第四章 现代数学的发展趋势
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第四章现代数学的发展趋势
本章主要内容
● 数学的统一性 ● 数学应用的广泛性 ● 计算机与数学发展 一、数学的统一性 所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一 致。客观世界具有统一性，数学作为描述Leabharlann Baidu观世界的语言必然 也具有统一性。 数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分 支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透 和相互结合的趋势。
第四章现代数学的发展趋势
（2）以生物学为例 与物理和天文等学科相比， 生物学中应用相当迟缓. 将数 学方法引进生物学的研究大约始于20世纪初. 英国统计学家皮尔 逊（K.Pearson， 1857-1936）首先将统计学应用于遗传学和进 化论， 并于1902年创办了《生物统计学》（Biometrika）杂志， 统计方法在生物学中的应用变的日益广泛。 意大利生物学家达松纳（D’Ancona）在研究地中海各种鱼 群的变化及其彼此影响时，发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量 在全部渔获量中的比例成倍增长。他感到困惑的是作为鱼饵的 小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的。 什么原因使得鲨鱼的增长要比小鱼的增长更快呢？
第四章现代数学的发展趋势
1.自然科学的数学化 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它的 理论深刻地反映和刻画了现实世界的空间形式和数量关系。随 着社会进一步的发展，愈来愈需要对自然现象和客观物质作定 量研究。“数”与“形”在现实世界中无处不在，客观世界的 任何一种物质的几何形态都具有空间形式，其运动的路线是曲 线，而曲线是由一些数量的某种关系来刻画。这就决定了数学 及其方法可以运用于任何一门自然科学，数学是自然科学的基 础。
第四章现代数学的发展趋势
例1 社会科学的数学化，最早是经济学。在经济学中开始 引用数学方法，如果从古尔诺（Cournot）在1883年发表《财富 理论的数学原理之研究》一书算起，已有100多年的历史了。 现代数学揭示了经济学中新的经济规律，促进了经济知识 的完善化。例如，在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、 线性规划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资理论、 收入理论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。20世纪 50年代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致 大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。前 苏联数学家康托洛维奇（А .В .К а н т о р о в и ч ， 19121986）和美籍荷兰经济学家库普曼斯（T.C.Koopmans）同获 1975年度诺贝尔经济学奖. 康托洛维奇和美国数学家丹齐格 （G.B.Dantzig）各自独立创建的线性规划论，在20世纪50年代 被库普曼斯应用于经济学而获得成功。
第四章现代数学的发展趋势
达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他 请教意大利数学家伏尔泰拉（V. Volterra）。1926年， 伏尔泰 拉提出著名的伏尔泰拉方程 . 用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼） 增加，被食者（被食小鱼）减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少， 被食者增加。这给生物学一个满意的答复。这一现象现在称为伏 尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应用。如使用农药杀虫剂， 若把害虫及其天敌一起毒杀，则由于杀死害虫数量猛增，根据伏 尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下降更快，引起不利后果。
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其主要原因可以归结为有下面四个方面： 第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科 学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体 系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社 会历史现象的新的数学分支。如概率论、离散数学、模糊数学、 数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社会科 学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数 学化成为可能。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经 过量化后可以进行数值处理。
