自控第二章(第4讲)
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【精编】自动控制原理第2章PPT课件
隙磁通的乘积成正比，又因磁通恒定，有Md Kmia，
联立求解，整理后得
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
6
（续上页）
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
的中间变量无法反映出来。
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
自动控制原理
16
2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
（2）惯性环节 G(s) 1 Ts 1
T ——惯性环节时间常 数
（3）积分环节 G(s) 1 Ts
当积分环节的输入信号为单位阶跃 函数时，则输出为t/T，它随着时间直线 增长。
或
w ww T a T m d d 2 t2 T m d d t K 1 eu a T J m M L T a J T m d M d tL
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)
Ta
联立求解，整理后得
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
6
（续上页）
w ww K L e a K J m d d 2 t2 K R e a K J m d d t K 1 eu a K R e K a m M L K L e K a m d M d tL
自动控制原理
15
2.3.1 传递函数的性质
(1)传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m一 般低于或等于分母的阶数n， 即m≤n ，且所有系数均为 实数。
(2)传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用 及初始条件无关。
(3)一定的传递函数有一定的零、极点分布图与之对应，因
此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
的中间变量无法反映出来。
(6)一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的函数关系。
自动控制原理
16
2.3.1 典型环节及其传递函数
（1）比例环节 G(s)= K
（2）惯性环节 G(s) 1 Ts 1
T ——惯性环节时间常 数
（3）积分环节 G(s) 1 Ts
当积分环节的输入信号为单位阶跃 函数时，则输出为t/T，它随着时间直线 增长。
或
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Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)
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自动控制理论第二章分解PPT课件
?
t2
2
L t22Ltdt
1 s
t
dt
1 s2
1 s
t2 2
1 s3
15
t0
2020/11/3
拉普拉斯变换
（4）实位移定理 Lf(t0) e τ0sF (s)
证明： 左0f(t0)etsdt
令 t 0
f( )es(0)d e0s
f()esd 右
0
0
0 t 0
例6 ft1 0t a, 求F(s)
20
n
n 1
n
式中系数an和bn由下式给出
a 2 T / 2 f (t ) cos ntdt , n 0,1,2,
T n
T / 2
b 2 T / 2 f (t )sinntdt , n 1,2,
T n
T / 2
式中 2/T称为角频率
6 2020/11/3
• 工程上常用傅里叶方法分析线性系统 • 周期函数：傅氏级数 • 非周期函数：傅氏积分变换
例1 已知 F(s) 1 ，求 f(t)? s(s a)
解.
F(s) 1 (sa)-s a s(sa)
1 a
1 s
1 s a
f(t)1 1eat
a
21
2020/11/3
拉普拉斯变换
用L变换方法解线性常微分方程
a n c (n ) a n 1 c (n 1 ) . .a .1 c a 0 c b m r ( m ) b m 1 r ( m 1 ) . .b 1 .r b 0 r
0 初条件 n>m
L : ( a n s n a n 1 s n 1 . .a . 1 s a 0 ) C ( s ) ( b m s m b m 1 s m 1 . .b 1 . s b 0 ) R ( s )
自动控制原理(胡寿松) 第二章PPT课件
mdd 2x2 (tt)fdd(tx)tk(x t)F(t)
F
k
m
x
k和f分别为弹簧的弹性系数和阻尼器的粘性摩擦系数。 负号表示弹簧力的方向和位移的方向相反； 粘性摩擦力的方向和速度的方向相反。
9
例2 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电感、电容、运算放大器
等元件组成的电路，又称电气网络。仅由电阻、电感、电容(无源 器件)组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包含运算放 大器(有源器件)，就称为有源网络。
i(t) C duo (t) dt
消去中间变量i (t )，可得
Ld C 2 d u o 2 (tt)Rd C d o( u t)t u o(t)u i(t)
11
Ld C 2 d u o 2 (tt)Rd C d o( u t)t u o(t)u i(t) mdd 2x2 (tt)fdd(tx)tk(x t)F(t)
4
2. 1 系统微分方程的建立
2.1 控制系统的微分方程
控制系统的数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量 以及内部各变量之间关系的数学表达式。而把描述各变量动 态关系的数学表达式称为动态模型。常用的动态数学模型有 微分方程、传递函数及动态结构图。
建立数学模型，可以使用解析法和实验法
对根实据际系系统统及或元元件件各加变入量一之定间形所式遵的循输的 入物信理号、，化根学据定输律入，信列号写与出输各出变信量号间间的 的数关学系表来达建式立，数从学而模建型立的起方数法学模型的 方法
F
k
m x
8
解：在物体受外力F的作用下，质量m相对于初始状态的位移、速度、 加速度分别为x、dx/dt、d2x/dt2 。设外作用力F为输入量，位移 x 为输 出量。根据弹簧、质量、阻尼器上力与位移、速度的关系和牛顿第二 定律，可列出作用在上的力和加速度之间的关系为
自动控制原理第二章PPT课件
(2)实验法
.
