高中数学课件等差数列的前n项和

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人教版高中数学必修5(A版) 等差数列的前n项和 PPT课件

10 9 S10 10 500 50 7250 (万元 ) 2
答：从2001到2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250元。
等差数列的前 n 项和公式：
n（a1 an ) Sn 2 n（n 1) S n na1 d 2
问题：1.两个公式中共有几个量？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn, 其中p, q为常数，且p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
若一个数列的前 n项和为Sn pn2 qn r (r 0), 其中p, q 为常数，且 p 0, 那么这个数列一定是等差数列吗？
小结：
1.知识点小结：1）等差数列的前
例1：2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校
校通”工程的通知》，某市计划从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于 “校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：由题可知，从2001年起各年投入的资金构成等差数列，设为{an }，则 a1 500, d 50 则到2010年，投入的资金总额为
16
等差数列的前 n 项和公式：
n（n 1) S n na1 d 2
d 2 d n (a1 )n 2 2
当
d 0 时， Sn 是 n的二
次函数形式，且常数项为 0
例2：已知一个等差数列{an }前10项的和是310，前20项的和是
解：由题意知代入公式得
1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

高中数学课件：第二章 2.3 等差数列的前n项和第一课时等差数列的前n项和

99 an＝ 9×10n
n＝1 n≥2.
返回
在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10.求S110.
[解] 法一：(基本量法)设等差数列{an}的首项为 a1，
1010－1 d＝100， 10a1＋ 2 公差为 d，则 100a ＋100100－1d＝10. 1 2
2
返回
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1 022，求公差d；
(2)已知等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，求a10.
返回
nn－1 解：(1)因为 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋ 2 d，又 a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022， 1＋n－1d＝－512，所以 1 n＋2nn－1d＝－1 022. ① ②
返回
返回
[研一题] [例1] 在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝
35，求a1和n.
返回
[自主解答]
an＝a1＋n－1d，由 nn－1 Sn＝na1＋ 2 d，
பைடு நூலகம்
a1＋2n－1＝11，得 nn－1 na1＋ 2 ×2＝35，
n＝5，解方程组得 a1＝3， n＝7，或 a1＝－1.
2 . 3
课前预习·巧设计
第二章数列
等差数列的前
第一课时等差数列的前 n项和
名师课堂 · 一点通
创新演练 · 大冲关
考点一考点二考点三
n
项和
N0.1 课堂强化 N0.2 课下检测
返回
返回

等差数列的前n项和ppt课件

工教作学回背景顾教法分析学法分析教学程序板书设计教学效果
一、知识层面
二、能力层面
1、学生已经学习了 1、已经具备一定的观等差数列的通项公式察猜想，归纳类比能及性质，具备了研究力；本节内容的知识基础； 2、已经具备了一定的 2、第一次正式接触逻辑推理能力；数列求和，缺乏学习经验；
三、情感层面
1、学习兴趣较高，但主动探索的难度较大，需要教师合适的启发和引导；
1.3 教学目标
工教作学回背景顾教法分析学法分析教学程序板书设计教学效果
知识目标能力目标情感目标
掌握等差数列的前n项和公式；会根据简单的等差数列条件求其前n项和；能用公式解决简单的实际问题；
感受从特殊到一般再到特殊以及数形结合的研究及学习方法；培养学生观察猜想归纳类比的数学思维能力；提升学生在逻辑推理、数学建模等方面的核心素养；
（1+100）+（2+99）+（3+98）+……+（50+51）=101×50=5050.
4.3 新课探索
工教作学回背景顾教法分析学法分析教学程序板书设计教学效果
那你能用他的方法求一下1+2+3+……+n等于多少吗？分类讨论
n为偶数，1 2 n (1 n) n ; 2
n为奇数，1 2 n (1 n 1) n 1 n n(n 1) ;
an )
na1
n(n 1) 2
d
例2
↓
堂练习题
教学程序
知三求二（方
程思想）
例3
板书设计
教学效果
教学效果
6.1 教学反思及教学效果

高中数学必修5课件：第2章2-3-1等差数列的前n项和

数学必修5
第二章数列
与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中，a1＝9，a4＋a7＝0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值． [思路点拨]
数学必修5
第二章数列
[规范解答] (1)由a1＝9，a4＋a7＝0，
得a1＋3d＋a1＋6d＝0，
数学必修5
第二章数列
等差数列的前n项和公式
已知量首项、末项与项数
求和
na1＋an
公式 Sn＝_____2________
首项、公差与项数 Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
数学必修5
第二章数列
对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式，涉及a1，an，Sn， n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就是解方程组．
数学必修5
第二章数列
如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有4根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有9根．
[问题1] 共有几层？图形的横截面是什么形状？ [提示] 六层等腰梯形
数学必修5
第二章数列
[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？
数学必修5
第二章数列
由an≤0解得n≤4，即数列{an}前3项为负数，第4项为0，从第5项开始为正数．
∴当n≤4时，Tn＝－Sn＝n(7－n)，当n>4时，Tn＝Sn－S4＋(－S4) ＝Sn－2S4＝n(n－7)－2×4×(4－7) ＝n2－7n＋24
∴Tn＝nn2－7－7nn＋，2n4≤，4n，>4.

