求两条异面直线之间距离的两个公式

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10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册

【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离；【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】；【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起，使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】【答案】【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______．（2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______．（3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______．（4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、；则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求：（1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值；（2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在，求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离；【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ；（2）根据勾股定理即可求解；【答案】（1）证明见解析；（2）22a ；【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△，又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ，因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起，使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ，再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解；【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥，因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥，又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥，则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>，所以22BD a b =-；【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形，边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ，同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22，即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______．（2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______．（3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______．（4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离；【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ）【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线，所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ，由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ，又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ；故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、；则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒，求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离；【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求：（1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值；（2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在，求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可；（3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图，又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离，即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意，连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =，故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。

求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式作者: 日期:求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中江西344000 ）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.1・公式一如图1 , /| S厶是异面直线/ 'u平面◎ , /]Ca = A ,厶在a内的射影为/ ,设Icl =B ,且厶仏与/所成的角分别为％q , AB = ni，贝叽与厶之间的距离为(1)d = ____ _______ _____JcSC，q + CSC' E -1证明：设厶与厶的公垂线为MN ,如图1所示.过M作丄/于H ,由于厶在平面a内的射影为/，故MH丄平面a ,NM在a内的射影为册•由MN丄人知■在RZNH中BN = BH cos G = {AB - AH) cos 比=(///- AM cos q) cos a同理AM = (/// - BN cos E) cosq联立①②解得2/H cos sin GBN = ------- ------1-COS" q cost从而MH = AM sin q = "5? sin甲q* I-cos'q cost 'NH = BN tan G =恥呼 s亦？比■ l-cospcost ":.MN-=MH- + NH-=--------------- ------- (cos-(9, sin' 0, sin' 0^ + cos' 0, sin' tan' 0,)(1-cos" q cos" a)H I-(sin" q sin"纵 cos" q +sin'* q sin"Q)iny sin" q sin" Q (cos" q sin" Q + sin'q) (1-cos" q cos" q)nrT*sin" q sin" 0 (sin" q +sin' Q - sin，qsin'q) (sin' q +sin' Q -sin" q sin' Ojnr_ tjr sin" q sin' Q _sin" +sin" - sin" sin' esc? 8、+csc" -1即有公式(1 )成立运用公式(1 )求厶与4之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式(L1)和公式(1.2 )分别计算出AM和BN的值,进而确定公垂线2・公式二如图2 厶是异面直线,A7 , AH岛于H，与〃与厶所成的角分别为久& , AH=m ,贝叽与厶之间的距离为宀尽!⑵证明：过A作"仏,设由/与厶确定的平面为5 , MN为厶与4公垂线，如图2所HM作MK丄/于K ,连KN ,易知NK丄/ , AHNK为矩形.在 RfMfNH 中,MN’ =MH- - NH? = AH- + AM，- 2AH • AM cos a - AK"=nr + AK- + MK? - 2m• AM cos a - AK"=/tr + MK~ - 2m • AM cos <z=“2篇•cos a由于MN丄h，MN丄!,故MV丄平面AMK ,从而ZNMK=9（AMK- = NK-- MN- = nr - MN-,代入上式并解出MN就是公式(2).另外，AM =驾=曲三理，将（2 ）代入得sin& sin0必竺晋(2.1sin" 0又HN = AK = AM cos 0 /将上式代入得 m cos cos a z r c 、 HN =———r-— ( 2.2 ) sin' 0 公式（1 ）（ 2 ）可以帮助我们定量地确定公垂线MN 的位置. 3・公式的应用【例1】四棱锥S-ABCD 中■底面是边长为1的正方形，SD 丄底面AC , 5D = 2 . £F分别是SABC 的中点,求异面直线EF 与BD 的距离,并确定【解】取AD 的中点G ,连EG. GF ,设 GF C BD = O ,因SD 丄底面AC ,易知EG 丄面AC , EF 在底面内的射影为GF ,线的述6= ZEFG = 45°. q = ZBOF = 45° , ! 7)- -? ” ... 2 C d A R 代入公式⑴可得EF 与的距离¥设EF 与3D 的公垂线为MN ,其中M wEF 、NwBD , 将q 同与山的值代入公式（1.1 ）和（1.2 ）可分别求得, ON=g 0 o B 1 1EF = 41.03 = —,故有FM =-EFQN = -OB ,由此不难作出公垂线MN. 2 6 3 【例2】如图4, ABC - AQC 是直三棱柱，其中ZACB = 120° , AC = ^/3 , CB = 2冬, 硝=2。

