妙用切线法证明条件不等式
利用切线方程证明不等式
75x 3 - 5x2 - 7x + 1 0
( 5x - 1) 2( 3x + 1) 0,
而最后一式显然成立. 所以, 式
5
故
i= 1
ai-
a
2 i
5a2i - 2ai +
1
成立.
3 4
5
ai+
i= 1
1 20
5 i=
1
1
=
3 4
1+
1 20
5= 1.
因此, 原不等式得证. 例 3 已知 a、b、c> 0, 且 a4 + b4 + c4 = 3.
i= 1
x 4+
i
x2i
=
4+
1 ai
-1
1 ai
-
1
2=
ai -
a
2 i
5
a
2 i
-
2ai+
1.
于是, 原不等式等价于
5
ai -
a
2 i
i= 1
5
a
2 i
-
2ai+
1
1.
设f (x)=
x- x2 5x 2 - 2x +
1
( 0<
x<
1) . 则
f
1 5
=
1 5
,
f
(
x) =
- 3x2 ( 5x 2 -
A( A, A) , 形如 f ( xi) M ( M ) ( A、
i= 1
M 为常数) 的不等式, 利用切 线方程证明是 一个很好的方法.
1 直接使用
例 1 已知 a、b、c、d> 0, 且 a+ b + c +
巧用“切线法”求解函数不等式
１，
： ０
设函数 ｈ（ｘ）＝ａｘ＋１．易知函数 ＾（ ）恒过定点 （０，１）．通过
一 阶导可知 Ｆ（ｘ）单调递增，通过二阶求导可知 Ｆ（ ）的图像
是 “向下凸”的．为满足 Ｆ（ｘ）≥ 九（ ），ｈ（ｘ）的斜率 的极 限状
态为 Ｆ（ｘ１在 ＝０处的导数．
解 设 新 函 数 ） ：
， 。 求 ，
Ａ百 ＝ （Ｘ， ），把 Ａ西 绕其起 点沿 逆时针方 向旋转 ０角得到 向 量 Ａ户＝ （ｚ ＣＯＳ０一Ｙ ｓｉｎ０， ｓｉｎ０＋ＹＣＯＳ ），叫做 把点 Ｂ 绕 点 Ａ逆时针方 向旋转 角得到点 Ｐ．
～
所 以 ｆ： ＝ ～ ｚ＋１．
，
由
图 ２
所 以 Ｆ（ｘ）在 ＝ 处取 到最小值，所 以 Ｆ（ ）≥ Ｆ（ ）＝ ０． 因为 Ｆ（ ）在 【０，＋。。）上
所 以上面 的三个 表达式 成立．又 因为该切线单 调递增，所 以 是 “向下 凸”的，所 以 Ｆ（ｘ）在 直 线 ｚ的上 方，证 明过 程 可
求 ｆａ＋ １）ｂ的最大值．
Ｇ（ｘ）＝ ｅ （ 一 １）＋ １，求 导 可 得：Ｇ ）＝ ．可 知 ｏ（ｘ）在 ［０，＋ｏ。）上单调递增，且有 ｏ（ｘ）≥ ａ（Ｏ）＝ ０．所
以 Ｆ （∞）≥ 去，即Ｆ（ｚ）在 【０，＋ｏｏ）上单调递增．所以当
ａ∈（一。。，０】时，结 论成 立．
分析 利用函数表达式的结构易得， ）＝ｅ 一 ＋去 。． 当。∈（ｏ， １时，原命题等价于 ｅ＝－１≥ ＋１≥
＜
（ｏ＜ ＜ ６）．
ａ Ｊ－ｂ
ａ — ｂ 、
分 析 该 不等式 的证 明方法很多，这里应用 “切线法”来
证 明：
Ｆ（ ）＝ ｅ２ｘ（１一ｚ），Ｆ （ ）＝ ｅ２＝（１— ２ ）．显然 可知 Ｆ（ｘ）
切线法证明不等式
切线法证明不等式牛顿法，也叫牛顿迭代法、切线法，是一种迭代求解函数零点的方法。
切线法又称为牛顿法,是一种一般情况下具有二阶收敛速度的非线性方程的数值解法。
具体方法如下:设x*是方程f(x)=0的根,又x0为x*附近的一个值,将f(x)在x0附近做泰勒展开:f(x)=f(x0)+(x-x0)f'(x0)+1/2(x-x0)2f''(ξ)其中ξ在x和x0之间令x=x*,则:0=f(x*)=f(x0)+(x*-x0)f'(x0)+1/2(x*-x0)2f''(ξ)去掉x*-x0的二次项得到:f(x0)+x*f'(x0)-x0f'(x0)≈0即x*≈x0-f(x0)/f'(x0)令x1=x0-f(x0)/f'(x0)并由此构成一个递推式x[k+1]=x[k]-f(x[k])/f'(x[k])([]表示下标)可以证明,当f(x)∈C[a,b]且满足以下条件时,由以上递推式产生的序列最后收敛到f(x)=0在[a,b]上的唯一根(1)f(a)f(b)0计算实例:1。
求解f(x)=x-cosx=0的实根由零点定理知f(x)=0在(0,π/2)内有实根f'(x)=1+sinx,由迭代公式有:x[n+1]=x[n]-(x[n]-cosx[n])/(1+sinx[n])取x0=π/4得到:x1=0。
73936133x2=0。
739085178x3=0。
739085133x4=0。
739085133所以x=0。
739085133。
2。
任意数开n次方为了说明的方便,在此就常见的开3次方作较详细的说明,对于其他的可以类比计算设x=3√A则x3=A所以x3-A=0采用递推公式x[n+1]=x[n]-(x[n]3-A)/(3x[n]2)([]表示下标)即可求出3√A的任意精度近似值。
初值x[0]一般取与3√A接近的整数。
举例求3√28,取x[0]=3,迭代结果如下:x[1]=3。
导数的应用-切线放缩证明不等式
单切线放缩
例1.求证:当x>0时，1+2x<e2x
例1：
单切线放缩
例2：
注：（1）该方法适用于凹函数与凸函数且它们的凹凸性相反
的问题（拆成两个函数）； ----数形结合
（2）两函数有斜率相同的切线，这是切线放缩的基础。引入
一个中间量，分别证明两个不等式成立，然后利用不等式的传
递性即可；
明.
小结
1.切线放缩法实质是以直（切线）代曲（原函数）；
2.切线放缩法中常用的两个定理必须先证明后使用；
3.证明流程为：求切线—构造差函数—证明差函数恒正
（负）--原不等式成立．
4.对于较为简单的导数试题，往往只涉及到一次切线放缩，
但是有些压轴试题涉及到两次不同的切线放缩．
----以直代曲
（3）难点在合理拆分函数，寻找它们斜率相等的切线隔板.
单切线放缩
例3：
略，
注：含参函数有时需要根据函数特征将原函数进行适当放缩.
单切线放缩
例4：
注：复杂形式的函数需要将函数适当转化后再进行放缩.
