两角和与差及二倍角的三角函数公式必修四

2.1两角和与差及二倍角的三角函数公式

一、选择题

1．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于( )

A ．－12 B.12 C ．－ 32 D.32

2．log 2sin π12＋log 2cos π12

的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2

3．(2011年辽宁)设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )

A ．－79

B ．－19 C.19 D.79

4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α

的值为( ) A.103 B.53 C.23

D ．－2 5．(2011年湖北)已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 二、填空题

6．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是______________．

7．(2010年全国)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43

，则tan α＝________. 8．(2010年浙江)函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π4－2 2sin 2x 的最小正周期是________． 9．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35

，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 三、解答题

10．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，1)．(1)当a ⊥b 时，求tan2θ；(2)求|a ＋b |的最大值．

11．(2010年天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C .(1)证明：B ＝C ；(2)若cos A ＝－13

，求sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3的值．

1．B 2.C 3.A 4.A 5.B 6.－2＋1 7.－12

8.π 9．－5665

10．解：(1)a ⊥b ⇔3cos θ＋sin θ＝0(cos θ≠0)

⇔3＋tan θ＝0⇔tan θ＝－3，

∴tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－2 31－(－3)2

＝ 3. (2)∵a ＋b ＝(cos θ，sin θ)＋(3，1)＝(cos θ＋3，sin θ＋1)， ∴|a ＋b |＝(cos θ＋3)2＋(sin θ＋1)2

＝cos 2θ＋2 3cos θ＋3＋sin 2θ＋2sin θ＋1

＝5＋2 3cos θ＋2sin θ ＝

5＋4⎝⎛⎭

⎫12sin θ＋32cos θ＝5＋4sin (θ＋60°). 当sin(θ＋60°)＝1时，|a ＋b |max ＝5＋4＝3. 11．解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B cos C

，于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0. 因为－π

(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，

故cos2B ＝cos(π－A )＝－cos A ＝13

. 又0<2B <π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝2 23

. 从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝4 29

， cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79

. 所以sin ⎝⎛⎭⎫4B ＋π3＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝4 2－7 318.