函数图像切线问题
高中物理的函数图像“切线斜率”应用解题
参考文献
[1]于胜寒函数图像的“切线斜率”的理解及在高中物理解题中的应用[J].中国新通信，2016，18，（23）：134。
C. O点中产生的电荷强度在x轴方向中的分量为最大的状态。
D. x中的负电荷在经过B到C之间的转移过程中，电场力会首先先做正功，之后再做负功，具有这样一个先后顺序。
解题分析：φ-x图像中处于某一个位置之上的斜线斜率表示的是静电场中的电场在x方向之上的分量值，所以正确答案是A,同时O点中所对应的切线斜率数值是0，由此得知C项按答案错误。同时根据题目中所述，顺沿电场方向上的势能处于逐渐减小的状态，所以B选项阐述不对。电场做工可以表示为W=qu，由此可以得出，正确答案是D。因此最终的答案是AD。
高中物理的函数图像“切线斜率”应用解题
摘要：在高中物理课程的学习过程中，具有多种解题思路与解题方式，其中的重要知识点是切线斜率方面，在物理习题的定量分析与定性分析中都有着重要的应用空间，本文分析了在高中物理习题的讲解过程中函数图像“切线斜率”方面的应用策略，以促进同学们掌握相关的物理解题技巧，最终有效促进高中物理解题能力的提升。
例题：在具体的空间表现中静电场的电路势能φ在x轴中的具体分布情况具体如下图1所示，由这一图能够看出x轴在B点与C点之上的电场强度作用在x位置之上的分量将其具体表示成Ebx与Ecx，那么在以下的四个阐述中正确的是（ ）。
图1.函数图像
A. Ebx上的电场强度势能比Ecx要强。
B. Ecx上的分量方向是X轴的正方向。
函数的切线问题微专题
x0
抓住关键：
y0 k
f (x0 ) f (x0 )
；
3．过点 A(x1, y1) 的切线方程：设切点为 P(x0 , y0 ) ，则斜率 k f (x0 ) ，过切点的切线方程为： ∵过点 A(x1, y1) ，∴ y1 y0 f (x0 )(x1 x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线，三次函数多解）
函数的切线问题微专题
第一讲 函数切线及其应用
1．导数的几何意义:
函数 f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义就是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x)) 处的切线的斜率．注：（ k f x tan ）
2．在点
A(x0 ,
y0 ) 处的切线方程：
y
f
(x0 )
f
(x0 ) x
A． (5 , 4)
B． (5 , 0)
C． (4 , 0)
D． (5 , 3]
【解析】法一： f x x3 3x2 ,则 f x 3x2 6x ，设切点为 x0 , x03 3x02 ,则 f x0 3x02 6x0 ．
∴过切点处的切线方程为 y x03 3x02 3x02 6x0 x x0 ，把点 2 ，n 代入得：
e2－2x，则 y′＝2＋2e2－2x>0.∵x＝1 时，y＝0，∴x0＝1.故选 A.
[答案] A
【例 1.3】设点 P 是曲线 y x3 3x 3 上的任意一点，点 P 处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ） 5
A．
0
，2 3
B．
0
，
2
2 3
，
C．
2
，2 3
D．
3
，2 3
09：三次函数图像的切线
高考总复习09：三次函数图像的切线1.(1)求平行于直线910x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.(2)求垂直于直线320x y -+=,且与曲线3231y x x =+-相切的直线方程.2.(1)求函数3()2f x x =的图像在点(1,2)P 处的切线l 方程；(2)设函数3()2f x x =的图像为C ,求曲线C 与其在点(1,2)P 处的切线l 的所有交点坐标. 3.(1)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,2)P 的切线方程.(2)求函数3()2f x x =的图像经过点(1,10)P 的切线方程.4.已知直线y x =是函数32()31f x x x ax =-+-图像的一条切线,求实数a 的值.5.已知0a >,且过点(,)P a b 可作函数3()f x x x =-图像的三条切线,证明:()a b f a -<<.6.设函数3211()32f x x ax bx c =-++(0)a >的图像C 在点(0,(0))P f 处的切线为1y =. (1)确定,b c 的值；(2)设曲线C 在1122(,()),(,())A x f x B x f x 处的切线都过(0,2)Q ,证明:若12x x ≠,则12'()'()f x f x ≠；(3)若过点(0,2)Q 可作曲线C 的三条不同切线,求a 的取值范围.7.已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，,(13]，内各有一个极值点． (1)求24a b -的最大值；(2)当248a b -=时,设曲线C :()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线l 穿过曲线C (穿过是指:动点在点A 附近沿曲线C 运动,当经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求()f x 的表达式．8.由坐标原点(0,0)O 向曲线x x x y +-=233引切线,切于不同于点O 的点111(, )P x y ,再由1P 引切线切于不同于1P 的点222(,)P x y ,如此继续下去……,得到点(,)n n n P x y ,求1n x +与n x 的关系,及n x 的表达式.。
三次函数切线问题
三次函数切线问题【探究拓展】探究1：切线的辩证定义设Q 为曲线C 上不同于P 的一点，这时，直线PQ 称为曲线的割线。
随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ 在点P 附近越来越逼近曲线C 。
当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线也称为曲线在P 点处的切线。
探究2：填表：曲线在P 点附近的局部图像反映出如下特点在运动中：探究3：切线问题的辩证策略TnA 1A例1：若直线y x =是曲线323y xx ax =-+的切线，则a ＝ ．（零点法）↑y x =是曲线323y x x ax =-+相切x a x x y )1(323-+-=与x 轴相切↓ ↑ 联立()32323103y xx x a x y x x ax=⎧⇒-+-=⎨=-+⎩有重根→新联立⎩⎨⎧-+-==xa x x y y )1(3023↓ （重根法）变式1：（2020年）曲线px x y +=3与q y -=相切，求证32032p q ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭变式2：方程30xpx q ++=有几个实根？探究4：切线问题的辩证思考：联系——数形结合、函数与方程、转化与化归 发展——量变与质变、运动观点探究5：辩证思维的强化延伸由原点向曲线x x x y +-=233引切线，切于不同于点O 的点()111, P x y ，再由1P 引切线切于不同于1P 的点()222, P x y ，如此继续下去……，得点到(){}, nnnP x y ．（1）求1x ；（2）求1与nn xx +的关系；（3）点列{}nP 有何特点？拓展1：若直线y x =是曲线3231y xx ax =-+-的切线，则a ＝拓展2：直线y kx m =+对一切m ∈R 与曲线326910y xx x =-+-有且只有一个交点，求k 的取值范围，并尝试一下，将结论推广到任意三次曲线的情形，此外能否从运动变化的观点阐述上述结论的几何意义．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
高中数学函数的切线问题
函数的切线问题一、基础知识： （一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆ 当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。
导数之切线题型归纳总结教师版
切线题型归纳总结学习目标理解导数与函数之间的联系，掌握导数的几何意义，及其作为工具在解决有关函数问题的作用，核心是利用导数研究函数单调性及其极值最值.知识点函数()x f y =在0x x =处导数()0x f '是曲线()x f y =在点()()00x f ,x 处切线l 的斜率，切线l 的方程是()()()000x x x f x f y -'=-.注意:直线与曲线有且只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线；反之直线是曲线的切线，但直线不一定与曲线有且只有一个公共点.热身训练1.已知曲线x ln x y 342-=的一条切线斜率是21，则切点的横坐标为______; 3 2.设0>a ，()c bx ax x f ++=2，曲线()x f y =在点()()00x f ,x P 处切线的倾斜角的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，，则P 到曲线()x f y =对称轴距离的取值范围为______.⎥⎦⎤⎢⎣⎡a 210， 3.曲线113+=x y 在点()121,P 处的切线与y 轴交点的纵坐标是________. 94.若点P 是曲线x ln x y -=2上任意一点，则点P 到直线2-=x y 的最小值为______. 解析：由已知x x y 12-='，令112=-xx ，解得1=x .曲线x ln x y -=2在1=x 处的切线方程为x y =.两直线x y =，2-=x y 之间的距离为21.切线问题常见题型（1）求切线方程：①在曲线上一点的切线方程；②过一点的切线方程. （2）求切点坐标；（3）求切线方程的参数值或者范围；（4）求公切线（公切点或者两个切点）； （5）判断切线的条数；2.切线的应用（1）研究最值极值； （2）判断位置关系 （3）讨论方程的根的情况 （一）求切线方程例1.【例3】已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【解析】（1）由()231f x x '=-，()12f '=，则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为22y x =-．（2）设切点的坐标为()3000,x x x -，则所求切线方程为()()()32000031y x x x x x --=--代入点()1,0的坐标得()()320000311x x x x -+=--，解得01x =或012x =-当012x =-时，所求直线方程为1144y x =-+由（1）知过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程为22y x =-或1144y x =-+． 总结：求曲线在某点处的切线方程的步骤过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的求法步骤 (1)设切点(x 0，f (x 0))．(2)建立方程f ′(x 0)＝y 1－f (x 0)x 1－x 0.(3)解方程得k ＝f ′(x 0)，x 0，y 0，从而写出切线方程． 变式训练1：已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程． 【答案】（1） 10x y -+=（2）10x y -+=或570x y --=.变式训练2：设函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线为l ，若垂直于函数()x f的图像在点()()11f ,处的切线，求直线l 的方程解析：因为()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<-+≥+-=e x ,x ln x e x ,x ln x x f 01122，故()21=f ，而()11='f ，又当e x ≥时，()x x x f 12+='，得()x f y '=在[)+∞,e 上单调递增，此时()ee xf 12+≥'，故当e x ≥时，()x f 的图像上任意一点的切线都不垂直于函数在点()()11f ,处的切线，当e x <<0时，由于函数()x ln x x f -+=12在点()()00x f ,x 处的切线l 垂直于函数()x f 的图像在点()()11f ,处的切线，故()10-='x f ，则210=x ，故直线l 的方程为024744=--+ln y x（二）求切线方程的参数例1．已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．3 【解析】设切点为00(,)x y 因为切线y x m =-+，所以0003|21x x y x x ='=-=-， 解得0031,2x x ==-（舍去）代入曲线23ln y x x =-得01y =， 所以切点为1,1（）代入切线方程可得11m =-+，解得2m =.例2.（2015全国卷1（21）） 已知函数()413++=ax x x f ，当a 为何值时，x 轴为曲线()x f y =的切线.答案：43-=a 例3.设曲线()xe ax y 1-=在点()10y ,x 处的切线为1l ，曲线()xe x y --=1在点()20y ,x 处的切线为2l ，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是________解析：函数()x e ax y 1-=的导数：()xe a ax y 1-+='，故1l 的斜率为：()0101xe a ax k -+=，函数()xex y --=1的导数：()xe x y --='2，故2l 的斜率：()0202x ex k --=，可得121-=k k ，从而()010x e a ax -+()1200-=--x e x ，故()32002-=--x x x a ，由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2300,x 得，02020≠--x x ，故230200---=x x x a ，令()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤---=230232x x x x x f ，则()()()()22251-----='x xx x x f ，令导数大于0，得510<<x ，故在()10,是减函数，在⎪⎭⎫⎝⎛231，上是增函数，00=x 时取得最大值为23；10=x 时取得最小值为1，故231≤≤a . 变式训练1： 设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】因为1y a x'=-，且在点()1,0处的切线的斜率为3，所以13a -=，即4a =. 变式训练2： 已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( ) AB．2C． 【解析】由()2f x x =，得()2f x x '=，则()12f '=，又(1)1f =，所以函数()2f x x =的图象在1x =处的切线为12(1)y x -=-，即21y x =-.设21y x =-与函数()e xg x a=的图象相切于点00(,)x y ,由e ()xg x a '=，可得00000e ()2,e ()21,x x g x ag x x a ⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎩'⎪解得32031,e =222x a ==.故选：B.变式训练3：已知b ,a 为正实数，直线a x y -=与曲线()b x ln y +=相切，则ba -22的取值范围是（ C ）()+∞,.A 0 ()10,.B ⎪⎭⎫ ⎝⎛210,.C [)+∞,.D 1（三）公切线问题 题型一：公切点 例1.曲线221x y =与x ln e y =相切于点⎪⎭⎫ ⎝⎛e ,e 21.求切线方程解析：设曲线221x y =在1x x =处的切线方程为()112121x x x x y -=-①，曲线x ln e y =在2x x =处的切线方程为()222x x x ex ln ye -=②，由两曲线有公切线知，联立①②，消掉2x 得02121=-x ln e x ，设(),x ln e x x g 22-=则()()()e x e x xx g -+='2，可得()()0==e g x g min ，即e x x ==21，因此公切线方程为e x e y 21-=.变式训练1.已知函数()12-=x x f 与函数()()0≠=a x ln a x g ，若曲()x f y =，()x g y =的图像在点()01,处有公共的切线，则实数a =_______.2变式训练2.若一直线与曲线x ln y =和曲线()02>=a ay x 相切于同一点P ，则=a ___.2e题型二：两个切点例2.（2016全国卷1理16）若直线b kx y +=是曲线2+=x ln y 的切线，也是曲线()1+=x ln y 的切线，则b =_____解析：设2+=x ln y 在切点()11y ,x 处的切线方程为：1111++⋅=x ln x x y ； ()1+=x ln y 在切点()22y ,x 处的切线方程为：()11112222+-+++=x xx ln x x y ， 联立得()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=++=111111222121x x x ln x ln x x，解得212121-==x ,x ，∴2111ln x ln b -=+=.变式训练1：曲线12-=x y 和1-=x ln a y 存在公切线，则正实数a 取值范围是_()e ,20__变式训练2.若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()()10xg x ae a =+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．240,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．280,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．22e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．26e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， 【解析】设公切线与f （x ）＝x 2+1的图象切于点（x 1，21x +1），与曲线C ：g （x ）＝ae x +1切于点（x 2，21x ae +），∴2x 1＝2x ae＝()()222211212111x x aex aex x x x x +-+-=--，化简可得，2x 1＝211212x x x x --，得x 1＝0或2x 2＝x 1+2，∵2x 1＝2x ae ，且a ＞0，∴x 1＞0，则2x 2＝x 1+2＞2，即x 2＞1，由2x 1＝1x ae 得a ＝()2221412x x x x ae ae-=， 设h （x ）＝()41xx e-（x ＞1），则h′（x ）＝()42xx e-，∴h （x ）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h （x ）max ＝h （2）＝24e ，∴实数a 的取值范围为（0，24e ] （四）切线条数问题例1.已知三次函数()()2613+-+=x x x f ,若过点()m ,A 1()4≠m 可作曲线()x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围.解析：()()6132-+='x x f ，由题意知点A 不在曲线上，过点A 作曲线()x f y =的切线，设切点()00y ,x M ，则切线方程为()()()000x x x f x f y -'=-，代入点A 化简得062030=+-m x x ，若有三条切线，则方程有三个不等的实根，设()m x x x g +-=030062，则()66200-='x x g ，由()00>'x g 可得，10>x 或10-<x ，故()0x g 在区间()1-∞-,和()∞+，1上单调递增，即得极大值()1-g ，极小值为()1g ；方程满足有三个实根的充要条件是()()⎩⎨⎧<>-0101g g ，即44<<-m变式训练：设函数()c bx x a x x f ++-=23231，其中0>a ，曲线()x f y =在点 ()()00f P ，处的切线方程为1=y（1）确定c ,b 的值（2）若过点()20,可作曲线()x f y =的三条不同切线，求a 的取值范围. 答案：（1）10==c ,b（2）()∞+，332 （五）切线综合问题例1.设曲线()x e x f x--=上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x cos ax x g 2+=上一点处的切线2l ，使得21l l ⊥，则实数a 的取值范围是（ ）(]32,.A - ()32,.B - []21,.C - ()21,.D -解析：由()x e x f x--=，得()1--='xe xf ，∵11>+xe ，∴()1011,e x∈+，由()x cos ax x g 2+=，得()x sin a x g 2-='，又∵[]222,x sin -∈-，∴[]a ,a x sin a ++-∈-222，要满足题意，则得⎩⎨⎧≥+≤+-1202a a ，得21≤≤-a .变式训练1.若函数()x sin ax x f +=的图像上存在互相垂直的切线，则实数a 的值____.0 变式训练2.已知函数()2ax x f =，若存在两条过点()21-,P 且互相垂直的直线与函数()x f的图像都没有公共点， 则实数a 的取值范围为______. 81>a 课后训练1.若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切，试求k 的值. 答案：412或解析：设kx y =与x x x y 2323+-=相切于()00y ,x P ，则00kx y =，02030023x x x y +-= ∵2632+-='x x y ，()2630200+-='=x x x f k ，联立得()02030002023263x x x x x x+-=+-，解得00=x 或23-，即2=k 或41-=k2. 已知函数()ax e x f x2-=与()()x a ax x x g 1223+-+-=的图像不存在互相平行或者重合的切线，则实数a 的取值范围为_______.[]33,-3.曲线()01<-=x xy 与曲线x ln y =（切线相同）的条数为______. 答案：14.直线l 与曲线()02>=x x y 和()03>=x x y 均相切，切点分别为()11y ,x A ，()22y ,x B ，则21x x 的值为______. 答案：34.5.已知()x x x f 33-=，过点()m ,A 1可作曲线的三条切线，则m 的取值范围是___.()23--,6.直线b x y +=是曲线x ln a y =的切线，则当0>a 时，实数b 的最小值是_____. 1-。