双切线放缩
例5：
a>1
注：含有两个零点的f(x)的解析式(可能含有参数, )，
告知方程f(x)=b有两个实根，要证明两个实根之差小于
(或大于)某个表达式．求解策略是画出f(x)的图象，并
求出f(x)在两个零点处(有时候不一定是零点处)的切线
方程(有时候不是找切线，而是找过曲线上某两点的直
线)，然后严格证明曲线f(x)在切线(或所找直线)的上
方或下方，进而对, 作出放大或者缩小，从而实现证
导数的应用
--切线放缩法证明不等式
复习引入：曲线在某一点处的切线的定义
例析利用切线放缩法巧解函数不等式问题
得2sinB二cos)又cos)+0 ,所以tanB=-$.点评：4sinBcos.-3sin2B二1这类方程可化为齐次方程，再转化为只含an)的方程求解，也可化为.+2)和os2B的一次式，再利用辅助角公式求解.'2,2-2分析3:由余弦定理得(二-3'x----j&#求出a#b#c间的关系，由此能求出cos.的值•3解法3：因为tanC二才,0vC V"，所以0VC V 号且sinC=-5,cosC二*.又因为c=-3'cos.，所以由余弦定理得C=-3'2'c a，所以5c2=3a2-3'2，即5(a2+'2-2a'cosC)=3a2一3'2，解得a=2'.所以C2=3/一3''2，即C=善5'.所以0S.=a-C'二"1^5#所以sin)=+ /1-COS2)=弓# 2a55即tan)二丁.分析4：灵活应用正余弦定理和同角三角函数的关系求解.3解法4:因为tanC二亍#0VC V"#所以0VC V ■"且sinC二丁#cosC二专.因为c=-3'cos.，所以由-1正弦定理得sinC=-3sin)cos.#所以cos.=V5n0#所以号V"V"，由此得0V)V号，所以os.>0.又由余弦定理得C=-3'吕_—，所以5c2=3a223 -3'2，即 5sin2C=3sin2A-3sin2)#所以sin2A=-^-sin2),所以1-2512)=^-sin2)#得sin)=咅# cos.=,从而tan)=；.点评:本题考查三角形边的代数式求值，考查三角形的角的正切值的求法，考查余弦定理、正弦定理、同角三角函数恒等式、诱导公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是一个典型的中档题.*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%*■%例析利用切线放缩法巧解函数不等式问题广东省汕头市澄海华侨中学(516007)潘敬贞山东省滨州市邹平县黄山中学(256200)韩景岗广东省市中学(515800)陈焕涛在解有关函数不等式问题时，当题目中的函数解析式含有F或9%的四则运算时就可以考虑利用切线放缩法进行求解.在利用切线放缩法对问题进行求解的过程中，其最关键的是根据题意寻找到合适的切点，从而得出合适的切线，然后利用切线放缩法有效的将问题转化为较为常规、简单的问题进行解答，最后顺利的将问题解决.如：函数*=e%在％=0处的切线方程为*=%+1,因此可得不等式F* %+1，当且仅当％=0时取得等号；函数*=e%在%= 1处的切线方程为*=ee,因此可得不等式e%*ee，当且仅当％=1时取得等号；函数*=9%在%=1处的切线方程为*=%-1,因此可得不等式In%#%-1,当且仅当％=1时取得等号；函数*=9(%-1)在%=0处的切线方程为*=%,因此可得不等式9(%-1)#%,当且仅当％=0时取得等号；函数*=9%在%=e处的切线方程为*=三，因此可得不等式lnx#—,当且仅当%=e时取得等号；函数*=9%在%= e丄处的切线方程为*=e-2,因此可得不等式In%# eee_2,当且仅当％=丄时取得等号等等.是否是能根e据题意有效选取切点然后得到合适的不等式才是解决此类的关键，但解答问题的过程中，利用切线放缩法得到的不等式是需要严格证明的.例1(2018全国卷I文21)已知函数$%)= ae"-ln%-1.(1)设%=2是$%)的极值点，求&,并求$%)的单调区间；(2)证明：当a*丄时,$%)*0.e解析：(1)略.(2)证明：因为当a*丄，所以e%$%)*—一9%-1=e%_1一9%-1.因为函数*=e%_1 e在％二1处的切线方程为*=%,因此用切线放缩法可得不等式e%-1*%,当且仅当％=1时取等号，所以得e%_1-9%-1*%-9%-1当且仅当%=1时取等1%-1号•设g(%)=%-9%-1,贝V g'(%)=1-——=-------x x当0v%v1时,g@%)<0,所以g(%)单调递减；当%>1时，g@%)>0,所以g(%)单调递增.所以%=1是g(%)的最小值点.故当％>0时,g(%)*g(1)= 0.因此，当&*丄时,/(%)*0.e评注：本题的第(2)问利用切线放缩法进行放缩，问题的解答过程简洁，思路清晰、自然.但在函数*=e”"的％=1处取切点，然后得切线方程*=%,从而可得不等式e”"*%成为本题利用切线放缩法解决问题的关键.例2(2018全国卷皿文21)已知函数$%)= &.(1)求曲线*=/(%)在点'0,-1)处的切 e线方程;(2)证明：当a*1时,/(%)+e*0.解析：(1)略•(2 )证明：因为$%)+e*00a%2+%-1—%-----+e*00a%2+%-1+e%+1*0.因为函数e*=e%+1在%=-1处的切线方程为*=%+2，因此用切线放缩法可得不等式e%+1 *%+2,当且仅当%=-1时取等号，所以a%2+%-1+e%+1*a%2+%-1+% +2=a%2+2%+1当且仅当％=-1时取等号.又因为a*1,所以a%2+2%+1*%2+2%+1=(%+1)2* 0，当且仅当%=-1取等号.故当a*1时，有/(%)+ e*0.评注:本题的第(2)问的求解其关键是在函数* =e%+1的%=-1处取切点，然后得切线方程*=%+ 2，从而得不等式e+1*%+2,后面问题的解决就相利.例3(2014全国I理21)设函数$%)=ae”9%%-1+%，曲线*=/(%)在点'1,/(1))处的切线方程%为*=€(%-1)+2.(1)求a,'；(2)证明：/(%)>1.解析：(1)a=1,'=2过程略.(2)证明：因为%-1$%)>10e^ln%+>109%+—>—.因为函数e e*=e%在％二1处的切线方程为*=e，因此用切线放缩法可得不等式e%*e,当且仅当％=1时取等号，112所以亠#—，当且仅当％二1时取等号，所以9%+三e1211>——2In%+——*——09%+——*0.令g(先)=9%+ e%丄，则g@%=e%1,当0<%<丄时,g@%)<0,所e%以g(%)单调递减；当%>丄时,g@%)>0,所以g(%)e单调递增，所以g(%mi n=g(+)=0,所以$%)>1.当然，本题还可以考虑对9%进行切线放缩.因为函数*=9%在％=e处的切线方程为*=三，所以用切e%11线放缩法可得不等式lnx#—，所以In—#丄即9%e x ex-19%+2>1-1+21e%eee%.令g(%=e%-ee,则g@%=e%-e,当0<%<1时,g@%)<0,所以g(%)单调递减；当％>1时，g@%)>0,所以g(%)单调递增，所以g(%min=g(1) =0，所以/(%)>1.评注：当题目同时出现e"与9%时，我们可以根据题意对e"或9%进行切线放缩，本题的第(2 )问就如此，既可以对e*进行切线放缩也可以对9%进行切线放缩，都可以顺利解决问题.例4(2020深圳一模理21)已知函数$%=e%-a9(%-1),(其中常数e«2.71828...,是自然对数的底数)-(1(若a e R,求函数/(%的极值点个数；(2)若函数/(%在区间(1,1+e-&)上不单调，证明丄+—+>a.a a+1解析：(1)函数$%的定义域为(1,+8), (%=(%_1)e-a.①当a#0时,/，(%>0,函数1代%在(1,+8)上单调递增，所以函数/(%无极值 点，即此时极值点个数为0;②当a>0时，令g(%= (%-1)e%-a(%>1),g(1)=(1-1)e1-a=-a <0，因为函数*=e%在％=0处的切线方程为*=% +1,因此用切线放缩法可得不等式e%*%+1,当且仅当％ = 0时取等号，所以g (% = (%-1)e " - & >(% -1) ( % +1) -&.令(% -1) ( % +1) - a = 0 得 % =>1,所以 M) >0,故存在 %0 ! ( 1,Ja +1 )使得 g ( %0 ) =0,所以当 ％ ! ( 1 ,%0 )时,M ( % <0即/( % <0 ,所以函数$( %在(1,%0 )上单调递减，当 ％! ( %0 , + 8 )时,g ( % >0 即 /'( % >0,所以函数$( %在(%0 , + 8 )上单调递增，所以函数/( %有 极小值点%0，即此时函数$( %的极值点个数为1.综上所述，当�时，函数$( %的极值点个数为0；当a >0时，函数$( %的极值点个数为1.(2 )证明：因为函数$( %在区间(1,1 +e -&)上不单调，所以函数$( %在区间(1 ,1 +e-&)存在极值点.由(1 )可知，当a >0时,1 + F & > %0 ,所以-a 1 + e _ &/'( 1 +e-a ) = 6，& ~a >0 ,所以 e 1-&"「& >a ,两e边取自然对数得1 - a + e~a > Ina ，即1 一 Ina + e~a >a ,此时要证丄 + 1 - > a ,不妨考虑 + 1 - > 1aa+1 aa+1-Ina +e-a .因为函数* = e %在％二0处的切线方程 为*=% + 1,因此用切线放缩法可得不等式e %*% +1,所以，当且仅当％=0时取等号，所以e e %+1=e，即丄,* e.又 e%* % + 1,所以 e 宁-1 *a 1 a 1[(丄 [—，所以e 書# a ,两边取自然对数得1 - 一 # Ina , aa即—* 1 — Ina ,所以—+ —> a.a a a +1评注：本题的求解过程较为复杂，难度较大，但切线放缩法在简化解答过程，化解思维痛点等起到了很重要的作用.例5 ( 2016山东理20 )已知/ ( %)=2%-1a ( % - 9% +--2—，& ! R . ( 1 )讨论 f( %)的单调性；%3(2)当a = 1时，证明/(%) >/@% +寸对于任意的% ! [ 1,2]成立.解析：(1 )略.(2 )当a = 1时，证明/( %) >33$ (% +—对于任意的％! [ 1,2 ]成立0% - 9% + —212+ + -各-1 >0对于任意的%! , 1,2]成立.因为 X X函数*二9%在% = 1处的切线方程为* = % - 1,因此用切线放缩法可得不等式ln%#%-1 ,当且仅当% = 1时取等号，所以%-ln%*1当且％二1时取等号，所312以此时只需证明2+*->0对于任意的％! [1,% %3122 [成立.令 G (% = — + 飞一——，贝V G ( %)=%%—―"设'(%) = - 3%2 _2%+6，贝寸'(%)在%[1,2]上单调递减，因为'(1) = 1,'(2) = - 10,所以在 4%。