空间直线异面直线间距离的一个简明公式

异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.定理如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθy x y x l +++证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .图1 图2在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得)4/()4()(2min 2a b ac GD -=])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[4222222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθθθθθθθθθθy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠==.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒=所以图3例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .由定理可得d =.77230ctg 2190sin 22R R =︒+︒两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、图4简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。

异面直线的距离向量法

异面直线的距离向量法异面直线的距离向量法是一种通过向量运算来求解异面直线之间距离的方法。

以下是具体的步骤：首先，设两条异面直线分别由向量a和b确定，且这两条异面直线的公垂线的一个方向向量为n。

公垂线与两直线分别交于点A和B。

为了找到点A和B，我们可以在两条直线上分别任取一点P和Q。

然后，通过向量运算，我们可以得到向量PQ。

接下来，我们需要计算向量PQ在公垂线方向向量n上的投影。

这个投影的长度就是异面直线之间的距离，记作d。

具体地，投影长度d可以通过以下公式计算：d=∣n∣∣PQ⋅n∣其中，PQ⋅n表示向量PQ和n的点积，∣n∣表示向量n的模长。

然而，需要注意的是，上述公式中的n应该是单位向量，即模长为1的向量。

如果n不是单位向量，我们需要先将其单位化。

单位化向量的公式为：n unit=∣n∣n然后，将单位化后的n unit代入上述公式中计算距离d。

但这里有一个问题：上述解释中提到的公式实际上并不适用于计算异面直线之间的距离。

正确的做法应该是找到两条异面直线的公垂线，并计算这条公垂线的长度。

然而，直接通过向量运算找到公垂线并计算其长度是比较复杂的。

一种更实用的方法是使用以下公式：d=∣a×b∣∣(a×b)⋅c∣其中，a和b是两条异面直线上的两个方向向量（可以通过直线上的两点相减得到），c是连接两条异面直线上任意两点的向量（即上述的PQ），而a×b表示a和b的叉积，其结果是一个与a和b都垂直的向量，也就是公垂线的方向向量。

这个公式的几何意义是计算向量c在公垂线方向上的投影长度，即异面直线之间的距离。

但请注意，这个公式中的分母∣a×b∣实际上是公垂线的方向向量的模长，而不是公垂线本身的长度。

因此，这个公式实际上并不直接给出异面直线之间的距离。

正确的做法应该是先通过其他方法（如几何方法或优化方法）找到公垂线与两条异面直线的交点，然后计算这两点之间的距离。

但在实际应用中，由于很难找到公垂线与两条异面直线的确切交点位置，因此通常使用近似方法或数值方法来估计异面直线之间的距离。

向量法求异面直线距离

向量法求异面直线距离异面直线的距离可以用向量法计算。

具体步骤如下：1. 以一条直线为基准，设其上有一点Q，再设另一条直线上一点P，连接PQ。

2. 计算PQ向量的模长，即为所求异面直线的距离。

PQ向量可以用以下公式计算：PQ = QP1 - QP2其中QP1和QP2分别为点Q到两条直线的向量。

向量的计算公式为：QP1 = PQ1 = (x1, y1, z1) - QQP2 = PQ2 = (x2, y2, z2) - Q其中Q为第一条直线上任意一点，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别为第一条直线和第二条直线上与点Q最近的点的坐标。

将向量QP1和QP2带入PQ向量公式，即可得到异面直线的距离。

示例：设有两条直线L1和L2，分别由以下点确定：L1：A(1, 2, 3)、B(4, 5, 6)L2：C(7, 8, 9)、D(10, 11, 12)求L1和L2的距离。

首先，取L1上一点Q为A，计算向量QP1：QP1 = (x1, y1, z1) - Q = (4, 5, 6) - (1, 2, 3) = (3, 3, 3)再计算向量QP2：QP2 = (x2, y2, z2) - Q = (10, 11, 12) - (1, 2, 3) = (9, 9, 9)将向量QP1和QP2代入PQ向量公式，即可得到异面直线的距离：PQ = QP1 - QP2 = (3, 3, 3) - (9, 9, 9) = (-6, -6, -6)|PQ| = √((-6)² + (-6)² + (-6)²) = √(108) ≈ 10.39因此，L1和L2的距离约为10.39。