用微分方程建立生物模型在 20 世纪 50 年代曾获得轰动性成 果，这就是描述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利（HodgkinHuxley ）方程（ 1952 年）和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱 因-拉特里夫（Hartline-Ratliff ）方程（1958 年），它们都是 复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这 两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学奖。
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有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力 场理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理 论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须有理 论的数学结构，爱因斯坦为此花费了三年时间，最后在数学家格 罗斯曼（M.Grossmann）帮助下掌握了发展相对论引力学说所 必须的数学工具----以黎曼几何为基础的绝对微分学，即爱因斯 坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中， 爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程： 爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻 辑结构终于大功告成！”
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二．数学应用的广泛性 随着科学发展，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象， 而其中数学的渗透又特别明显。这种渗透不能简单地理解为把 数学作为一种科学研究的工具和技术，而是新的研究领域和交 叉学科建立的动力。数学已成为其他学科理论的一个重要组成 部分，这是数学应用日益广泛的体现。这种体现具体讲就是数 学化。 现代科学发展的一个显著特点是，自然科学、技术科学以 及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中，它们都在朝着愈 来愈精确的方向发展。电子计算机的发展和应用，为各门科学 的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。
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2）到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派 提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼 出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立 和发展，“数学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物， 就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不 断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚 未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又 在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的 布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的 更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。”
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2.社会科学的数学化 20世纪数学发展的另一个特点就是数学广泛应用于社会科 学之中，即社会科学数学化的趋势增长。 所谓社会科学数学化，就是指数学向社会科学的渗透，也 就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。 由于社会现象的随机因素较多，情况较复杂，因此在数学 化过程中所需的变量参数也较多，因此造成社会科学数学化的 难度比较大，社会科学数学化的进程也就较晚。但是，随着各 门科学和数学本身的进步，影响各种社会现象的因素将逐渐被 数学所阐明，因此运用数学的可能性就愈来愈大。从整个科学 发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势
第四章现代数学的发展趋势
3）20世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系， 数学分工愈来愈细，分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不 明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断加强，主要体现 在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致 了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起： 例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代 数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破 和发展都有密切的联系。