妙用切线法证明条件不等式
2018年9月解法探究妙用切线法证明条件不等式⑩甘肃省白银市第一中学胡贵平对于！1+!2+ …+!#=%，证明/(!# )+/(!2)"…+/(!J!( (或-!1)+-!2) +…这样的条件不等式，当观察得取得等号的条件为!1=!2=…A，可以求出―！）在！=上处的切线方程）=*!+,，然后再证明/(!) !*!+,(或/(!)"*!+,)恒成立，再相加以获得原不等式的证明. 这一方法称为切线法，其几何意义是函数（!)的图像总 在切线的上方或下方，如何利用切线法证明不等 式呢？下面通过课本习题来举例说明.例1(选修4-5第41页第2题）已知*，,，/，0#!+，且a+,+/+0= 1，求证 a2+, 2+/ ^^2".4证明:构造函数（！)=!2，！# (0,1 ]，则/'(!)=2!.因为不等式等号成立的条件是，4所以函数（！)$!2在点丨j，/^%处的切线方程为当！# (0, 1]A，！2- [~$!-)=!2-"^"! +点=(! &)"0，所以（!)"丄!一—-2 16因为a+,+/+0=l，所以a2"a-，，2",-，2 16 2 16/2"/-，02"0-.2 16 2 16四个式子相加得a2+, 2+c2+J2"丄(a+,+/+0 )--$丄.2 4 4例2 (选修4-5第41页第1题）已知a，,，/ # !+，且a+,+/=1，求证丄+丄+丄"9.你能否把这一结论推广，并a, /写出证明.证明：构造函数丄，！#(0，1]，则/!(!)$-^.! !2因为不等式等号成立的条件是a$,$/$ j，/$%3，/!$%-9,所以函数&(!)$+在点$，/$%处的切 线方程为)-3$-9 $-~3j，良P)$-9!+6.9$_丄％当！# (0，1]时，丄-(-9!+6)$ 9!2-6!+( $ 3-! ! ! "0，所以（！）"-9!+6.因为a+,+/$l，所以丄"-9a+6，"-9,+6,丄"a, /-9/+6.三个式子相加得丄+丄+丄"-9(a+,+c)+18$9.a, /推广：！1，！2,…，！' # R+且！1+!2+…+!'$1，贝^丄+ 丄+!(!2•••+ i"'2.证明:构造函数（)$丄，！# (0,1]，则/!(!)$-^.因为不等式等号成立的条件是!1$!2$…$!'$-^，/{='，/!$)=-'2，所以函数&：!)$ +在点$，/|$%处的切线方程为）-'$-'2|!----j，即）$-'2!+2'.当！# (0,1]时，丄-(-'2!+2')$'2!2-2'!+1$('!-1)! ! ! "0，所以X! )"-'2!+2'.因为！1+!2+...+!'$1，所以丄"_'2!1+2'，丄"_'2!2+!(!22'，…，丄"_'2!'+2'.!''个式子相加得丄+ -!-+…+-!-"_'2(!1+!2+…+!')+!1!2!'2'2$'2.例3 (选修4-5第41页第4题）已知a，,，/是互不相高中十•？•!{：，■?83教学参谋解法探究2018年9月焦半径、焦点弦公式在高考中的应用*湖北省武汉市武昌实验中学李乐恒众所周知，抛物线上任意一点与焦点之间的所连线段的长度，叫做焦半径;过抛物线焦点的直线被抛物线截得的线段叫做焦点弦.焦半径、焦点弦是抛物线中的重要几何性质，因其能与直线的倾斜角、向量（定比分点9、三角形面积等知识交汇，故备受命题人青睐，而成为近年来高考试题、自主招生试题中的一个热点问题，作为客观题中的压轴题，甚至解答题进行考查，以测试考生数学知识和思想方法的掌握和运用.一、考题重现下面列举5个近年来焦半径、焦点弦在新课标试卷中考查过的试题：1. (2017新课标I，理10)已知/为抛物线0:y2'4-的 焦点，过/作两条互相垂直的直线“直线1+与0交于2，3两点，直线1!与0交于4,5两点，则1231+1451的最小值为8).A.16B.14C.12D.102. (2〇14新课标"，理1〇)设/为抛物线0:.2'3-的焦点，过/且倾斜角为30#的直线交C于2，3两点，0为坐标原点，则A023的面积为（）.A.^B.^C.63 D上4 8 32 43. (2〇14新课标"，文1〇)设/为抛物线0:.2'3-的焦点，过/且倾斜角为30$的直线交C于2，3两点，则1231'().-.^0..6 C.12 D.7(334. (2013新课标"，文10)设抛物线C:y2'4-的焦点为 /，直线1过/且与C交于2，3两点.若12/1'313/1，则1的方程为（）.A.1或.'--+1B..'^^ -(--1)或--((--1)33C..' (3(--1)或.'-(3(--1)D..'^^ -(--1)或.'--((--1)225. (2016新课标#，文20(1)理20(1))已知拋物线0: /=2-的焦点为/，平行于-轴的两条直线分别交0于2,3两点，交C的准线于8,9两点.若/在线段23上，：是89的中点，证明2：)/9.等的正数，求证 + + % .a+b#+$ c+a a+b+c证明:设!+#+$'(，则原不等式可以化为i+ im-a(-b (-c m构造函数/(-)'J—，-!(0，（），贝W(-)= -.m-- C m--)2因为不等式等号成立的条件是^'5，/"]'1，/!"$3 \ 3 /m\ 3 /士，所以函数--)'丄在点("/%))处的切线方程为)即.'■^^+^.当-!(0，m)时，丄-("-+^>0,因为此不等m-- 2m2m 式等价于证明 4m2-(9-+3m)(m-- )>0，即 9-2-6m-+m2>0，而9-2-6m-+m2'9 (-- j &0,所以(-)&~-+ .3 2m22m因为a+b+c'm，a，b，c是互不相等的正数，所以一^—m-ay—^***(-(•I y y—***(_/I y y—***O I y I I 2m22m m-b2m22m m-c2m22m以上三式中等号不可能同时成立.三个式子相加得+J^-+^—>^T(a+b+c)+m-a m-b m-c2m29 ' 9_2m m所以 1+1+1>—^.Ea+b b+c c+a a+b+c84十•？•!{：，■?高中。
导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!
导数中证明不等式技巧——构造切线放缩二元变量凹凸反转唯手熟尔!在导数中证明不等式时，我们可以运用一些技巧来简化证明过程。
以下是几种常用的技巧：1.构造法：构造一个函数，使其导数的符号与要证明的不等式的符号相同。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以构造一个函数$h(x)=f(x)-g(x)$，然后证明$h'(x)>0$。
这样，当$h'(x)>0$时，$h(x)$就递增，从而$f(x)-g(x)$也递增，即$f(x)>g(x)$。
2.切线放缩法：通过构造一个切线来放缩函数。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以找到函数$f(x)$在其中一点处的切线，然后利用切线的性质来证明不等式。
具体地，找到函数$f(x)$在其中一点$x_0$处的切线$y=h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$，然后证明$h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)>g(x)$成立。
3.二元变量法：将不等式中的一些变量表示为另一个变量的函数，然后对新的不等式进行处理。
例如，对于$f(x)>g(x)$，我们可以将其中的一个变量表示为另一个变量的函数，例如$x=h(y)$，然后将不等式转化为$F(y)>G(y)$的形式进行证明。
4.凹凸反转法：利用函数的凹凸性质来证明不等式。
例如，要证明$f(x)>g(x)$，可以证明$-f(x)<-g(x)$，然后利用函数的凹凸性质，通过证明$-f(x)$是凸函数，而$-g(x)$是凹函数，从而得到$-f(x)<-g(x)$成立。
最后，无论采用哪种技巧，熟练掌握基本的导数计算和不等式性质是非常重要的。
只有通过大量的练习，加深对导数和不等式的理解，才能真正掌握这些技巧，并在实际应用中灵活运用。
切线放缩法在双变量不等式中的应用