人教版高中数学第二章数列3 等差数列的前n项和(共20张PPT)教育课件

等差数列前n项和
教学目标
知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练运用等差前n项和公式求和。过程与方法目标：经历公式的推导过程，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。情感、态度与价值观目标：获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
公式1
Sn
n(a1an) 2
ana1(n1)d
公式 2 Snna1n(n21)d
认识公式
前者反映了等差数列的任意的第k项与倒数第 k项的和等于首项与末项的和这个性质：后者反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系，而且是关于n的“二次函数”）变用公式
应用公式
利用下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和 Sn
、p、q N ）则 amanapaq
问题呈现
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
a
n
的前n项和 S n
（1）a 1 4 ,a 8 1,n 8 8
（2）a11.5 4 ,d0.7,an32
五、课堂小结
•从特殊到一般的研究方法； •知道等差数列的基本量表示方法，倒序相加的求和方法，以及数形结合的数学思想； •熟记等差数列的两个求和公式并能简单应用。
:
那
你
的
第
一
口
罗
没

高中数学课件第五章第二节《等差数列及其前n项和》

的思想解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
[特别警示] 因为＝ n＋a1－，故数列{ }是等差数列.
(2009·江苏高考)设{an}是公差不为零的等差数列，
Sn为其前n项和，满足
，S7＝7.
则a6＝
.
解析：∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6，则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13. 答案：13
5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a2∶a4＝7∶6，
则S7∶S3等于
.
解析：
＝2.
答案：2∶1
6.(文)(2010·惠州模拟)等差数列{an}前n项和为Sn，已知对任意n∈N*，点(n，Sn)在二次函数f(x)＝x2＋c的图象上. (1)求c，an； (2)若kn＝，求数列{kn}的前n项和Tn.
个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义的表达式为 an＋1－an＝d(n∈N*) .
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么通项公式为an＝ a1＋(n－1)d .
[思考探究1] 已知等差数列{an}的第m项为am，公差为d，则其第n
项an能否用am与d表示？提示：可以.an＝am＋(n－m)d.
C.
D.2
解析：由于a7－2a4＝a1＋6d－2(a1＋3d)＝－a1＝－1，则a1＝1，又由于a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－ . 答案：B
2.设Sn是等差数列{an}的前n项和.已知a2＝3，a6＝11，
则S7等于
()
A.13
B.35

高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT

等差数列的前n项和
1、等差数列的定义： a -a =d n+1 an+1-an=d n
2、等差数列的通项公式： an a1 n 1 d
3、等差数列的性质:
am an m n d
am an ap aq m n p q
S 1 2 3 100
n: 1, 2,3, ,100,
前100项的和
na1 1 2 n 1 d
nn 1
na1 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱd
公式2：
Sn Sn
=
n 2
a1
+an
na1
n(n 1) 2
d
Sn
d 2
n2
a1
d 2
n
与
f
x ax2 bx c
进行比较
（1）观察 Sn 与二次函数有什么关系？
（2）如果一个数列an的前n项和为
Sn pn2 qn r
得：
S7
7 (15000 18000) 2
115500
答：孙杨7天共游了115500m。
归纳反思
1.（1）体会倒序相12加3 的100方? 法，掌握等差数列的两个求和公式
（2）类比梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式
（3）应用等差数列的前n项和来解决实际问题
归纳反思
2.从特殊到一般（问题探究方法）问题1: 1 2 3 100 ? 问题2: Sn 1 2 3 n ? 问题3: Sn a1 a2 ... an1 an
方
n n 1
Sn 2
法
等差数列 an的前n项和
Sn a1 a2 ... an1 an
倒
↓↓ ↓↓
序
Sn an an1 ... a2 a1