异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。

常用方法有： 1、定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。

在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a。

即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。

2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。

从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。

异面直线间的距离(全部方法详细例题)e

异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常用方法有： 1、定义法2、垂直平面法〔转化为线面距〕3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 ：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。

即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。

2 垂直平面法：转化为线面距离，假设a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。

从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。

空间异面直线的距离公式推导

空间异面直线的距离公式推导在空间几何中，距离是最重要的几何概念之一，它经常用于衡量不同物体之间的距离。

在空间几何中，平面和直线提供了一种特殊的几何概念，即异面直线。

这种形式的几何图形在工程应用中非常常见，因此，计算异面直线之间的距离也被要求经常实施。

要计算不同平面上两个异面直线之间的距离，需要首先确定以下几个变量：直线间距（l），投影长度（h）和距离（d）。

直线间距（l）表示异面直线之间的距离，而投影长度（h）表示异面直线之间的距离，也就是其在任意一个平面上的投影长度。

距离（d）表示另外一维度上的距离，即两个平面之间的距离。

了解这些变量之后，就可以推导出不同平面异面直线之间的距离公式了，公式如下：d = sqrt(l^2 - h^2)根据此公式，如果已知直线间距（l）和投影长度（h），就可以使用平方根算式来计算距离（d）。

为了更加清楚地理解该公式推导的结果，我们可以先来看一个例子：假设一个平面上有两条异面直线，他们之间的直线间距（l）为100米，投影长度（h）为90米，那么两条异面直线之间的距离（d）就可以用公式推导出来：d = sqrt(100^2-90^2) = 10m此公式实际上是由勾股定理导出来的，例如，如果需要计算三维空间中两条异面直线之间的距离，我们可以将这两条直线投影到同一平面上，并假设平面的距离为0。

在这种情况下，异面直线之间的距离就可以用勾股定理来推导出来。

综上所述，不同平面异面直线之间的距离可以用公式推导出来，并用勾股定理计算出来。

这种距离的计算方法也被应用于三维空间中，用来计算两条空间异面直线之间的距离。

由此可见，这种距离计算方法非常实用，并在工程应用中经常使用。

异面直线上两点间的距离公式的应用

异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。

一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。

异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质，直接找出该公塑线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离, 或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的摄值问题，或用等体积变换的方法来解。

常用方法有：!＞定义法2、垂直平面法（转化为线面距）3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向星法8、等积法1定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公越线的长，即异面直线之间的距离。

例1已知：边长2为的两个正方形ABeD和CDEF成120°的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。

思路分析：由四边形ABCD和CDEF ⅛正方形，得CDdAD CD丄DE,即CD丄平面AD民过D作DH丄AE 于H,可得DH丄AE,DH丄CD,所以DH是异面直线AE、CD 的公至线。

在ZIADE 中，ZADE=I20°, AD=DE=a,DH= y。

即异面直线CD与AE间的距离为+ O2至直平面法：转化为线面距离，若狙b是两条异面直线，过b上一点A^a的平行线込记/与b 确定的平面α°从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。

例］如图，BFS AE两条异面直线分别在直二面角PABQ的两个面内，和棱分别成*P角，又它们和棱的交点间的距离为d,求两条异面直线BF、AE间的距离。

思路分析：BF、AE两条异面直线分别在宜二面角P-AB-Q的两个面内，ZEAB=a, ZFAB=β, AB=d,在平面Q内，过B作BHll AE,将异面直线BF、AE间的距离转化为AE与平面BCD间的距离，即为A到平面BCD间的距离，又因二面角P-AB-Q長直二面角，过A作Ae丄AB交BF于C,即AC丄平面ABD,过A作AD丄BD交于D, 连结CD。

设A到平面BCD 的距离为ho由体积法V A-B CD=V C-ABD,得〃sinasin P Jl-CoS' acos'03转化为面面距离若狙b炬两条异面直线，则存在两个平行平面恥A且a∈αs b∈β.求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面a、P间的距离。