切线放缩法在双变量不等式中的应用切线放缩法在双变量不等式中的应用1. 引言切线放缩法是一种常见的数学方法，可以有效地解决双变量不等式问题。
本文将介绍切线放缩法的基本原理，并列举几个具体的应用示例。
2. 切线放缩法基本原理切线放缩法基于以下原理：对于曲线上任意一点，可以通过绘制切线来限制曲线上的点的范围。
在双变量不等式中，我们可以通过构造一个合适的切线来缩小不等式中变量的取值范围，从而得到更严格的不等式。
3. 应用示例一：求解二次函数不等式对于二次函数不等式y=ax2+bx+c，我们可以通过切线放缩法来确定其取值范围。
以下是一个示例：•先求出二次函数的导数：y′=2ax+b•在函数的极值点处，切线斜率等于导数值，记为m。
•构造切线方程：y=mx+n，其中n为切线与函数曲线的交点纵坐标。
•将切线方程带入二次函数不等式，得到新的不等式。
•根据新的不等式，确定变量的取值范围。
4. 应用示例二：证明不等式切线放缩法也可以用于证明不等式的成立。
以下是一个示例：•假设要证明的不等式为：f(x)>g(x)。
•在不等式的左边构造一个切线方程：y=mx+n。
•证明切线与f(x)的曲线在某一区间内不相交。
•证明切线与g(x)的曲线在同一区间内相交。
•根据以上两个条件，可以得出不等式f(x)>g(x)的成立。
5. 应用示例三：优化问题切线放缩法还可以应用于求解优化问题。
以下是一个示例：•假设有一个优化问题，要求在一定的约束条件下，找到某一目标函数的最大值或最小值。
•将目标函数表示成一个关于两个变量的不等式。
•根据约束条件，通过切线放缩法确定变量的取值范围。
•在确定的取值范围内，求解目标函数的极值点。
•根据极值点的情况，确定目标函数的最大值或最小值。
6. 总结切线放缩法是一种有用的数学方法，可以在双变量不等式问题中得出更严格的结果。
通过构造切线方程，可以缩小变量的取值范围，从而解决各种类型的问题，如求解不等式、证明不等式和优化问题等。
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题
导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转专题典例1】已知函数$f(x)=1-\ln(x)e^x,g(x)=\frac{x}{1-bx}$，若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$的一个公共点是$A(1,1)$，且在点$A$处的切线互相垂直。
求$a,b$的值，并证明：当$x\geq1$时，$f(x)+g(x)\geq\frac{2}{x}$。
典例2】已知函数$f(x)=(x+b)(e^x-a)$，在$(-1,f(-1))$处的切线方程为$(e-1)x+ey+e-1=0$。
求$a,b$的值，并证明：若$m\leq\frac{f(x)}{x^2+x}$，则$f(x)\geq mx^2+x$。
典例3】已知函数$f(x)=x\ln x+ax+1$，$a\in\mathbb{R}$。
1）当$x>0$时，若关于$x$的不等式$f(x)\geq k$恒成立，求$a$的取值范围；2）当$n\in\mathbb{N^*}$时，证明：$\frac{n^3}{n+1}<\ln2^2+\ln2+\frac{1}{n+1}<\frac{n}{n+1}$。
典例4】已知函数$f(x)=\frac{2\ln x+2}{e^x}$。
1）求函数$f(x)$的单调区间；2）证明：当$x>0$时，$f'(x)\ln(x+1)<\frac{2}{x+2}$。
典例5】已知函数$f(x)=e^x-x^2$。
1）求曲线$f(x)$在$x=1$处的切线方程；2）证明：当$x>0$时，$e^x+(2-e)x-1\geq\ln x+1$。
典例7】已知函数$f(x)=x^2+ax+b\ln x$，曲线$y=f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程为$y=2x$。
1）求实数$a,b$的值；2）设$F(x)=f(x)-x^2+mx(m\in\mathbb{R})$，$x_1,x_2$$(x_1<x_2)$分别是函数$F(x)$的两个零点，求证：$F'(x)$在$(x_1,x_2)$内至少有一个零点。
不等式的证明3(切线放缩) 高中数学课堂教学ppT课件
法二：分离参数后考察没有零点
另例：已知函数f (x) x ln x a(x 1)(a 0)在区间(0, 2)有一个零点， 求a的取值范围. 解：令f (x) 0, f (1) 0, x 1是函数在区间(0, 2)的一个零点, 满足题意a 0
当x
1时,由a
x ln x x 1
, 令 y1
x 0 , y2 0; x 1 , y2 1(如下); x 2 , y2 2 ln 2
(洛必达法则lim f (x) 0 lim f (x) 即x 1 , lim x ln x = lim ln x 1 1);
g(x) 0
g ( x)
x 1
1
第二种处理：
切线不等式x
1
ln
x，从而直接判断
a,
y2
x ln x x 1
y2
(1
ln
x)(x 1) (x 1)2
x ln
x
ln x x 1 (x 1)2
第一种处理：二次求导g(x) ln x x 1, g(x) 1 1 x 1
x
x
g(x)在区间(0,1) (1, ) , g(x)min g(1) 0
g(x) 0,即有y2 0, y2在区间(0,1), (1, ) 现在画图了，
x f (x)在区间(0, 2)上单调递增 当x 0+，f (x) ，故只需讨论f (2) 1+ ln 2 a的正负即可 当f (2) 1+ ln 2 a 0,即a 1+ ln 2故f (x)在(0, 2)上单调递减，又 f (1)=0 f (x)有唯一零点1，且f (2)=2 ln 2 a பைடு நூலகம்0即a 2 ln 2 综上：a 2 ln 2 当f (2) 1+ ln 2 a 0,即a 1+ ln 2,故f (x)在(0, 2)上有唯一零点x0， 故f (x0 )=0，1+ ln x0 a=0，又 f (1)=0a=1 综上可得：a=1，a 2 ln 2
借助切线解决函数不等式恒成立问题
借助切线解决函数不等式恒成立问题李㊀伟(辽宁省鞍山市第三中学㊀１１４０００)摘㊀要:通过构造函数ꎬ求函数图象切线的办法ꎬ解决函数不等式问题.关键词:曲线的切线ꎻ构造函数ꎻ凸函数中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００７５－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:李伟ꎬ特级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀对于函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ>０)㊁ｙ＝ａｘ(０<ａʂ１)㊁ｙ＝ｌｏｇａｘ(０<ａ<１)㊁ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘɪ(－πꎬ０)等ꎬ借助几何直观其图象的切线显然具有以下特征:对于图象上任意一点处的切线ꎬ总在该曲线的下方.同样对于ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ(ａ<０)ꎬｙ＝ｌｏｇａｘ(ａ>１)㊁ｙ＝ｓｉｎｘꎬｘɪ(０ꎬπ)等函数具有以下特征:对于曲线上任意一点处的切线总在该曲线的上方.此直观结果虽然简单明了ꎬ但用其解决函数不等式恒成立等问题时能起到直观易懂㊁事倍功半的效果.下面以三道高考试题作为示例ꎬ说明如下.示例１㊀(２０１７年理科全国二卷２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ３－ａｘ－ｘｌｎｘꎬ且ｆ(ｘ)ȡ０.(１)求ａꎻ(２)证明:ｆ(ｘ)存在唯一的极大值点ｘ０ꎬ且ｅ－２<ｆ(ｘ０)<２－３.分析㊀问题(１)ꎬ注意到函数定义域为ｘ>０ꎬ所以ｆ(ｘ)ȡ０等价于以ａｘ２－ａ－ｌｎｘȡ０ꎬ即ａｘ２－ａȡｌｎｘ.构造函数ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘꎬｇ２(ｘ)＝ａｘ２－ａ.ａɤ０时ꎬ由函数ｇ１(ｘ)与ｇ２(ｘ)图象知ꎬ此时不合题意.ａ>０时ꎬ注意到ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘ任意一点的切线都在曲线上方ꎬｇ２(ｘ)＝ａｘ２－ａ任意一点的切线都在曲线下方ꎻ所以如果函数ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘ㊁ｇ２(ｘ)＝ａｘ２－ａ的图象存在共点公切线ꎬ则其公切线所确定的ａ即为所求.问题(２)证明略.略解㊀ａɤ０时ꎬ不合题意.ａ>０时ꎬ设ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘ与ｇ２(ｘ)＝ａｘ２－ａ的公切线切于点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｙ０＝ｌｎｘ０ꎬ㊀(１)ｙ０＝ａｘ２０－ａꎬ㊀(２)１ｘ０＝２ａｘ０.㊀(３)ìîíïïïï由(３)得ｘ０＝１２ａꎬ代入(１)㊁(２)得１２ｌｎ１２ａ＝１２－ａꎬ所以ꎬｌｎ２ａ＝２ａ－１ꎬ因此ꎬａ＝１２.