一元三次函数图像的中心切线及切线问题
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高 等 数 学 研 究
抄 录 ２０ ０ ７年高 考全 国数 学卷 Ⅱ 第 ２ ２题 于下 ： 已知 函数 ／ ｚ （ ）一 － 一 ． Ｉ） 曲线 Ｙ一 ， ）在点 Ｍ（ ， （） 处 的切线 方 程 ； Ⅱ） “＞ ｚ 。 （ 求 （ ｔ厂 ￡） （ 设
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专题02 曲线的切线问题探究【解析版】
第一章 函数与导数专题02 曲线的切线问题探究【压轴综述】纵观近几年的高考命题，对曲线的切线问题的考查，主要与导数相结合，涉及切线的斜率、倾斜角、切线方程等问题，题目的难度有难有易.利用导数的几何意义解题，主要题目类型有求切线方程、求切点坐标、求参数值（范围）等.与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略有： 1.已知斜率求切点．已知斜率k ，求切点()()11,x f x ，即解方程()f x k '=.2.求切线方程：注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.即注意两个“说法”：求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程，在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线，不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点．（1）已知切点求切线方程：①求出函数()y f x =在点0x x =处的导数，即曲线()y f x =在点()()00,x f x 处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为()()000y y f x x x '-=-． （2）求过点P 的曲线的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P ′(x 1，f(x 1))；第二步，写出过P ′(x 1，f(x 1))的切线方程为y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)； 第三步，将点P 的坐标(x 0，y 0)代入切线方程，求出x 1；第四步，将x 1的值代入方程y-f(x 1)＝f ′(x 1)(x-x 1)可得过点P(x 0，y 0)的切线方程．3.求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．4.根据导数的几何意义求参数的值（范围）时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．5.已知两条曲线有公切线，求参数值（范围）.6.导数几何意义相关的综合问题．【压轴典例】例1.（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【答案】(e, 1). 【解析】设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x'=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-， 即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,H x H x >单调递增，注意到()H e e =，故00ln x x e =存在唯一的实数根0x e =，此时01y =， 故点A 的坐标为(),1A e .例2.（2019·全国高考真题（理）） 已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e xy =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2211()ln ()1(1)x x f x x f x x x x ++'=-⇒=--，因为函数()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()0f x '>，因此函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数；当(0,1)x ∈，时，0,x y →→-∞，而11112()ln 0111e f e e e e+=-=>--，显然当(0,1)x ∈，函数()f x 有零点，而函数()f x 在(0,1)x ∈上单调递增，故当(0,1)x ∈时，函数()f x 有唯一的零点；当(1,)x ∈+∞时，2222221213()ln 0,()ln 01111e e ef e e f e e e e e e +-+-=-=<=-=>----，因为2()()0f e f e ⋅<，所以函数()f x 在2(,)e e 必有一零点，而函数()f x 在(1,)+∞上是单调递增，故当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 有唯一的零点综上所述，函数()f x 的定义域(0,1)(1,)⋃+∞内有2个零点； （2）因为0x 是()f x 的一个零点，所以000000011()ln 0ln 11x x f x x x x x ++=-=⇒=-- 1ln y x y x'=⇒=，所以曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的斜率01k x =，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线l 的方程为：0001ln ()y x x x x -=-而0001ln 1x x x +=-，所以l 的方程为0021x y x x =+-，它在纵轴的截距为021x -.设曲线xy e =的切点为11(,)x B x e ，过切点为11(,)x B x e 切线'l ，x x y e y e '=⇒=，所以在11(,)x B x e 处的切线'l 的斜率为1x e ，因此切线'l 的方程为111(1)x xy e x e x =+-，当切线'l 的斜率11xk e =等于直线l 的斜率01k x =时，即11001(ln )x e x x x =⇒=-， 切线'l 在纵轴的截距为01ln 110001(1)(1ln )(1ln )x xb e x ex x x -=-=+=+，而0001ln 1x x x +=-，所以01000112(1)11x b x x x +=+=--，直线',l l 的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线',l l 重合，故曲线ln y x =在00A(,ln )x x 处的切线也是曲线x y e =的切线.例3. （2019·湖北高考模拟（理））已知函数2()1f x x ax =-+，()ln ()g x x a a R =+∈. （1）讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞ 【解析】（1）函数()h x 的定义域为()0,∞+,()()()2h x f x g x x ax lnx a 1(x 0)=+=-+++>，所以()212x ax 1x 2x a x xh -+=-+='所以当2Δa 80=-≤即a -≤≤()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当2Δa 80=->即a a ><-当a <-()'x 0h >，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，令()'x 0h =得x =综上：当a ≤时，()h x 在()0,∞+上单调递增；当a >时()h x 在⎛ ⎝⎭，∞⎫+⎪⎪⎝⎭单调递增，在⎝⎭单调递减.（2）设函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同，()()111x 2,x f x a g x''=-=，则()()()()121212f x g x x x x x f g -==-''，由1212x a x -=，得121a x 2x 2=+，再由()2112212x ax 1lnx a 1x x x -+-+=- 得2121122x x x ax 1lnx a x -=-+--，把121a x 2x 2=+代入上式得()222221a a lnx a 20*4x 2x 4++++-= 设()221a a F x lnx a 24x 2x 4=++++-（∵x 2＞0，∴x ∈（0，+∞））, 则()23231a 12x ax 1x 2x 2x x 2xF --=--+=' 不妨设20002x ax 10(x 0)--=>. 当00x x <<时，()x 0F '<，当0x x >时，()x 0F '>所以()F x 在区间()00,x 上单调递减，在区间()0x ,∞+上单调递增， 把001a=2x x -代入可得：()()20000min1F x F x x 2x lnx 2x ==+-+- 设()21G x x 2x lnx 2x =+-+-，则()211x 2x 20x xG =+++>'对x 0>恒成立， 所以()G x 在区间()0,∞+上单调递增，又()G 1=0所以当0x 1<≤时()G x 0≤，即当00x 1<≤时()0F x 0≤,又当2ax e -=时，()22a 42a 2a 1a a F x lne a 24e 2e 4---=-+++- 22a 11a 04e -⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭因此当00x 1<≤时，函数()F x 必有零点；即当00x 1<≤时，必存在2x 使得()*成立； 即存在12x ,x 使得函数()f x 在点()()11x ,f x 与函数()g x 在点()()22x ,g x 处切线相同． 又由()1y 2x 0,1x=-在单调递增得，因此(]0001a=2x ,x 0,1x -∈所以实数a 的取值范围是(],1-∞． 【总结提升】（1）求切线方程的方法：①求曲线在点P 处的切线，则表明P 点是切点，只需求出函数在点P 处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P 的切线，则P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程；(2)处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 例4.（2019·山东高考模拟（文））已知函数ln 1()x f x x+=. (Ⅰ)证明：2()f x e x e ≤-； (Ⅱ)若直线(0)yax b a =+>为函数()f x 的切线，求b a的最小值.【答案】(1)见解析.(2) 1e-.【解析】(Ⅰ)证明：整理2()f x e x e ≤-得22ln 10(0)x e x ex x -++≤>令22()ln 1g x x e x ex =-++，2221(1)(21)()e x ex ex ex g x x x-++-+'==-当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0g x '<，所以()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以1()0g x g e ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，不等式得证.(Ⅱ)221(ln 1)ln ()x xf x x x-+-'==，设切点为()()00,x f x ， 则02ln x a x -=，函数()f x 在()()00,x f x 点处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=- ()000200ln 1ln x x y x x x x +-=--，令0x =，解得002ln 1x b x +=， 所以()0002ln 1ln x x ba x +=-，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-， 因为0a >，02ln 0x x ->，所以100<<x ， ()()()()20000000022202ln 3ln 2ln 12ln 1ln 12ln ln 1ln ln ln x x x x x x x h x x x x +---++-'=-=-=-，当010,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '<，所以()h x 在1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为100<<x ，()011h x h e e⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭. 【思路点拨】（1）由2()f x e x e ≤-即为22ln 10(0)x e x ex x -++≤>，令22()ln 1g x x e x ex =-++，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，即可得到结论； （2）求得函数()f x 的导数，设出切点，可得020ln x a x -=的值和切线方程，令0x =，求得002ln 1x b x +=，令()()00002ln 1ln x x h x x +=-，利用导数求得函数()0h x 的单调性与最小值．对于恒成立问题，往往要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 例5.（2014·北京高考真题（文））已知函数3()23f x x x =-. （1）求()f x 在区间[2,1]-上的最大值；（2）若过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点(1,2),(2,10),(0,2)A B C -分别存在几条直线与曲线()y f x =相切？（只需写出结论） 【答案】 【解析】(1)由3()23f x x x =-得2'()63f x x =-，令'()0f x =，得x =或2x =， 因为(2)10f -=-，(2f -=()2f -=(1)1f =-， 所以()f x 在区间[2,1]-上的最大值为(f =（2）设过点P （1，t ）的直线与曲线()y f x =相切于点00(,)x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，所以切线方程为2000(63)()y y x x x -=--，因此2000(63)(1)t y x x -=--，整理得：32004630x x t -++=，设()g x =32463x x t -++，则“过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 有3个不同零点”，()g x '=21212x x -=12(1)x x -，()g x 与()g x '的情况如下：所以，31t -<<-是()g x 的极大值，31t -<<-是()g x 的极小值， 当，即1t ≥-时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点，当，(1,)P t 时，此时()g x 在区间(,0)-∞和(,0)-∞上分别至多有1个零点，所以()g x 至多有2个零点.当且(3,1)--，即时，因为，，所以()g x 分别为区间和()g x 上恰有1个零点，由于()g x 在区间(,0)-∞和(1,)+∞上单调，所以()g x 分别在区间(,0)-∞和上恰有1个零点.综上可知，当过点(1,)P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是.（3）过点A （-1，2）存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点B （2，10）存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点C （0，2）存在1条直线与曲线()y f x =相切.例6. （2018·天津高考真题（理））已知函数()xf x a =， ()log a g x x =，其中a >1.（I ）求函数()()ln h x f x x a =-的单调区间；（II ）若曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线与曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线平行，证明()122lnln ln ax g x a+=-； （III ）证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 【答案】(Ⅰ)单调递减区间(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】（I ）由已知， ()xh x a xlna =-，有()xh x a lna lna ='-.令()0h x '=，解得x =0.由a >1，可知当x 变化时， ()h x '， ()h x 的变化情况如下表：所以函数()h x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为()0,+∞.（II ）由()x f x a lna '=，可得曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线斜率为1xa lna .