4.2.2 第1课时等差数列的前n项和课件ppt

(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=3,S6=24,则a9=
(3)在等差数列{an}中,若a1=1,an=-512,Sn=-1 022,则公差d=
.
.
.
分析利用等差数列的通项公式和前n项和公式列方程进行计算求解.
答案 (1)81 (2)15
(3)-171
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,
= 3,
则
3(-1)
Sn=20n+ 2
=
3 2 37
n
+
n.
2
2
令 Sn≤438,即 3n2+37n-876≤0 且 n∈N*,解得 n≤12.
所以最般思路
变式训练 3甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟
438万元.则该研究所最多可以建设的实验室个数是(
A.10
B.11 C.12 D.13
)
答案 C
解析设第 n 实验室的建设费用为 an 万元,其中 n∈N*,
设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
7 -2 = 5 = 15,
解得
3 + 6 = 21 + 7 = 61,
1 = 20,
+5n=70,
2
素养形成
利用Sn与an的关系式求通项公式
典例已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn= 2+n-4.
(1)求证:{an}为等差数列;
(2)求出{an}的通项公式.
分析在等式2Sn= 2 +n-4中,令n取n-1,可得2Sn-1= 2 −1 +n-5.两式相减,利
和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方

高中数学选择性必修一(人教版)《4.2.2 等差数列前n项和的性质及应用》课件

＝n2－n2. 当 n 为奇数时， Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋7＋15＋…＋(4n－5) ＝1＋n－2 1×7＋42n－5 ＝n2－n－2 1.
n2－n2，n为偶数，故 Sn＝n2－n－2 1，n为奇数.
谢谢观看
[课堂思维激活] 一、综合性——强调融会贯通 1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 a1＞0，S11＝S18，则当 n 为
何值时 Sn 最大？解：法一：由 S11＝S18，得 11a1＋11×2 10d＝18a1＋18×2 17d，即 a1＝－14d＞0，所以 d＜0. 构建不等式组aann＝＋1＝a1＋ a1＋nn－d≤1d0≥，0，
解：设从现有一辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列 {an}，则 an－an－1＝－13， ∴数列{an}构成首项为 24，公差为－13的等差数列．设还需组织(n－1)辆车，则 a1＋a2＋…＋an＝24n＋nn2－1·－13≥20×25， ∴n2－145n＋3 000≤0，即(n－25)(n－120)≤0， ∴25≤n≤120，∴nmin＝25，∴n－1＝24. 故至少还需组织 24 辆车陆续工作，才能保证在 24 h 内完成第二道防线．
所以Snn是公差为 1，首项为 3 的等差数列，所以前 10 项和为 3×10＋10× 2 9×1＝75. 答案：75
题型二等差数列前 n 项和的最值问题 [学透用活]
[典例 2] 在等差数列{an}中，公差为 d，若 a1＝25，且 S9＝S17，求 Sn 的最大值．
[解] 法一：由 S9＝S17 得 9a1＋9×2 8d＝17a1＋17×2 16d，又 a1＝25， ∴d＝－2.
第二课时等差数列前 n 项和的性质及应用

高中数学人教A版选择性必修第二册等差数列的前n项和公式完整版课件

解：由题意知
所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.
典型例题
例2 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
变式
1.己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220.求数列{an}前30项的和.
学习目标
核心素养
1.了解等差数列前 n 项和公式的 1.通过等差数列前 n 项和的有关计
推导过程(难点)．
算及 an 与 Sn 关系的应用，培养数
2．掌握等差数列前 n 项和公式学运算素养．
及其应用(重点)．
2．借助等差数列前 n 项和的实际
3．会求等差数列前 n 项和的最应用，培养学生的数学建模及数学
巩固练习
根据条件，求相应等差数列{an}的Sn: ①a1=5, an=95, n=10; ②a1=100, d=－2, n=50; ③a1=14.5, d=0.7, an=32. 答案：①500； ②2550； ③604.5
典型例题
例2 己知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
典型例题
整理,得
解得 n=12或n=-5（舍去）
所以 n=12
解惑提高
求数列的基本量的基本方法求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理. (1)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个. (2)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解.
②在正整数列中，前n个偶数的和是多少？

