大林算法
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➢包含Gd (z)中z=0的所有极点（代表对象时延），否则D(z)物 理上不可实现；
➢ 配置所希望的系统动特性极点：
z e T TH 或(z e s1T )( z e s2T ) 其中s1,2 n n 1 2 也即希望H(z)具有接近连续系统相对阻尼比，自然频率
为ω0的动特性，T 越小，二者越接近。
有限拍控制系统设计
系统在典型信号作用下，经过有限拍（即有限个采样周期 T），使其输出的稳态误差为零。
阶 跃1(t ) 典型输入信号为： 1
1 z 1
速 度t
T z 1 (1 z 1 )2
加速度1 t 2 2
T 2 z （1 1 z 1） 2(1 z 1 )3
典型输入 信号一般表达式为：R(z) A(z) (1 z 1 )m
振铃及其抑制
按 大 林 算 法 设 计 的 系 统，D( z )的 输 出U ( z )可 能 出 现 以 2T为周期的振荡，称为振铃现象（ringins）。
分析其产生原因，是因为D( z )的极点中可能存在能产 生振荡的极点。
修改算法抑制振铃现象。令修改后的D( z )与原D( z )对于 单位阶跃输入具有相同的稳态输出。
设 Gd (z) 单位圆上或单位圆外的极点零点为：
p1 , p2 ,L , pv , z1 , z2 ,L , zu
He (z) (1 z1 )m (1 p1 z1 )(1 p2 z 1 )L (1 pv z1 )(1 f1 z 1 f2 z2 L )
H (z) (1 z1 z1 )(1 z2 z1 )L (1 zu z1 ) (a1 z1 a2 z 2 L )
D1 (z)的 其 它 项 不 动 。
即
l
1时D1 (z)
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH ) K (1 e T / T1 )(1 z 1 )(2 e T / TH )
l
2时D1 (z)
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH ) K (1 e T / T1 )(1 z 1 )(3 2e T / TH )
说明：
D(z)修改后，会影响H(z)，要检验； Gd(z)含单位圆外零点时，D(z)不稳定，解决办
法与消除振铃一样，使z=1； 大林算法只适用于对象稳定情况 振铃有主次之分，一般应消除主要的。
6.6 直接设计法
设计准则：
1. 构造闭环H(z)，分子分母阶次差与Gd(z)相同。 2. H(z)包含Gd(z)单位圆附近及圆外零点，H(z)的
对于一阶或二阶时延对象，大林算法的设计要求 相 同 。 因 此H ( z )的 设 计 不 变 ， 变 的 是 对象 特 性 。
对于二阶系统
(1 eT /T1 z1 )(1 eT /TH ) D1 (z) K (1 eT /T1 )(1 eT /TH z1 (1 eT /TH )z(l 1) ]
(4)T
1s, 则Gd
(z)
0.04837(z 0.9673) (z 1)(z 0.9048)
(5)按 设 计 准 则 ，H (z)保 留Gd (z)单 位 圆 附 近 的 零 点(z 0.9673)项 ：
H(z) KH
z2
(z 0.9673) 0.786z 0.368
zb z
(6)由速度输入稳态误差要求，设计系统为I型，且 1 1； KV
采 样 点 数N
8 ~ 16,因
2
N
0T
3T 2
T
2 N 0
4
N3
0.9096 ~ 0.4535
取T 1s, 对 应N 7.2次 。
1 j 3
1 j 3
（3)H (z)对应极点为z1，2
T
e
2
e 2
对应特征方程为(z z1 )( z z2 ) 0
z 2 0.786z 0.368 0
当输入阶跃函数时，ess 0 H (1) 1 带入H (z)中可得K H 0.4667, b 0.368 则H (z) 0.4667 (z 0.368)(z 0.9673)