由()1g x xlna='，可得曲线()y g x =在点()()22,x g x 处的切线斜率为21x lna .因为这两条切线平行，故有121xa lna x lna=，即()1221x x a lna =. 两边取以a 为底的对数，得21220a log x x log lna ++=，所以()122lnlnax g x lna+=-. （III ）曲线()y f x =在点()11,x x a 处的切线l 1： ()111xxy a a lna x x -=⋅-.曲线()y g x =在点()22,a x log x 处的切线l 2： ()2221a y log x x x x lna-=⋅-. 要证明当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线， 只需证明当1ea e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞， ()20,x ∈+∞，使得l 1和l 2重合.即只需证明当1ea e ≥时，方程组1112121{1x x x a a lna x lnaa x a lna log x lna=-=-①②有解，由①得()1221x x a lna =，代入②，得1111120x x lnlna a x a lna x lna lna-+++=. ③ 因此，只需证明当1ea e ≥时，关于x 1的方程③存在实数解. 设函数()12x x lnlnau x a xa lna x lna lna=-+++， 即要证明当1ea e ≥时，函数()y u x =存在零点.()()21x u x lna xa '=-，可知(),0x ∈-∞时， ()0u x '>；()0,x ∈+∞时， ()u x '单调递减，又()010u '=>， ()()212110lna u a lna ⎡⎤=-<⎢⎥⎥'⎢⎣⎦， 故存在唯一的x 0，且x 0>0，使得()00u x '=，即()02010x lna x a-=.由此可得()u x 在()0,x -∞上单调递增，在()0,x +∞上单调递减.()u x 在0x x =处取得极大值()0u x .因为1ea e ≥，故()1ln lna ≥-， 所以()()000000201212220xxlnlna lnlna lnlna u x a x a lna x x lna lna lna lna x lna +=-+++=++≥≥. 下面证明存在实数t ，使得()0u t <.由（I ）可得1xa xlna ≥+，当1x lna>时， 有()()()1211lnlnau x xlna xlna x lna lna≤+-+++()22121lnlna lna x x lna lna=-++++， 所以存在实数t ，使得()0u t <因此，当1e a e ≥时，存在()1,x ∈-∞+∞，使得()10u x =.所以，当1ea e ≥时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线. 例7.（2015·广东高考真题（理））（14分）（2015•广东）设a ＞1，函数f （x ）=（1+x 2）e x﹣a ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）证明f （x ）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f （x ）在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M （m ，n ）处的切线与直线OP 平行，（O 是坐标原点），证明：m≤﹣1．【答案】（1）f （x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）见解析 （3）见解析 【解析】（1）f'（x ）=e x（x 2+2x+1）=e x（x+1）2∴f′（x ）≥0，∴f（x ）=（1+x 2）e x﹣a 在（﹣∞，+∞）上为增函数． （2）证明：由（1）问可知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数． 又f （0）=1﹣a ， ∵a＞1．∴1﹣a ＜0∴f（0）＜0．当x→+∞时，f （x ）＞0成立． ∴f（x ）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点 （3）证明：f'（x ）=e x（x+1）2，设点P （x 0，y 0）则）f'（x ）=e x0（x 0+1）2，∵y=f（x ）在点P 处的切线与x 轴平行，∴f'（x 0）=0，即：e x0（x 0+1）2=0， ∴x 0=﹣1将x 0=﹣1代入y=f （x ）得y 0=．∴，∴…10分令；g （m ）=e m﹣（m+1）g （m ）=e m﹣（m+1）， 则g'（m ）=e m﹣1，由g'（m ）=0得m=0． 当m∈（0，+∞）时，g'（m ）＞0 当m∈（﹣∞，0）时，g'（m ）＜0 ∴g（m ）的最小值为g （0）=0…12分 ∴g（m ）=e m ﹣（m+1）≥0 ∴e m≥m+1∴e m（m+1）2≥（m+1）3即： ∴m≤…14分例8.（2019·四川棠湖中学高考模拟（文））已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B.（1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-．又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+uuu r ，2220(,1)4x MB x x =-+uuu r ，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++uuu r uuu r22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．【压轴训练】1．（2019·湖南高考模拟（理））过抛物线()220x py p =>上两点,A B 分别作抛物线的切线，若两切线垂直且交于点()12P -，，则直线AB 的方程为（ ） A ．122y x =+ B ．134y x =+ C ．132y x =+ D ．124y x =+ 【答案】D 【解析】由22x py =，得22x y p=，∴'x y p =．设()()1122,,,A x y B x y ，则1212','x x x x x x y y p p====，抛物线在点A 处的切线方程为2112x x y x p p=-， 点B 处的切线方程为2222x x y x p p=-， 由21122222x x y x p px x y x p p⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121222x x x x x y p +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又两切线交于点()1,2P -，∴12121222x x x x p+⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故得12122,4x x x x p +==- （*）． ∵过,A B 两点的切线垂直，∴121x x p p⋅=-， 故212x x p =-，∴4p =，故得抛物线的方程为28x y =．由题意得直线AB 的斜率存在，可设直线方程为y kx b =+， 由28y kx bx y=+⎧⎨=⎩消去y 整理得2880x kx b --=， ∴12128,8x x k x x b +==- （**），由（*）和（**）可得14k =且2b =， ∴直线AB 的方程为124y x =+．故选：D ．2.（2019·山东高考模拟（文））设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，即又，即本题正确结果：3.（2019·山东高考模拟（理））已知函数()2f x x 2ax =+，()2g x 4a lnx b =+，设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点P ，且在P 点处的切线相同，当()a 0,∞∈+时，实数b 的最大值是______．【答案】【解析】 设()00,P x y ，()'22f x x a =+，()24'a g x x=．由题意知，()()00f x g x =，()()00''f x g x =，即2200024x ax a lnx b +=+，①200422a x a x +=，②解②得0x a =或02(x a =-舍)，代入①得：2234b a a lna =-，()0,a ∞∈+，()'684214b a alna a a lna =--=-，当140,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0b >，当14,a e ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，'0b <．∴实数b的最大值是1144b e elne ⎛⎫== ⎪⎝⎭．故答案为：4.（2013·北京高考真题（理））设l 为曲线C ：在点(1，0)处的切线.(I)求l 的方程；(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方 【答案】(I)(II)见解析【解析】 (1)设f(x)＝，则f′(x)＝所以f′(1)＝1，所以L 的方程为y ＝x －1.(2)证明：令g(x)＝x －1－f(x)，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)． g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x ＜1时，x 2－1＜0，ln x ＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减； 当x>1时，x 2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增． 所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)． 所以除切点之外，曲线C 在直线L 的下方．5.（2015·天津高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求的单调区间;（Ⅱ）设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）若方程有两个正实数根且,求证:.【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）见试题解析;（Ⅲ）见试题解析.【解析】（Ⅰ）由,可得的单调递增区间是,单调递减区间是;（Ⅱ）,,证明在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有;（Ⅲ）设方程的根为,可得,由在单调递减,得,所以.设曲线在原点处的切线为方程的根为,可得,由在在单调递增,且,可得所以.试题解析:（Ⅰ）由,可得,当,即时,函数单调递增;当,即时,函数单调递减.所以函数的单调递增区间是,单调递减区间是.（Ⅱ）设,则,曲线在点P处的切线方程为,即,令即则.由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.（Ⅲ）由（Ⅱ）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（Ⅱ）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.6.（2013·福建高考真题（文））已知函数（为自然对数的底数）（Ⅰ）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（Ⅱ）求函数的极值；（Ⅲ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（Ⅲ）的最大值为【解析】（1）由,得．又曲线在点处的切线平行于轴,得,即,解得．（2）,①当时,,为上的增函数,所以函数无极值．②当时,令,得,．,;,．所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值．综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值．（3）当时,令,则直线:与曲线没有公共点,等价于方程在上没有实数解．假设,此时,,又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故．又时,,知方程在上没有实数解．所以的最大值为．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当时,．直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:（*）在上没有实数解．①当时,方程（*）可化为,在上没有实数解．②当时,方程（*）化为．令,则有．令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为．所以当时,方程（*）无实数解, 解得的取值范围是．综上,得的最大值为．7.（2013·北京高考真题（文））已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x . (1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同交点，求b 的取值范围．【答案】（Ⅰ）求两个参数，需要建立两个方程.切点在切线上建立一个，利用导数的几何意义建立另一个，联立求解.（Ⅱ）利用导数分析曲线的走势，数形结合求解.【解析】由f(x)＝x 2＋xsin x ＋cos x ，得f′(x)＝2x ＋sin x ＋x(sin x)′－sin x ＝x(2＋cos x)．（1）因为曲线y ＝f(x)在点(a ，f(a))处与直线y ＝b 相切，所以f′(a)＝a(2＋cos a)＝0，b ＝f(a)． 解得a ＝0，b ＝f(0)＝1. （5分） （2）设g(x)＝f(x)－b ＝x 2＋xsin x ＋cos x －b. 令g′(x)＝f′(x)－0＝x(2＋cos x)＝0，得x ＝0. 当x 变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，且g(x)的最小值为g(0)＝1－b.①当1－b≥0时，即b≤1时，g(x)＝0至多有一个实根，曲线y ＝f(x)与y ＝b 最多有一个交点，不合题意． ②当1－b<0时，即b>1时，有g(0)＝1－b<0， g(2b)＝4b 2＋2bsin 2b ＋cos 2b －b>4b －2b －1－b>0. ∴y＝g(x)在(0,2b)内存在零点，又y ＝g(x)在R 上是偶函数，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴y＝g(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，在(－∞，0)也有唯一零点． 故当b>1时，y ＝g(x)在R 上有两个零点， 则曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点．综上可知，如果曲线y ＝f(x)与直线y ＝b 有两个不同交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)．（12分）8.（2019·北京高考模拟（文））已知函数32()f x x ax =-．（Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 在区间]2,0[上的最小值；（Ⅱ）当3a >时，求证：过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切． 【答案】（I ）4-.（Ⅱ）见解析. 【解析】（Ⅰ）当a ＝3时，f （x ）＝x 3﹣3x 2，f '（x ）＝3x 2﹣6x ＝3x （x ﹣2）． 当x ∈[0，2]时，f '（x ）≤0， 所以f （x ）在区间[0，2]上单调递减．所以f （x ）在区间[0，2]上的最小值为f （2）＝﹣4．（Ⅱ）设过点P （1，f （1））的曲线y ＝f （x ）的切线切点为（x 0，y 0），f '（x ）＝3x 2﹣2ax ，f （1）＝1﹣a ，所以()()()32000200001321y x ax y a x ax x ⎧=-⎪⎨--=--⎪⎩，．所以()3200023210x a x ax a -+++-=．令g （x ）＝2x 3﹣（a +3）x 2+2ax +1﹣a ，则g '（x ）＝6x 2﹣2（a +3）x +2a ＝（x ﹣1）（6x ﹣2a ）， 令g '（x ）＝0得x ＝1或3ax =， 因为a ＞3，所以1a ＞．∴g （x ）的极大值为g （1）＝0，g （x ）的极小值为()103a g g ⎛⎫=⎪⎝⎭＜， 所以g （x ）在3a ，⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上有且只有一个零点x ＝1．因为g （a ）＝2a 3﹣（a +3）a 2+2a 2+1﹣a ＝（a ﹣1）2（a +1）＞0，所以g （x ）在3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上有且只有一个零点． 所以g （x ）在R 上有且只有两个零点．即方程()3200023210x a x ax a -+++-=有且只有两个不相等实根，所以过点P （1，f （1））恰有2条直线与曲线y ＝f （x ）相切． 9.（2019·四川高考模拟（理））已知函数，.（1）若，求函数在区间（其中，是自然对数的底数）上的最小值；（2）若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】 （1）由题意，可得，，令，得. ①当时，在上单调递减，∴.②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴.综上，当时，，当时，.（2）设函数在点处与函数在点处有相同的切线，则，∴，∴，代入得.∴问题转化为：关于的方程有解，设，则函数有零点，∵，当时，，∴. ∴问题转化为：的最小值小于或等于0.，设，则当时，，当时，.∴在上单调递减，在上单调递增，∴的最小值为.由知，故.设，则，故在上单调递增，∵，∴当时，，∴的最小值等价于.又∵函数在上单调递增，∴.10.（2019·湖南高考模拟（理））设函数()()()22,42x f x e ax g x x x =+=++.（Ⅰ）讨论()y f x =的极值；（Ⅱ）若曲线()y f x =和曲线()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线，且当2x ≥-时，()()mf x g x ≥，求m 的取值范围 .【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21,e ⎡⎤⎣⎦.【解析】 （Ⅰ）∵()()2xf x eax =+，∴()()2xf x e ax a '=++．①当0a =时，()20xf x e '=>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，无极值．②当0a >时，由()0f x '=得2a x a+=-， 且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '<单调递减；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '>单调递增． 所以当2a x a+=-时，()f x 有极小值，且()2=a a f x ae +--极小值，无极大值． ③当0a <时，由()0f x '=得2a x a+=-，且当2a x a +<-时，()0,()f x f x '>单调递增；当2a x a+>-时，()0,()f x f x '<单调递减．所以当2a x a+=-时，()f x 有极大值，且()2=a a f x ae +--极大值，无极小值． 综上所述，当0a =时，()f x 无极值； 当0a >时，()2=a af x ae +--极小值，无极大值； 当0a <时， ()2=a af x ae +--极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得()2+4g x x '=，∵()y f x =和()y g x =在点()0,2P 处有相同的切线， ∴(0)(0)f g =''，即24a +=，解得2a =， ∴()()22xf x ex =+．