求异面直线距离的几种方法

求异面直线距离的几种方法求异面直线间的距离是高中数学的一个难点，难就难在不知怎样去找异面直线的公垂线，也不会将所求的问题进展转化.为此，下面举例向大家介绍几种求异面直线间距离的方法，相信对大家学好这局部知识会有一定的帮助.一、平移法解题思路假设能找到一条直线c，使c与异面直线a和b都垂直，但c又不是a、b的公垂线，这时我们设法将直线c平移到直线c′处，使c′与a、b均相交，那么c′夹在a和b之间的线段就是a和b的公垂线段.然后再根据平面几何和立体几何知识，求出公垂线段的长.例1正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求AC 和A1D间的距离.解析如图1，由立体几何知识容易知道BD1⊥A1D、BD1⊥AC.设BD与AC的交点为M，△DBD1中，将BD1平移到MN处，连结AN，可知N为DD1的中点.设AN与A1D交点为Q.在△AMN中，将MN平移到QP处，可知QP就是AC与A1D的公垂线.由平面几何知识，有AQQN=21，那么AQAN=23，而MN=12BD1=32a，PQMN=AQAN，所以PQ32a=23，PQ=33a.故AC和A1D的距离为33a.采用同样的方法可以求出BD与B1C的距离也为33a.〔请同学们完成〕二、线面垂直法解题思路a、b为异面直线，平面α过直线b，且a⊥α于O，过O在α作OP⊥b于P，那么OP的长为异面直线a、b间的距离.例2如图2，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a，求B1D1与A1C之间的距离.解析∵B1D1⊥A1C1，B1D1⊥CC1，∴B1D1⊥平面A1CC1于O1.过O1做O1E⊥A1C于E，那么O1E是异面直线B1D1与A1C的距离.∵△A1CC1∽△A1O1E，∴A1O1O1E=A1CCC1，∴O1E=A1O1?CC1A1C=22a?a3a=66a，即B1D1与A1C 的距离为66a.三、面面平行法解题思路a、b为两条异面直线，分别过a、b作平面α、β，使α∥β，那么α、β的距离就是a、b的距离.例3棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F 分别是BB1、AD的中点，求EF、DB1的距离.解析如图3，G为AA1的中点.∵GF∥A1D，GE∥A1B1，∴平面A1B1D∥平面EFG. ∵A1D⊥AD1，A1B1⊥AD1，∴AD1⊥平面A1B1D.同理，AD1⊥平面EFG，∴AD1被平面A1B1D与平面EFG截得的线段MN的长就是异面直线EF与BD1的距离.故异面直线EF与DB1的距离为：MN=14AD1=24a.四、转化法解题思路求异面直线间的距离通常转化为直线到平面的距离，再转化为点到平面的距离，而点到平面的距离常用体积法来求.主要思路是过异面直线中的一条作一个平面，使这个平面与其中的另外一条平行，那么异面直线的距离就转化为直线到平面的距离.再转化为直线上的点到平面的距离，这是一种很重要的转化思想，是求异面直线间距离的常用方法.例4如图4，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.M、N分别是正方形BCC1B1、A1B1C1D1的中心，求异面直线AM和DN间的距离.解析如图4所示，把AM平移到KC1处，易得KC1与DN一定相交在一个平面，从而有AM∥平面A1DC1，于是DN、AM间的距离就是直线AM到平面A1DC1的距离，进而转化为求点A到平面A1DC1之间的距离.设所求的距离为d，运用体积法VA-A1DC1=VC1-A1AD，即13d?S△A1DC1=13a?S△A1AD，所以d=aS△A1ADS△A1DC1.容易求得S△A1DC1=32a2，S△AA1D=12a2，所以d=a?a2232a2=33a.五、公式法解题思路求异面直线之间的距离，除了上述常用方法外，我们还可以根据下面的两个公式来求.公式1如图5，三棱锥A-BCD中，假设AB和CD 所成的角为θ，三棱锥A-BCD的体积为VA-BCD，那么异面直线AB与CD之间的距离d=6VA-BCDAB?CDsin θ.图5图6公式2平面α∩β=a，二面角α-a-β的平面角为θ，如图6.直线b与平面α、β分别相交于A、B，点A、B到棱a的距离分别为m、n.那么异面直线a和b之间的距离d=mnsinθm2+n2-2mncosθ.以上两个公式均可按照方法3来求，有兴趣的同学可以自己证明一下.例5如图7，正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为a.P是B1C1的中点，求AC与BP的距离.解法1运用公式1来求.设AC和BP所成的角为θ，取A1D1的中点为N，连结AN，那么∠CAN=θ.不难求出sin∠CAN=31010，AC=2a，BP=5a2，VP-ABC=13a?12a2=16a3.d=6VP-ABCAC?BPsinθ=6×a362a?5a2?31010=23a.即AC与PB之间的距离为23a.解法2运用公式2来求.如图8，容易求出点B到AC的距离为m=2a2，点P到AC的距离n=32a4.设二面角P-AC-B的平面角为θ，用面积的射影公式容易求得cosθ=13，从而sinθ=223.d=mnsinθm2+n2-2mncosθ，代入数值得d=23a，即AC与PB之间的距离为23a.练习S-ABC为正四面体，棱长为a，求不相邻的两条棱AC、SB的距离.〔提示：过B做BC′AC，连接AC′、SC′、CC′，作SO⊥面ABC.AC和SB的距离就是三棱锥C - SBC′的高h=22a〕.〔收稿日期：2021 -07-09〕。