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的
物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并 实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号
（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根 据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识
出系统的数学模型。
.
5
总结： 解析方法适用于简单、典型、
常见的系统，而实验方法适用于复杂、 非常见的系统。实际上常常是把这两 种方法结合起来建立数学模型更为有 效
Mc转(t)矩-电（动N机·m和/ra负d载/s）折合到电动机轴上的等效负载
.
18
将式①-④联立求解：
T lT m d 2 d t ( t) T m d d t ( t) ( t) K u U r ( t) K m [ T ld M d c t( t) M c ( t) ]⑤
Tl
L R
——电动机电磁时间常数（s）
m
F2阻尼器的阻力
整 理 得 到 ： m d 2x(t)fd x(t) k x(t)F (t)
d t2
d t
.
11
d2x(t) dx(t) mdt2 f dt ky(t)F(t)
式中：x——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); k ——弹簧刚度（N/m)。
将上式的微分方程标准化
m kdd 2x t2 (t)kf dx d(tt)x(t)k 1F(t)
F(t) f
.
k M x(t)
10
输入F(t)，输出x(t)理论依据:牛顿第二定律, 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的
乘积. Fma
F1kx(t),F2
f
dx(t) dt
自动控制原理第二章
at
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
1 te (s a)2 sin t 2 s 2 s cos t 2 s 2
at
拉普拉斯积分下限说明：
在拉氏变换定义中，积分下限0，有左极限和右极限之分，对于在t 0 处连续或只有第一类间断点的函数， 0的左极限与右极限是相同的，对于 t 0处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。 在实际中，右极限没有体现出[0 , 0 ]区间内的跳跃性，而左极限包含这 一区间，所以0 型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中， 如不特殊声明，均认为是左极限变换。
2.常用函数拉普拉斯变换
(1) (2) (3) (4) (5)
(t ) 1 1 1(t ) s 1 t 2 s t n 1 1 n (n 1) ! s 1 at e sa
(6) (7) (8)
(9) e sin t ( s a)2 2 sa at (10) e cos t ( s a)2 2
1 周期： T f
K
Tห้องสมุดไป่ตู้
角频率： 2π f 频率： f 初相：
0
2
t
● 正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。
1-5 自动控制系统的分析与设计工具
Matlab 草稿纸式编程语言 良好的人机界面 结论可做一定等级的理论论据 Simulink工具箱
求微分方程的特解 .
控制系统建模的MATLAB方法
在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。 控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；
（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系
《自动控制原理》课件第二章
Cen idRd
Ld
d id dt
ud
(2-4)
当略去电动机的负载力矩和粘性摩擦力矩时，机械运动
微分方程式为
M GD2 d n 375 d t
(2-5)
式中，M为电动机的转矩(N·m)； GD2为电动机的飞轮矩
(N·m2)。当电动机的励磁不变时，电动机的转矩与电枢电
流成正比，即电动机转矩为
M=Cmid
称为相似量。如式(2-1)中的变量ui、uo分别与式(2-3)中的变
量f(t)、y(t)为对应的相似量。
2.1.2 线性定常微分方程求解及系统运动的模态 当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条
件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间变 化的特性。
若线性定常连续系统的微分方程模型的一般表示形式为 y(n)(t)+a1y(n－1)(t)+···+any(t)=b0u(m)(t)+b1u(m－1)(t)+…+bmu(t)
x0
( x x0 )2
当增量x－x0很小时，略去其高次幂项，则有
y
y0
f (x)
f (x0)
d f (x) dx
x0
(x x0)
令Δy=y－y0=f(x)－f(x0)，Δx=x－x0，K=(df(x)/dx)|x0，则线性
化方程可简记为Δy=KΔx。这样，便得到函数y=f(x)在工作
点A附近的线性化方程为y=Kx。
图2-4 小偏差线性化示意图
对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f(x1，x2)，同样 可在某工作点(x10，x20)附近用泰勒级数展开为
y
f (x1 ，x2 )
f
自控控制原理第2章课件
第一节 列写系统微分方程
人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律 用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间 关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。
建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机 理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循 的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数 据通过整理编写出来。
Ld Rd
Tm
GD2 375
Rd cmce
则得
TmTd
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n
