高等代数实系数和复系数多项式的因式分解

证 定理对一次多项式显然成立. 假设定理对次数 < n 的多项式已经证明. 设 f(x) 是 n 次实系数多项式，由代数基本定理，f(x) 有一个复根 α. 如果 α 是实数，那么
f(x) = (x − α)f1(x),
其中 f1(x) 是 n − 1 次实系数多项式. 如果 α 不是实数，那么 α¯ 也是 f(x) 的根且 α¯ ̸= α. 于是
f(x) = an(x − α1)l1 (x − α2)l2 · · · (x − αs)ls ,
其中 α1, α2, · · · , αs 是不同的复数，l1, l2, · · · , ls 是正整数.
4 n 次复系数多项式在 C 中恰有 n 个根 (k 重根算 k 个根).
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伟达定理
下面我们讨论一元多项式的根与系数的关系. 设
f(x) = xn + a1xn−1 + · · · + an 是 P[x] 中的一个多项式. 如果 f(x) 在数域 P 中有 n 个根 α1, α2, · · · , αn，那么 f(x) 就可以分解成
定理 实系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥ 1 的实系数多项式在实 数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
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实系数多项式因式分解定理
定理 实系数多项式因式分解定理 每个次数 ≥ 1 的实系数多项式在实 数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积.
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高斯与代数基本定理
代数基本定理在代数乃至整个数学中起着基础作用. 据说，关于 代数学基本定理的证明，现有 200 多种证法. 迄今为止，该定理 尚无纯代数方法的证明. 大数学家 J.P. 塞尔曾经指出：代数基本 定理的所有证明本质上都是拓扑的. 美国数学家 John Willard Milnor 在数学名著《从微分观点看拓扑》一书中给了一个几何直 观的证明，但是其中用到了和临界点测度有关的 sard 定理. 复变 函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中用到了很 多经典的复变函数的理论结果.
f(x) = (x − α)(x − α¯)f2(x).
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实系数多项式因式分解定理
显然 (x − α)(x − α¯) = x2 − (α + α¯)x + αα¯ 是一实系数二次不可 约多项式，从而 f2(x) 是 n − 2 次实系数多项式. 由归纳法假定， f1(x) 或 f2(x) 可以分解成一次与二次不可约多项式的乘积，因之 f(x) 也可以如此分解.
伟达定理
若多项式
f(x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an,
的首项系数 a0 ̸= 1，那么应用根与系数的关系时须先用 a0 除所 有的系数，这样做多项式的根并无改变. 这时根与系数的关系取
以下形式:
a1 a0
=
−(α1
+
α2
+ · · · + αn),
a2 a0
=
α1α2
f(x) = an(x − α1)l1 (x − α2)l2 · · · (x − αs)ls ,
其中 α1, α2, · · · , αs 是不同的复数，l1, l2, · · · , ls 是正整数.
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实系数多项式的共轭复根
引理 若 f(x) ∈ R[x]，a ∈ C 为 f(x) 的根，则 α 的共轭数 α¯ 也是 f(x) 的根.
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定理 代数基本定理 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域中有一根.
这个定理还可以有一些等价的说法 1 若 f(x) ∈ C[x], deg(f(x)) ≥ 1，则 f(x) 有一次因式. 2 f(x) ∈ C[x],f(x) 不可约当且仅当 deg(f(x)) = 1. 3 复系数多项式的因式分解定理 若 f(x) ∈ C[x]，且 deg(f(x)) ≥ 1，则 f(x) 有分解
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高斯与代数基本定理
该定理的第一个证明是法国数学家达朗贝尔给出的，但证明不完 整. 接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷，拉格朗日于 1772 年又重新证明了该定理，后经高斯分析，证明仍然很不严 格的. 代数基本定理的第一个严格证明通常认为是高斯给出的 (1799 年在哥廷根大学的博士论文)，高斯后来又给出了另外三个 证法，其中第四个证法是他 71 岁公布的，并且在这个证明中他 允许多项式的系数是复数.
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例题选讲
例 分别在复数域和实数域分解 xn − 1 为标准分解式.
解 在复数域内，
xn − 1 = (x − 1)(x − ε)(x − ε2) · · · (x − εn−1),
其中 在实数域内，因
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例题选讲
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实系数多项式在实数域上标准因式分解
实系数多项式的标准分解式为
f(x) = an(x − c1)l1 · · · (x − cs)ls · (x2 + p1x + q1)k1 · · · (x2 + prx + qr)kr ,
两边取共轭数，有
f(α¯) = anα¯n + an−1α¯n−1 + · · · + a0 = 0,
这就是说，f(α¯) = 0，α¯ 也是 f(x) 的根.
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实系数多项式因式分解定理
+ α1α3 + · · · + αn−1αn,
···
an a0
=
(−1)nα1α2 · · · αn.
利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.
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例题选讲
例 分别在复数域和实数域分解 xn − 1 为标准分解式.
代数基本定理
定理 代数基本定理 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域中有一根.
这个定理还可以有一些等价的说法 1 若 f(x) ∈ C[x], deg(f(x)) ≥ 1，则 f(x) 有一次因式. 2 f(x) ∈ C[x],f(x) 不可约当且仅当 deg(f(x)) = 1. 3 复系数多项式的因式分解定理 若 f(x) ∈ C[x]，且 deg(f(x)) ≥ 1，则 f(x) 有分解
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实系数多项式的共轭复根
引理 若 f(x) ∈ R[x]，a ∈ C 为 f(x) 的根，则 α 的共轭数 α¯ 也是 f(x) 的根.
证设
f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a0,
其中 a0, a1, · · · , an 是实数. 由假设
f(α) = anαn + an−1αn−1 + · · · + a0.
代数基本定理
定理 代数基本定理 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域中有一根.
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代数基本定理
定理 代数基本定理 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域中有一根. 这个定理还可以有一些等价的说法
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例题选讲
其中
εj
+ εn−j
=
εj + ε¯j
=
2
cos
2jπ n
(j
=
1, 2, · · ·
n−1
,
)
2
皆为实数. 当 n 为偶数时，有
xn − 1 = (x − 1)(x + 1)[x2 − (ε + εn−1)x + 1][x2 − (ε2 + εn−2)x + 1]
· · · [x2