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布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构 （即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件， 由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数 结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的 不同而加以分类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支 只是数学结构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学 的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错 综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说， 布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。
第四章现代数学的发展趋势
自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性 研究揭示研究对象是否具有某种特征，定量研究揭示研究对象具 有某种特征的数量状态。精确的定量研究使人们能够对客观事物 的认识从现象上升到本质，从而可能有精确的科学预见功能。数 学是实现定量研究的必要条件。所以，一门科学只有当它与数学 充分地融合，才可能精确地揭示客观事物的状态和变化规律，才 会显示其真正的价值。 因此，自然科学研究必然要经过定量研究过程，所以科学研 究的一般过程是从定性研究出发，然后再研究其量的规律性，进 行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。 科学的数学化是有一个发展过程，它是从低级运动形态发展 到高级运动形态，以简单运动形态到复杂运动形态。与此相应的， 是从物理学、力学、天文学开始，发展到化学、生物学和工程技 术科学。
第四章现代数学的发展趋势
20世纪50年代以来，数量经济学由于公理化方法的引入而 取得了重大进展。1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛 （G.Debreu）发表了<价格理论>，对一般经济均衡理论给出 了严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究 的基本方法。阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝 尔经济学奖。
3）以医学为例 20世纪60年代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供了 这方面的又一重要实例。就是CT扫描仪的发明。1963-1964年 间，美籍南非理论物理学家科马克（A.M.Cormack）发表了计 算人体不同组织对X射线吸收量的数学公式，解决了计算机断 层扫描的理论问题。科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德 （G.N.Hounsfield）发明了第一台计算机X射线断层扫描仪即 CT扫描仪。科马克和亨斯菲尔德共同荣获了1979年诺贝尔医学 生理学奖。
例2 数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交 叉学科。它用数学方法来研究语言结构和语法形式属性。随着 现代科学技术的发展和电子计算机的推广应用，使人脑与电脑 通力协作，使数学与语言融为一体，产生计算机语言。
第四章现代数学的发展趋势
1.数学的统一性发展的三个阶段 1）初等数学的统一。（1）《几何原本》的诞生，是古希 腊数学家用公理化的演绎推理方法将之前的积累起来的关于数 学的经验进行了统一的整理，把它变成公理化的演绎体系。后 来到了17世纪，法国数学家费尔马、笛卡儿又用代数和几何一 一对应的方式将几何与代数进行了统一。至此，初等数学的统 一性很明显的体现出来了。同时，变量数学也诞生了。 （2）变量数学诞生后，数学的发展规模是空前的。由于变量 数学的诞生，产生了微积分，同时在19世纪产生了代数的变革 与几何的变革，几何的变革产生非欧几何体系，代数的变革产 生了新的抽象代数。由于微积分的诞生，出现了新学科如微分 方程、变分法等。这样新分支的诞生使数学发展有了非常大的 规模。
第四章现代数学的发展趋势
物理学应用数学的历史较长，18世纪是数学与经典力学相 结合的黄金时期。 19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑 桥学派的努力而形成了数学物理分支。 20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相 对论、量子力学以及基本粒子等方面取得了一个又一个的突破， 极大地丰富了数学物理的内容，同时，也反过来刺激了数学自 身的进步。 例1 在20世纪初，狭义相对论和广义相对论的创立过程中， 数学都起到了作用。 1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski，18641909）提出了”闵可夫斯基空间”（三维空间+时间的四维时 空），闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的 数学模型。
本章主要内容
● 数学的统一性 ● 数学应用的广泛性 ● 计算机与数学发展 一、数学的统一性 所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一 致。客观世界具有统一性，数学作为描述Leabharlann Baidu观世界的语言必然 也具有统一性。 数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分 支固有的内在联系的体现。它表现为数学的各个分支相互渗透 和相互结合的趋势。