ud ce
6
列写系统微分方程
以上两例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学 模型却是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称 之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。
对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出 的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一 个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系 统的理论出现了仿真研究法。
C
R
uo
C
11
列写系统微分方程
方法一：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo dt
uo
uo1
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo1 dt
uo1
ui
代入上式中得：
(RC)2
d 2uo dt 2
2RC
duo dt
uo
ui
但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应（耦合），因此 它们不能划分为独立的两个环节。
di ed id Rd Ld dt ud ed cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程
人们常将描述系统工作状态的各物理量随时间变化的规律 用数学表达式或图形表示出来，这种描述系统各个物理量之间 关系的数学表达式或图形称为系统的数学模型。
建立数学模型有两种方法：机理分析法和实验辨识法。机 理分析法是通过理论推导得出，这种方法是根据各环节所遵循 的物理规律来编写；实验辨识法是由实验求取，即根据实验数 据通过整理编写出来。
Ld Rd
Tm
GD2 375
Rd cmce
则得
TmTd
d 2n dt 2
Tm
dn dt
n
ud ce
6
列写系统微分方程
以上两例中的物理部件（环节）不尽相同，但它们的数学 模型却是相同的。我们把具有相同数学模型的不同物理系统称 之为相似系统。在相似系统中，占据相应位置的物理量称为相 似量。
对于同一个物理系统，当输入量、输出量改变时，所求出 的数学模型却是不同的。利用相似系统的概念，我们可以用一 个易于实现的系统来研究与其相似的复杂系统，并根据相似系 统的理论出现了仿真研究法。
C
R
uo
C
11
列写系统微分方程
方法一：从第一个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo dt
uo
uo1
从第二个电容、电阻网络环节列出微分方程：
RC
duo1 dt
uo1
ui
代入上式中得：
(RC)2
d 2uo dt 2
2RC
duo dt
uo
ui
但实际上第一个网络和第二个网络之间存在负载效应（耦合），因此 它们不能划分为独立的两个环节。
di ed id Rd Ld dt ud ed cen
根据电动机力矩平衡原理列微分方程
自动控制原理第2章PPT课件
经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
27
第27页/共122页
注意:
(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。 (2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能 在小范围内变化。 (3)线性化方程中的系数k与工作点有关。 (4)严重的非线性不能用小偏差法，用第7章的方法。
28
第28页/共122页
d mr(t)
d m1r(t)
dr(t)
bm dtm bm1 dtm1 b1 dt b0r(t)
21
第21页/共122页
2.1.3 线性系统的基本特性
叠加原理=叠加性+均匀性（或叫齐次性）。 1、叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独 作用时分别产生的输出之和；
2、均匀性：若外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。
量关系的微分方程。
标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方
程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边
各导数项均按降幂排列。
8
第8页/共122页
2.1.2 线性系统微分方程的建立实例
例1. 列写如图所示RLC网络的微分方程。
9
第9页/共122页
解:
A 确定输入输出量:
ur(t) ----输入量, uc(t) ----输出量 B 分析电路
零初始条件：输入r(t)和输出c(t)及其各阶系数在t=0时的值 均为零，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝ L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为
30
第30页/共122页
传递函数的描述方法
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am ]R(s)
27
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注意:
(1)小偏差法只适用于不太严重的非线性系统。 (2)实际运行情况是在某个平衡点附近，变量只能 在小范围内变化。 (3)线性化方程中的系数k与工作点有关。 (4)严重的非线性不能用小偏差法，用第7章的方法。
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d mr(t)
d m1r(t)
dr(t)
bm dtm bm1 dtm1 b1 dt b0r(t)
21
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2.1.3 线性系统的基本特性
叠加原理=叠加性+均匀性（或叫齐次性）。 1、叠加性：两个外作用同时加于系统所产生的总输出，等于各个外作用单独 作用时分别产生的输出之和；
2、均匀性：若外作用的数值增大若干倍，其输出亦相应增大同样的倍数。
量关系的微分方程。
标准化微分方程，惯例把与输入量有关各项写在方
程右边,把输出量有关各项写在方程左边,方程两边
各导数项均按降幂排列。
8