反思㊀解题关键在于由ｌｎｘɤａｘ２－ａꎬ构造两个函数ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘꎬｇ２(ｘ)＝ａｘ２－ａꎬ借助ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘꎬｇ２(ｘ)＝ａｘ２－ａ存在过两曲线公共点的公切线ꎬ并且两个函数图象分别在公切线的上㊁下方ꎬ这样就得到取等号时ａ的值.示例２㊀(２０１８年理科全国一卷２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－ｌｎｘ－１.(１)设ｘ＝２是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ求ａꎬ并求ｆ(ｘ)的单调区间ꎻ(２)证明:当ａȡ１ｅ时ꎬｆ(ｘ)ȡ０.分析㊀问题(１)略.对于问题(２)ꎬｆ(ｘ)ȡ０即ａｅｘȡｌｎｘ＋１.构造函数ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬｇ２(ｘ)＝ａｅｘ.同样ꎬ注意到ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘ＋１图象上任意一点的切线都在曲线上方ꎬ同理ｇ２(ｘ)＝ａｅｘ(ａȡ１ｅ)的切线在曲线下方ꎬ所以可由共点公切线确定临界值ａ＝１ｅꎬ再进一步根据题意考查ａ范围ꎬ即可得到答案.略解㊀问题(１)答案:递减区间(０ꎬ２)ꎻ递增区间(２ꎬ＋ɕ).㊀问题(２)ꎬｆ(ｘ)ȡ０即ａｅｘȡｌｎｘ＋１.构造函数ｇ１(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬｇ２(ｘ)＝ａｅｘ.０<ｘ<１ｅ时ꎬ由已知ａȡ１ｅꎬ所以显然有ａｅｘȡｌｎｘ＋１.ｘȡ１ｅ时ꎬｇᶄ１(１)＝１ꎬｇ１(１)＝ｌｎ１＋１＝１ꎬ所以ｙ＝ｘ５７为其一切线ꎬ且该函数图象在切线下方.由ｇᶄ２(１)＝ｇ２(１)＝ａｅ１＝１ꎬ解之得ａ＝１ｅꎬ此时ｇ２(ｘ)＝１ｅｅｘ的切线也是ｙ＝ｘꎬ且其图象在切线的上方.因此有１ｅｅｘȡｌｎｘ＋１ꎬ又ａｅｘȡ１ｅｅｘꎬ所以ｆ(ｘ)ȡ０成立.反思㊀与示例１比较ꎬ示例２是求参数范围的问题.该题解法与示例１的区别在于先求出参数的临界值(即取等号的参数值)ꎬ再思考参数的考取值范围.示例３㊀(２０１３年理科全国二卷２１题)已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ｌｎ(ｘ＋ｍ).(１)设ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极值点ꎬ求ｍꎬ并讨论ｆ(ｘ)的单调性ꎻ(２)当ｍɤ２时ꎬ证明ｆ(ｘ)>０.分析㊀问题(１)略.对于问题(２)ꎬｆ(ｘ)>０即ｅｘ>ｌｎ(ｘ＋ｍ).由于ｍɤ２ꎬ由对数函数单调性得:ｌｎ(ｘ＋２)ȡｌｎ(ｘ＋ｍ)ꎬ因此ꎬ只需证ｅｘ>ｌｎ(ｘ＋２)①即可.构造函数ｇ１(ｘ)＝ｅｘ㊁ｇ２(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋２).注意到ｇ２(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋２)切线在其曲线上方ꎬｇ１(ｘ)＝ｅｘ切线在其曲线下方.由于本题的不等式是大于号ꎬ不可能存在共点公切线ꎬ所以不能简单运用上述示例的方法解决.通过进一步的思考可得ꎬ如果存在互相平行的切线ꎬ也可得①式成立.略解㊀设ｇ１(ｘ)＝ｅｘ㊁ｇ２(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋２)的平行(斜率相等)切线分别切于点Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)㊁Ｎ(ｘ２ꎬｙ２).则ｙ１＝ｅｘꎬ㊀(１)ｙ２＝ｌｎ(ｘ２＋２)ꎬ㊀(２)ｅｘ＝１ｘ２＋２.㊀(３)ìîíïïïï由(３)得－ｘ１＝ｌｎ(ｘ２＋２)ꎬｙ１－ｙ２＝ｅｘ－ｌｎ(ｘ２＋２)＝ｅｘ＋ｘ１②.因为ｅ０＝１>１０＋２＝１２ꎬｅ－<１－１２＋２＝２３ꎬ所以存在ｘ０ɪ(－１２ꎬ０)满足ｅｘ＝１ｘ＋２ꎬ所以由(３)及函数ｙ＝ｅｘꎬｙ＝１ｘ＋２单调性得:ｘ１＝ｘ２＝ｘ０ꎬ所以由②:ｙ１－ｙ２＝ｅｘ＋ｘ１＝ｅｘ＋ｘ０>０ꎬ所以ｇ１(ｘ)＝ｅｘ与ｇ２(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋２)存在平行的切线ꎬ且其函数图象与其切线位置关系满足相关要求.因此有ｅｘ>ｌｎ(ｘ＋２)ꎬ即ｅｘ>ｌｎ(ｘ＋２)ȡｌｎ(ｘ＋ｍ).因此ꎬ当ｍɤ２时ꎬ有ｆ(ｘ)>０.反思㊀与示例１㊁２比较而言ꎬ示例３中函数不等式的符号是 > ꎬ所以不存在共点的公切线.因此借助平行切线的方法来解决.其它解题过程与示例２的求解思考相同.事实上ꎬ还有很多用此方法可以解决的数学问题(如包含正㊁余弦函数的问题)ꎬ由于上述三种类型基本将其概括ꎬ其解题思考也基本雷同ꎬ就不过多赘述.最后ꎬ作为这类问题求解的反思ꎬ提出以下注记:一是文章中提出的函数图象特征(图象在其切线上方ꎬ或下方)涉及到凸函数的概念.也就是说ꎬ凸函数是借助函数图象在其任意一点的切线上㊁下方来定义的(见参考文献[１]).对于一个函数是否是凸函数的判断方法是:ｆᵡ(ｘ)>０(<０)是下(上)凸函数.所以判断一个函数是否是下(上)凸函数需要两次求导ꎬ判断正负即可.虽然高中没有涉及这些知识ꎬ但对学过导数的高中生来讲并不存在学习负担.二是运用曲线切线的方法解决证明不等式㊁含参不等式等恒成立问题ꎬ其解题思路非常简洁直观㊁解题思维量很小ꎬ特别是对于同时含有两个超越代数式(如:ｅｘ㊁ｌｎｘ㊁ｓｉｎｘ㊁ｃｏｓｘ等)的函数问题而言ꎬ解题即思考的简洁性更加突出.三是处理导函数问题时ꎬ有时需要将超越式转化为代数式ꎬ利用此方法ꎬ为通过放缩来实现超越式向代数式的转化ꎬ提供一种很好的思考.四是处理导函数问题时ꎬ时常用到一些常见的不等式ꎬ如:ｓｉｎｘ<ｘ(０<ｘ<π２)㊁ｅｘȡｘ＋１㊁ｌｎｘɤｘ－１等ꎬ从此方法角度看ꎬ其就是曲线分别在点(０ꎬ０)㊁(０ꎬ１)㊁(１ꎬ０)处的切线与对应函数图象之间的关系问题.此外ꎬ据此我们还可以采取选择不同切点构造出许多不等式ꎬ用于解题需要.五是运用曲线切线不仅能解决凸性相反的不等式恒成立问题ꎬ也能解决凸性相同的问题ꎬ解题的基本思考是一致的ꎬ在此请读者自行思考ꎬ就不举例说明了.综上所述ꎬ借助凸函数与切线关系解题不仅限于上述三个示例ꎬ也不仅限于上述问题ꎬ如解决零点问题ꎬ同样是有效的.总之ꎬ这种解题思考有较大的开发前景ꎬ欢迎感兴趣的同仁们去探索.㊀㊀参考文献:[１]伍胜健.数学分析[Ｍ].北京:北京大学出版社ꎬ２００９(８).[责任编辑:李㊀璟]６７。
切线法证明条件不等式
引用:原帖由神龙在天于 2010-11-9 17:32 发表已知An=2+ 1 / [ (--2)^n--1/3 ] , 求证：（--1）*A1 + （--1）^2*A2 + （--1）^3*A3+ ......+ （--1）^n*Xn < 1请问怎么做最简单？最直观的思路是什么？设b[n]=(-1)^na[n]则有b[2n-1]=-2+3/[3*2^(2n-1)+1]，b[2n]=2+3/[3*2^(2n)-1]由于b[2n]>0，因此b[1]+b[2]+...+b[2n-1]<b[1]+b[2]+...+b[2n-1]+b[2n]因此只要证明b[1]+b[2]+...+b[2n]<1成立即可，其中b[2n-1]+b[2n]=3/[3*2^(2n-1)+1]+3/[3*2^(2n)-1]=27*2^(2n)/[9*2^(4n)+3*2^(2n)-1]<27*2^(2n)/[ 9*2^(4n)]=3/2^(2n)b[1]+b[2]+...+b[2n]=(b[1]+b[2])+...+(b[2n-1]+b[2n])<3/2^2+...+3/2^(2n)=1-1/2^(2n)<1因此.......上面这个题目是并组放缩的方法下面是切线法证明不等式`设实数a，b，c，满足a+b+c=3，证明：``1/(5a^2-4a+11)+1/(5b^2-4b+11)+1/(5c^2-4c+11)<=1/4`切线法说白了就是利用函数的图像性质解决一类多元的，但能化简为一元函数求和类型的不等式。
其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的极其怪异的某个局部不等式。
对于这个一元函数的处理方面，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。
也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。
导数中的切线放缩证明不等式
号当且仅当 x = m 时成立 . 特别地，当 m = 0 时，有 ex ≥ 1 + x; 当 m = 1 时，有 ex ≥ ex.
设
y
=
lnx
上任一点
Q
的横坐标为
n，则过该点的切线方程为
y
-
lnn
=
1 n
(x
-
n)，即
y
=
1 n
x
-
1
+
lnn，由此可得与
lnx
有关的不等式：lnx
≤
1 n
x
-
1
+
lnn，其中
;
由图 3 可得 ,lnx ≤
2x - 1 x+1
0 < x ≤ 1
,lnx ≥
2x - 1 x+1
x ≥ 1 ;
由图 4
可得，lnx ≥
1 2
x
-
1 x
0 < x ≤ 1
,
lnx ≤
1 2
x
-
1 x
x ≥ 1 .
综合上述两种生成，我们可得到下列与 ex、lnx 有关的常用不等式：
·1·
与 ex 有关的常用不等式：
以寻找直线 ( 常选择公切线或切线 ) 实现隔离放缩，当然最理想的直线状态是该直线与 x 轴
平行或重合 .
当改造的过程中出现一斜一曲时，一般要将其继续改造，要么将其化归到一边，转化为一
平一曲，要么将其转化为两曲 .