计算异面直线间距离的两个公式

。
两线段的端点为顶点的四面体的体积易求时
.
应用公
式 ① 则较为方便现举例供参考仁例月求棱长为。的正方体相邻两面上不相交的两条对角线间的距离 ( 图二中 B C 与 B I D 间的距离 ) : : : : 解连BD和 C D 得BC = C D = B D = 了 2 a
,
.
则
BC土AE
亡“
毖 J 乏力 11 氏
一
,
一
空
,
一
阵 ,异面 ”
线 S B“
”
了加
12
A c 间的距离
刀C 一刀 E
B C 一平面 A E D
刀 C上 A D
即 B C 与 A D 所成的角 e =
,
9 ’0
。
由 A作 A O土平面 B C D
’, .
点 O 在刀 E 上
E O=
S
“
二
x
“
一
x
刀一告
: x
口心
.
ex ￡ 0
5
*n ox 月
即
告扮叮一扮
月
=
丫
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火
“
“
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“
H s
0 9 i l
粤月
廿
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刀万 5
s
.
e
:n
之
。
2 即对梭
.
c 与 B A D 间的距离为
即
犷四面休 S, B C 一
,
落
,
。
“ H s `: “

异面直线间的距离(全部方法详细例题).pdf

CD⊥AD,C D⊥DE,即 C D⊥平面ADE,过D作 DH⊥AE于 H,
可得 D H⊥AE,DH⊥CD,所以DH是异面直线 A E、CD的公垂
b 上一点 A 作a 的平行线
思路分析： B F、AE两条异面直线分别在直二面角
P-AB-Q 是直二面角,
则y z AC 14
最小值即可。

设A M=x
a 。

当x=
2 5 公式法异面直线间距离公式：d= AB m n 2mncos
3
AO ⊥OO /,BO /⊥OO /,又 OO /是圆柱的高, AB=5 ,所以AB 与OO /之间的距离为
BD 的中点。

求异面直线 D M 、EN 间的距离。

内,转化为 BC 1、QN 的距离, 显然,。

所以异面直线 D M EN
QN 求异面直线 DA
思路分析：此题是求异面直线的距离问题,这个距离可作是
例 8 已知： SA ⊥平面 ABCD, ∠DAB= ∠ABC=90 ゜,
SA=AB=BC=a,AD=2a ,B
∴点 A 到面SCD的距离为SCD
的距离为
而以S为顶点,△ABD为底面的三棱锥的体积为
4。