第四章现代数学的发展趋势
（2）以生物学为例 与物理和天文等学科相比， 生物学中应用相当迟缓. 将数 学方法引进生物学的研究大约始于20世纪初. 英国统计学家皮尔 逊（K.Pearson， 1857-1936）首先将统计学应用于遗传学和进 化论， 并于1902年创办了《生物统计学》（Biometrika）杂志， 统计方法在生物学中的应用变的日益广泛。 意大利生物学家达松纳（D’Ancona）在研究地中海各种鱼 群的变化及其彼此影响时，发现鲨鱼及其他凶猛大鱼的捕获量 在全部渔获量中的比例成倍增长。他感到困惑的是作为鱼饵的 小鱼也应该多起来，并且鲨鱼在鱼群中的总体比例应该不变的。 什么原因使得鲨鱼的增长要比小鱼的增长更快呢？
第四章现代数学的发展趋势
1.自然科学的数学化 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它的 理论深刻地反映和刻画了现实世界的空间形式和数量关系。随 着社会进一步的发展，愈来愈需要对自然现象和客观物质作定 量研究。“数”与“形”在现实世界中无处不在，客观世界的 任何一种物质的几何形态都具有空间形式，其运动的路线是曲 线，而曲线是由一些数量的某种关系来刻画。这就决定了数学 及其方法可以运用于任何一门自然科学，数学是自然科学的基 础。
第四章现代数学的发展趋势
例1 社会科学的数学化，最早是经济学。在经济学中开始 引用数学方法，如果从古尔诺（Cournot）在1883年发表《财富 理论的数学原理之研究》一书算起，已有100多年的历史了。 现代数学揭示了经济学中新的经济规律，促进了经济知识 的完善化。例如，在经济学中应用运筹学中的博弈论、决策论、 线性规划等数学方法，来研究消费理论、生产理论、投资理论、 收入理论等。数学与经济学相结合产生了数学经济学。20世纪 50年代以后，数学方法在西方经济学中占据了重要地位，以致 大部分诺贝尔经济学奖都授予了与数理经济学有关的工作。前 苏联数学家康托洛维奇（А .В .К а н т о р о в и ч ， 19121986）和美籍荷兰经济学家库普曼斯（T.C.Koopmans）同获 1975年度诺贝尔经济学奖. 康托洛维奇和美国数学家丹齐格 （G.B.Dantzig）各自独立创建的线性规划论，在20世纪50年代 被库普曼斯应用于经济学而获得成功。
第四章现代数学的发展趋势
达松纳尽一切生物学上的解释都无法解开这个谜，于是他 请教意大利数学家伏尔泰拉（V. Volterra）。1926年， 伏尔泰 拉提出著名的伏尔泰拉方程 . 用微分方程知识解释道：当捕鱼量减小时，捕食者（鲨鱼） 增加，被食者（被食小鱼）减少；当捕鱼量增加时，捕食者减少， 被食者增加。这给生物学一个满意的答复。这一现象现在称为伏 尔泰拉原理，已在许多生物学领域中应用。如使用农药杀虫剂， 若把害虫及其天敌一起毒杀，则由于杀死害虫数量猛增，根据伏 尔泰拉原理，却会使捕食害虫的天敌下降更快，引起不利后果。
第四章现代数学的发展趋势
其主要原因可以归结为有下面四个方面： 第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科 学数学化的最根本的因素。 第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体 系的发展也需要精确化。 第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社 会历史现象的新的数学分支。如概率论、离散数学、模糊数学、 数理逻辑、系统论、信息论、控制论、突变论等，都为社会科 学数学化提供了有力的武器。这些新的数学分支使社会科学数 学化成为可能。 第四，电子计算机的发展与应用，使非常复杂社会现象经 过量化后可以进行数值处理。
用微分方程建立生物模型在 20 世纪 50 年代曾获得轰动性成 果，这就是描述神经脉冲传导过程的霍奇金-哈斯利（HodgkinHuxley ）方程（ 1952 年）和描述视觉系统侧抑制作用的哈特莱 因-拉特里夫（Hartline-Ratliff ）方程（1958 年），它们都是 复杂的非线性方程组，引起了数学家和生物学家的浓厚兴趣。这 两项工作分别获得1963年和1967年的诺贝尔医学生理学奖。
第四章现代数学的发展趋势
有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力 场理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理 论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须有理 论的数学结构，爱因斯坦为此花费了三年时间，最后在数学家格 罗斯曼（M.Grossmann）帮助下掌握了发展相对论引力学说所 必须的数学工具----以黎曼几何为基础的绝对微分学，即爱因斯 坦后来所称的张量分析。在1915年11月25日发表的一篇论文中， 爱因斯坦导出了广义协变的引力场方程： 爱因斯坦指出：“由于这组方程，广义相对论作为一种逻 辑结构终于大功告成！”
第四章现代数学的发展趋势
二．数学应用的广泛性 随着科学发展，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象， 而其中数学的渗透又特别明显。这种渗透不能简单地理解为把 数学作为一种科学研究的工具和技术，而是新的研究领域和交 叉学科建立的动力。数学已成为其他学科理论的一个重要组成 部分，这是数学应用日益广泛的体现。这种体现具体讲就是数 学化。 现代科学发展的一个显著特点是，自然科学、技术科学以 及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中，它们都在朝着愈 来愈精确的方向发展。电子计算机的发展和应用，为各门科学 的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。