令()()()()222(42)xF x mf x g x me x x x =-=+-++，则()()()124xF x me x '=-+，由题意可得()0220F m =-≥，解得1m ≥． 由()0F x '=得12ln ,2x m x =-=-．①当ln 2m ->-，即21m e ≤<时，则120x -<≤，∴当()12,x x ∈-时，()0,()F x F x '<单调递减；当()1,x x ∈+∞时，()0,()F x F x '>单调递增， ∴()()2,F x -+∞在上的最小值为()()2112111224220F x x x x x x =+---=-+≥，∴()()mf x g x ≥恒成立．②当ln 2m -=-，即2m e =时，则()()2()124x F x ex +'=-+，∴当2x ≥-时，()0,()F x F x '≥在()2,-+∞上单调递增， 又(2)0F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()mf x g x ≥恒成立． ③当ln 2m -<-，即2m e >时， 则有()222(2)2220F me em e --=-=--+<-，从而当2x ≥-时，()()g x mf x ≤不可能恒成立．综上所述m 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．11.（2019·天津高考模拟（理））已知函数()()()()21ln f x x x x a a R =---∈.(1)若()f x 在()0,∞+上单调递减，求a 的取值范围；(2)若()f x 在1x =处取得极值，判断当(]0,2x ∈时，存在几条切线与直线2y x =-平行，请说明理由； (3)若()f x 有两个极值点12,x x ，求证：1254x x +>. 【答案】(Ⅰ)(],1-∞；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)证明见解析. 【解析】(Ⅰ)由已知,()()11ln 2ln 2120x f x x x a x x a x x-=+--=--++≤'恒成立 令()1ln 212g x x x a x=--++,则()()()222221111212(0)x x x x g x x x x x x-+--++='=+-=>, ()210x -+<,令()'0g x >,解得:01x <<,令()'0g x <,解得:1x >,故()g x 在()0,1递增,在()1,+∞递减,()()max 122g x g a ∴==-，由()'0f x ≤恒成立可得1a ≤.即当()f x 在()0,+∞上单调递减时,a 的取值范围是(],1-∞. (Ⅱ)()f x 在1x =处取得极值，则()’10f =，可得1a =. 令()1ln 232f x x x x -'=-+=-，即 1ln 250x x x--+=. 设()1ln 25h x x x x =--+，则()()()222221111212x x x x h x x x x x-+--++='=+-=. 故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减， 注意到()55520h eee --=--<，()()112,2ln202h h ==+>， 则方程1ln 250x x x--+=在(]0,2内只有一个实数根， 即当(]0,2x ∈时，只有一条斜率为2-且与函数()f x 图像相切的直线. 但事实上，若1a =，则()1'ln 23f x x x x=--+， ()()()2121''x x f x x--+=，故函数()'f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,2上单调递减， 且()'101230f =--+=，故函数()'0f x ≤在区间(]0,2上恒成立， 函数()f x 在区间(]0,2上单调递减，即函数不存在极值点， 即不存在满足题意的实数a ，也不存在满足题意的切线. (Ⅲ)若函数有两个极值点12,x x ,不妨设120x x <<， 由(Ⅰ)可知1a >,且：()11111ln 212f x x x a x -+'=-+①, ()22221ln 212f x x x a x -+'=-+②, 由①-②得:()()112112122121221211ln20,2ln 0,2x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-+--=∴--=->∴< ⎪⎝⎭, 即12112x x e>> , 由①+②得:()()12121212ln 2240x x x x x x a x x ++--++=, ()121212ln 24124512242x x a x x x x ++-++∴+=>=++. 12.（2019·辽宁高考模拟（理））已知a R ∈，函数()()2ln ,0,6.f x a x x x =+∈()I 讨论()f x 的单调性；()II 若2x -是()f x 的极值点，且曲线()y f x =在两点()()()()1122,,,P x f x Q x f x ()12xx <处的切线相互平行，这两条切线在y 轴上的截距分别为12,b b ，求12b b -的取值范围 【答案】()I 当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；()II 2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】（Ⅰ）()2222a ax f x x x x-'=-+=.()0,6x ∈Q ∴ ①当0a ≤时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立. ∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；②当0a >，且26a≥，即103≤a <时，()0f x '<在()0,6x ∈上恒成立.∴ ()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；③当0a >，且26a <，即13a >时，在20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '<，在2,6x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上，()0f x '>，∴ ()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.综上，当13a ≤时，()f x 在()0,6上单调递减，无单调递增区间；当13a >时，()f x 在20,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，2,6a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. （Ⅱ）2x =是()f x 的极值点，∴由()1可知22,1a a=∴= 设在()()11.P x f x 处的切线方程为()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在()()22,Q x f x 处的切线方程为()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴若这两条切线互相平行，则2211222121x x x x -+=-+，121112x x ∴+= 令0x =，则1114ln 1b x x =+-，同理，2224ln 1b x x =+- 【解法一】211112x x =-Q121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ 111211114ln ln 22x x x ⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设()182ln ln 2g x x x x ⎛⎫=--+-⎪⎝⎭，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2211168180122x x g x x x x x-+'∴=--=<--，()g x ∴在区间11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭即12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法二】12122x x x =-Q 121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭1182ln 12x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭令()1182ln 12x g x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，其中()3,4x ∈ ()()2228181622x x g x x x x x -+'∴=-+=-- ()()22402x x x -=>-∴函数()g x 在区间()3,4上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解法三】()12122x x x x =+Q g121212114ln ln b b x x x x ⎛⎫∴-=-+-= ⎪⎝⎭ ()2111224ln ·x x x x x x -+ ()2112122ln x x x x x x -=++ 12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=++设()()21ln 1x g x x x-=++，则()()()()22214111x g x x x x x --'=+=++ 11211,122x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭Q，()0g x ∴'>，∴函数()g x 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()2ln2,03g x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭∴ 12b b -的取值范围是2ln2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭.13.（2019·安徽高考模拟（文））已知函数()ln x f x x =+，直线l ：21y kx =-.（Ⅰ）设(,)P x y 是()y f x =图象上一点，O 为原点，直线OP 的斜率()k g x =，若()g x 在(,1)x m m ∈+(0)m >上存在极值，求m 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得直线l 是曲线()y f x =的切线？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （Ⅲ）试确定曲线()y f x =与直线l 的交点个数，并说明理由. 【答案】11e m e k -<<=Ⅰ，（Ⅱ），（Ⅲ）见解析 【解析】 （Ⅰ）∵()ln (0)y x x g x x x x +==>，∴()1ln 0xg x x='-=，解得x e =. 由题意得： 01m e m <<<+，解得1e m e -<<.（Ⅱ）假设存在实数k ，使得直线是曲线()y f x =的切线，令切点()00,P x y ， ∴切线的斜率0121k x =+. ∴切线的方程为()()00001ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，又∵切线过（0，-1）点，∴()()000011ln 10x x x x ⎛⎫--+=+- ⎪⎝⎭.解得01x =，∴22k =， ∴1k =.（Ⅲ）由题意，令ln 21x x kx +=-， 得 ln 12x x k x++=.令()ln 1(0)2x x h x x x ++=>， ∴()2ln 2xh x x-='，由()0h x '=，解得1x =. ∴()h x 在（0,1）上单调递增，在()1,+∞上单调递减，∴()()max 11h x h ==,又0x →时，()h x →-∞；x →+∞时，()1ln 11222x h x x +=+→， {}1,12k ⎛⎤∴∈-∞⋃ ⎥⎝⎦时，只有一个交点；1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有两个交点；()1,k ∈+∞时，没有交点.14. （2019·河北高考模拟（理））已知函数()xf x e =，()g x alnx(a 0)=>． ()1当x 0>时，()g x x ≤，求实数a 的取值范围；()2当a 1=时，曲线()y f x =和曲线()y g x =是否存在公共切线？并说明理由．【答案】（1）(]0,e ；（2）存在公共切线，理由详见解析.【解析】()1令()()ln m x g x x a x x =-=-，则()1a a x m x x x-=-='. 若0x a <<，则()0m x '>，若x a >，则()0m x '<.所以()m x 在()0,a 上是增函数，在(),a +∞上是减函数.所以x a =是()m x 的极大值点，也是()m x 的最大值点，即()max ln m x a a a =-.若()g x x ≤恒成立，则只需()max ln 0m x a a a =-≤，解得0a e <≤.所以实数a 的取值范围是(]0,e . ()2假设存在这样的直线l 且与曲线()y f x =和曲线()y g x =分别相切与点()()1122,,,ln x A x e B x x . 由()x f x e =，得()xf x e '=. 曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()111x x y e e x x -=-，即()1111x xy e x x e =+-. 同理可得，曲线()y g x =在点B 处的切线方程为()2121ln y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-. 所以()11212111x x e x x e lnx ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩则()1111lne 1x x x e --=-，即()111110x x e x -++= 构造函数()()x11,h x x e x =-++ x R ∈ 存在直线l 与曲线()y f x =和曲线()y g x =相切,等价于函数()()x11h x x e x =-++在R 上有零点对于()1xh x xe ='-. 当0x ≤时，()0h x '>，()h x 在上单调递增.当0x >时，因为()()()'10x h x x e +'=-<，所以()h x '在()0,+∞上是减函数.又()()010,110h h e ''=>=-<，，所以存在()00,1x ∈，使得()00010x h x x e'=-=，即001x e x =. 且当()000,x x ∈，()0h x '>时，当()00,x x ∈+∞时，()0h x '<.综上，()h x 在()00,x 上是增函数，在()0,x +∞上是减函数.所以()0h x 是()h x 的极大值，也是最大值，且()()()()0000000max 0011111?10x h x h x x e x x x x x x ==-++=-++=+＞. 又()22310h e --=-<，()2230h e =-+<，所以()h x 在()02,x -内和()0,2x 内各有一个零点. 故假设成立，即曲线()y f x =和曲线()y g x =存在公共切线.15.（2019·广西高考模拟（理））已知函数1()ln f x x mx x =--在区间(0,1)上为增函数，m R ∈.（1）求实数m 的取值范围； （2）当m 取最大值时，若直线l ：y ax b =+是函数()()2F x f x x =+的图像的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.【答案】（1）2m ≤；（2）+a b 的最小值为-1.【解析】（1）∵()1ln f x x mx x =--， ∴()211f x m x x=+-'． 又函数()f x 在区间()0,1上为增函数，∴()2110f x m x x =-'+≥在()0,1上恒成立， ∴()221111124m t x x x x ⎛⎫≤+=+-= ⎪⎝⎭在()0,1上恒成立．令()()2211111,0,124t x x x x x ⎛⎫=+=+-∈ ⎪⎝⎭， 则当1x =时，()t x 取得最小值，且()2min t x =，∴2m ≤，∴实数m 的取值范围为(],2∞-．（2）由题意的()11ln 22ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎪⎝⎭，则()211F x x x +'=， 设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率()020011a f x x x ==+'， 又0001ln x ax b x -=+， ∴002ln 1b x x =--， ∴020011ln 1a b x x x +=+--． 令()211ln 1(0)h x x x x x=+-->， 则()()()23233211212x x x x h x x x x x x'+-+-=-+==， 故当()0,1x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减；当()1,x ∈+∞时，()()0,h x h x '>单调递增． ∴当1x =时，()h x 有最小值，且()()11min h x h ==-，∴a b +的最小值为1-．16．（2019·四川高考模拟（理））已知函数()ln x a f x x e +=-．（1）若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--．【答案】（1）1a <-；（2）证明见解析.【解析】（1）函数f （x ）＝lnx ﹣e x +a 的导数为f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．曲线f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1﹣e 1+a ，切点为（1，﹣e 1+a ），可得切线方程为y +e 1+a ＝（1﹣e 1+a ）（x ﹣1）， 可令y ＝0可得x ＝111a e +-，由题意可得111a e+-＞0， 可得e 1+a ＜1，解得a ＜﹣1； （2）证明：f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ．设g （x ）＝f ′（x ）＝1x ﹣e x +a ． 可得g ′（x ）＝﹣（21x +e x +a ），当x ＞0时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减； 由a ＞1﹣1e ，e x +a ＞e x ．若e x ＞1x ，g （x ）＜1x﹣e x ＜0， 当0＜x ＜1时，e x +a ＜e 1+a ．若e 1+a ＜1x，即x ＜e ﹣1﹣a ， 故当0＜x ＜e ﹣1﹣a 时，g （x ）＞0，即g （x ）＝f ′（x ）有零点x 0， 当0＜x ＜x 0时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增；当x ＞x 0时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减， 可得f （x ）≤f （x 0），又f （x 0）＝lnx 0﹣e x 0+a ，又e x 0+a ＝01x ， 可得f （x 0）＝lnx 0﹣01x ，在x 0＞0递增， 又a ＝ln 01x ﹣x 0＝﹣（lnx 0+x 0）， a ＞1﹣1e ⇔﹣（lnx 0+x 0）＞1﹣1e ＝﹣（ln 1e +1e）， 所以lnx 0+x 0＜ln 1e +1e，由于lnx 0+x 0递增， 可得0＜x 0＜1e ，故f （x ）≤f （x 0）＜f （1e ）＝﹣1﹣e ．。