(−1)iai
··· (−1)nan
= =
∑ αk1 αk2 · ·
α1α2 · · · αn.
·
αki
,
其中第 i 个等式的右端是所有可能的 i 个不同的 αkj 的乘积之和.
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代数基本定理与高次方程求根
代数基本定理虽然肯定了 n 次方程有 n 个复根，但是并没有给 出根的一个具体的求法. 高次方程求根的问题还远远没有解决. 特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当 复杂的，它构成了计算数学的一个分支.
1 若 f(x) ∈ C[x], deg(f(x)) ≥ 1，则 f(x) 有一次因式.
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代数基本定理
定理 代数基本定理 每个次数 ≥ 1 的复系数多项式在复数域中有一根. 这个定理还可以有一些等价的说法
其中 c1, c2, · · · , cs, p1, p2, · · · , pr, q1, q2, · · · , qr 全是实数，l1, · · · , ls，k1, · · · , kr 是正整数，并且 x2 + pix + qi(i = 1, 2, · · · , r) 是不 可约多项式，也就是适合条件 p2i − 4qi < 0, i = 1, 2, · · · , r.
ε
=
cos
2π n
+
i
sin
2π n
.
ε¯j = εn−j, 0 < j < n.
所以，当 n 为奇数时，有
xn − 1 = (x − 1)[x2 − (ε + εn−1)x + 1][x2 − (ε2 + εn−2)x + 1] · · ·
·
[x2
−
n−1
(ε 2
+
ε
n+1 2
)x
+
1].
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f(x) = (x − α1)(x − α2) · · · (x − an).
把上式乘开，与 f(x) 比较系数，即得根与系Baidu Nhomakorabea的关系如下：
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伟达定理


−a1 = α1 + α2 + · · · + αn, a2 = α1α2 + α1α3 + · · · + αn−1αn, ···
−
n−2
(ε 2
+
ε
n+2 2
)x
+
1].
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例题选讲
例 设 f(x), g(x) 是两多项式，且 f(x3) + xg(x3) 可被 x2 + x + 1 整除， 则 f(1) = g(1) = 0.
1 若 f(x) ∈ C[x], deg(f(x)) ≥ 1，则 f(x) 有一次因式. 2 f(x) ∈ C[x],f(x) 不可约当且仅当 deg(f(x)) = 1.
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代数基本定理