z(z 2 0.786z 0.368)
(7)D(z)
H(z)
9.649(z 0.9048)(z 0.368)
分 母A(z) [1 (1 e T / TH )(z 1 z 2 z l )]可 能 带 来 振 荡 。
修
改
后A' ( z )
2 3
e T / TH , 2e T / TH
l ,
1时 ， l 2时
变
极
点
为
常
数
，
令
修改
后 的D1 (z)与 原D1 (z)对 于 单 位 阶 跃 输 入 具 有相 同 的 稳 态 输 出 ，
极点可按相应连续系统的闭环极点转换而配置。
3. H(z)应满足对系统稳态误差的要求。
例6 6 1已 知G(s) 1 ， 输 入r(t) 0.01t， 稳 态 s(10s 1)
误 差 ess 0.01rad， 具 有接 近 连 续系 统 0.5， n 1
的 动 态 特 性 ， 用 直 接 法设 计 系 统 。
由上可知，H (z)的分母部分可写成A(z) z i P(z), i为Gd (z)中z 0的极点数，P(z)为希望极点项。对于 有限拍设计，A(z) z i。
(3)H (z)的零点可包括Gd (z)中弱阻尼及不稳定零点。 也 即 这 样 的 零 点 不 能 由D( z )的 极 点 去 补 偿 ， 否 则D( z ) 的 输 出 会 有 很 大 的 振 荡， 使 执 行 机 构 磨 损 ， 对系 统 不 利 。
6.5.1 史密斯预报器
已知对象G(s) G0 (s)e s , lT为采样周期整数倍。
则Gd (z) z lGd 0 (z)。
D(z) Gd 0 (z)z l
史 密 斯 预 报 器 设 计 准 则：
1 按系统要求，先构造一个无时延的闭环系统H 0 (z)，
对 应D0 (z)
H 0 (z)
， 考 虑 对 象 的 时 延 ， 则设
求广义对象Gd(z)
w变换
Gd (w) Gd(z) |z1w 1 w
令w=jv，得到Gd(jw)，在w平面画幅频、
相频特性
设计D(w)
D(w)->D(z)
6.8 小结
系统的Z域设计，是在已知对象特性G(s)情况下，先构造 希望的闭环特性H(z)，再设计数字控制器D(z)的过程。
1. 构造H(z)——确定其增益、零点与极点的过程，受对象特 性Gd(z)、及控制器D(z)可实现等因素的制约。 （1） Gd(z)与T 有关，z=0的极点数与G(s)的时延和T 有关； （2）H(z)的极点应包含两部分：
则 误 差E ( z )
He
( z ) R( z )
He
(z)
(1
A( z ) z 1 )m
对H(z)、He(z)的约束:
快速性、准确性、稳定性、物理可实现性
(1) H (z)应是稳定的，因此，若Gd (z)有在单位圆上和圆外 的极点，不应包含在H (z)的极点中。H e (z)应把Gd (z)在单 位 圆 上 与 圆 外 的 极 点 作为 其 零 点 。
Gd(z)
r(t)
数字 控制器
保持器
连续 对象
y(t)
D(z)
Gh0(s)
G(s)
数 控 系 统 闭 环Z传 递 函 数 为 ： H (z) D(z)Gd (z)
1 D(z)Gd (z) H (z) 1 He (z) D(z)Gd (z)He (z)
D(z) H(z)
H (z)
Gd (z)He (z) Gd (z)[1 H (z)]
Gd 0 (z)[1 H 0 (z)]
计 系 统 特 性 为H1 (z) z l H 0 (z)。
D0 (z)
Gd 0 ( z )
zl
2 针 对Gd (z) z lGd 0 (z)设 计D(z),希 望H (z) H1 (z),
则 有 D(z)Gd 0 (z)z l 1 D(z)Gd 0 (z)z l
对于有限拍无振荡设计，应包含Gd (z)的所有零点。 2. 采 样周 期T的 选择 （1） 对 于具 有二 阶 极点 因式 的系 统H (z)， 可 用如 下经 验 数 据 ： 对 其阶 跃响 应 每一周 期采 样N 8 ~ 16次 ， 或 在其 上升 时 间内 ， 采 样2 ~ 4次 。 （2） 采 样周 期T下 限的 确定 ： 使D(z)、 执 行机 构工 作 在线 性 区， 且 系统 误差 范 围不 能太 小， 同 时要 满足实 时性 要求 。