两条异面直线的距离公式

两条异面直线的距离公式概述：两条异面直线的距离公式是解决空间几何问题中的一个非常重要的工具，它可以用来计算两条不共面的直线之间的最短距离。

这个公式是基于向量和点的概念建立的，但是理解起来相对简单，只需要一些基本的向量和几何知识即可掌握它的应用。

正文：在平面几何中，我们可以轻松地计算两条直线之间的距离。

但是在三维空间中，情况要复杂得多。

这是因为两条不共面的直线之间有许多可能的距离，因此，我们需要找到一种方法来计算它们之间的最短距离，这就是两条异面直线的距离公式。

首先，我们需要了解什么是异面直线。

如果两条直线不在同一个平面内，那么它们就是异面直线。

这就意味着没有办法通过平移或旋转使得它们重合。

因此，在三维空间中，异面直线的距离是唯一确定的，并且是两条不共面直线之间的最短距离。

为了计算两条异面直线之间的距离，我们需要首先找到它们的交点。

这个交点可以通过求解两个方程来得到，每个方程描述一条直线的位置。

然后，我们需要找到一个点位于第一条直线上，另一个点位于第二条直线上，并且它们之间的距离是我们要求的最短距离。

这可以通过以下公式来计算：d = |(P1 – P2) · n| / |n|其中d是两条直线之间的最短距离，P1和P2分别是两条直线上的点，n是垂直于两条直线的向量。

现在，让我们逐步地理解这个公式。

首先，我们需要找到两个点，它们分别在两条直线上。

为了找到这些点，我们可以用以下公式：P1 = A1 + t1D1P2 = A2 + t2D2其中，A1和A2是第一条直线和第二条直线上的一个已知点，D1和D2是它们的方向向量，t1和t2是直线参数。

通过求解以上两个方程，我们可以找到两条直线的一个公共点P。

如果这两条直线共面，则它们的交点无限多，我们就需要选择其中一个。

接下来，我们需要找到n向量，它垂直于两条直线。

n 可以通过向量积来计算：n = D1 x D2然后，我们可以通过点积计算P1和P2之间的向量与n之间的夹角的余弦值：cosθ = (P1 –P2) · n / (|P1 –P2| × |n|)由于n是垂直于两个向量的向量，因此它们的点积等于0。

异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间得距离求异面直线之间得距离就是立体几何重、难点之一。

常有利用图形性质,直接找出该公垂线,然后求解;或者通过空间图形性质,将异面直线距离转化为直线与其平行平面间得距离,或转化为分别过两异面直线得平行平面间得距离,或转为求一元二次函数得最值问题,或用等体积变换得方法来解。

常用方法有: 1、定义法2、垂直平面法(转化为线面距)3、转化为面面距4、代数求极值法5、公式法6、射影法7、向量法8、等积法1 定义法就就是先作出这两条异面直线得公垂线,然后求出公垂线得长,即异面直线之间得距离。

例1 已知:边长a 为得两个正方形ABCD 与CDEF 成1200得二面角,求异面直线CD 与AE 间得距离。

思路分析:由四边形ABCD 与CDEF 就是正方形,得CD ⊥AD,CD ⊥DE,即CD ⊥平面ADE,过D 作DH ⊥AE 于H,可得DH ⊥AE,DH ⊥CD,所以DH 就是异面直线AE 、CD 得公垂线。

在⊿ADE 中,∠ADE=1200,AD=DE=a,DH=。

即异面直线CD 与AE间得距离为。

2 垂直平面法:转化为线面距离,若a 、b 就是两条异面直线,过b 上一点A 作a 得平行线a /,记a /与b 确定得平面α。

从而,异面直线a 、b 间得距离等于线面a 、α间得距离。

例1 如图,BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,与棱分别成α、β角,又它们与棱得交点间得距离为d,求两条异面直线BF 、AE 间得距离。

思路分析:BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 得两个面内,∠EAB=α,∠FAB=β,AB=d,在平面Q 内,过B 作BH ‖AE,将异面直线BF 、AE 间得距离转化为AE 与平面BCD 间得距离,即为A 到平面BCD 间得距离,又因二面角P-AB-Q 就是直二面角,过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C,即AC ⊥平面ABD,过A 作AD ⊥BD 交于D,连结CD 。

求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式在三维几何中，两条异面直线之间的距离是指两条直线之间的最短距离。

在解决实际问题时，我们经常需要计算两条直线之间的距离，因此找到计算直线之间距离的公式对于解决问题非常重要。

下面将介绍两个计算异面直线之间距离的公式：点法式和向量法式。

1.点法式：假设有两条直线L1和L2，分别由点A1(x1,y1,z1)和A2(x2,y2,z2)以及方向向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)所确定。