【知识拓展】一般的，对于函数 f x 的定义域内某个区间 D 上的不同的任意两个自变量的值
x
>
0，n
>
0，等号
当且仅当 x = n 时成立 . 特别地，当 n = 1 时，有 lnx ≤ x - 1；当 n = e 时，有 lnx ≤
用切线法新探一类条件不等式
ｇ） 在 一 处 切 为 一７—） ｚ （一 ｚ ｚ ÷ 的 线 Ｌ ｚ因。 ２ｚ ，
Ｉ Ｉ Ｉ
Ｉ
ｆ ＼ｙ （ ： ＼： ｘ 、 １ｇ ）
Ｉ Ｉ Ｉ —
Ｉ Ｉ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Ｉ
Ｃ ＸＯ ｄ
Ｘ
Ｃ Ｘ ｄ Ｏ
Ｘ
图 １
图 ２
若 Ｙ＝ ｇ ｚ （ ）在 区 间 ［ ， 上 是 下 凸 的 ，。∈ ［ ， ， ｃ ｚ （ Ｙ
一
告 ［ ． ．） ∈ 譬譬 ｇ 一 在 譬譬上上 一 ］（ ［ ， 是 ｚ 一 ］
切 线 ， ｚ∈ （ ， ） ， 有 ｇ ｚ ≥ ＋ ６ 当 ｚ— ｚ 时 取 则 ｃｄ 时 恒 （） （ ｏ
“
一
≤ 一
≥ 从得骞 ≤ 而出
”号 ） ．
Ｉｎ 一＋或ｇ≥＝ 硎 骞＋ 硎 耋 ｎ ＝ ｚ ｃ ｃ ＋ ｉ １ ｚ 泰 从１ 不 出欲 等 “号＇ ｌ 文结 难 ＿证 式一时 ［论 看当 不 取’ 必 ］
ｇｚ （ ）≤ ＋ ６ 或 ｇ ｚ ≥ ＋ ６ ， 而 得 出 欲 证 不 等 式 ． （ （） ）进 下 面 再 以文 ［ ］ 给不 等 式 予 以 分 析 ： ２所
若 ｚ ＞ ０ ｉ １２ ３ 且 ｚ 一 １ 则 ． ： ，， ． 。
詈 ：．＋ 一￣＝＋ 曲 ：ｚ ｌ ｎ ｃ ｎｙｘ为线 ｇ 荤 ， ， ａ ｃ ｇ 詈 晶 ｚ詈的 切！・便 出 何 Ｉ在一处一 线此们 得其 直 商 呈 条 由我 可 几 观
巧借曲线切线放缩证明函数不等式
巧借曲线切线放缩证明函数不等式湖南省长沙市第一中学(410005)李鑫摘要函数和不等式是高中数学的重要内容,利用导数证明函数不等式是各地模拟考试和高考考察的热点和难点,此类题型灵活多变,技巧性强,对学生的思维能力和运算求解能力要求较高.本文借助指数函数、对数函数、幂函数、三角函数或一些复杂的初等函数的切线,通过切线放缩将这些难于处理的函数放缩成简单的一次函数,从而简化计算,证明不等式.关键词函数;不等式;切线;放缩一、指数函数的切线放缩指数函数y=e x在x=0处的切线方程为y=x+1,从图1可以看出,函数y=x+1的图象(除x=0)恒在y=e x的下方,因此e x x+1,证明如下:数学测评是数学教育的关键环节,是落实立德树人、培养学生德智体美劳的重要组成部分,担负着提高数学教育质量和选拔合格大学生的责任.高考是我国的基本教育制度,是目前相对公平的终结性测评方式,发挥着至关重要的作用.基于上述分析,并结合目前现状,提出以下建议.(1)减少套路,回归教材,返璞归真,重视数学本质.首先,高考命题要减少套路,避免每年高考数学试卷都以相同的题型和模式命制;其次,教师高三复习备考教学要摒弃“考啥教啥”,过分押题的功利心理;最后,学生在解决数学问题时要多关注通性通法,减少“题海战术”,关注探究性问题,回归教材,返璞归真,重视数学问题的根源与本质.(2)高考命题在渗透数学文化的同时,要善于创设真实情境,焦距素养,体现数学学科特点,“五育”并举,陶冶学生情操,关注真善美,促进学生全面发展.教师在高三复习备考中要关注学生的数学阅读能力,引导学生会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.(3)在落实“四基”的同时,促进创新型人才的培养与选拔.这就需要命制一些创新性试题,创新性高考数学试题主要包括:多选题、多填题、举例题与开放性试题等,教师在日常教学过程中要关注数学创新题,在继承中国传统数学教育的优点时,要有开拓创新的觉悟.(4)建议数学高考命题适当减少数学运算,增强数学试题的思维含量,适当延长高考数学时间,加大数据分析与数学建模的考查力度,因为随着信息技术与人工智能的高速发展和数据时代的到来,数据分析与决策是学生适应未来的必备技能,复杂的数学运算建议理解运算原理、方向与程序即可,不必在高考短时间内大量考查,而淹没数学火热的思考.(5)文理科相同试题减少,难度差别变大,为文理不分科后分层命题与考核提供了参考,丰富了学生的选择性,提高了高考的选拔性.对于教师来说,需要根据这种导向,注重分层教学,因材施教,从而避免“优等生吃不饱,学困生消化不了”现象,最大效率的让每位学生都能获得良好的数学教育,不同的学生在数学上得到不同的发展.参考文献[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.[2]林崇德主编.21世纪学生发展核心素养研究[M].北京:北京师范大学出版社,2016.[3]史宁中,王尚志.普通高中数学课程标准(2017年版)解读[M].北京:高等教育出版社,2018.[4]喻平.数学核心素养评价的一个框架[J].数学教育学报,2017(02):19-23.[5]吕世虎,吴振英.数学核心素养的内涵及其体系构建[J].课程•教材•教法[J].2017(09):12-17.[6]蔡金法,徐斌艳.也论数学核心素养及其构建[J].全球教育展望,2016(11):3-12.[7]张惠英,王瑞霖.基于核心素养的数学测评研究—–以河北省2017年中考数学试题为例[J].数学教育学报,2017(05):31-35.[8]朱先东,吴增生.核心素养视角下对数学测评的研究—–以2017年浙江省中考试题为例[J].数学教育学报,2017(05):36-43.[9]李作滨.素养导向的数学测评研究—–以2019年高考为例[J].数学教育学报,2018(06):33-37.[10]任子朝,陈昂等.高考数学新题型试卷质量分析研究[J].数学教育学报,2019(01):1-7.[11]关丹丹,景春丽.新高考改革背景下不分文理科的数学成绩差异研究[J].数学教育学报,2018(04):31-34.[12]任子朝,赵轩.创设真实情境、突出学科特点、落实“五育”要求[J].数学通报,2019(07):23-27.令f (x )=e x −x −1,则f ′(x )=e x −1.当x >0时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x <0时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x ) f (0)=0,所以e x x +1,当且仅当x =0时等号成立.图1例1已知函数f (x )=ln (x +1)x.(1)求函数f (x )的单调区间;(2)当x >0,证明不等式:(e x −1)ln (x +1)>x 2.解(1)函数f (x )的定义域为(−1,0)∪(0,+∞).所以f ′(x )=xx +1−ln (x +1)x 2,令g (x )=x x +1−ln (x +1),则g ′(x )=−x (x +1)2,当x ∈(−1,0)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增;当x ∈(0,+∞)时,g ′(x )<0,函数g (x )单调递减,所以当x ∈(−1,0)∪(0,+∞)时,g (x )<g (0)=0,即f ′(x )<0,所以函数f (x )单调递减区间为(−1,0),(0,+∞).(2)当x >0时,要证明(e x−1)ln (x +1)>x 2,只需证明ln (x +1)x >xe x −1=ln [(e x −1)+1]e x −1,只要证明f (x )>f (e x −1),因为当x >0时,e x >x +1,即x <e x −1,由(1)知f (x )=ln (x +1)x在(0,+∞)单调递减,所以f (x )>f (e x −1),所以不等式(e x −1)ln (x +1)>x 2成立.评注若本题第(2)问通过构造函数h (x )=(e x −1)ln (x +1)−x 2,对h (x )进行求导,由于h ′(x )的结构复杂,难以判断它的零点和相应区间符号,因此对要证明的不等式进行代数变形,构造出不等式两边具有相同结构的代数式,转化为证明f (x )>f (e x −1),最后利用第(1)问中函数f (x )的单调性以及指数函数y =e x的切线放缩(e xx +1)来证明不等式.例2(2014年高考全国Ⅰ卷理科第21题)设函数f (x )=ae xln x +be x −1x,曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线为y =e (x −1)+2.(1)求a,b ;(2)证明:f (x )>1.解(1)a =1,b =2.(过程略)(2)由(1)知,f (x )=e x ln x +2e x −1x,所以f (x )>1等价于ln x +1ex >1e x −1ex,因为e x ex 且x >0,有1ex 1ex ,所以1e x −1ex01⃝当且仅当x =1时取等号,令g (x )=ln x +1ex ,则g ′(x )=1x −1ex 2=ex −1ex 2,当x ∈(0,1e )时,g ′(x )<0,g (x )单调递减;当x ∈(1e ,+∞)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增,所以g (x ) g (1e)=0,所以ln x +1ex02⃝当且仅当x =1e时取等号,由于1⃝2⃝不能同时取等号,所以ln x +2ex >1e x −1ex,所以f (x )>1.评注本题有多种证明方法,这里选择先将要证明不等式进行代数变形,利用指数函数y =e x 在x =1处的切线y =ex 放缩(e x ex )来证明不等式右边非正,然后证明不等式左边函数非负,由于等号不能同时取到,故不等式得证.一般地,指数函数y =e x 常常可以利用其在x =x 0处的切线y =e x 0x +(1−x 0)e x 0放缩得到不等式e x e x 0x +(1−x 0)e x 0.二、对数函数的切线放缩对数函数y =ln x 在x =1处的切线方程为y =x −1,从图2可以看出,函数y =x −1的图象(除x =1)恒在y =ln x 的上方,因此ln x x −1,证明如下:令f (x )=ln x −x +1,则f ′(x )=1x −1.当x >1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当0<x <1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x ) f (1)=0,所以ln x x −1,当且仅当x =1时等号成立.图2例3已知函数f (x )=2x −ln x .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)证明:f (x )<e2x −12x+1.