原D1 (z)
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH ) K (1 e T / T1 )(1 e T / TH z 1 (1 e T / TH )z (l1) ]
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH )
K (1 e T / T1 )(1 z 1 )[1 (1 e T / TH )(z 1 z 2 z l )]
（2）D(z)应是稳定的，因此，若Gd (z)具有单位圆上和圆外 的 零 点 ， 不 能 用D( z )的 极 点 补 偿 ， 而 应 作 为H ( z )的 零 点 。
（3）H (z)应与Gd (z)分子分母阶次差相同，这要求D(z)分子 分 母 同 阶 。 这 样 一 方 面D( z )物 理 可 实 现 ， 另 一 方 面不 会 带 来新的系统滞后。
G(s)
Ke T1 s
s
1
或G(
s)
பைடு நூலகம்
（T1
s
Ke s 1） （T2
s
1），
lT。
大 林 算 法 设 计 准 则 ： 以大 林 算 法 为 模 型 的 数 字控 制 器 ， 使 闭 环 系 统 的 特性 是 具 有 时 延 的 一 阶 惯性 环 节 ， 且 时 延 与 对 象 的 时 延 相同 。
按准则，欲设计的H (s)为：H (s) e s ， TH s1
要求E(z)在D(z)控制下在有限拍k N 之后， e(k) 0，即E(z)有限。
有限拍无波纹系统设计
H(z)应包含Gd(z)的所有零点，其余同有 限拍系统设计。
He (z) (1 z1 )m (1 p1 z1 )(1 p2 z 1 )L (1 pv z1 )(1 f1 z 1 f2 z2 L )
D0 (z)Gd 0 (z) z l 1 D0 (z)Gd 0 (z)
D(z)
D0 (z)
1 (1 z l )D0 (z)Gd 0 (z)
即 为 史 密 斯 预 报 器 的Z传 函 。
D0 (z) (1 z l )Gd 0 (z)
Gd (z)
6.5.2 大林算法
设 连 续 对 象 为 具 有 时 延的 一 阶 和 二 阶 惯 性 环 节
Gd (z)[1 H (z)]
z 2 0.253z 0.165
系 统 检 验 ： 单 位 阶 跃 响应Y (z)
1 1 z 1
H(z)
U(z) 1
D(z) ,
1 z 1 1 D(z)Gd (z)
得 到 阶 跃 响 应 超 调 很 大， 可 减 小T， 再 设 计 。
6.7 w变换法
3. 对干扰的抑制 有 利 于 抑 制 低 频 干 扰 的系 统 ， 是 在 低 频 区D( z )有 大
的增益的系统。
式中TH 为希望的闭环系统时间常数。
带零阶保持器的一阶对象z传递函数 z(l 1) (1 eT /T1 )
Gd (z) 1 eT /T1 z1 K 系统闭环传递函数
z(l 1) (1 eT /TH ) H(z)
1 eT /TH z1 大林算法的数字控制器
D(z)
H (z)
Gd (z)[1 H (z)]
解 ： （1） 0.5， n 1的 连 续系 统 的 特征 方 程为
s2
2
n
s
2 n
s2
s1
0
1 14 1 j 3
s1，2
2
2
1 j 3
H (z)对 应 极 点 为z1，2
e Ts1，2
e T ( j0 )
T
e
2
(2)采 样 周 期 的 确 定 ， 按 经验 取 阶 跃 响 应 每 一 周 期
H (z) (1 z1 z1 )(1 z2 z1 )L (1 zmz1 ) (a1 z1 a2 z 2 L )
要求E(z)在D(z)控制下在有限拍k N 之后， e(k) 0，即E(z)有限。
6.5 对象具有时延的控制系统设计