第四章现代数学的发展趋势
2）到20世纪30年代，法国的布尔巴基（Bourbaki）学派 提出，利用数学内在联系和公理化方法从数学各个分支中提炼 出各种数学结构。他们认为数学的发展无非是各种结构的建立 和发展，“数学好比一座大城市。城市中心有些巨大的建筑物， 就好比是一个个已经建成的数学理论体系。城市的郊区正在不 断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就好像是一些尚 未发育成型的正在成长着的数学新分支。与此同时，市中心又 在时时重建，每次都是根据构思更加清晰的计划和更加合理的 布局，在拆毁掉旧的迷宫似的断街小巷的同时，将修筑起新的 更直、更宽、更加方便的林荫大道通向四方，……。”
第四章现代数学的发展趋势
2.社会科学的数学化 20世纪数学发展的另一个特点就是数学广泛应用于社会科 学之中，即社会科学数学化的趋势增长。 所谓社会科学数学化，就是指数学向社会科学的渗透，也 就是运用数学方法来揭示社会现象的一般规律。 由于社会现象的随机因素较多，情况较复杂，因此在数学 化过程中所需的变量参数也较多，因此造成社会科学数学化的 难度比较大，社会科学数学化的进程也就较晚。但是，随着各 门科学和数学本身的进步，影响各种社会现象的因素将逐渐被 数学所阐明，因此运用数学的可能性就愈来愈大。从整个科学 发展趋势来看，社会科学的数学化也是必然的趋势
第四章现代数学的发展趋势
3）20世纪下半叶，数学已经发展成一个庞大的理论体系， 数学分工愈来愈细，分支愈来愈多，分支之间的联系愈来愈不 明显，但是，数学学科的统一化趋势也在不断加强，主要体现 在数学的不同分支领域的数学思想和数学方法相互融合，导致 了一系列重大发现以及数学内部新的综合交叉学科的不断兴起： 例如微分拓扑学的建立、发展；整体微分几何研究的突破；代 数几何领域的进展；多复变函数理论以及其他数学分支的突破 和发展都有密切的联系。
第四章现代数学的发展趋势
布尔巴基学派在集合论的基础上建立了三个基本结构 （即代数结构、序结构和拓扑结构），然后根据不同的条件， 由这三个基本结构交叉产生新的结构，如分析结构、布尔代数 结构等等。他们认为整个数学或大部分数学都可以按照结构的 不同而加以分类，用数学结构能统一整个数学，各个数学分支 只是数学结构由简单到复杂，由一般向特殊发展的产物。数学 的不同分支是由这些不同的结构组成的，而这些结构之间的错 综复杂的联系又把所有的分支连成一个有机整体。因此可以说， 布尔巴基学派用数学结构显示了数学的统一性。
第四章现代数学的发展趋势
自然科学研究存在着两种方式：定性研究和定量研究。定性 研究揭示研究对象是否具有某种特征，定量研究揭示研究对象具 有某种特征的数量状态。精确的定量研究使人们能够对客观事物 的认识从现象上升到本质，从而可能有精确的科学预见功能。数 学是实现定量研究的必要条件。所以，一门科学只有当它与数学 充分地融合，才可能精确地揭示客观事物的状态和变化规律，才 会显示其真正的价值。 因此，自然科学研究必然要经过定量研究过程，所以科学研 究的一般过程是从定性研究出发，然后再研究其量的规律性，进 行定量研究，并进一步把定性研究和定量研究相结合。 科学的数学化是有一个发展过程，它是从低级运动形态发展 到高级运动形态，以简单运动形态到复杂运动形态。与此相应的， 是从物理学、力学、天文学开始，发展到化学、生物学和工程技 术科学。
第四章现代数学的发展趋势
20世纪50年代以来，数量经济学由于公理化方法的引入而 取得了重大进展。1959年美籍法国数学家、经济学家德布洛 （G.Debreu）发表了<价格理论>，对一般经济均衡理论给出 了严格的公理化表述。从此，公里化方法成为现代经济学研究 的基本方法。阿罗和德布洛先后于1974年和1983年获得诺贝 尔经济学奖。
3）以医学为例 20世纪60年代，数学方法在医学诊断技术中的应用提供了 这方面的又一重要实例。就是CT扫描仪的发明。1963-1964年 间，美籍南非理论物理学家科马克（A.M.Cormack）发表了计 算人体不同组织对X射线吸收量的数学公式，解决了计算机断 层扫描的理论问题。科马克的工作促使英国工程师亨斯菲尔德 （G.N.Hounsfield）发明了第一台计算机X射线断层扫描仪即 CT扫描仪。科马克和亨斯菲尔德共同荣获了1979年诺贝尔医学 生理学奖。
例2 数学与语言相互渗透，产生了数理语言学这门新的交 叉学科。它用数学方法来研究语言结构和语法形式属性。随着 现代科学技术的发展和电子计算机的推广应用，使人脑与电脑 通力协作，使数学与语言融为一体，产生计算机语言。
第四章现代数学的发展趋势
1.数学的统一性发展的三个阶段 1）初等数学的统一。（1）《几何原本》的诞生，是古希 腊数学家用公理化的演绎推理方法将之前的积累起来的关于数 学的经验进行了统一的整理，把它变成公理化的演绎体系。后 来到了17世纪，法国数学家费尔马、笛卡儿又用代数和几何一 一对应的方式将几何与代数进行了统一。至此，初等数学的统 一性很明显的体现出来了。同时，变量数学也诞生了。 （2）变量数学诞生后，数学的发展规模是空前的。由于变量 数学的诞生，产生了微积分，同时在19世纪产生了代数的变革 与几何的变革，几何的变革产生非欧几何体系，代数的变革产 生了新的抽象代数。由于微积分的诞生，出现了新学科如微分 方程、变分法等。这样新分支的诞生使数学发展有了非常大的 规模。
第四章现代数学的发展趋势
物理学应用数学的历史较长，18世纪是数学与经典力学相 结合的黄金时期。 19世纪数学应用的重点转移到电学与电磁学，并且由于剑 桥学派的努力而形成了数学物理分支。 20世纪以后，随着物理科学的发展，数学相继在应用于相 对论、量子力学以及基本粒子等方面取得了一个又一个的突破， 极大地丰富了数学物理的内容，同时，也反过来刺激了数学自 身的进步。 例1 在20世纪初，狭义相对论和广义相对论的创立过程中， 数学都起到了作用。 1907年，德国数学家闵可夫斯基（H. Minkowski，18641909）提出了”闵可夫斯基空间”（三维空间+时间的四维时 空），闵可夫斯基几何为爱因斯坦的狭义相对论提供了合适的 数学模型。