高中数学同步课件等差数列前n项和的性质

法四设数列{an}的公差为 d，
∵Sn＝na1＋n（n2－1）d， ∴Snn＝a1＋d2(n－1)， ∴数列Snn是等差数列，其公差为2d， ∴S101000－S1100＝(100－10)·2d，且S111100－S101000＝(110－100)·d2，
代入已知数据消去 d，解得 S110＝－110.
∴S110＝110a1＋110×（2110－1）·d＝110×1100909＋110×2 109×－5110 ＝－110. 法二 ∵S10＝100，S100＝10，
∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100＝90（a112＋a100）＝－90.
∴a11＋a100＝－2.
又 a1＋a110＝a11＋a100＝－2，
设数列{an}的公差为d. 依题意有a151＋a1＋d＋1a5×12＋144dd＝＝17，5，解得ad＝1＝1－，2， ∴Sn＝na1＋n（n2－1）d＝－2n＋n（n2－1）＝n2－2 5n.
(2)求Tn的最小值.
法一由(1)知 Sn＝n2－2 5n，∴Snn＝n－2 5. 设 bn＝Snn＝n－2 5，则 bn＋1－bn＝（n＋21）－5－n－2 5＝21， ∴数列{bn}是公差为21的等差数列，首项 b1＝S11＝a1＝－2.
角度3 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n性质的应用
例2
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10＝100，S100＝10，求 S110.
法一设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则1100a01a＋1＋101×00（×12（0－21001）－d1＝）d1＝00， 10，
解得a1＝1100909， d＝－5110.
角度4 奇数项和、偶数项和问题

等差数列的前n项和课件

详细描述
当等差数列的公差d等于0时，数列中的每一项都相等，此时等差数列退化为常数列。在这种情况下，前n项和公式将简化为求单一数值的和。
当d≠0时，等差数列前n项和的公式简化
总结词：公式简化
详细描述：当公差d不等于0时，等差数列前n项和的公式可以通过求和公式进行简化。具体来说，可以使用等差数列的通项公式和求和公式来推导出一个更简单的公式，用于计算前n项和。
等差数列前n项和与首末项的和的关系
等差数列前n项和等于首末项的和乘以项数再除以2。
THANKS
感谢观看
等差数列前n项和公式的变种形式
等差数列前n项和的平方公式
等差数列前n项和的平方等于首项与末项的平方和加上4倍的第二项到倒数第二项的各项之和。
等差数列前n项和与中间项的和
等差数列前n项和等于中间项与其余各项和的平均值乘以项数。
等差数列前n项和公式的极限形式
等差数列前n项和的极限
当n趋向于无穷大时，等差数列前n项和的极限等于首项与末项的和除以2。
等差数列的前n项和ppt课件
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的实际应用 • 等差数列前n项和的扩展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。
前n项和公式的应用
前n项和公式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。
前n项和公式可以用于解决等差数列相关的问题，如求和、比较大小等。此外，该公式还可以用于解决一些实际问题，如计算存款利息、评估投数列退化为常数列
总结词
等差数列退化为常数列

高中数学4.2.1等差数列的前n项和优秀课件

2.3.1 等差数列的前n项和
请翻到教材P42 ！
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握等差数列前 n 项和公式，理解公式的推导方法． (2)能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和．
2．过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推理的能力． 3．情感、态度与价值观通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功．
●教学流程
演示结束
1.了解等差数列前n项公
课标解读
式的推导过程．(难点) 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用．(重点) 3.能灵活应用等差数列前 n项和的性质解题．(难点、
易错点)
等差数列的前n项和公式
【问题导思】 1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯是怎样求 1＋2＋3＋…＋100 的结果的？【提示】对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2 ＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍 S＝100＋99＋98＋… ＋2＋1.
∴an＝25n－1
n＝1， n≥2.
忽略 Sn 与 an 的关系致误已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋n－1，试判断 {an}是否为等差数列，为什么？【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1) －1]＝2n. 又 an－an－1＝2n－2(n－1)＝2，即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数，所以{an}是等差数列．
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项和 Sn，还是求项数 n.

苏教版高中数学选择性必修第一册等差数列的前n项和课件1

(1)a1=1,an=2n－1 (2)a1=2,an=－3n＋5 (3)a1=1,d=－2 (4)a1=-10,d=3
(1)Sn
n(1
2n 2
1)
n2
(2)Sn
n(2 3n 5) 2
3 2
n2
7 2
n
(3)Sn
n
n（n 1) 2
(2)
n2
2n
(4)Sn
10n
n（n 1) 2
3
3 2
n2
23 2
n
Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝d2n2＋ a1－d2 n.
设 A＝d2，B＝a1－d2，上式可写成 Sn＝An2＋Bn.当 A≠0(即 d≠0)时，
Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝d2n2＋ a1－d2 n. 设 A＝d2，B＝a1－d2，上式可写成 Sn＝An2＋Bn.当 A≠0(即 d≠0)时，
当d≠0时，等差数列的前n项和Sn是一个关于n且常数项
为零的二次函数.
注：1.等差数列的判定方法
（1）an+1－an＝d（常数）（n∈N+){an}是等差数列
（2）2an+1=an+an+2（n∈N+){an}是等差数列（3）an=pn+q(p,q为常数，n∈N+）{an}是等差数列（4）Sn=An2+Bn(A，B为常数）{an}是等差数列
Sn (2)等差数列{an}中，数列 n 仍为等差数列． (3)等差数列{an}中，若 Sm＝Sp(m≠p)，则 Sm＋p＝0. 若 Sm＝p,Sp=m(m≠p)，则 Sm＋p＝－(m+p).
(4)在等差数列{an}中，
①若项数为偶数 2n，则 S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)(an，an＋1 为中间两项)；