高中数学讲义：函数的切线问题
函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B，并使B 沿曲线不断接近A。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +D +D ，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +D -+D -==+D -D 当B 无限接近A 时，即x D 接近于零，\直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k xD ®+D -=D ,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x xD ®+D -==D 。
抛物线中的切线问题(学生版)
抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解. 1.(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p 2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x2=2py在其上一点P x1,y1处的切线方程,可先把x2=2py化为y=x22p,则y =xp,则抛物线x2=2py在点P x1,y1处的切线斜率为x1p,切线方程为y-y1=x1px-x1.2.(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy中,已知抛物线C:x2=2py p>0,P为直线y=x-1上的动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,当P在y轴上时,OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；(2)求点O到直线AB距离的最大值.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点．当AB∥x轴时,|AB|=2．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：|PF|2=|AF|⋅|FB|．4.已知直线l过原点O,且与圆A交于M,N两点,MN=4,圆A与直线y=-2相切,OA与直线l垂直,记圆心A的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)过直线y=-1上任一点P作C的两条切线,切点分别为Q1,Q2,证明：①直线Q1Q2过定点；②PQ1⊥PQ2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d 1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C的焦点是0,1 4,如图,过点D22,t(t≤0)作抛物线C的两条切线,切点分别是A和B,线段AB的中点为M．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：直线MD⎳y轴；(3)以线段MD为直径作圆,交直线AB于MN,求|AB|-|MN||AB|+|MN|的取值范围．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E：y2=2px(p>0)上一点C1,y0到其焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线l1、l2,且l1、l2的交点为Q,l1、l2与y轴的交点分别为M、N．求△QMN面积的取值范围．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C上任意一点到F1(-1,0),F2(1,0)距离之和为43,抛物线E：y2=2px的焦点是点F2.3(1)求曲线C和抛物线E的方程；(2)点Q x0,y0是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M, x0<0N,求△QMN的面积的取值范围．6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1的动圆始终与直线l：y=-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)动点A在直线l上,过点A作曲线C的两条切线分别交x轴于B,D两点,当△ABD的面积是32时,求点A坐标.7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C:x2=2py p>0的焦点为F.且F与圆M: x2+y+42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线.A,B是切点,求△PAB面积的最大值.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,准线与x轴交于D点,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且FA.+FB⋅FB=FA(1)求抛物线C的方程；(2)设P,Q是抛物线C上的不同两点,且PF⊥x轴,直线PQ与x轴交于G点,再在x轴上截取线段GE=GD,且点G介于点E点D之间,连接PE,过点Q作直线PE的平行线l,证明l是抛物线C的切线.9.已知抛物线C:x2=2py,点M-4,4在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为-2,-1,经过点P的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB, EQ的斜率分别为k1,k2,k3,是否存在常数λ使得k1+k2=λk3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10.如图,已知A x1,y1为二次函数y=ax2(a>0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y ､B x2,y2=ax2在点A x1,y1.､B x2,y2处的切线相交于点P x0,y0(1)利用抛物线的定义证明：曲线y=ax2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1､x0､x2成等差数列,y1､y0､y2成等比数列；(3)设抛物线y=ax2焦点为F,过P作PH垂直准线l,垂足为H,求证：∠BPH=∠APF.11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．13.(2022届新未来4月联考)已知直线l:x-ky+k-1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线l⊥x轴时,|AB|=4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求|OD|的最小值．14.过原点O的直线与拋物线C：y2=2px(p>0)交于点A,线段OA的中点为M,又点P3p,0, PM⊥OA．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA=23；③△POM的面积为62．=46,②PM(1),求拋物线C的方程；(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15.已知抛物线x2=2py(y>0),其焦点为F,抛物线上有相异两点A x1,y1．,B x2,y2(1)若AF⎳x轴,且经过点A的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p=2,且|AF|+|BF|=4,线段AB的中垂线交x轴于点C,求△ABC面积的最大值．16.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,点P m,2=3．(m>0)在抛物线C上,且满足PF(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP =2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。
函数图像的三条切线
题目：若过(1,)M m 可以作函数3()3f x x x =-的三条切线，求m 的取值范围. 解：如图，设过(1,)M m 点的直线与函数3()3f x x x =-相切与于3000(,3)A x x x -点，则切线M A 的斜率为
300031
x x m x ---，而200()33f x x '=-， 所以3200003331x x m
x x --=--…………… ①
若过(1,)M m 可以作函数3()3f x x x =-
的三条切线，则方程①有三个不同的
实数根，即方程32002330x x m -++=
有三个不同的实数根.
令32()233g t t t m =-++，则2()66g t t t '=-.
当2()660g t t t '=->即1t >，或0t <时，()g t 单调递增，当2()660g t t t '=-<即01t <<时，()g t 是单调递减，当x 变化时，()g t '和()g t 的变化情况如下表：
由上表可知，()g t 的极大值为(0)3g m =+，极小值为(1)2g m =+. 若方程322330t t m -++=有三个不同的实数根，只需()g t 有极大值和极小值， 且(0)(1)0g g ⋅<，（如下图）即(3)(2)0m m ++<，解得32m -<<-.
所以，若过(1,)M m 可以作函数3()3f x x x =-的三条切线，(3,2)m ∈--.。
(完整版)函数图像的切线问题
函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0).若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有212121)()()()(x x x g x f x g x f --='='.题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3:3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上.设切点的坐标()00,x y ，则30003y x x =-，函数的导数为2'33y x =-，切线的斜率为020'33x x k y x ===-，2000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，Q 点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =或9k =-±∴切线方程为2y =或(9(2)2y x =-±-+.例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________解析：由切线过()()1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=例3. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，所以有()()'113132f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P Q 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值解：()2'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2min 11933f x f a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭Q 直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：2191233a a --=-⇒=± 0a <Q 3a ∴=- 题型三 公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594y ax x =+-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()300,x x ,切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或032x =，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫⎪⎝⎭.当切点()0,0时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得()21525490464a a ⎛⎫∆=--=⇒=- ⎪⎝⎭，同理，切点为327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1a =-答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中，由于曲线21594y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0∆=来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（ ） A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e 解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x ，与曲线2C 切于点()22,x x ae ，由''2xy xy ae ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e -=，设()()41xx f x e -=，则()()'42xx fx e -=.可知()f x 在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e==例10.曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2eB. 22e C. 24eD.22e思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=例11.一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭U .答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，切线斜率为k ，则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线，则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有：()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切例13. 已知曲线C:x 2=y ，P 为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出:1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()()21,1Q k k --，以及M 点坐标，从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0∆=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭21y x y kx k ⎧=∴⎨=-+⎩ 消去y ：210x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()()21,1Q k k ∴--设直线()()21:11QN y k x k k --=---⎡⎤⎣⎦即()()2111y k x k k =----⎡⎤⎣⎦ ∴ 联立方程：()()22111y x y k x k k ⎧=⎪⎨=----⎡⎤⎪⎣⎦⎩()211110x x k k k k ⎛⎫∴+---+= ⎪⎝⎭ ()11111Q N N x x k k x k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+⇒=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2y x =可得：'2y x =∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭2111:1211MN y k k x k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+=--++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦代入1,0k M k -⎛⎫⎪⎝⎭得： 2111112111k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211210k k k k k∴-+=⇒+-=,12k -±∴=小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0∆=简便（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】 (1)f′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g′(x)＝2x －3. 由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x.依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2， 故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根． 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 特别地，取x ＝x 1时，f(x 1)＋g(x 1)－mx 1<－m 成立，得m<0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m>0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx ＝x(x －x 1)(x －x 2)≤0，又f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0. 于是当－14<m<0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 例15.如图3－1，有一正方形钢板AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)， 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t 2(x －t )， 即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14t 2.∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－1＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－1＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)． 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )， 即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1， 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |) ＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52. ∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．。
过定点的三次函数图像切线条数问题
过定点的三次函数图像切线条数问题要研究过定点的三次函数图像切线的条数问题，需要首先了解三次函数的一般形式和性质，然后探讨在过定点的情况下切线可能的情况。
