ应满足的条件. 由于n i εεε,,,2Λ的联合概率密度为

)() ; ,,,(1

21μμεεε-=

∏=n

i i

n x

f L Λ.

根据最大似然法的思想，μ的值使L 最大，以最有利于样本n x x x ,,,21Λ的出现，故μ应满足

0=μ

d dL

， 进而

0)

()(log =--'-=∑μμμi i x f x f d L

d ①

记)()()(εεελf f '=，则

)

()

()()(μμμλελ--'=

-=i i i i x f x f x .

下面分析)(ελ的性质. 将未知常数μ的测量值的平均值用∑==n

i i x n x 1

1替代，令

)()(),,,(1

1

21∑∑===-=n

i i n

i i n x x G ελλεεεΛ，

由①，

0),,,(21=n G εεεΛ. ② 又因为

01

1

=-=∑∑==x n x n

i i n

i i

ε

，故n 个变量n εεε,,,21Λ的自由度为1-n ，令

)(121-+++-=n n εεεεΛ ③ 对②式微分，并注意③式的影响，得 0=∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂i

n

n i i y G G G εεεε， 亦即

n

i ελ

ελ∂∂=∂∂，n i ,,2,1Λ=， 表明

c i

i =∂∂εελ)

(（常数）， 从而

b c +=εελ)(（b 为常数），

进而

nb c G n

i i n +=∑=1

21),,,(εεεεΛ，

由

01

=∑=n

i i

ε

可知0=b ，于是

εελεεc f f ==')()

()

(， ④ 解方程④得

22

1

)(εεc ke

f =，k 为常数.

为使)(εf 为概率密度函数，

⎰

+∞

∞

-=1)(εεd f ，

即

122

1

=⎰

+∞

∞

-dy e

k c ε， ⑤

故必须0

1

σ-

=c （)0>σ，代入⑤解得

σ

π21

=k ， 于是

2

2221)(σεσ

πε-

=e

f ，R ∈ε，

即

),0(~2

σεN .

对建模方法的简单评价

高斯的建模推理过程从严格的逻辑学意义上讲是有瑕疵的。用∑==n

i i x n x 1

1替代μ涉嫌

循环论证。但随后的概率极限定理的研究表明，高斯的结论是正确的。

引伸

设),0(~2

σN X ，通常X 表示测量误差。在各种各样的“跟踪”与“距离”问题中，人们关心的另一个问题是由对目标的空间坐标的观测误差导致的目标相对观测原点的距离的随机误差。与此问题有关的模型有：

(1) （一维）反射正态分布 设),0(~2

σN X ，则)(~22σEN X U =.

(2) (二维)瑞利分布

设),0(~,2

σN Y X 且独立，则)(~222σRa Y X U +=.

(3) (三维)马克斯威尔分布

设),0(~,,2

σN Z Y X 且独立，则)(~2222σMax Z Y X U ++=.

(4) 二维场合极坐标的分布

设)1,0(~,N Y X 且独立，令⎩

⎨⎧Θ=Θ

=sin cos R Y R X ，则)1(~Ra R ，)2,0(~πU Θ.

(5) 累积误差的分布（平方累积）

①),0(~2

σN X ，则)21

,

21(~2

2

σ

Ga X Y =. ②)1,0(~N X i ，n i ,,2,1Λ=相互独立，则)(~2

1

2n X X n

i i

χ∑==（)21,2(n Ga ） (6) 相对误差（误差的比率）的分布 ① 柯西分布

),0(~,2

σN Y X 且独立，则)1,0(~c Y

X

Z =. ② 贝塔分布

),0(~2

σN X i ，n m i +=,,2,1Λ且相互独立，则)2

,2(

~1

1n m Be X

X

X n m i i

m

i i

∑∑+===

. ③ t 分布

)1,0(~N X i ，1,,2,1+=n i Λ相互独立，则)(~1

2n t X n X X i

k k i ∑≠∀=

.