高中数学人教A版必修5课件：2.3.1 等差数列的前n项和

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第1课时等差数列的前n项和
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2.等差数列{an}的前 n 项和设等差数列{an}的公差是 d,则 Sn=
��(��1+�� ) 2
��(��1 +�� ) 2
=
�� 6-2 2
53
= −5, 解得n=15.∴a15 =
=
8(4+��8 ) 2
= 172, 解得a8=39.
又 a8=4+(8-1)d=39,∴d=5. (3)由 �� = ��1 + (��-1)��, �� = ��1 + �� = 7, �� = 5, 解方程组得或 ��1 = 3 ��1 = -1.
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第1课时等差数列的前n项和
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(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,点
��
�� , ��
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【变式训练1】 (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3· 2n+1,则 an= . 解析:当n=1时,a1=S1=7; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3· 2n+1-3· 2n-1-1=3· 2n-3· 2n-1=3· 2n-1(21)=3· 2n-1. 当n=1时,不满足上式. 7,�� = 1, ∴an= 3· 2�� -1 ,�� ≥ 2. 7,�� = 1, 答案: 3· 2�� -1 ,�� ≥ 2

高中数学必修第四章数列-课件第1课时等差数列前n项和公式的推导及简单应用

【题型探究】
题型一等差数列前 n 项和的基本运算——师生共研例 1 在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝56，an＝－32，Sn＝－5，求 n 和 d； (2)已知 a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d. (3)已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n.
解：(1)由题意得，Sn＝na1＋ 2 an＝n56－ 2 32＝－5，解得 n＝15. 又 a15＝56＋(15－1)d＝－32，∴d＝－16.∴n＝15，d＝－16. (2)由已知得 S8＝8a12＋a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5，∴a8＝39，d＝5.
跟踪训练 2 (1)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S4＝8，S8＝20，
2．若 S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为 d， ①当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝___n_d____，SS奇偶＝___a_an＋_n1___；
②当项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝_____a_n______， SS奇偶＝____n_－_n_1_____，S2n－1＝_(_2_n_－__1_)_an.
例 2 (1)等差数列前 3 项的和为 30，前 6 项的和为 100，
则它的前 9 项的和为( )
A．130
B．170
C．210
D．260
解析：利用等差数列的性质：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列，所以 S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即 30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得 S9＝210. 答案：C
解析：Sn－Sn－4＝an－3＋an－2＋an－1＋an＝80， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40. 两式相加得 4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30，又 Sn＝na12＋an＝15n＝210，∴n＝14. 答案：14

人教版高中数学必修5《等差数列的前n项和》PPT课件

例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20 项的和是1220，求该数列前30项的和。
解：设该等差数列的前n项和Sn An2 Bn,则
S10 100A 10B 310
S20
400 A
20B
1220
解得A 3, B 1
Sn 3n2 n S30 3 900 30 2730
解：依题意知，S10=310，S20=1220
将它们代入公式
Sn
na1
n(n 1) d 2
得 10a1+45d=310
思考：对于等差数
20a1+190d=1220 列的相关a1,an,d,n,Sn,
解得 a1=4，d=6
已知几个量就可
以确定其他量？
an 4 6(n 1) 6n 2
Sn
分析：∵Sn=a1+a2+…+an， Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2)
∴an=Sn-Sn-1 (n≥2) 特别地，当n=1时，a1=S1
，求该数列
例3、已知数列{an}的前n项和为
，求该数列
的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项
和公差分别是什么？
解：当n≥2时，
①
当n=1时， ∵a1也满足①式 ∴数列{an}的通项公式为这是首项为，公差为2的等差数列
一般地，若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列 Sn，S2n-Sn，S3n-S2n ，…
也为等差数列。
3、数列{an}是等差数列
练习：在等差数列{an}中，若a2=-18，a4=-10，则该数列的前n项和Sn何时取得最小值，最小值是多少？
解：∵ a2=-18，a4=-10