反比例函数与几何综合

一、反比例函数的定义

函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）叫做反比例函数，其中k 叫做比例系数，x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．

二、反比例函数的图象

反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着x 的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．

反比例函数k y x =与k

y x

=-（0k ≠）的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称．

三、反比例函数的性质

反比例函数k

y x

=

（k 为常数，0k ≠）的图象是双曲线； 当0k >时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小；

当0k <时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．

注意：

⑴反比例函数k

y x

=（0k ≠）的取值范围是0x ≠．因此，

①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来． ②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，

如当0k >时，双曲线k

y x

=的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小．

这是由于0x ≠，即0x >或0x <的缘故．

如果笼统地叙述为0k <时，y 随x 的增大而增大就是错误的．

⑵由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图象和x 轴、y 轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势． ⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．

四、反比例函数解析式的求法

反比例函数的解析式(0)k

y k x

=≠中，只有一个系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数的解析式．因

此，只需给出一组x 、y 的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式．

五、比例系数k 的几何意义

过反比例函数()0k

y k x

=≠，图象上一点()P x y ，

，做两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，矩形的面积S x y xy k =⋅==.

一、反比例函数与几何综合

【例1】 如图，11POA ∆、212P A A ∆都是等腰直角三角形，点1P 、

2P 在函数4

y x

=(0x >)的图像上，斜边1OA 、12A A 、都在x 轴上，求点2A 的坐标

.

【巩固】如图所示，()()111222P x y P x y ，，

，，……，()n n n P x y ，在函数()9

0y x x

=>的图象上，11OP A ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，…，1n n n P A A -∆，…都是等腰直角三角形，斜边1121n n OA A A A A -，，…，都在x 轴上，则12n y y y +++=…______________．

【例2】 如图，如果函数y x =-与4

y x

=-

的图像交于A ，B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，求BOC ∆的面积

.

【巩固】如图，一次函数y kx b =+的图像与反比例函数m

y x

=

的图像交于(21)(1)A B n -，，，两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB ∆的面积．

【例3】 如图，直线y kx b =+与反比例函数()0k y x x

=

<′

的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()24-，

，点B 的横坐标为4-． （1）试确定反比例函数的关系式；

（2）求AOC ∆的面积．

【巩固】如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图像与反比例

函数2

k y x

=

的图像交于()()143A B m ，

，，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积．

【例4】 两个反比例函数k y x =

和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k

y x

=的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交1y x =

的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在k

y x

=的图象上运动时，以下结论：

①ODB ∆与OCA ∆的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；

④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

其中一定正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）．

【巩固】如图，点A 、B 在反比例函数k

y x

=

(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2． （1）求反比例函数的解析式；

（2）若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； （3）求AOB ∆的面积．

【例5】 已知：在矩形AOBC 中，4OB =，3OA =．分别以OB OA ，所在直线为x 轴和y 轴，建立如图

所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与B C ，重合），过F 点的反比例函数

(0)k

y k x

=>的图象与AC 边交于点E ．

（1）求证：AOE △与BOF △的面积相等；

（2）记OEF ECF S S S =-△△，求当k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F ，使得将CEF △沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【巩固】两个反比例函数1k y x =

和()2120k

y k k x

=>>在第一象限内的图象如图所示，动点P 在1k y x =的图象上，PC x ⊥轴于点C ，交2k y x =的图象于点A ，PD y ⊥轴于点D ，交2k

y x

=的图

象于点B ．

⑴求证：四边形PAOB 的面积是定值； ⑵当

23PA PC =时，求

DB

BP

的值； ⑶若点P 的坐标为()52，，OAB ABP ∆∆，的面积分别记为OAB S ∆、

ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．

①求1k 的值；

②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？

k 2x