不等式证明的若干方法大学毕业论文

2013届毕业生毕业论文课题名称：不等式证明的若干方法

教学系：数学系

专业：数学教育

班级：10级数学教育（4）班学号：131002162

姓名：李亚军

指导教师：连玉平

时间：2013年5月15日

定西师范高等专科学校

10 级数学系毕业论文开题报告

目录

摘要 (3)

关键词 (3)

前言 (3)

第一章常用方法 (3)

1.1比较法（作差法） (3)

1.2作商法 (4)

1.3分析法（逆推法） (4)

1.4综合法 (4)

1.5反证法 (5)

1.6迭合法 (5)

1.7放缩法 (6)

1.8数学归纳法 (6)

1.9换元法 (7)

1.10三角代换法 (7)

1.11判别式法 (7)

第二章利用函数证明不等式 (8)

2.1函数极值法 (8)

2.2单调函数法 (8)

2.3中值定理法 (9)

2.4利用拉格朗日函数 (9)

第三章利用著名不等式证明 (10)

3.1利用均值不等式[ (10)

3.2利用柯西不等式 (12)

3.3利用赫尔德不等式 (12)

3.4利用詹森不等式 (12)

参考文献 (13)

摘 要：无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容.而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法.在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等.在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明. 通过学习这些证明方法，可以帮助我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维的能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯.

关键词 不等式 比较法 数学归纳法 函数

前 言

在数学的学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分.

在研究数学的不等式过程中，有许多的内容都十分的有用，如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法. 在本文中，我们就不一一说明了，而主要的介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法.希望通过这些方法的学习，我们可以很好的认识数学的一些特点.从而开拓一下我们的数学视野，深化一下我们对不等式证明方法的认识，以便于可以站在更高的角度来研究数学不等式.

第一章 常用方法

1.1比较法（作差法）

在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等.

例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2

. 证明 02

)(2222

≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ，

故得 ab b a ≥+2

. 1.2作商法

在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助

1>b a 或1

a 来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断（大于1或小于1）. 例2 设0>>

b a ，求证：a b b a b a b a >.

证明 因为 0>>b a ，

所以 1>b

a ，0>-

b a . 而 1>⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a a b b a b a b a b a ，

故 a b b a b a b a >.

1.3分析法（逆推法）

从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆.

例3 求证：15175+>+.

证明 要证15175+>+，即证1521635212+>+，即15235+>，1541935+>，16154<，415<，1615<.

由此逆推即得 15175+>+.

1.4综合法

证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法.

例4 已知：a ，b 同号，求证：2≥+a

b b a . 证明 因为a ，b 同号，

所以 0>b a ，0>a

b ，

则 ,22=⨯≥+a

b b a a b b a 即 2≥+a

b b a . 1.5反证法

先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的.

例5 已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >.

证明 假设 n n b a ≤，

则 1≥n

a b ， 即 1≥a

b ， 故 a b ≥， 这与已知矛盾，所以n n b a >.

1.6迭合法

把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证.

例6 已知：122221=+++n a a a ，12

2221=+++n b b b ，求证:

12211≤+++n n b a b a b a . 证明 因为122221=+++n a a a ，12

2221=+++n b b b ，

所以 122221=+++n a a a ，122221=+++n b b b .

由柯西不等式

,11122221222212211=⨯=+++⨯+++≤+++n n n n b b b a a a b a b a b a

所以原不等式获证.