人教版高中数学定比分点公式的向量形式及应用

定比分点公式的向量形式及应用

众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法之一,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式之一;本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用;供大家参考.

1 定理及其推论

定理 设点P 分21P P 的比为λ(即21PP P P λ=,1-≠λ),Q 为平面上的任意一点,则21

111QP QP QP λ

λ

λ+++=

.(定比分点公式的向量形式) 证明: ∵21PP P P λ=,∴)(21QP QP QP QP -=-λ

即21)1(QP QP QP λλ+=+,即21

111QP QP QP λ

λ

λ+++=

. 推论1设点P 为OAB ∆的边AB 上的点,且

,,n PB m AP ==则OB n

m m

OA n m n OP +++=.

推论2设点P 为OAB ∆的边AB 的中点,则)(2

1

OB OA OP +=.

推论3 OAB ∆中，点P 在直线AB 上的充要条件是：存在实数t ，使

OB t OA t OP )1(-+=成立

证明：（充分性）∵OB t OA t OP )1(-+=，

∴)(OB OA t OB OP -=-，即BA t BP =， 故P B A ,,三点共线，即点P 在直线AB 上.

(必要性)(1)当点P 不与B 重合时，可设P 分AB 的比为λ,则由定理可知

OB OA OP λλλ+++=

111,取λ

+=11

t 得OB t OA t OP )1(-+=.

(2) 当点P 与B 重合时,可取0=t ,显然有OB t OA t OP )1(-+=成立. 推论4在直角坐标平面中,设()111,y x P ,()222,y x P ,()y x P ,,且点P 分21P P 的比为λ(其中1-≠λ),则λλ++=

121x x x ,λ

λ++=12

1y y y (定比分点公式) 证明:取Q 为原点()0,0O ,由定理可得()()),(1,11

,2211y x y x y x λ

λλ+++=,

即λλ++=121x x x ,λ

λ++=12

1y y y

2 应用举例

(1)证明比例线段关系

例1 如图，在ABC ∆中,E D ,是BC 边的三等分点，D 在B 和E 这之间，

F 是AC 的中点，

G 是AB 的中点，设

H 是线段DF 与EG 的交点，求比值HG EH :.

分析:要求比值HG EH :的大小,只须得到向量与向量之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底, 则向量EH 、向量都可用这组基底的线性组合表示之,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.

证明:设=, =,连结CG 、CH ，由于EC BE 2=, 由推论1可知：=+=

3132)(3

132-+ CG CB -=31)(2131CA CB CB +-==b a 2

161-- 即2

1

61+=；∵D 、H 、F 三点共线，∴t t )1(-+=

))(1(t t --+===

--+)3121)(1(3a b t a t b t

a t 2

1312-+-， ∵与EH 是共线向量，∴0312212161=-⋅--⋅

t t ，即5

3

=t ，

E

故5

2

)2161(52=+=

，∴3:2:=HG EH . 评注:①由于本题的相关点均“生长”在ABC ∆的三边上,所以选择以向

量=, =作为基底比较合理.

②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.

例2(第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCDEF 的两条对角线,点M ,N 分别内分CE AC ,,使得r CE CN AC AM ==::,如果N M B ,,三点共线,求r 的值.

分析: ①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“N M B ,,三点共线”翻译成关于r 的一个方程.

②由于B 、M 、N 三点所在直线过顶点B ，因此选择向量、作为基底比较合理,再把向量BM 、用基底表示之，则不难得到关于r 的方程.

解：∵r CE CN AC AM ==::

∴()r r NE CN MC AM -==1::: 由推论1可知()r r -+=1

()BC r BE r BN -+=1，∵ABCDEF 是正六边形， ∴)(2+=

∴()=-++=BC r BC BA r BN 1)(2BA r BC r 2)1(++ ∵N M B ,,共线，∴()()0112=+--⋅r r r r ，故3

3=

r . 评注:由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合，因此上述解法

B

通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度. (2)证明三角形的面积关系

例3如图所示，已知ABC ∆的面积为214cm ，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且1:2::==EC BE DB AD ，求PAC ∆的面积.

分析:由于已知ABC ∆的面积,因此要计算PAC ∆的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到ABC ∆与PAC ∆是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量=、=为基底，再把向量BQ 、BP 用基底表示之，则就大功告成了.

解:连结BP 并延长交AC 于Q ,设=,=, ∵C 、P 、D 三点共线，∴t t )1(-+=， 又∵3131==

，∴t t

)1(3

-+=， ∵A 、P 、E 三点共线，∴)1(λλ-+=，

即()312λλ-+

=，由平面向量基本定理可知λ=3t 且()3

121λ-=

-t ， 解得71=λ，∴c a BP 7471+=，设μ=c a 7

47μ

μ+=，

∵A 、Q 、C 三点共线，∴,1747=+μμ即5

7

=μ，

∴,75BQ BP =,72BQ PQ =47

2

==∆∆BAC PAC S S 2cm .

评注：在用向量方法解决平面几何问题时，除注意基底的合理选择外，还需注意方程思想的应用，虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导，则思路还是显得比较自然.

(3)证明三点共线问题

例4（2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题）设O 、P 是平面上的两个不同的点，四边形ABCD 是平行四边形，两条对角线相交于点O ，点P 不在直线AB 关于直线CD 对称的图形上，M 、N 分别是线段PA 、PB 的中点，Q