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2.1.2 线性系统微分方程的建立实例
例1. 列写如图所示RLC网络的微分方程。
9
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解:
A 确定输入输出量:
ur(t) ----输入量, uc(t) ----输出量 B 分析电路
零初始条件：输入r(t)和输出c(t)及其各阶系数在t=0时的值 均为零，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令C(s)＝ L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为
30
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传递函数的描述方法
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s am ]R(s)
自动控制原理第六版课件-第二章【可编辑全文】
⑶ 传递函数的局限性： 只适用于描述线性定常SISO系统，也只直接反应系统在零初始
条件下的动态特性。
2021/3/10
讲解：XX
12
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2．5 典型环节及其传递函数
1. 典型环节的传递函数及其单位阶跃响应
序号 典型环节
传递函数
1
比例环节
[s2Y（s）-s y (0-)- y′(0-)]+2[sy（s）- y (0-)]+2Y（s）= X（s）
代入已知条件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1
整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）
故 y（t）= L-1[Y（s）]= L-1[1/（s2+2s+2）]
=(1/2j) L-1 [1/（s+1-j）-1/（s+1+j）] =(1/2j)[ e-（1-j）t- e-（1+j）t] = e-tsint
⑶ 特点及建模原则：（略）
2021/3/10
讲解：XX
2
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2． 建模方法及步骤
⑴ 方法：分析法（主）和实验法；
⑵ 主要步骤：
※ 确定系统的输入、输出变量； ※ 从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分 方程）； ※ 消去中间变量，并将其化为标准注形式。
8
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
由于 u c′（0）= u c′（t）t=0 =i（0）/C 将已知各条件代入后有：
（s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2)
条件下的动态特性。
2021/3/10
讲解：XX
12
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2．5 典型环节及其传递函数
1. 典型环节的传递函数及其单位阶跃响应
序号 典型环节
传递函数
1
比例环节
[s2Y（s）-s y (0-)- y′(0-)]+2[sy（s）- y (0-)]+2Y（s）= X（s）
代入已知条件，注意X（s）=L[x（t）]=L[δ(t)]=1
整理后得：Y（s）=1/（s2+2s+2）
故 y（t）= L-1[Y（s）]= L-1[1/（s2+2s+2）]
=(1/2j) L-1 [1/（s+1-j）-1/（s+1+j）] =(1/2j)[ e-（1-j）t- e-（1+j）t] = e-tsint
⑶ 特点及建模原则：（略）
2021/3/10
讲解：XX
2
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
2． 建模方法及步骤
⑴ 方法：分析法（主）和实验法；
⑵ 主要步骤：
※ 确定系统的输入、输出变量； ※ 从输入端开始，依次列写各元件/环节的运动方程式（如微分 方程）； ※ 消去中间变量，并将其化为标准注形式。
8
Automatic Control Theory
§2.控制系统的数学模型
由于 u c′（0）= u c′（t）t=0 =i（0）/C 将已知各条件代入后有：
（s2+s+1）Uc（s）= Ur（s）+0.1(s+2)
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t
s 0
例15 F(s)
1
s(sa)(sb)
fls i0m sssa1sba1b
例16
Fs
s2
ω ω2
f siω nt t ls im 0 ss2
ω ω2
0
2-1 控制系统的时域数学模型
常见函数拉氏变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
2-1 控制系统的时域数学模型
（6）初值定理 lim f(t)lim sF(s)
t 0
s
证明：由微分定理 d(ft)estd tsF(s)f(0)
0 dt
lim d(tf)e std tlis m F (s)f(0 )
s 0 dt
s
左 d(ft)lim estd t 0 0 dt s
2-1 控制系统的时域数学模型
例3 设有由惯性负载和粘性摩擦阻尼器构成的机械转
动系统，如图所示。试列写以力矩Mi为输入变量，角 速度ω为输出变量的系统微分方程。
Mi
ω
J
1． 输入 M i ，输出
２. 理论依据：角加速度方程
f
J
d
dt
M
2-1 控制系统的时域数学模型
J ddt Mi f
（1）
Mi J
例４ 电枢控制直流电动机如图，电枢电压 u a 为输 入量，电动机转速 m 为输出量， R a 是电枢电路的
电阻, M L 为负载转矩。
2-1 控制系统的时域数学模型
１. 确定输入输出 ２. 理论依据：
基尔霍夫定律：ua RiEb
楞次定律： Eb Cem
安培定律： MmCmi
精品课件-自动控制原理-第2章
1 sn
F(s)
n
(2.15)
第二章 线性系统的数学描述
4) 初值定理 函数f(t)在t=0时的函数值可以通过f(t)的拉氏变换F(s)乘 以s取s→∞时的极限而得到, 即
lim f (t) f (0) lim sF(s)
t 0
s
(2.16)
第二章 线性系统的数学描述
5) 终值定理 函数f(t)在t→+∞时的函数值(即稳定值)可以通过F(s)的 拉氏变换F(s)乘以s取s→0 时的极限而得到, 即
c(0) c(0) c(0) c(n1) (0) 0 r(0) r(0) r(0) r(m1) (0) 0
则根据拉氏变换的定义和性质,对式(2.18)进行拉氏变换, 并令 C(s)=L［c(t)］, R(s)=L［r(t)］,可得