解(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=2−1x=2x −1x ,当x ∈(0,12)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(12,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x )的单调递减区间为(0,12),递增区间为(12,+∞).(2)由(1)知,f (x ) f (12)=1+ln 2>1,要证f (x )<e 2x −12x +1,即证2x −ln x <e 2x −12x+1,即证ln (2x −ln x −1)<2x −1−ln (2x ),因为ln x x −1,所以ln (2x −ln x −1) 2x −2−ln x=2x −1−ln (2x )+(ln 2−1)<2x −1−ln (2x )所以f (x )<e2x −12x+1成立.评注本题若选择移项构造新函数求导,再求新函数的极值和单调区间将十分困难,因此另辟蹊径,先移项再取对数,利用对数函数的切线不等式来放缩证明.一般地,对数函数y =ln x 常常可以利用其在x =x 0处的切线y =1x 0x +ln x 0−1放缩得到不等式ln x 1x 0x +ln x 0−1.三、幂函数的切线放缩图3幂函数y =x a (x >0)在x =1处的切线方程为y =a (x −1)+1,由图3可以看出,当0<a <1时,函数y =a (x −1)+1的图象(除x =1)在y =x a的上方,因此,当0<a <1时,x aa (x −1)+1(x >0);当a >1或a <0时,函数y =a (x −1)+1的图象(除x =1)在y =x a 的下方,因此,当a >1或a <0时,x a a (x −1)+1(x >0).证明如下:令f (x )=x a −a (x −1)−1,则f ′(x )=ax a −1−a =a (x a −1−1).当0<a <1,x ∈(0,1)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;x ∈(1,+∞)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,所以f (x ) f (1)=0,即x a a (x −1)+1;当a >1或a <0,x ∈(0,1)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x ) f (1)=0,即x a a (x −1)+1.例4已知函数f (x )=(1+x )α,其中α为常数,且0<α<1,设函数f (x )在点P (0,1)处的切线方程为y =g (x ).(1)证明:对于任意的正实数x ,都有f (x )<g (x );(2)若0<a <1,0<b <1,证明:a b +b a >1.证明(1)因为f ′(x )=α(1+x )α−1,故f ′(0)=α,函数f (x )在点P (0,1)处的切线方程为y −1=αx ,即g (x )=αx +1.令h (x )=f (x )−g (x )=(1+x )α−αx −1,则h ′(x )=α(1+x )α−1−α=α[(1+x )α−1−1],因为x >0,0<α<1,所以(1+x )α−1<(1+x )0=1,所以h ′(x )<0,所以h (x )在(0,+∞)上单调递减;所以h (x )<h (0)=0,所以f (x )<g (x ).(2)由第(1)问可知,当0<α<1,x ∈(0,+∞)时,(1+x )α<αx +1.因为0<a <1,0<b <1,所以1a −1>0,1b−1>0.所以a b =1(1a )b =1(1+1a−1)b >11+(1a −1)b =aa +(1−a )b >a a +b ,b a =1(1b )a =1(1+1b−1)a >11+(1b −1)a =bb +(1−b )a >b b +a ,所以a b +b a >a a +b +bb +a=1,证毕!评注本题第(1)问由函数f (x )在x =0处的切线放缩可以得到:当0<α<1,x ∈(0,+∞)时,(1+x )α<αx +1.第(2)问要证明a b +b a >1,根据要证明的不等式方向,将不等式左边的两项分别取倒数后再巧妙利用第(1)问中的切线放缩即可快速证明.四、三角函数的切线放缩正弦函数y =sin x 在x =0处的切线方程为y =x ,正切函数y =tan x 在x =0处的切线方程为y =x ,从图4可以看出,当x ∈(0,π2)时,y =x 在正弦函数y =sin x 的上方,在y =tan x的图4下方,因此当x ∈(0,π2)时,sin x <x <tan x ,证明如下:令f (x )=sin x −x ,x ∈(0,π2),则f ′(x )=cos x −1<0,从而f (x )在(0,π2)上单调递减,所以f (x )<f (0)=0,即sin x <x .令g (x )=tan x −x ,x ∈(0,π2),则g ′(x )=1cos 2x −1>0,从而g (x )在(0,π2)上单调递增,所以g (x )>g (0)=0,即x <tan x .所以当x ∈(0,π2)时,sin x <x <tan x .例5已知0<x <π,求证:sin x >x (1−x 24).证明由题可知sin x =2sinx 2cos x 2=2tan x 2cos 2x 2=2tan x2(1−sin 2x 2)因为当θ∈(0,π2)时,sin θ<θ<tan θ,因为0<x <π,所以0<x2<π2,所以sinx2<x2<tanx2,0<sinx2<1,所以sin x=2tan x2(1−sin2x2)>2·x2[1−(x2)2]=x(1−x24),所以当0<x<π时,sin x>x(1−x24)成立.评注本题选择将正弦函数用二倍角公式展开,再借助正弦函数和正切函数在x=0处的切线不等式sin x<x<tan x进行放缩证明,十分简洁.当然,直接做差构造新函数f(x)=sin x−x−x34,通过多次求导可以证明f(x)大于0.五、其它初等函数的切线放缩例6(2015年高考天津卷理科第20题)已知函数f(x)=nx−x n,x∈R,其中n∈N∗,n 2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x) g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证:|x2−x1|<a1−n+2.解(1)略.证明(2)设点P的坐标为(x0,0),则x0=n1n−1, f′(x0)=n−n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y= f′(x0)(x−x0),即g(x)=f′(x0)(x−x0).令F(x)= f(x)−g(x),即F(x)=f(x)−f′(x0)(x−x0),则F′(x)=f′(x)−f′(x0).由(1)知f′(x)=−nx n−1+n 在(0,+∞)上单调递减,故F′(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F′(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x) F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x) g(x).(3)不妨设x1 x2.由(2)知g(x)=(n−n2)(x−x0).设方程g(x)=a的根为x′2,可得x′2=an−n2+x0,由(2)知g(x2) f(x2)=a=g(x′2),可得x2 x′2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx,当x∈(0,+∞),f(x)−h(x)=−x n<0,即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x).设方程h(x)=a的根为x′1,可得x′1=an.因为h(x)=nx在(−∞,+∞)上单调递增,且h(x′1)=a=f(x1)<h(x1),因此x′1<x1.由此可得x2−x1<x′2−x′1=a1−n+x0.因为n 2,所以2n−1=(1+1)n−1≥1+C1n−1=1+n−1=n,故2≥n1n−1=x0.所以,|x2−x1|<a1−n+2.评注由于第(3)问如果求解f(x)=a的实根x1,x2将十分困难.因此在第(2)问的基础上,巧妙借助函数f(x)与x轴两个交点处的切线,将难以求解的曲线与直线的交点坐标转化为易于求解的切线与直线的交点坐标,从而证明不等式.例7已知函数f(x)=sin x2+cos x,g(x)=e x.(1)求函数f(x)在x=0处的切线方程;(2)证明:当x 0时,g(x)−3f(x) 1.解(1)因为f′(x)=cos x(2+cos x)−sin(−sin x)(2+cos x)2=2cos x+1(2+cos x)2,所以f′(0)=13,f(0)=0.所以函数f(x)在x=0处的切线方程y=13x.(2)令h(x)=f(x)−13x,则h′(x)=f′(x)−13=2cos x+1(2+cos x)2−13=−(cos x−1)23(2+cos x)20,所以h(x)在[0,+∞)单调递减,所以h(x) h(0)=0,即f(x)13x.又因为g(x)=e x x+1,所以g(x)−3f(x) x+1−3×13x=1,证毕.评注本题第(2)问如果对不等式左边函数通过多次求导或者设而不求等方法,都无法求得最小值,因此,巧妙借助第(1)问函数f(x)的切线,证明函数f(x)在切线的下方(除切点),利用切线放缩,可以快速简洁的证明不等式.函数不等式的证明难度大、技巧性强.切线放缩为解决这类问题提供了一种可供选择的方法,借助曲线切线放缩,可以将复杂的函数曲线转化为简单的一次函数,从而达到化曲为直、化繁为简的目的.学生在解题过程中一定要认真分析、勇于尝试,多积累一些常用的解题方法和技巧,注重思维深度和广度的培养,不断提升自身解题能力和数学核心素养.参考文献[1]梁浩,王亮亮.曲线的切线在函数不等式放缩中的应用[J].中国电子商务,2014(15):128,237.。
利用“切线法”证明一类条件不等式
河北理 科教 学研 究
问题 讨论
利 用“ 切 线 法＂ 证 明一 类 条 件不 等 式
湖北 省黄 石 市第一 中学 杨瑞 强 ４ ３ ５ ０ ０ ０
对满足条件∑ ＝ （ ≥ｋ ， ≤ ） 的 ∑， （ ｉ ） ≤ （ ≥ ） 成立． 由 此可见， 在证
ｉ ＝ １
式， 从 而利用 切线 方程 实施 放缩来 证 明 ．
利用 切线 方程 放 缩 证 明不 等 式 ， 要 求 不
等式 的 条 件 必 须 符 合 ＝ （ ≥ 后 ，≤
例３ 设 ０＜ ａ 、 ｂ 、 Ｃ＜ １ 且口 ６＋６ ｃ ＋∞ ＿ｌ ＇ 掘 ｌ
一
＋
ａ
＋
中Ｄ 为给 定区 间， ∑ ＝ ． １ ｝ （ ≥ｋ ， ≤ ） ， （ ｋ
为 常数） ， 求证∑ ， （ ｉ ） ≤Ｍ （ ≥ ） ．
ｉ＝ １
可 以直 接构 造切线 方 程实施 放缩 来证 明 ．
例 １ 若 口≥ ０ ， ｂ≥ ０ ， ｃ≥ ０ ， 且 口＋ｂ
… ， 证 ： 南 ＋