步骤如下：1)选择L1上的任意一点P1，使用向量v1连接P1和A1、可以得到向量P1A12)在同一平面上，选择L2上的任意一点P2，使用向量v2连接P2和A2、可以得到向量P2A23)计算向量P1A1和向量P2A2的叉积，得到向量N。

叉积公式为：N=P1A1×P2A24)计算向量N的长度，即向量N的模长。

向量N的模长为：，N，=√(a3^2+b3^2+c3^2)。

5)计算点P1到直线L2的距离。

距离公式为：d=，[P2P1×N]，/，N，其中[P2P1×N]表示向量P2P1和向量N的叉积。

2.向量法式：假设有两条直线L1和L2，分别由点A1(x1,y1,z1)和A2(x2,y2,z2)以及方向向量v1(a1,b1,c1)和v2(a2,b2,c2)所确定。

步骤如下：1)计算两条直线的方向向量叉积，得到向量N。

叉积公式为：N=v1×v22)计算向量N的长度，即向量N的模长。

向量N的模长为：，N，=√(a3^2+b3^2+c3^2)。

3)选择L1上的任意一点P1和L2上的任意一点P2，计算向量P2P14)计算向量P2P1与向量N的点积，得到距离d。

点积公式为：d=，P2P1·N，/，N，其中[P2P1·N]表示向量P2P1和向量N的点积。

这两个公式可以用于计算两条异面直线之间的最短距离。

如果结果为正值，则表示直线L1与直线L2不相交，并且距离为计算结果；如果结果为零，则表示直线L1与直线L2相交；如果结果为负值，则表示直线L1与直线L2相交，但距离为零。

求异面直线距离的常用方法

求异面直线距离的常用方法陈广跃陈广跃求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，本文介绍两种求异面直线距离的常用方法，望能达到拓宽思路、扩大视野的目的。

望能达到拓宽思路、扩大视野的目的。

一. 直接法直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。

图1 解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱是正四棱柱则A A ABCD A A AC A A A B 11111^^^底面，即，而所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段的公垂线段由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角所成的角则∠DOE=45°又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45°∴D 1D=DB=2a∵AA 1=D 1D ∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a二. 间接法间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

方法。

）线面距离法（1）线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。

行平面的距离即为异面直线间的距离。

例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C 间的距离。

向量法求异面直线的距离公式

向量法求异面直线的距离公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：向量法求异面直线的距离公式是一种用向量的方法来计算异面直线之间的距离的公式。

在三维空间中，有时候我们需要求出两条不在同一平面上的直线之间的距离，这时就可以使用向量法来解决这个问题。

下面我们将详细介绍向量法求异面直线的距离公式的推导和应用。

我们假设有两条异面直线，分别用参数方程表示为：直线1：r1(t) = a1 + tb1其中a1,a2分别为直线1和直线2的某一点，b1,b2为方向向量，t,u为参数。

我们首先要确定这两条直线之间的距离，可以通过向量的投影来实现。

假设有一条从直线1上的某一点a1到直线2上的垂足点P的向量p，则有p = a2 - a1 + s(b1 x b2)（1）其中x表示向量叉乘，s为比例因子。

p为两条直线之间的距离向量，我们需要求出它的模长作为实际距离。

为了简化运算，可以令p与b1垂直，即p·b1 = 0，代入公式(1)中得到：(a2 - a1 + s(b1 x b2)) · b1 = 0将s代入公式(1)中，即可求出向量p。

我们求出p的模长即可得到两条异面直线之间的距离。

需要注意的是，如果两条直线平行，则它们之间的距离为0；如果两条直线相交，则直线之间的距禀为0。

向量法求异面直线的距离公式在实际工程和物理问题中有着广泛的应用。

比如在建筑设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的梁之间的距离；在机械设计中，我们需要确定两个不在同一平面上的零件之间的距禀。

掌握向量法求异面直线的距离公式对于解决实际问题具有重要意义。

第二篇示例：向量法求解异面直线距离的问题是解析几何中的一个重要问题。

异面直线是指两条不在同一平面内的直线，它们之间的距离是在空间几何学中一个非常基础的问题。

在实际问题中，当我们需要求解两条异面直线之间的距离时，使用向量法可以简化计算，提高效率。

首先我们来了解一下向量的相关知识。

在空间直角坐标系中，我们可以用一个有方向和大小的有向线段来表示一个向量。