[a0sn a1sn1 an1s an ]C(s) [b0sm b1sm1 bm1s bm ]R(s)
第二章 线性系统的数学描述
2.1.1 电气系统
电气系统中最常见的装置是由电阻、电容、运算放大器等元 件组成的电路, 又称电气网络。我们将电阻、电感和电容等本身 不含有电源的器件称为无源器件,而将运算放大器这样本身包含 电源的器件称为有源器件。仅由无源器件构成的电气网络称为无 源网络；如果电气网络中含有有源器件或电源, 就称之为有源网 络。
第二章 线性系统的数学描述
2.1.2 机械系统
【例 2-3】 图2-3表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器 的机械位移装置。其中k是弹簧系数，m是运动部件质量，μ是阻 尼器的阻尼系数；外力f(t)是系统的输入量，位移y(t)是系统的 输出量。试确定系统的微分方程。
解 根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉
自动控制理论第二章
等其它模型均由它而导出 ➢状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式
建立系统数学模型的方法
➢ 实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
➢ 解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理
定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。
2020/3/20
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
9
自动控制理论
➢ 直流他励电动机 被控制量是电动机的转速n 。 控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL
由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得
ia R
L
d ia dt
C en
EG
Te
TL
GD 2 375
dn dt
Te C u ia
2020/3/20
第二章 控制系统的数学模型
10
上式中消去中间变量 T e 和 i a 后得到
间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式
2020/3/20
第二章 控制系统的数学模型
7
自动控制理论
➢ 放大器
u1 ue
K1
(2-4)
➢ 直流他励发电机
假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发 电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁 化曲线为一直线 ，即Φ/iB =L。
图2-6 直流他励发电机电路图
2020/3/20
设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为
2020/3/20
y=f(x)
（2-13）
图 2-9 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型
13
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
建立系统数学模型的方法
➢ 实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
➢ 解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理
定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。
2020/3/20
第二章 控制系统的数学模型
2
自动控制理论
第一节 列写系统微分方程的一般方法
9
自动控制理论
➢ 直流他励电动机 被控制量是电动机的转速n 。 控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL
由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得
ia R
L
d ia dt
C en
EG
Te
TL
GD 2 375
dn dt
Te C u ia
2020/3/20
第二章 控制系统的数学模型
10
上式中消去中间变量 T e 和 i a 后得到
间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式
2020/3/20
第二章 控制系统的数学模型
7
自动控制理论
➢ 放大器
u1 ue
K1
(2-4)
➢ 直流他励发电机
假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发 电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁 化曲线为一直线 ，即Φ/iB =L。
图2-6 直流他励发电机电路图
2020/3/20
设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为
2020/3/20
y=f(x)
（2-13）
图 2-9 非线性特性的线性化
第二章 控制系统的数学模型
13
自动控制理论
在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数
自动控制原理课件第二章
延滞环节
传递函数：
G(s) X c (s) es Xr (s)
运动方程式：
xc (t) xr (t )
—环节的时间常数
近似处理
es 1s 2s2 3s3 .... 1s
2! 3!
es
1 es
1
s
2
s
1
2
3s3
1
.... 1s
2! 3!
第28页/共97页
水箱进水管的延滞
第29页/共97页
j 1
k 1
传递函数： G(s) X c (s) K ( 2s2 2 s 1)
X r (s)
运动方程式：xc (t) K[ 2
d
2 xr (t dt 2
)
2
dxr (t) dt
xr
(t)]
1 两个串联的一阶微分环节
K ——环节的放大系数 T ——环节的时间常数 ——环节的阻尼比
第27页/共97页
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
第13页/共97页
放大环节/比例环节
b
c
K
(is 1)
(
2 l
s
2
2
l
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
