高级计量经济学课后习题参考答案

某市居民家庭人均年收入服从4000X =元，

1200σ=元的正态分布，

求该市居民家庭人均年收入：（1）在5000—7000元之间的概率；（2）超过8000元的概率；（3）低于3000元的概率。 （1）

()()

()()()2,0,15000700050007000(

)

2.50.835( 2.5)62

X N X X X

N X

X X

X

P X P F F X X

P σσ

σ

σ

σ

σ-∴---∴<<=<

<

--=<<=

Q ::

根据附表1可知 ()0.830.5935F =，()2.50.9876F =

()0.98760.5935

500070000.1971

2

P X -∴<<=

=

PS ：

()()5000700050007000(

)

55( 2.5) 2.5660.99380.79760.1961

X

X X

X

P X P X X P σ

σ

σ

σ---<<=<

<

-⎛⎫=<<=Φ-Φ ⎪

⎝⎭=-=

在附表1中，()()

F Z P x x

z σ=-<

（2）()80001080003

X X X X X P X P P σσσ⎛⎫

⎛⎫--->=>=> ⎪

⎪⎝

⎭

⎝

⎭

=

（3）()3000530006

X X X X X P X P P σσσ⎛⎫⎛⎫

---<=<=<- ⎪ ⎪⎝

⎭

⎝

⎭

=

= 据统计70岁的老人在5年内正常死亡概

率为，因事故死亡的概率为。保险公司开办老人事故死亡保险，参加者需缴纳保险费100元。若5年内因事故死亡，公司要赔偿a 元。应如何测算出a ，才能使公司可期望获益；若有1000人投保，公司可期望总获益多少？

设公司从一个投保者得到的收益为X ，则

则()1000.02E X a =-

故要是公司可期望获益，则有()1000.02E X a =->0，即5000a <

PS ：赔偿金应大于保险费？

1000人投保时，公司的期望总收益为()10001000.021*******a a -=-

写出过原点的一元、二元线性回归模型，并分别求出回归系数的最小二乘估计。 解答：

过原点的一元线性回归模型为Y X βε=+

()

()

2

2ˆmin ˆˆ20ˆi i i i i i i

i

y x y x x x y x

β

β

β

ββ

-⇒--=⇒=∑∑∑∑对一阶求导

约束最小二乘估计：y x αβε=++

()(

)()()2

,22

ˆmin ..0ˆˆ20ˆ00

ˆi

i

i i i

i

i

i

i

i i i y x s t L y x y x y x x x y x αβ

αβ

ααβ

λα

ααβ

λβαβ

αβ--=⇒=--+--+=--==⇒=

∑∑

∑∑∑∑对求导得到：-对求导得到：-2

过原点的二元线性回归模型为11

2

2

Y X X ββ

ε

=++

(

)

()

()()()12

2

1122

ˆˆ,12

1122111

22

22

2122112

2

2

12122

112122

2

2

2

1212ˆˆmin ˆˆ,ˆˆ20ˆˆ20

ˆˆi i i i i i i

i

i

i

i

i i i i i i i

i i

i

i

i

i

i i i i

i

i i

i

i

y x x y x x x y x x x x y x x x x y x x x x x y x x x x y x x x x

βββββββββ

βββ

--⇒---=---=-⇒=--=

-∑

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑对分别求一阶导

针对多元线性回归模型

Y X βε

=+

试证明经典线性回归模型参数OLS 估计量的性质()ˆE ββ=和()()1

2

ˆˆ,Cov X X ββσ-'=，并说明你在证明时用到了哪些基本假定。 解答：

()()()()

()

()ˆ

1

ˆˆˆˆmin ˆ20ˆY Y Y Y Y X Y X X Y X X X X Y

β

βββ

β-''--=--'⇒--=''⇒= 无多重共线性

()

()(

)

()()

()()()1

1

11

ˆE E X X X Y X X X E Y X X X E X X X X X β

βεββ

----''''==''=+''== 零均值