，
切线 方 程 为
）＿ ３ （ 一 ）＋
＝了 １处 的切线方 程 为 ） ， ＝ ３（
３
＝
一
了 １） ＋了 １
ｇ ｘ ）：３ 一 ． 下面先证 明当 ∈ （ ０ ， １ ）
１
＋
．
下面证 明 ， （ ）≤ ｇ （ ） ， 即
≤ ≤
３
＋ ＋ ， ￣ Ｐ ｉ Ｊ ［７ ５ ３ —５ 一 ２
因为
（ ）＝二 一 － 设厂 （ ） 在 ＝÷处的 凡 切线函数为ｇ ｕ （ ） ＝ ／ ｐ ＋ｇ （ 假 设 （ ｘ） 可导 ） ， 若 能证 明 （ ）≤ ｇ （ ） （ 或 ≥ｇ （ ） ） 在 区间 Ｄ上恒 成立 ， 则 有
巧用切线方程证明不等式
巧用切线方程证明不等式
黄光鑫
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)013
【摘要】<正>不等式的证明具有很强的技巧性.本文针对某些条件不等式给出用切线方程进行证明的方法.希望读者能从中受到些启发.例1已知a,b均为正数,且a+b=1.求证:（a+1/a）2+（b+1/b）2≥252.证明记f（x）=（x+1/x）
2=x2+1/x2+2,x∈（0,1）,则f’（x）=2x-2x-3,f’（1/2）=-15,f（x）在点P （1/2,25/4）处的切线方程
【总页数】2页(P13-14)
【作者】黄光鑫
【作者单位】四川师大附中
【正文语种】中文
【中图分类】G634.6
【相关文献】
1.巧用切线方程证明不等式 [J], 黄光鑫;
2.利用切线方程证明一类不等式 [J], 杨德兵;余咏梅;
3.利用切线方程证明一类不等式 [J], 刘春平;刘晓平
4.利用切线方程证明一类不等式 [J], 蒋会会
5.利用切线方程证明一类不等式 [J], 蒋会会
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不等式切线法
不等式切线法——解开数学难题的小妙招哎，说起数学，是不是好多同学都头疼啊？特别是那些不等式，看着就让人眼花缭乱，心里直打鼓。
不过呢，今儿咱们就来聊聊一个解开不等式难题的小妙招——切线法。
听起来高大上，但其实挺接地气的，学会了它，说不定你以后面对不等式就能游刃有余了。
咱们先说说啥是不等式。
不等式啊，简单来说就是两个数或者两个式子之间的大小关系，不是等号连接，而是大于号“>”或者小于号“<”连接。
比如说“3+5>7”，这就是个简单的不等式。
生活中也有很多不等式的例子，比如你口袋里有十块钱，想买个十五块的东西，那显然就是“你口袋里的钱<东西的价格”，这事儿干不成。
那切线法又是咋回事呢？咱们得先从图形上说说。
想象一下，你面前有一张白纸，你在上面画了一个曲线，这个曲线代表的就是一个不等式。
切线法，顾名思义，就是在这条曲线上找一条切线，然后通过这条切线来找到不等式的解。
不过啊，这里的切线可不是随便画的，它得满足一定的条件，才能帮咱们解开不等式这个谜团。
咱们举个例子来说。
假设你遇到了一个比较复杂的不等式，比如二次不等式。
这时候，如果你直接上手解，可能会觉得无从下手。
但是，如果你把它想象成一条曲线，然后在曲线上找一个合适的点，画出一条切线，那问题就变得简单多了。
咋找这个切线呢？这就需要用到一些数学知识了，比如导数。
导数啊，你可以理解为曲线在某一点的“坡度”。
咱们找到这个“坡度”，然后画一条切线，这条切线就能帮咱们判断不等式在某个区间的解。
具体来说，如果切线在某个区间内是上升的，那就意味着不等式在这个区间内是成立的；如果切线在某个区间内是下降的，那就意味着不等式在这个区间内不成立。
这样一来，咱们只需要看看切线在哪个区间内上升或者下降，就能知道不等式的解了。
听起来是不是有点玄乎？其实啊，咱们可以把切线想象成一把尺子，用它来量一量不等式这条曲线在各个区间的“高低”。
高的地方就是不等式成立的地方，低的地方就是不成立的地方。
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妙用切线法证明条件不等式
胡贵平（甘肃省白银市第一中学 ，甘肃 白银 730900）
对于12...n x x x k +++=，证明12()()...()n f x f x f x C +++≤（或
12()()...()n f x f x f x C +++≥）
，这样的条件不等式，当观察得取得等号的条件为12...n k x x x n ====时，可以求出()f x 在k x n
=处的切线方程y ax b =+，然后再证明()f x ax b ≤+（或()f x ax b ≥+）恒成立，则相加12()()...()n f x f x f x +++以获得原不等式的证明.这一方法称为切线法，其几何意义是函数()f x 的图象总在切线y ax b =+的上方或下方，如何利用切线法证明不等式呢？下面通过课本习题来举例说明.
例 1 (选修4-5第41页第2题) 已知,,,a b c d R +∈，且1a b c d +++=，求证
222214
a b c d +++≥. 证明 构造函数2()=f x x ，(]0,1x ∈，则()=2f x x '.因为不等式等号成立的条件是14a b c d ====，又11()=416f ，11()=42f '.所以函数2()=f x x 在点11(,())44f 处的切线方程为111()1624y x -=-，即11216
y x =-. 当(]0,1x ∈时，22211111()()02162164x x x x x --=-+=-≥，所以11()216
f x x ≥-. 因为+1a b c d ++=，所以211216a a ≥-，211216b b ≥-，211216
c c ≥-，211216
d d ≥-. 四个式子相加得2222111()244
a b c d a b c d +++≥+++-=. 例2 (选修4-5第41页第1题) 已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证
1119a b c ++≥.你能否把这一结论推广，并写出证明.
证明 构造函数1()=f x x ，(]0,1x ∈，则21()=f x x
'-.因为不等式等号成立的条件是
13a b c ===，又1()=33f ，1()=93f '-.所以函数1()=f x x 在点11(,())33
f 处的切线方程为139()3
y x -=--，即96y x =-+. 当(]0,1x ∈时，22
19()19613(96)0x x x x x x x --+--+==≥，所以()96f x x ≥-+. 因为1a b c ++=，所以196a a ≥-+，196b b ≥-+，196c c
≥-+. 三个式子相加得1119()189a b c a b c
++≥-+++=. 推广：12...n x x x R +∈，，，，且12...1n x x x +++=，则
212111...n n x x x +++≥. 证明 构造函数1()=f x x ，(]0,1x ∈，则21()=f x x
'-.因为不等式等号成立的条件是121...n x x x n ====，又1()=f n n ，21()=f n n '-.所以函数1()=f x x 在点11(,())f n n
处的切线方程为21()y n n x n
-=--，即22y n x n =-+. 当(]0,1x ∈时，222
2121(1)(2)0n x nx nx n x n x x x
-+---+==≥， 所以2()2f x n x n ≥-+.
因为12...1n x x x +++=，所以21112n x n x ≥-+，22212n x n x ≥-+，21...2n n
n x n x ≥-+. n 个式子相加得2221212111...(...)2n n
n x x x n n x x x +++≥-++++=. 例3 (选修4-5第41页第6题) 设12...n x x x R +∈，，，，，且12...1n x x x +++=，求证
22212121 (1111)
n n x x x x x x n +++≥++++. 证明 构造函数2()=1x f x x +，(]0,1x ∈，则2222
2(1)2()=(1)(1)x x x x x f x x x +-+'=++.因为不等式等号成立的条件是121==...=n x x x n =，又11()=(1)f n n n +，2121()=(1)n f n n +'+.所以函数
2()=1x f x x +在点11(,())f n n 处的切线方程为21211()(1)(1)n y x n n n n
+-=-++，即22
211(1)(1)n y x n n +=-++. 当(]0,1x ∈时，22221101(1)(1)x n x x n n ⎡⎤+--≥⎢⎥+++⎣⎦
，因为此不等式等价于证明22(1)(21)(1)(1)0
n x n x x x +-++-+≥，即22210n x nx -+≥，而2221=(1)0n x n x n x -+-≥，所以22
211()(1)(1)n f x x n n +≥-++. 因为12...1n x x x +++=，所以2112212111(1)(1)
x n x x n n +≥-+++， 2222222111(1)(1)x n x x n n +≥-+++ (222)
2111(1)(1)n n n x n x x n n +≥-+++. n 个式子相加得222121222
1221...(...)111(1)(1)n n n x x x n n x x x x x x n n ++++≥+++-+++++ 211(1)(1)
n n n +==++. 例4 (选修4-5第41页第4题) 已知,,a b c 是互不相等的正数，求证2229a b b c c a a b c
++>+++++ 证明 设a b c m ++=，则原不等式可以化为
2229m a m b m c m ++>---. 构造函数2()f x m x =-，(0,)x m ∈，则22()()
f x m x '=-.因为不等式等号成立的条件是3m x =，又3()=3m f m ，29()=32m f m '.所以函数2()f x m x =-在点(,())33
m m f 处的切线方程为239()23m y x m m -
=-，即29322y x m m =+. 当(0,)x m ∈时，
2293()022x m x m m -+>-，因为此不等式等价于证明
24(93)()0m x m m x -+->，即22960x mx m -+>， 而222969()03m x mx m x -+=-≥，所以293()22f x x m m
≥+. 因为a b c m ++=，,,a b c 是互不相等的正数，所以229322a m a m m ≥+-， 229322b m b m m ≥+-，229322c m c m m
≥+-. 三个式子相加得2222999()22a b c m a m b m c m m m ++>+++=---. 所以
2229a b b c c a a b c
++>+++++.。