传递函数： G(s) X c (s) K X r (s)
运动方程式： xc (t) Kxr (t)
K ——环节的放大系数
第14页/共97页
齿轮传动
第15页/共97页
自动控制理论电子教案第2章PPT课件
8
拉氏变换与拉氏反变换
9
一、拉氏变换￡ ￡-1 1、定义
L [f(t) ] f(t)esd t tF(s) 0
sj为复频率 2、拉氏变换定理 （1）线性性质 设 F1(s)L[f1(t)]、F2(s)L[f2(t)]，a、b为常数，则
￡
L a 1 ( t ) b 2 f ( t ) a f f 1 ( t ) L b f 2 ( t ) L a 1 ( s ) b F 2 ( s )F
mdd 2x2 (tt)fdd(tx)tK(tx )F(t)
5
综合出列写系统微分方程的步骤如下：
1）根据组成系统各元部件的工作原理及其在控制系统
中的作用，确定系统输入量和输出量；
2）分析各元部件工作所遵循的物理定律，列写相应的
微分方程；
3）消去中间变量，得出输出量与输标准形式：
叠加性：当 f1(t) 、 f2 (t) 同时作用时，c(t)c1(t)c2(t) 均匀性：当 f(t)Af1(t)时，c(t)Ac1(t) 线性系统的叠加原理表明：两个外作用同时加于系统所产生的 总输出，为各个外作用单独作用时分别产生的输出之和。
7
4、线性定常微分方程的求解
（1）经典法：高等数学
f(0)tl 0 im f(t)ls i sm (F s)
（5）终值定理 若函数 f (t) 及其一阶导数都是可拉氏变换的，则
lim f(t)lim sF (s)
t
s 0
（6）位移定理
消去中间变量 i(t) ，便得到描述网络输入输出关系 的微分方程为
Ld C 2 d uo 2 (tt)Rd C d o(u t)tuo(t)ui(t)
4
例2：弹簧-质量-阻尼器机械移位系统
《自动控制原理 》课件第2章
为
L
d i(t) dt
R i(t )
uc (t)
ur (t)
uc
(t)
1 C
i(t)dt
消去中间变量i(t)，便得到描述网络输入与输出之间关 系的微分方程为
LC
d2 uc (t) dt2
RC
d uc (t) dt
uc (t)
ur (t)
(2-1)
令T1＝L/R，T2＝RC均为时间常数，则有
T1T2
d
dt
K 1 K0
(
dug dt
u
g
)
1
K
m
K
0
(Ta
dM c dt
Mc)
(2-19) 式(2-19)表明：电机转速控制中，电机的转速ω既与给定作 用ug有关，又和扰动作用Mc有关。
当ug为变量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统， Mc一般不变。此时微分方程为
TaTm 1 K0
d2
dt2
Tm K0
速ω之间的关系为
TaTm
d2
dt2
Tm
d
dt
Ku K3K2K1(
d ug dt
ug )
(2-16)
(5)测速发电机：测速发电机的输出电压uf与其转速ω
成正比，即
uf＝Kf·ω
式中：Kf是测速发电机的比例系数。
(2-17)
合并方程式(2-13)～(2-17)，消去中间变量u1、u2、ua和 uf，经整理后得
1 K0
d
dt
K
1 K0
(
d ug dt
ug )
(2-20)
当ug为常值，Mc为变化量时，系统为恒值调速系统。此时 的微分方程为
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1 t RC
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
1 例1 已知 F(s) ，求 f ( t ) ? s(s a)
1 1 (s a)-s 1 1 解. F(s) a s(s a) a s s a
f(t) 1 1 e at a
复习拉普拉斯变换有关内容（13）
用L变换方法解线性常微分方程 (an 1)
2 j ( 1 j ) t 2 j ( 1 j ) t 1 e t ( 2 j )e jt ( 2 j )e jt f(t) e e 2j 2j 2j 1 t e j2 cos t 4 sint e t cost 2 sint 2j s 1 1 s 1 2 s3 2 F(s) 解二： 2 2 2 2 2 2 (s 1 ) 1 (s 1 )2 12 (s 1 ) 1 (s 1 ) 1
复习拉普拉斯变换有关内容（19）
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s( s 1) ( s 3) C3 C2 C1 C4 解. F(s) (s 1 )2 s 1 s s 3
例5 已知 F ( s )
1 2 1 s2 C 2 lim(s 1 ) 2 s 1 s(s 1 )2(s 3 ) ( 1 )( 1 3 ) 3 s( s 3) ( s 2)[s 3 s] 1 d s2 2 lim C1 lim (s 1 ) 4 s 2 ( s 3) 2 1! s1 ds s(s 1 )2(s 3 ) s1 s2 2 C 3 lims. s 0 s(s 1 )2(s 3 ) 3 s2 1 C 4 lim( s 3) s 3 s(s 1 )2(s 3 ) 12
f(t) et cos t 2et sin t et cos t 2sin t
复习拉普拉斯变换有关内容（17）
II. 当 A( s ) ( s p1 )( s pn ) 0 有重根时
(设 p1为m重根，其余为单根)
Cm Cm-1 C m 1 Cn C1 F(s) m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm 1 s-pn
1 1 L f t dt F s f -1 0 s s
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
L f (t ) e τ s F ( s)
L e At f (t ) F ( s A)
lim f ( t ) lim s F ( s )
I. 当 A( s ) 0 无重根时
n Cn Ci C1 C2 F(s) s p1 s p2 s pn i 1 s pi
其中：
C i lim (s pi ).F(s)
s pi
B(s) Ci A(s)
s pi
f (பைடு நூலகம்t ) C1 e
(t ) 1( t ) t
e at sin t cos t
t2 2
(s2 2 ) s (s2 2 )
课程回顾(3)
4 L变换重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理 （3）积分定理
L f t s F s f 0
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
2
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 3 2 1 f(t) te t e t e 3 t 2 4 3 12