三次函数的一般形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为实数且a不等于0。
三次函数具有以下性质：1.三次函数的图像是一个非常光滑的曲线，没有拐点。
2.在自变量趋近正无穷或负无穷时，函数值也会趋近正无穷或负无穷。
3.在自变量趋近正负无穷时，函数值呈现与自变量同号的趋势。
4. 三次函数的导函数是一个二次函数，即f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。
考虑过定点的三次函数图像，即函数图像经过特定的点(x0,y0)。
根据函数性质，通过给定的点可以确定三次方程的另一条特殊直线。
这条直线与函数图像在给定点处相切，且切线斜率等于该直线的斜率。
切线的斜率等于函数在给定点处的导数值（即f'(x0)）。
根据情况的不同，过定点的三次函数图像可能有以下几种切线条数：1.一条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在且唯一，那么函数图像在该点处只有一条切线。
这意味着图像在该点处与导函数图像相切，并且只有唯一的斜率满足这个条件。
2.两条切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)存在但不唯一，那么函数图像在该点处有两条切线。
这是因为存在两个斜率满足图像与导函数图像相切的条件。
3.无切线：对于给定点(x0,y0)，如果f'(x0)不存在，那么函数图像在该点处无切线。
这是因为函数图像在该点处的斜率不存在，无法与导函数图像相切。
那么如何确定过定点的三次函数图像是否有多个切线呢？我们可以通过计算函数在给定点处的导数值来判断。
导数公式为f'(x) = 3ax^2 +2bx + c，将x0代入导数公式得到导数值f'(x0)。
若f'(x0)存在且唯一，即f'(x0) ≠ 0，那么函数图像在给定点处有一条切线。
高考数学 切线问题(教师版)
专题1 切线问题1.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是A ．1(ln,)2e+∞ B ．(1,)-+∞ C ．(1,)+∞ D ．(ln 2,)-+∞答案：A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1){ln 1x x x x a =+-=-+，．∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln2h t h e >=--=，∴1ln 2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，，故选A ． 2.已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为（ ） A ．4eB ．2e C ．e D ．2e答案：C【解析】设切点()()00,ln x ax b +，则由()002af x ax b '==+得()0102ax b a a +=>，又由()00ln 2ax b x +=，得()0011ln ln 222a x ax b =+=，则0ln 2222a a a ab ax =-=-， 有()2211ln 0222a ab a a a =->，令()2211ln 222a g a a a =-，则()1ln 22a g a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<，故当a =()g a 取得极大值也即最大值(g e =.故选：C.3.已知P 是曲线1C ：xy e =上任意一点，点Q 是曲线2C ：ln xy x=上任意一点，则PQ 的最小值是（ ）A ．ln 212-B ．ln 212+ C ．2 D 答案：D【解析】（1）曲线1C ：e x y =，求导得e xy '=，易知1C 在点()0,1A 处切线方程为1y x =+. 下面证明e 1x x ≥+恒成立：构造函数()e 1xf x x =--，求导得()e 1xf x '=-，则(),0x ∈-∞时，0fx，()f x 单调递减；()0,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增.故函数()()00f x f ≥=，即e 1x x ≥+恒成立，有1C 为下凸曲线（2）曲线2C ：ln x y x =，求导得21ln xy x-'=，当1x =时，1y '=，且2C 过点()1,0B 故2C 在点()1,0处的切线方程为1y x =-.下面证明ln 1xx x-≥在0,上恒成立：令()2ln F x x x x =--，则()()()221112121x x x x F x x x x x+---'=--==， 当01x <<时，()0F x '<，()F x 单调递减；当1x >时，()0F x '>，()F x 单调递增， 所以()()min 10F x F ==，即()()10F x F ≥=，则2ln 0--≥x x x ，即ln 1xx x-≥在0,上恒成立，有2C 为上凸曲线（3）由1C 在()0,1A 处切线1y x =+与2C 在B ()1,0处的切线1y x =-，知：它们相互平行 又直线AB 的斜率k = -1，即可知：直线AB 与两条切线同时垂直 ∴综上，知：PQ 最小时，A 即为P 点，B 即为Q 点，故min ||||PQ AB =∴min ||PQ = AB ==D4.若曲线y ＝ax +2cos x 上存在两条切线相互垂直，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[B ．[﹣1，1]C ．（﹣∞，1]D ．[，1]答案：A【解析】2sin y a x '=-，要使曲线2cos y ax x =+上存在两条切线相互垂直， 只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即1max miny y -''，显然0mn y '<，故只需()()1min max y y '⨯'-，因为2sin y a x '=-最小值为20a -<，最大值为20a +>，所以(2)(2)1a a -+-，即23a ，解得33a．故选：A ．5.已知关于x 不等式x ae x b ≥+对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ab的最小值为（ ）A ．12 B ．1CD ．2答案：B【解析】设()xf x ae =，()g x x b =+，若x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则()()f x g x ≥，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，如图，0a ≤时，x ae x b ≥+，对任意x ∈R 和正数b 不恒成立；如图，0a >时，()x f x ae =，则()xf x ae '=，设()001x f x ae '==，解得0ln x a =-，且()0ln 01x a f x ae ae -===，∴当()xf x ae =的切线斜率为1时，切点坐标为()ln ,1a -，由直线的点斜式方程可得切线方程为1ln y x a -=+，即ln 1y x a =++， 若()()f x g x x b ≥=+，对任意x ∈R 和正数b 恒成立，则ln 1a b +≥∴ln ln 1ln a b b b -≥--，∴1ln b ba e b--≥，设()1ln h b b b =--，0b >，()111b h b b b -'=-=，∴()1,0b h b '==，()1,0b h b '>>，()1,0b h b '<<，∴()()10h b h ≥=，∴()1ln 01h b b b ae e e b--≥≥≥=，故选：B.6.若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（ ） AB ．2eC．D ．2答案：C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线. 设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=. 设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=. 由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)e h x x x x =+->， 所以211331112424()x ee h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3e h x x x =+-在(0,上单调递减，在)+∞单调递增.又23=1+23=0eh e=--， 当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于max a ==.故选：C 7.若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2xg x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m 的取值范围是（ ）A ．,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．0,2e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,1 答案：D【解析】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2xg x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞，由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆'，故21m -<-，解得01m << (2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去；（3）当0m =时，不符合题意.综上所述：m 的取值范围为()0,1，故选：D .8.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:xC y xe =相切，则m 的取值范围是（ ）A ．25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 答案：A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e xy x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e x k x =+，则过点P 的切线方程为()()000001e e x xy x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e xm x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切，∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++，求导得到()()22e x f x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在1,上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250em -<<.故选：A.9.已知y kx b =+是函数()ln f x x x =+的切线，则2k b +的最小值为______． 答案：2ln2+【解析】根据题意，直线y ＝kx +b 与函数f （x ）＝lnx +x 相切，设切点为（m ，lnm +m ），函数f （x ）＝lnx +x ，其导数f ′（x ）1x =+1，则f ′（m ）1m=+1，则切线的方程为：y ﹣（lnm +m ）＝（1m +1）（x ﹣m ），变形可得y ＝（1m+1）x +lnm ﹣1，又由切线的方程为y＝kx +b ，则k 1m =+1，b ＝lnm ﹣1，则2k +b 2m =+2+lnm ﹣1＝lnm 2m++1， 设g （m ）＝lnm 2m++1，其导数g ′（m ）22122m m m m -=-=，在区间（0，2）上，g ′（m ）＜0，则g （m ）＝lnm 2m ++1为减函数，在（2，+∞）上，g ′（m ）＞0，则g （m ）＝lnm 2m++1为增函数，则g （m ）min ＝g （2）＝ln 2+2，即2k +b 的最小值为ln 2+2；故答案为ln 2+2． 10.存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则bk的最小值为________. 答案：1【解析】存在0, 0k b >>使2ln kx k b x -+≥对任意的0x >恒成立，则等价于等价于存在0k >，0b >，()2y k x b =-+在ln y x =的上方.直线()2y k x b =-+过定点()2,b ，即定点在直线2x =上，设直线()2y k x b =-+与ln y x =相切于点()00,x y ，()''1ln y x x ==，所以01k x =，由0000ln 22y b x b k x x --==--得1ln12b k k k-=-， 化简得21ln b k k =--，故1ln 2b k k k k =--.构造函数()()1ln 20kg k k k k=-->，则()'22211ln ln k k g k k k k-=-=，所以当01k <<时，()'0g k <，函数()g k 递减， 当1k >时，()'0g k >，函数()g k 递增，所以()()min 1211g k g ==-=.所以b k的最小值为1.故答案为：111.若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k =_____． 答案：1或1e【解析】设y kx b =+与e x y =和()ln 2y x =+，分别切于点()11,xx e ，()()22,ln 2x x +， 由导数的几何意义可得：1212x k ex ==+，即1212x x e +=，① 则切线方程为111()x x y e e x x -=-，即1111x x xy e x e x e =-+，或2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，即2221ln(2)()2y x x x x -+=-+，② 将①代入②得11121x xy e x e x =+--，又直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则111x x e x e -+=1121x e x --，即11(1)(1)0xe x -+=，则11x =-或10x =，即01k e ==或11k e e -==，故答案为：1或1e. 12.已知直线y kx b =+与函数xy e =的图像相切于点()11,P x y ，与函数ln y x =的图像相切于点()22,Q x y ，若21>x ，且()2,1x n n ∈+，n Z ∈，则n =__________． 答案：4【解析】依题意，可得112112221ln x xe k x y e kx b y x kx b⎧==⎪⎪⎪==+⎨⎪==+⎪⎪⎩，整理得2222ln ln 10x x x x ---=令()ln ln 1(1)f x x x x x x =--->，则1()ln f x x x'=-在()1,+∞单调递增且(1)(2)0f f ''⋅<，∴存在唯一实数()1,2m ∈，使()0f m '=min ()()(1)0f x f m f =<<，(2)ln 230f =-<，(3)2ln340f =-<，(4)3ln 450f =-<，(5)4ln560f =->，∴2(4,5)x ∈，故4n =.13.若直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2x y e -=的切线，则b =______.答案：0或1-【解析】令()ln f x x =，()2x g x e-=，则()1'f x x=，()2'x g x e -=. 设切点分别()11,P x y ，()22,Q x y ，则切线方程为()1111ln y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =⋅+-；()22222x x y e e x x ---=-，即()222221x x y e x x e --=⋅+-， ∴()22212121ln 11x x ex x x e --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，即()212212ln 2ln 11x x x x x e -=-⎧⎨-=-⎩，∴()()222110x x e--⋅-=，∴21x=或22x =.当21x =时，切线方程为1y x e=，∴0b =；当22x =时，切线方程为1y x =-，∴1b =-.综上所述，0b =或1b =-. 故答案为: 0b =或1b =-14.已知实数 a b c d ,,,，满足ln 211a cb d ==- ，那么()()22a cb d -+-的最小值为_________．答案：2(2+ln 2)5【解析】由ln 1a b =可知，点(),A a b 在函数()ln f x x =上，由211cd =-知，点(),B c d 在直线21y x =+上，则()()222=||a c b d AB -+-，所以当点A 处的切线与直线21y x =+平行时，点A 到直线21y x =+的距离的平方就是()()22a cb d -+-的最小值. 由()f x '12x ==得，12x =，所以1,ln22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以()()()22222+ln25a c b d -+-≥=，所以()22ln 2min 5+=， 故答案为()22ln 25+.15.若直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+相切于点P ，与曲线()ln 1y x =+相切于点Q ，则k =_________.答案：2【解析】设直线与ln 2y x =+相切与点(),ln 2m m +，此时斜率为1m，由点斜式得切线方程为()()1ln 2y m x m m -+=-，即1ln 1y x m m=++.对于曲线()ln 1y x =+，其导数'11y x =+，令111m x =+，得1x m =-，故切点坐标为()1,ln m m -，代入切线方程得1ln 1ln m m m m -++=，解得12m =，故12k m==.。
函数图像的切线问题(最新整理)
设切点为 P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将
A(s,t)代入求出 x0. 2．两个函数图像的公切线
函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线，
若切点为同一点 P(x0，y0)，则有 Error!
若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有
y
kx
与曲线
y
l8n
x
有公共点，则
k
6
的最大值为
15 5
30
20 10
.
解：根据题8意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取8 得最大值.
设切点坐标为 x0,
y0
，则
y0
ln
x0
，
y
'
1 x
y ' 1 ，切线方程为
x 10x0
x0
y
ln
x0
1 x0
(x
x0 ) ，原点在切线上，ln
x0
4
A. 1 或 25 64
B. 1 或 21 4
C. 7 或 25 4 64
D. 7 或 7 4
思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y ax2 15 x 9 含有参数，所以考虑 4
先 从 常 系 数 的 曲 线 y x3入 手 求 出 切 线 方 程 ， 再 考 虑 在 利 用 切 线 与 曲 线
1， x0
e12
斜率的最大值为
1
.
e
例 10.曲线 y ex 在点 2, e2 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A. e2
B. 2e2
C. 4e2
e2
D.