本节针对具有时延的连续对象，设计两种D(z)： 史密斯预报器（Smith predictor）和大林算法(Dahlin algorithm)。
➢ 配置所希望的系统动特性极点：
z e T TH 或(z e s1T )( z e s2T ) 其中s1,2 n n 1 2 也即希望H(z)具有接近连续系统相对阻尼比，自然频率
为ω0的动特性，T 越小，二者越接近。
有限拍控制系统设计
系统在典型信号作用下，经过有限拍（即有限个采样周期 T），使其输出的稳态误差为零。
阶 跃1(t ) 典型输入信号为： 1
1 z 1
速 度t
T z 1 (1 z 1 )2
加速度1 t 2 2
T 2 z （1 1 z 1） 2(1 z 1 )3
典型输入 信号一般表达式为：R(z) A(z) (1 z 1 )m
振铃及其抑制
按 大 林 算 法 设 计 的 系 统，D( z )的 输 出U ( z )可 能 出 现 以 2T为周期的振荡，称为振铃现象（ringins）。
分析其产生原因，是因为D( z )的极点中可能存在能产 生振荡的极点。
修改算法抑制振铃现象。令修改后的D( z )与原D( z )对于 单位阶跃输入具有相同的稳态输出。
设 Gd (z) 单位圆上或单位圆外的极点零点为：
p1 , p2 ,L , pv , z1 , z2 ,L , zu
He (z) (1 z1 )m (1 p1 z1 )(1 p2 z 1 )L (1 pv z1 )(1 f1 z 1 f2 z2 L )
H (z) (1 z1 z1 )(1 z2 z1 )L (1 zu z1 ) (a1 z1 a2 z 2 L )
D1 (z)的 其 它 项 不 动 。
即
l
1时D1 (z)
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH ) K (1 e T / T1 )(1 z 1 )(2 e T / TH )
l
2时D1 (z)
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH ) K (1 e T / T1 )(1 z 1 )(3 2e T / TH )
说明：
D(z)修改后，会影响H(z)，要检验； Gd(z)含单位圆外零点时，D(z)不稳定，解决办
法与消除振铃一样，使z=1； 大林算法只适用于对象稳定情况 振铃有主次之分，一般应消除主要的。
6.6 直接设计法
设计准则：
1. 构造闭环H(z)，分子分母阶次差与Gd(z)相同。 2. H(z)包含Gd(z)单位圆附近及圆外零点，H(z)的
对于一阶或二阶时延对象，大林算法的设计要求 相 同 。 因 此H ( z )的 设 计 不 变 ， 变 的 是 对象 特 性 。
对于二阶系统
(1 eT /T1 z1 )(1 eT /TH ) D1 (z) K (1 eT /T1 )(1 eT /TH z1 (1 eT /TH )z(l 1) ]
(4)T
1s, 则Gd
(z)
0.04837(z 0.9673) (z 1)(z 0.9048)
(5)按 设 计 准 则 ，H (z)保 留Gd (z)单 位 圆 附 近 的 零 点(z 0.9673)项 ：
H(z) KH
z2
(z 0.9673) 0.786z 0.368
zb z
(6)由速度输入稳态误差要求，设计系统为I型，且 1 1； KV
采 样 点 数N
8 ~ 16,因
2
N
0T
3T 2
T
2 N 0
4
N3
0.9096 ~ 0.4535
取T 1s, 对 应N 7.2次 。
1 j 3
1 j 3
（3)H (z)对应极点为z1，2
T
e
2
e 2
对应特征方程为(z z1 )( z z2 ) 0
z 2 0.786z 0.368 0
当输入阶跃函数时，ess 0 H (1) 1 带入H (z)中可得K H 0.4667, b 0.368 则H (z) 0.4667 (z 0.368)(z 0.9673)
z(z 2 0.786z 0.368)