线性定常微分方程求解
例6
R-C 电路计算
c uc ur RCu
复习拉普拉斯变换有关内容（18）
F(s)
m
Cm Cm-1 C m 1 Cn C1 (s-p1 )m (s-p1 )m-1 s-p1 s-pm 1 s-pn
2 m1
(s-p1 ) F(s) Cm Cm-1(s-p1 ) Cm- 2(s-p1 ) C1(s-p1 )
r ( t ) ( t )
1 2 n
i
复习拉普拉斯变换有关内容（14）
用留数法分解部分分式 B( s ) bm s m bm 1 s m 1 ... b0 (n m ) 一般有 F ( s ) n n 1 A( s ) an s an1 s ... a0 A( s ) an s n an1 s n1 ... a0 ( s p1 )( s p2 )( s pn ) 设
课程回顾(2)
2 拉氏变换的定义 3 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F ( s ) f (t ) e tsdt
0
f (t )
F ( s)
1 1s 2 1s 3 1s 1 ( s a)
C1 lim(s 1 )
s2 1 2 1 s 1 (s 1 )(s 3 ) 1 3 2 s2 3 2 1 C 2 lim(s 3 ) s 3 (s 1 )(s 3 ) 3 1 2
F(s)
12 12 s1 s 3
自动控制原理
西安石油大学电子工程学院
自 动 控 制 原 理 教 学 组
自动控制原理
（第 4 讲）
第二章 控制系统的数学模型
复习： 拉普拉斯变换有关知识 §2.3 控制系统的复域数学模型
课程回顾 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
p1t
C 2e
p2 t
C ne
pn t
C i e pi t
i 1
n
复习拉普拉斯变换有关内容（15）
例2 已知 F ( s )
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s 4s 3 s2 C C 1 2 解. F(s) (s 1 )(s 3 ) s 1 s 3
s p1
C m 1(s-p1 )m C n(s-p1 )m s-pm 1 s-pn
lim (s p1 )m .F(s) C m
d (s p1 )m .F(s) 0 C m 1 2C m 2 ( s p1 ) ( m 1)C1 ( s p1 )m 2 ds 1 d lim (s p1 )m .F(s) C m- 1 1! s p1 ds d2 m m3 (s p ) .F(s) 0 0 2 C ( m 1 )( m 2 ) C ( s p ) 1 m2 1 1 2 ds 1 d2 lim 2 (s p1 )m .F(s) C m- 2 2! s p1 ds
an c ( n ) an1c ( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm 1r ( m 1) ... b1r b0 r
0 初条件
n>m
L : (an s n an1 s n1 ... a1 s a0 )C ( s ) (bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 ) R( s )
t 0 s s0
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
复习拉普拉斯变换有关内容（12）
5 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e t s ds
（2）查表法（分解部分分式法）
试凑法 系数比较法 留数法
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 C ( s) R( s ) n n 1 an s an1 s ... a1 s a0 bm s m bm 1 s m 1 ... b0 Cn C1 C2 C ( s) n n 1 s n an s an1 s ... a0 s 1 s 2 i : 特征根（极点） t t t 1 1 L : c(t ) L [C ( s)] C1e C2e Cne t i 的模态 相对于 e:
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
E0 RC C lim s E0 0 s0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 s 1 1 RC s( s ) RC RC
f(t)
1 t 1 3t e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
s2 12 12 ( s 2 4 s 3) ( s 2) 1 1 解. F(s) ( s 1)(s 3) s1 s 3 s 2 4s 3 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
复习拉普拉斯变换有关内容（16）
s3 ，求 f ( t ) ? 2 s 2s 2 s3 C1 C2 F(s) 解一. (s 1-j)(s 1 j) s 1-j s 1 j
ur Ri uc c i Cu c uc ur RCu
RC[ sU c ( s) uc (0)] Uc ( s) Ur ( s)
( RCs 1) Uc ( s) U r ( s) RCuc (0)
1 例1 已知 F(s) ，求 f ( t ) ? s(s a)
1 1 (s a)-s 1 1 解. F(s) a s(s a) a s s a
f(t) 1 1 e at a
复习拉普拉斯变换有关内容（13）
用L变换方法解线性常微分方程 (an 1)
2 j ( 1 j ) t 2 j ( 1 j ) t 1 e t ( 2 j )e jt ( 2 j )e jt f(t) e e 2j 2j 2j 1 t e j2 cos t 4 sint e t cost 2 sint 2j s 1 1 s 1 2 s3 2 F(s) 解二： 2 2 2 2 2 2 (s 1 ) 1 (s 1 )2 12 (s 1 ) 1 (s 1 ) 1
复习拉普拉斯变换有关内容（19）
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s( s 1) ( s 3) C3 C2 C1 C4 解. F(s) (s 1 )2 s 1 s s 3
例5 已知 F ( s )