3_切线问题典型剖析
切线问题典型剖析【思维突破】1.按照过一点求切线方程的一般步骤，设切点、求斜率得切线方程、点代入，将切线的条数问题转化为方程解的个数问题；是否存在切线转化为方程有无解的问题.2.有时也可考虑相切为“临界状态”，利用参数的几何意义确定参数的取值范围.【典例分析】例1（2022·全国新高考Ⅰ卷·15）若曲线()x y x a e =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是___________．【答案】(,4)(0,)-∞-⋃+∞【解析】易知曲线不过原点，故0a ≠设切点为()000,()x x x a e +，则切线的斜率为000()(1)x f x x a e '=++所以切线方程为00000()(1))(x x y x a e x a x e x -++=-+又因为切线过原点，所以00000()(1())x x x a e x a e x +++--=即2000x ax a -=+又因为切线有两条，故上方程有两不等实根所以204a a ∆=+>，解得4a <-0a >所以a 的取值范围是(,4)(0,)-∞-⋃+∞．例2(2022·江苏南京一中学情调研模拟检测·8)若函数()ln f x x =与函数2()(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A.1ln ,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B.()1,-+∞C.()1,+∞ D.()2,ln +∞【答案】B【分析】由于2()g x x x a =++中要求0x <，故考虑当=0x 时的公切线所对应的实数a 的值为临界值，当a 增大时，抛物线沿直线1=2x -上移，公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移，横坐标减小，故所求大于此时a 的临界值.【解析】先求当=0x 时，曲线2()g x x x a =++的切线方程∵()21g x x '=+，(0)1g '=∴曲线2()g x x x a =++的切线在=0x 处的切线方程为y a x -=，即y x a=+再求当曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时（即直线y x a =+为公切线）a 的值设曲线()ln f x x =与直线y x a =+相切时切点为()00,ln x x 则由导数的几何意义得()0011f x x '==，解得01x =，切点为()1,0将()1,0代入y x a =+得1a =-∵当a 增大时，抛物线2()g x x x a =++沿直线1=2x -上移，公切线与2()g x x x a =++相切的切点左移，横坐标减小，即切点的横坐标小于0∴故所求a 大于此时a 的值，即1a >-.例3（2022·全国甲卷·文20改编）已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+，曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线也是曲线()y g x =的切线,则实数a 的取值范围是．【答案】[)1,-+∞【分析一】由于2()g x x a =+中a 的几何意义为截距，故只需求出3()f x x x =-、2()g x x a =+相切时a 的值，将2()g x x a =+图象往上平移，即a 增大，即为所求.【分析二】设出()g x 上的切点坐标，分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a ，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a 的取值范围.【解析一】设公切点为()3000x x x -，则32000200+312x x x a x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解之得011a x =-⎧⎨=⎩或052713a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（不符合题意，舍去）故a 的取值范围为[)1,-+∞.【解析二】2()31x f x '=-，则()y f x =在点()11(),x f x 处的切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--，整理得()2311312y x x x =--，设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ，()2g x x '=，则22()2g x x '=，则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-，整理得2222y x x x a =-+，则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩，整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭，令432931()2424h x x x x =--+，则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-，令()0h x '>，解得103x -<<或1x >，令()0h x '<，解得13x <-或01x <<，则x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭0()0,11()1,+∞()h x '-+-+()h x527141-则()h x 的值域为[)1,-+∞，故a 的取值范围为[)1,-+∞.例4（2022·江苏南通期末·16）已知函数3()2f x x ax =-，若a ∈R 时，直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切，且满足条件的k 的值有且只有3个，则a 的取值范围为_________．【答案】(0,8)【分析】利用过点(2,0)的曲线的切线有3条，构造函数，借助函数有3个零点求解作答.【解析】由3()2f x x ax =-求导得：2()6f x x a '=-，设直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点为3(,2)t t at -，于是得2()6k f t t a '==-，且32(2)t at k t -=-，则32k t =，显然函数32t 在R 上单调递增，因直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的k 的值有且只有3个，则有直线(2)y k x =-与曲线()y f x =相切的切点横坐标t 值有且只有3个，即方程2362a t t =-有3个不等实根，令32()26g t t t a =-+，求导得：2()6126(2)g t t t t t '=-=-，当0t <或2t >时，()0g t '>，当02t <<时，()0g t '<，即函数()g t 在(,0)-∞，(2,)+∞上递增，在(0,2)上递减，当0=t 时，()g t 取得极大值(0)=g a ，当2t =时，()g t 取得极小值(2)8g a =-，方程2362a t t =-有3个不等实根，当且仅当函数()g t 有3个不同的零点，因此080a a >⎧⎨-<⎩，解得08a <<，所以a 的取值范围为(0,8).故答案为(0,8).例5若函数2()1f x x =+的图象与曲线C:()21(0)x g x a e a =⋅+>存在公共切线，则实数a 的取值范围为A ．220,e ⎛⎤ ⎝⎦B ．240,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．23,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】本道题结合存在公共切线，建立切线方程，结合待定系数法，建立等式，构造新函数，将切线问题转化为交点问题，计算a 的范围，即可．【解析】设函数()f x 的切点为()200,1x x +,该切线斜率02k x =,所以切线方程为20021y x x x =-+,()g x 的切点为()11,21x x ae +,所以切线方程为111`12221x x x y ae x ae x ae =-++,由于该两切线方程为同一方程，利用待定系数法，可得111200122,1221x x x x ae x ae x ae =-+=-+,解得1001,22x x ae x x ==-得到新方程为1122x x ae -=,构造函数()()()2,1x h x e t x x a ==-解得()21x e x a=-,表示()h x 与()t x 存在着共同的交点,而()t x 过定点()1,0,得到()h x 过()1,0的切线方程,设切点为()22,x x e ,则()21x y e x =-,该切点在该直线上,代入,得到()2221x xe e x =-,解得22x =,所以直线斜率为2k e =,要使得()h x 与()t x 存在着交点,则22k e a =≤,结合0a >,所以a 的取值范围为220,e ⎛⎤⎥⎝⎦，故选A ．例6(2021·全国Ⅰ卷)若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则()A ．e b a<B ．e b a>C ．0e ba <<D ．0e ab <<【答案】D【分析】结合已知条件，利用导数的几何意义将问题转化成函数的交点问题，然后通过构造新函数，并求出新函数的单调区间以及最值，利用数形结合的方法即可求解.【解析】设切点()00,x y ，00y >，因为'e x y =，即00'|e x x x y ==，则切线方程为0e ()x y b x a -=-，由()00000e exx y b x a y ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得()00e 1x x a b -+=，则由题意知，关于0x 的方程()00e 1x x a b -+=有两个不同的解．设()()e 1xf x x a =-+，则()e (1)e e ()x x x f x x a x a '=-+-=--，由()0f x '=得x a =，所以当x a <时，()0f x '>，()f x 在(,)a -∞上单调递增；当x a >时，()0f x '<，()f x 在()a +∞上单调递减，所以()f x 的最大值为()f a =()e 1e 0a aa a -+=>，当x a <时，0a x ->，所以()0f x >，当x →-∞时，()0f x →；当x →+∞时，()f x →-∞，故()f x的图像如下图所示：故0e a b <<．故选:D ．【巩固训练】1.过定点()1,P e 作曲线()0xy ae a =>的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是______．2.若函数()ln f x x =与函数2()2(0)g x x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．1(ln,)2e+∞B ．(1,)-+∞C ．(1,)+∞D ．(ln 2,)-+∞3.若存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立（其中e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值是（）AB ．2eC．D ．24.若过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:xC y xe =相切，则m 的取值范围是（）A ．25,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．25,e e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()0,∞+D ．231,ee ⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知函数2()f x ax =，()g x lnx =，若曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线，则实数a 的取值范围是．6.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数a 的取值范围为．7.已知函数32()31f x x x =+-，若过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，则实数m 的取值范围是．8.已知函数3()f x x ax =+，若过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切，则实数a 的取值范围是.【答案或提示】1.【答案】()1,+∞【分析】设切点为00(,)x x ae ，利用导数几何意义求得切线方程为00(1)x y ae x x =-+，由题意知00(2)x e a e x =-在02x ≠上有两个不同解，构造()(2)x eg x e x =-且2x ≠，利用导数研究单调性及值域，进而确定a 的范围.【解析】由x y ae '=，若切点为00(,)x x ae ，则00x y k ae '==>，∴切线方程为00(1)xy ae x x =-+，又()1,P e 在切线上，∴00(2)xae x e -=，即00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，令()(2)x e g x e x =-，即原问题转化为()g x 与y a =有两个交点，而2(1)()(2)x e x g x e x -'=-，（1）当2x >时，()0g x '>，()g x 递增，且lim ()0x g x -→+∞→，（2）当21x >>时，()0g x '>，()g x 递增；当1x <时，()0g x '<，()g x 递减；∴()()11g x g ≥=，又lim ()x g x →-∞→+∞，12x <<时()0>g x 且2lim ()x g x -→→+∞，∴要使00(2)x ea e x =-在02x ≠上有两个不同解，即()1,a ∈+∞.故答案为：()1,+∞点评：作为填空题，本着“小题小做”的策略，只需先求出点()1,P e 在曲线()0xy ae a =>上时a 的值为1a =，此时，过点()1,P e 曲线的切线洽有一条，从形上看，当a 增大时，切线就有两条，故答案为1a >.2.【答案】A【解析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(ln )(0)A x x x >，，则切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ；设公切线与函数2()2g x x x a =++切于点22222(2)(0)B x x x a x ，++<，则切线方程为22222(2)2(1)()y x x a x x x -++=+-，所以有2121212(1)ln 1x x x x a⎧=+⎪⎨⎪-=-+⎩，∵210x x <<，∴1102x <<．又2211111111ln 11ln 2124a x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令11t x =，∴2102ln 4t a t t t ，<<=--．设21()ln (02)4h t t t t t =--<<，则211(1)3()1022t h t t t t--=--'=<，∴()h t 在(0，2)上为减函数，则1()(2)ln 21ln 2h t h e >=--=，∴1ln2a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，故选A ．3.【答案】C【解析】存在实数,a b ，使不等式212ln 2e x ax b x e ≤+≤+对一切正数x 都成立，要求a 的最大值，临界条件即为直线y ax b =+恰为函数21()=2ln ,()2f x e xg x x e =+的公切线.设()=2ln f x e x 的切点为111(,)(0)x y x >，122()=,e e f x a x x '∴=.设21()2g x x e =+的切点为222(,)(0)x y x >，2()g x x a x '=∴=，,所以21212=,2ea x x x e x =∴=.由题得21221212112ln 22,2ln 30e x x ee a x x x x x --==∴+-=-.设111212()2ln 3(0)eh x x x x =+->，所以211331112424()x e e h x x x x -'=-=，所以函数11212()2ln 3eh x x x =+-在上单调递减，在)+∞单调递增.又22ln 3=1+23=0eh e=--，当1x →+∞时，11212()2ln 30eh x x x =+->，所以方程另外一个零点一定大于.，所以max a==.故选：C.4.【答案】A【解析】设切点为()00,M x y ，∵e xy x =，∴()1e xy x '=+，∴M 处的切线斜率()001e xk x =+，则过点P 的切线方程为()()00001e e x xy x x x x =+-+，代入点P 的坐标，化简得()02001e xm x x =-++，∵过点()1,P m 可以作三条直线与曲线:e xC y x =相切，∴方程()02001e xm x x =-++有三个不等实根.令()()21e xf x x x =-++，求导得到()()22e xf x x x '=--+，可知()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()2,1-上单调递增，在()1,+¥上单调递减，如图所示，故()20f m -<<，即250e m -<<.故选：A.5.【答案】1(2e，)+∞【解析一】根据二次函数和代数函数的性质得：当()()f x g x >时，曲线()y f x =与()y g x =有两条公切线，即2ax lnx >在(0,)+∞上恒成立，即2lnxa x >在(0,)+∞上恒成立，设2()lnx h x x =，312()lnx h x x -'=，令312()0lnxh x x -'==，x =即12max h h e ==，因此，12a e>，【解析二】取两个函数相切的临界条件：2000012ax lnx ax x⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0x =12a e =，由此可知，若两条曲线具有两条公切线时，12a e>，故a 的取值范围是1(2e，)+∞．6.【答案】2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【提示】取对数转化为曲线2ln y x =与直线ln y x a =-有交点，临界状态是相切.7.【答案】()5,3-【解答】设切点为0(x ，32031)x x +-切线斜率为：2000()36k f x x x '==+∴切线方程为：3220000(31)(36)()y x x x x x x -+-=+-①又切线过点(1,)P m ，带入①化简为：300261m x x =-+-令y m =与3000()261h x x x =-+-(1)5h -=-，h （1）3=，(0)1h =-；200()66h x x '=-+，令01()01h x x '=⇒=-，21x =；0()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞单调递减，(1,1)-上单调递增；过点(1,)P m 可作曲线()y f x =的三条切线，即存在三个0x ，也即是y m =与()h x 有三个交点．故如图所知：53m -<<．118.【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】设过点(1,1)P 的直线与曲线()y f x =相切于点0(x ，0)y ，则3000y x ax =+，且切线斜率为200()3f x x a '=+，所以切线方程为2000(3)()y y x a x x -=+-．因此3200001()(3)(1)x ax x a x -+=+-，整理得32002310x x a -+-=．设32()231g x x x a =-+-，则“过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切”等价于“()g x 只有一个零点”．2()666(1)g x x x x x '=-=-．当x 变化时，()g x 与()g x '的变化情况如下：x(,0)-∞0(0,1)1(1,)+∞()f x '+0-0+()f x 1a - a - 所以，(0)1g a =-是()g x 的极大值，g （1）a =-是()g x 的极小值．当()g x 只有一个零点时，有(0)10g a =-<或g （1）0a =->，解得1a >或0a <．因此当过点(1,1)P 只有一条直线与曲线()y f x =相切时，a 的取值范围是1a >或0a <．。
函数图像切线问题“大盘点”
61转化为图ba3.filial)4。
时，屮^b - ab > a > 0,62 - 4ac W 0.2020年第10期中学数学研究函数图像切线问题“大盘点”问题转化为已知[f > a > °，求叩+。
