数学物理方法笔记摘要

《数学物理方法》笔记摘要

【写在学习本课程之前】对于本课程本人的学习目标是熟悉数学物理方程本身的物理实质，对常见的分离变量法等要掌握解法，但公式等不必记住，会解决简单条件下的实际问题，如扩散方程、电测深问题、三维电场问题等。

第一章 数学物理方程基本概念

一、数学物理方程的提出

要解决物理量在时间和多维空间上的变化规律问题，这就导致了偏微分方程的产生。注意：所谓变化规律就是微分的思想，而在时间和空间上的多维变化就是偏微分方程。

二、定解问题

定解问题由泛定方程、边界条件、初始条件组成。

①泛定方程：数学物理方程本身叫做泛定方程，不含有边界条件和初始条件。

②边界条件：即物理问题所处的“环境”，也就是物理量在边界上的状况。

③初始条件：及物理问题的“历史”，也就是开始时刻物理量的状况。

所以，解决物理问题，泛定方程是纽带，将边界值和初始值通过纽带推算到每个点、每个时刻，这就是解决数学物理问题的实质过程！

三、泊松方程和拉普拉斯方程的物理本质

①泊松方程是解决的物理场中的“有源”问题。

②拉普拉斯方程解决的是物理场中的“无源”问题。

四、扩散方程

详见课本p145，将在后面的部分解决常见的扩散方程。

五、边界条件分类

（1）第一类边界条件

指的是在边界上物理量本身的值。

（2）第二类边界条件

指的是在边界上物理量法向导数的值，

【物理意义】针对电场、热传导、扩散问题来说就是在边界上的“对外”或“对内”的流量问题。

（3）第三类边界条件

对于热传导问题就是描述的自由冷却问题，即杆端热流强度与温度差之间的关系，详见课本p156.

六、线性偏微分方程的分类

（1）线性偏微分方程的定义

（2）分类

双曲型

抛物线型

椭圆型

第二章 分离变量法

一、偏微分方程能够进行分离变量的条件

（1）方程是常系数线性偏微分方程；

（2）边界条件是齐次的。

二、分离变量法解决偏微分方程的步骤

（1）将非齐次边界条件化为齐次边界条件；

（2）将非齐次泛定方程表示成两个泛定方程的线性组合；

（3）将分离变量形式代入泛定方程，得到两个常微分方程；

（4）将分离变量代入边界条件，和一个常微分方程组成特征方程，解出特征值；（5）将特征值代入另一个常微分方程并解之；

（6）综合两个常微分方程的解，写出偏微分方程的解，然后代入初始条件，接触系数。

三、常见问题和所用到的基础数学知识

1.解特征方程的问题

2.常微分方程的解

3.傅立叶级数

4.常见的分部积分

四、齐次泛定方程和齐次边界条件的方程的解法

【例】在铀块中，除了中子的扩散运动外，还进行着中子的繁殖过程，每秒钟在

β，研究单位体积中产生的中子数目正比于该处的中子的浓度u，可以表示为u

厚度为l 的层状铀块，求临界厚度。（铀块厚度超过临界厚度，则中子浓度将随时间而增长，最终导致核爆炸）

【解】根据题意，可以得出一个非齐次的泛定方程和齐次的边界条件，如下：

u x

u a t u ∂β+∂∂=∂222 ......（1） 00====l x x x x u u (2)

经过分析，（1）为常系数偏微分方程，（2）为齐次边界条件，所以可以直接使用分离变量的方法来解方程。

设，代入（1）有：

)()(),(t T x X t x U = 0)()()()()('

'2''=−−t T x X t T X a t T x X β 整理得：λβ−=−=)

()()()()(2''''t T a t T t T x X x X ......（3） 得： (4)

0)()(''=+x X x X λ (5)

0)()0(''==l X X (6)

0)()()(2''=−+t T a t T βλ 根据特征值方程（4）（5）得：)cos(

)(x l n A x X π= （n=0，1，3……）…（7） 2)(l

n πλ= ……（8） 将（8）代入另一个常微分方程（6），得： t l a n Ce

t T }){(2)(βπ−= ……（9） 从而可以得到中子浓度的表达式： ∑∞−=0}){()cos(),(2x l

n e

C t x u t l a n n πβπ （n=0，1，2，3……）……（10） 分析上式，可以看到，如果e 的指数大于零，那么浓度就是增加的，所以临界厚度就是e 的指数等于零，故临界厚度为βπ

a 。

【注】通过这个题目可以总结如下几点：

① 分离变量法的最核心的部分就是在于求解特征值方程，这是基础； ② 在计算特征值方程的时候，n 是否取零，要注意，这点非常容易忽视！

③ 上述题目与已经推导出来的用E 表示的激电方程有类似之处，

解决激电方程时可以效仿该题目！

五、非齐次泛定方程和非齐次边界条件的处理方法

该部分要看书，非齐次边界条件的处理很简单，非齐次泛定方程需要用冲量定理来解决，目前还没有掌握该方法！

另外看看解的结垢定理是怎么回事？

第三章 球坐标下的拉普拉斯方程的解法

一、各种坐标下的拉普拉斯方程的表示方式 直角坐标系：

圆柱坐标系： 球坐标系：

平面及坐标系：01122222=∂∂+∂∂+∂∂ϕu r r u r r

u 二、球坐标系下拉普拉斯方程的解法