1 2 1 s2 C 2 lim(s 1 ) 2 s 1 s(s 1 )2(s 3 ) ( 1 )( 1 3 ) 3 s( s 3) ( s 2)[s 3 s] 1 d s2 2 lim C1 lim (s 1 ) 4 s 2 ( s 3) 2 1! s1 ds s(s 1 )2(s 3 ) s1 s2 2 C 3 lims. s 0 s(s 1 )2(s 3 ) 3 s2 1 C 4 lim( s 3) s 3 s(s 1 )2(s 3 ) 12
f(t) et cos t 2et sin t et cos t 2sin t
复习拉普拉斯变换有关内容（17）
II. 当 A( s ) ( s p1 )( s pn ) 0 有重根时
(设 p1为m重根，其余为单根)
Cm Cm-1 C m 1 Cn C1 F(s) m m-1 (s-p1 ) (s-p1 ) s-p1 s-pm 1 s-pn
1 1 L f t dt F s f -1 0 s s
（4）实位移定理
（5）复位移定理 （6）初值定理 （7）终值定理
L f (t ) e τ s F ( s)
L e At f (t ) F ( s A)
lim f ( t ) lim s F ( s )
I. 当 A( s ) 0 无重根时
n Cn Ci C1 C2 F(s) s p1 s p2 s pn i 1 s pi
其中：
C i lim (s pi ).F(s)
s pi
B(s) Ci A(s)
s pi
f (பைடு நூலகம்t ) C1 e
(t ) 1( t ) t
e at sin t cos t
t2 2
(s2 2 ) s (s2 2 )
课程回顾(3)
4 L变换重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理 （3）积分定理
L f t s F s f 0
La f1(t) b f 2(t) a F1(s) b F2(s)
2
1 1 3 1 2 1 1 1 F(s) . . . . 2 (s 1 )2 4 s 1 3 s 12 s 3 1 3 2 1 f(t) te t e t e 3 t 2 4 3 12
线性定常微分方程求解
例6
R-C 电路计算
c uc ur RCu
复习拉普拉斯变换有关内容（18）
F(s)
m
Cm Cm-1 C m 1 Cn C1 (s-p1 )m (s-p1 )m-1 s-p1 s-pm 1 s-pn
2 m1
(s-p1 ) F(s) Cm Cm-1(s-p1 ) Cm- 2(s-p1 ) C1(s-p1 )
r ( t ) ( t )
1 2 n
i
复习拉普拉斯变换有关内容（14）
用留数法分解部分分式 B( s ) bm s m bm 1 s m 1 ... b0 (n m ) 一般有 F ( s ) n n 1 A( s ) an s an1 s ... a0 A( s ) an s n an1 s n1 ... a0 ( s p1 )( s p2 )( s pn ) 设
课程回顾(2)
2 拉氏变换的定义 3 常见函数L变换
（1）单位脉冲 （2）单位阶跃 （3）单位斜坡 （4）单位加速度 （5）指数函数 （6）正弦函数 （7）余弦函数
F ( s ) f (t ) e tsdt
0
f (t )
F ( s)
1 1s 2 1s 3 1s 1 ( s a)
C1 lim(s 1 )
s2 1 2 1 s 1 (s 1 )(s 3 ) 1 3 2 s2 3 2 1 C 2 lim(s 3 ) s 3 (s 1 )(s 3 ) 3 1 2
F(s)
12 12 s1 s 3
自动控制原理
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（第 4 讲）
第二章 控制系统的数学模型
复习： 拉普拉斯变换有关知识 §2.3 控制系统的复域数学模型
课程回顾 (1)
控制系统的数学模型
时域模型 — 微分方程
• 元部件及系统微分方程的建立 • 线性定常系统微分方程的特点 • 非线性方程的线性化 • 微分方程求解
p1t
C 2e
p2 t
C ne
pn t
C i e pi t
i 1
n
复习拉普拉斯变换有关内容（15）
例2 已知 F ( s )
s2 ，求 f ( t ) ? 2 s 4s 3 s2 C C 1 2 解. F(s) (s 1 )(s 3 ) s 1 s 3
s p1
C m 1(s-p1 )m C n(s-p1 )m s-pm 1 s-pn
lim (s p1 )m .F(s) C m
d (s p1 )m .F(s) 0 C m 1 2C m 2 ( s p1 ) ( m 1)C1 ( s p1 )m 2 ds 1 d lim (s p1 )m .F(s) C m- 1 1! s p1 ds d2 m m3 (s p ) .F(s) 0 0 2 C ( m 1 )( m 2 ) C ( s p ) 1 m2 1 1 2 ds 1 d2 lim 2 (s p1 )m .F(s) C m- 2 2! s p1 ds
an c ( n ) an1c ( n1) ... a1c a0c bm r ( m ) bm 1r ( m 1) ... b1r b0 r
0 初条件
n>m
L : (an s n an1 s n1 ... a1 s a0 )C ( s ) (bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 ) R( s )
t 0 s s0
lim f ( t ) lim s F ( s )
t
复习拉普拉斯变换有关内容（12）
5 拉氏反变换
（1）反演公式
f (t )
2 j j
1
j
F ( s ) e t s ds
（2）查表法（分解部分分式法）
试凑法 系数比较法 留数法
bm s m bm 1 s m 1 ... b1 s b0 C ( s) R( s ) n n 1 an s an1 s ... a1 s a0 bm s m bm 1 s m 1 ... b0 Cn C1 C2 C ( s) n n 1 s n an s an1 s ... a0 s 1 s 2 i : 特征根（极点） t t t 1 1 L : c(t ) L [C ( s)] C1e C2e Cne t i 的模态 相对于 e:
ur ( t ) E 0 1( t ) U r ( s) E0 s
E0 RC C lim s E0 0 s0 1 s( s ) RC C lim ( s 1 ) E0 RC E 0 1 s 1 1 RC s( s ) RC RC
f(t)
1 t 1 3t e e 2 2
s 2 5s 5 例3 已知 F ( s ) 2 ，求 f ( t ) ? s 4s 3
s2 12 12 ( s 2 4 s 3) ( s 2) 1 1 解. F(s) ( s 1)(s 3) s1 s 3 s 2 4s 3 1 1 f(t) ( t ) e t e 3 t 2 2
复习拉普拉斯变换有关内容（16）
s3 ，求 f ( t ) ? 2 s 2s 2 s3 C1 C2 F(s) 解一. (s 1-j)(s 1 j) s 1-j s 1 j