(7)D(z)
H(z)
9.649(z 0.9048)(z 0.368)
分 母A(z) [1 (1 e T / TH )(z 1 z 2 z l )]可 能 带 来 振 荡 。
修
改
后A' ( z )
2 3
e T / TH , 2e T / TH
l ,
1时 ， l 2时
变
极
点
为
常
数
，
令
修改
后 的D1 (z)与 原D1 (z)对 于 单 位 阶 跃 输 入 具 有相 同 的 稳 态 输 出 ，
极点可按相应连续系统的闭环极点转换而配置。
3. H(z)应满足对系统稳态误差的要求。
例6 6 1已 知G(s) 1 ， 输 入r(t) 0.01t， 稳 态 s(10s 1)
误 差 ess 0.01rad， 具 有接 近 连 续系 统 0.5， n 1
的 动 态 特 性 ， 用 直 接 法设 计 系 统 。
由上可知，H (z)的分母部分可写成A(z) z i P(z), i为Gd (z)中z 0的极点数，P(z)为希望极点项。对于 有限拍设计，A(z) z i。
(3)H (z)的零点可包括Gd (z)中弱阻尼及不稳定零点。 也 即 这 样 的 零 点 不 能 由D( z )的 极 点 去 补 偿 ， 否 则D( z ) 的 输 出 会 有 很 大 的 振 荡， 使 执 行 机 构 磨 损 ， 对系 统 不 利 。
6.5.1 史密斯预报器
已知对象G(s) G0 (s)e s , lT为采样周期整数倍。
则Gd (z) z lGd 0 (z)。
D(z) Gd 0 (z)z l
史 密 斯 预 报 器 设 计 准 则：
1 按系统要求，先构造一个无时延的闭环系统H 0 (z)，
对 应D0 (z)
H 0 (z)
， 考 虑 对 象 的 时 延 ， 则设
求广义对象Gd(z)
w变换
Gd (w) Gd(z) |z1w 1 w
令w=jv，得到Gd(jw)，在w平面画幅频、
相频特性
设计D(w)
D(w)->D(z)
6.8 小结
系统的Z域设计，是在已知对象特性G(s)情况下，先构造 希望的闭环特性H(z)，再设计数字控制器D(z)的过程。
1. 构造H(z)——确定其增益、零点与极点的过程，受对象特 性Gd(z)、及控制器D(z)可实现等因素的制约。 （1） Gd(z)与T 有关，z=0的极点数与G(s)的时延和T 有关； （2）H(z)的极点应包含两部分：
则 误 差E ( z )
He
( z ) R( z )
He
(z)
(1
A( z ) z 1 )m
对H(z)、He(z)的约束:
快速性、准确性、稳定性、物理可实现性
(1) H (z)应是稳定的，因此，若Gd (z)有在单位圆上和圆外 的极点，不应包含在H (z)的极点中。H e (z)应把Gd (z)在单 位 圆 上 与 圆 外 的 极 点 作为 其 零 点 。
Gd(z)
r(t)
数字 控制器
保持器
连续 对象
y(t)
D(z)
Gh0(s)
G(s)
数 控 系 统 闭 环Z传 递 函 数 为 ： H (z) D(z)Gd (z)
1 D(z)Gd (z) H (z) 1 He (z) D(z)Gd (z)He (z)
D(z) H(z)
H (z)
Gd (z)He (z) Gd (z)[1 H (z)]
Gd 0 (z)[1 H 0 (z)]
计 系 统 特 性 为H1 (z) z l H 0 (z)。
D0 (z)
Gd 0 ( z )
zl
2 针 对Gd (z) z lGd 0 (z)设 计D(z),希 望H (z) H1 (z),
则 有 D(z)Gd 0 (z)z l 1 D(z)Gd 0 (z)z l
对于有限拍无振荡设计，应包含Gd (z)的所有零点。 2. 采 样周 期T的 选择 （1） 对 于具 有二 阶 极点 因式 的系 统H (z)， 可 用如 下经 验 数 据 ： 对 其阶 跃响 应 每一周 期采 样N 8 ~ 16次 ， 或 在其 上升 时 间内 ， 采 样2 ~ 4次 。 （2） 采 样周 期T下 限的 确定 ： 使D(z)、 执 行机 构工 作 在线 性 区， 且 系统 误差 范 围不 能太 小， 同 时要 满足实 时性 要求 。