的I 戻-4ac W 0, b _ a最小值.记z = a +b+c ，这类似于线性规划中的问题.b - a我们知道，高中阶段所学的线性规划只涉及两个变量，这里有三个变量，想法减少变量.考虑到条件[]>a>0,和目标函数z = a ：b + c 的结构特1沪-4ac W 0 b _ a点，对条件中上式和目标函数的分子分母分别除以a ,对条件中的下式同除以/.问题又转化为：在约束条件'—> l,a > 0,‘ a 2下，求目标函数转化为z =(―)-4—^0a ac+ —i —的最小值•令2 =力,£ = y,则问题转a aM= 1 +斗,表达式斗相当于X - 1 X - 1满足约束条件中的点M(X ,y)到定点A(l, -2)的 斜率％ = 斗.于是把问题转化成在约束条件下的X - 1斜率问题，就可以借鉴线性规划的思想解决问题.条件I / > x,如图1阴影部分所示，当过点L 2 - 4y W 04(1, - 2)的动直线与曲线/二4y (久> 1)相切时,直线斜率％ = £最小.1设过点A(l, -2)的直线\y + 2 = ^(% - 1)即 y = kx -仏+ 2)，代入方程尤$ = 4y(%> 1),整理得％彳-4kx +4仏+ 2) = 0,4 二 16斥—16仏 +2)二 16仏-2)仏 + 1)二 0,由于力> 0,此时％二2,即斜率％ = Z 半最小值为2.所以目标函数zX - 11 +% ： y 最小值为3.即原问题所求的最小值是3.% - 1取得最小值是3.当然，本题转化后，还可以利用基本不等式求 解.由［兀>1'知 4y %2 (^X > 1),Z = 1 +lx 2 - 4y W 0y + 2 1 久彳 + 8 1 ( i 9 c 、rn^1+4(ITTy = 1+T^-1+^TT +2)M3,取等号条件是％ = 4.所以a + c 最小值为b - a 综上所见，本题解题过程是依据给定的条件和要解决的问题，运用等价转化、换元、化归等数学思 想方法，把有关约束条件和目标函数用逻辑关系恰 当地表示出来，再借鉴规划思想求目标函数的最优值•我们在教学中适当向学生加以介绍，不仅可很好地激发学生思维灵活性和创造性、提升学生解题能力，还能使学生体会到知识迁移的美妙、问题化归的 魅力.江苏省;;栗水高级中学导数的几何意义就是曲线在该点处切线的斜率.用导数的几何意义研究曲线切线的有关问题是 导数最基本的应用，也是近年高考的一个热点.本文(211200) 方金宝以2019年的高考试题为例进行剖析，力求揭示此类试题的考查形式，探索它们的求解策略.题型一:求切线方程下，求目标函数zx 一 4y W 0并且进一步可求出，当6化为：在约束条件亠尹最小值.X - 1• 62 •中学数学研究2020年第10期例1(2019年全国I 卷理科13题)曲线y =3(/ +%)『在点(0,0)处的切线方程为________.解:y ，= 3 (2% + 1 )e * + 3 (/ + %)e * =3(/ +3% + l)e\/.曲线在点(0,0)处切线的斜率％ = 3,■■-切线方程为y = 3%.A解：当直线力+y = 0平移到与曲线y = x + —x相切位置时，切点Q 即为点P 到直线力+y =0的距离最小点，此时Q 点到直线% +y = 0的距离即为点4P 到直线x+y = 0的距离的最小值.由y' =1-4x=-1,得％ =Q(-Q 舍),y =3Q,即切点 Q(Q,3Q) Q 到x+y = 0的距离为匹兰仝亘 =4,712 + I 2.•.点P 到直线x+y = 0的距离的最小值是4.点评:很多曲线上的动点到直线距离的最值问题都可以用数形结合思想，把它转化为切线切点到 直线的距离，当然本题也可以使用公式法结合基本不等式来处理.题型四公切线证明例6 (2019年全国D 卷理科20题)已知函数(1)讨论函数/(%)的单调性，并证明函数/(%)有且只有两个零点；例2 (2019年江苏卷11题)在平面直角坐标系xOy 中，点4在曲线y = lru;上,且该曲线在点4处 的切线2经过点(-e, -l)(e 为自然对数的底数)， 则点A 的坐标是_________•解:设点 A(x 0,y 0)，则 y 0 = lnx 0.又y' = 当％=Xg 时,y'=丄，点4在曲线y = In%上的切线为y兀0-y 0 =丄仏 ~*x o)，即 y -In^o = —-1,代入点(-e, 兀0兀0_ 1),得- 1 - \nx G = 一- _ 1,即 %o lru;o = e.兀o考查函数 H(x) = xlnx,当％ e (0,1)时,7/(%)<0；当 % e (1, +OQ )时,H(%) >0,且 H\x) = In%+ 1,当％〉1时，有H f (x)〉0,从而刃(先)单调递增，注意到H(e)二e,故％。
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函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x 0，f(x 0))，求y ＝f(x)在点P 处的切线方程：切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0). (2)已知切线的斜率为k ，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，通过方程k ＝f′(x 0)解得x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y ＝f(x)的切线方程：设切点为P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出x 0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x) 存在公切线，若切点为同一点P(x 0，y 0)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧f ′(x 0)＝g ′(x 0)，f (x 0)＝g (x 0).若切点分别为(x 1,f(x 1)),(x 2,g(x 2)),则有212121)()()()(x x x g x f x g x f --='='.题型分类解析题型一 已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P 与已知曲线3:3S y x x =-相切的切线方程. 解：点P 不在曲线S 上.设切点的坐标()00,x y ，则30003y x x =-，函数的导数为2'33y x =-，切线的斜率为020'33x x k y x ===-，2000(33)()y y x x x ∴-=--切线方程为，点(2,2)P 在切线上，20002(33)(2)y x x ∴-=--，又30003y x x =-，二者联立可得001,1x x ==或相应的斜率为0k =或9k =-±∴切线方程为2y =或(9(2)2y x =-±-+.例 2. 设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为________解析：由切线过()()1,1g 可得：()13g =，所以()()21114f g =+=，另一方面，()'12g =，且()()''2f x g x x =+，所以()()''1124f g =+=，从而切线方程为：()4414y x y x -=-⇒=例3. 已知直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++切于点(1,3)，则b 的值为_________ 解析：代入(1,3)可得：2k =，()'23f x x a =+，所以有()()'113132f a b f a =++=⎧⎪⎨=+=⎪⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩题型二 已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数()ln 2f x x x =+，则：（1）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线420x y --=平行 （2）在曲线()f x 上是否存在一点，在该点处的切线与直线30x y --=垂直 解：设切点坐标为()00,x y ()'0012fx x ∴=+ 由切线与420x y --=平行可得： ()'00011242f x x x =+=⇒= 011ln 122y f ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭∴切线方程为：11ln 244ln 212y x y x ⎛⎫-+=-⇒=-- ⎪⎝⎭（2）设切点坐标()00,x y ()'0012fx x ∴=+，直线30x y --=的斜率为1 ()'00011213f x x x ∴=+=-⇒=- 而()00,x ∈+∞ 013x ∴=-不在定义域中，舍去∴不存在一点，使得该点处的切线与直线30x y --=垂直例5.函数()2ln f x a x bx =-上一点()()2,2P f 处的切线方程为32ln22y x =-++，求,a b 的值思路：本题中求,a b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P 在直线32ln22y x =-++上，322ln222ln24y ∴=-⋅++=-，即()2=2ln 24f -，得到,a b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x =的导数值，进而得到,a b 的另一个等量关系，从而求出,a b 解：P 在32ln22y x =-++上，()2322ln222ln24f ∴=-⋅++=-()2ln242ln24f a b ∴=-=-又因为P 处的切线斜率为3- ()'2afx bx x=- ()'2432a f b ∴=-=-, ln 242ln 2421432a b a a b b -=-⎧=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-=-⎩⎪⎩例6.设函数()()32910f x x ax x a =---<，若曲线()y f x =的斜率最小的切线与直线126x y +=平行，求a 的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12-，进而可得导函数的最小值为12-，便可求出a 的值解：()2'2222221111329393939333f x x ax x a a a x a a ⎛⎫⎛⎫=--=-+--=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()'2min 11933f x f a a ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭直线126x y +=的斜率为12-，依题意可得：2191233a a --=-⇒=± 0a <3a ∴=- 题型三 公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切,则a 等于( ) A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594y ax x =+-含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594y ax x =+-求出a 的值.设过()1,0的直线与曲线3y x =切于点()300,x x ,切线方程为()320003y x x x x -=-，即230032y x x x =-，因为()1,0在切线上，所以解得：00x =或032x =，即切点坐标为()0,0或327,28⎛⎫⎪⎝⎭.当切点()0,0时，由0y =与21594y ax x =+-相切可得 ()21525490464a a ⎛⎫∆=--=⇒=- ⎪⎝⎭，同理，切点为327,28⎛⎫ ⎪⎝⎭解得1a =-答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与21594y ax x =+-求a 的过程中，由于曲线21594y ax x =+-为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0∆=来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线21x y C =：与曲线xae y C =：2存在公切线，则a 的最值情况为（ ） A ．最大值为28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24e解析：设公切线与曲线1C 切于点()211,x x ，与曲线2C 切于点()22,x x ae ，由''2xy x y ae⎧=⎪⎨=⎪⎩可得：22211212x x ae x x ae x x -==-，所以有221111221122222x x x x x x x x x ae ⎧-=⇒=-⎪-⎨⎪=⎩，所以2244x ae x =-，即()2241x x a e-=，设()()41xx f x e-=，则()()'42xx fx e-=.可知()f x 在()1,2单调递增，在()2,+∞单调递减，所以()max 242a f e ==，例10.曲线xy e =在点()22,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.2eB. 22e C. 24eD.22e思路：()'x f x e = 由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ()'22f e ∴=所以切线方程为：()222y e e x -=-即220e x y e --=，与两坐标轴的交点坐标为()()21,00,e - 221122e S e ∴=⨯⨯=例11.一点P 在曲线323y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )． A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ C.3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.'231y x =-，对于曲线上任意一点P ，斜率的范围即为导函数的值域：[)'2=311,y x -∈-+∞，所以倾斜角的范围是30,,24πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.答案：B 例12.已知函数()323f x x x =-，若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线，所以考虑先设切点()00,x y ，切线斜率为k ，则满足()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩，所以切线方程为()00y y k x x -=-，即()()()3200002363y x x x x x --=--，代入()1,P t 化简可得：3200463t x x =-+-，所以若存在3条切线，则等价于方程3200463t x x =-+-有三个解，即y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标()00,x y ，切线斜率为k ，则有：()3000'2002363y x x k f x x ⎧=-⎪⎨==-⎪⎩∴ 切线方程为：()()()3200002363y x x x x x --=-- 因为切线过()1,P t ，所以将()1,P t 代入直线方程可得：()()()32000023631t x x x x --=-- ()()()23000063123t x x x x ⇒=--+-233320000000636323463x x x x x x x =--++-=-+-所以问题等价于方程3200463t x x =-+-，令()32463g x x x =-+-即直线y t =与()32463g x x x =-+-有三个不同交点()()'21212121g x x x x x =-+=--令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在()(),0,1,-∞+∞单调递减，在()0,1单调递增()()()()11,03g x g g x g ==-==-极大值极小值所以若有三个交点，则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时，过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切例13. 已知曲线C:x 2=y ，P 为曲线C 上横坐标为1的点，过P 作斜率为k(k ≠0)的直线交C 于另一点Q ，交x 轴于M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出K 的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点()1,1P ，则可求出:1PQ y kx k =-+，从而与抛物线方程联立可解得()()21,1Q k k --，以及M 点坐标，从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到N 点坐标.如果从,M N 坐标入手得到MN 方程，再根据相切()0∆=求k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N 为切点，考虑抛物线2x y =本身也可视为函数2y x =，从而可以N 为入手点先求出切线，再利用切线过M 代入M 点坐标求k ，计算量会相对小些. 解：由P 在抛物线上，且P 的横坐标为1可解得()1,1P∴设():11PQ y k x -=-化简可得：1y kx k =-+ 1,0k M k -⎛⎫∴ ⎪⎝⎭21y x y kx k ⎧=∴⎨=-+⎩ 消去y ：210x kx k -+-= 121,1x x k ∴==- ()()21,1Q k k ∴--设直线()()21:11QN y k x k k --=---⎡⎤⎣⎦即()()2111y k x k k =----⎡⎤⎣⎦ ∴ 联立方程：()()22111y x y k x k k ⎧=⎪⎨=----⎡⎤⎪⎣⎦⎩()211110x x k k k k ⎛⎫∴+---+= ⎪⎝⎭ ()11111Q N N x x k k x k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+⇒=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2111,1N k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2y x =可得：'2y x =∴切线MN 的斜率'1|21N MN x x k y k k =⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭2111:1211MN y k k x k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴--+=--++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦代入1,0k M k -⎛⎫⎪⎝⎭得： 2111112111k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=--+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦211210k k k k k∴-+=⇒+-=,k ∴=小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算0∆=简便（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数f(x)＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g(x)＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立，求实数m 的取值范围.【解答】 (1)f′(x)＝3x 2＋4ax ＋b ，g′(x)＝2x －3. 由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线， 故有f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. (2)由(1)得f(x)＝x 3－4x 2＋5x －2， 所以f(x)＋g(x)＝x 3－3x 2＋2x.依题意，方程x(x 2－3x ＋2－m)＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2， 故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根． 所以Δ＝9－4(2－m)>0，即m>－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 特别地，取x ＝x 1时，f(x 1)＋g(x 1)－mx 1<－m 成立，得m<0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m>0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x>0，则f(x)＋g(x)－mx ＝x(x －x 1)(x －x 2)≤0，又f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数f(x)＋g(x)－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m<0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 例15.如图3－1，有一正方形钢板AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解法一：以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)， 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t 2(x －t )， 即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－14t 2.∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－1＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－1＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14， 故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)． 要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )， 即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1， 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |) ＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52. ∴当t ＝1时，S (t )＝52， 故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．。