原D1 (z)
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH ) K (1 e T / T1 )(1 e T / TH z 1 (1 e T / TH )z (l1) ]
(1 e T / T1 z 1 )(1 e T / TH )
K (1 e T / T1 )(1 z 1 )[1 (1 e T / TH )(z 1 z 2 z l )]
（2）D(z)应是稳定的，因此，若Gd (z)具有单位圆上和圆外 的 零 点 ， 不 能 用D( z )的 极 点 补 偿 ， 而 应 作 为H ( z )的 零 点 。
（3）H (z)应与Gd (z)分子分母阶次差相同，这要求D(z)分子 分 母 同 阶 。 这 样 一 方 面D( z )物 理 可 实 现 ， 另 一 方 面不 会 带 来新的系统滞后。
G(s)
Ke T1 s
s
1
或G(
s)
பைடு நூலகம்
（T1
s
Ke s 1） （T2
s
1），
lT。
大 林 算 法 设 计 准 则 ： 以大 林 算 法 为 模 型 的 数 字控 制 器 ， 使 闭 环 系 统 的 特性 是 具 有 时 延 的 一 阶 惯性 环 节 ， 且 时 延 与 对 象 的 时 延 相同 。
按准则，欲设计的H (s)为：H (s) e s ， TH s1
要求E(z)在D(z)控制下在有限拍k N 之后， e(k) 0，即E(z)有限。
有限拍无波纹系统设计
H(z)应包含Gd(z)的所有零点，其余同有 限拍系统设计。
He (z) (1 z1 )m (1 p1 z1 )(1 p2 z 1 )L (1 pv z1 )(1 f1 z 1 f2 z2 L )
D0 (z)Gd 0 (z) z l 1 D0 (z)Gd 0 (z)
D(z)
D0 (z)
1 (1 z l )D0 (z)Gd 0 (z)
即 为 史 密 斯 预 报 器 的Z传 函 。
D0 (z) (1 z l )Gd 0 (z)
Gd (z)
6.5.2 大林算法
设 连 续 对 象 为 具 有 时 延的 一 阶 和 二 阶 惯 性 环 节
Gd (z)[1 H (z)]
z 2 0.253z 0.165
系 统 检 验 ： 单 位 阶 跃 响应Y (z)
1 1 z 1
H(z)
U(z) 1
D(z) ,
1 z 1 1 D(z)Gd (z)
得 到 阶 跃 响 应 超 调 很 大， 可 减 小T， 再 设 计 。
6.7 w变换法
3. 对干扰的抑制 有 利 于 抑 制 低 频 干 扰 的系 统 ， 是 在 低 频 区D( z )有 大
的增益的系统。
式中TH 为希望的闭环系统时间常数。
带零阶保持器的一阶对象z传递函数 z(l 1) (1 eT /T1 )
Gd (z) 1 eT /T1 z1 K 系统闭环传递函数
z(l 1) (1 eT /TH ) H(z)
1 eT /TH z1 大林算法的数字控制器
D(z)
H (z)
Gd (z)[1 H (z)]
解 ： （1） 0.5， n 1的 连 续系 统 的 特征 方 程为
s2
2
n
s
2 n
s2
s1
0
1 14 1 j 3
s1，2
2
2
1 j 3
H (z)对 应 极 点 为z1，2
e Ts1，2
e T ( j0 )
T
e
2
(2)采 样 周 期 的 确 定 ， 按 经验 取 阶 跃 响 应 每 一 周 期
H (z) (1 z1 z1 )(1 z2 z1 )L (1 zmz1 ) (a1 z1 a2 z 2 L )
要求E(z)在D(z)控制下在有限拍k N 之后， e(k) 0，即E(z)有限。
6.5 对象具有时延的控制系统设计
本节针对具有时延的连续对象，设计两种D(z)： 史密斯预报器（Smith predictor）和大林算法(Dahlin algorithm)。