【理论力学2】第二章碰撞

由式（2－7）和（2－8）有 I2 k I1 即恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰 撞冲量大小的比值
n 如图所示 此为斜碰撞 此时定义恢复因数为 k n 和 n 分别是速度 和 在法线方向的投影 式中 n
由于不计摩擦 和 在切线方向的投影相等 由图可见 tan n tan n 于是 n tan k n tan 对于实际材料有k<1 由上式可见 当碰撞物体表面光滑时 应有
2gh2
于是得恢复因数 h2 k h1 几种材料的恢复因数见表
碰撞物体 铁对铅 木对胶 木对 的材料 木 木 恢复因数 0.14 0.26 0.50 钢对 钢 0.56 象牙对象 牙 0.89 玻璃对 玻璃 0.94
对于各种实际的材料 均有0<k<1 由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞 物体在弹性碰撞结束时 变形不能完全恢复 动能有损失 k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞
§ 2－2 用于碰撞过程的基本定理
碰撞过程开始瞬时的速度为 设质点的质量为m 结束时的速度为 则质点的动量定理为 t m m Fdt I （2－1） 0 式中 I 为碰撞冲量 普通力的冲量忽略不计 质点系 ( e ) (i ) mii mii I i I i 设质点系有n个质点 对于每个质点都可列出如上的方程 将n个方程相加 得 n n n n (e) (i ) m m I I i i i i i i
2.用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理
质点系动量矩定理
n n (e) d (e) LO M O ( Fi ) ri Fi dt i 1 i 1
上式可写成
n n (e) ( e) dLO ri Fi dt ri dI i i 1 i 1
第二章
碰
撞
§ 2－1 碰撞的分类· 碰撞问题的简化
1.碰撞的分类
对心碰撞 偏心碰撞 正碰撞 斜碰撞 碰撞时两物体间的相互作用力称为碰撞力 光滑碰撞与非光滑碰撞 完全弹性碰撞 弹性碰撞 塑性碰撞
2.对碰撞问题的两个简化
碰撞现象的特点是 碰撞时间极短（一般为103 ~ 104 s ） 速度变化为有限值 加速度变化相当巨大 碰撞力极大
或
3.刚体平面运动的碰撞方程
（用于刚体平面运动碰撞过程中的基本定理） 用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理 n ( e) LC 2 LC1 M C (I i ) （2－5）
i 1
式中 LC1 ，LC 2为碰撞前与后质点系相对质心C的动量矩 右端项为碰撞冲量对质心之矩的几何和（对质心的主矩） 对于平行于其对称面的平面运动刚体
积分 或
得

LO 2 dLO LO1

i 1
n
t
0
(e) ri dI i
n t n (e) t (e) LO 2 LO1 ri dI i ri dI i i 1 0 i 1 0
n n (e) (e) LO 2 LO1 ri I i M O (I i ) （2－4） i 1 i 1 ( e) 称 ri I i 为冲量矩 其中不计普通力的冲量矩 （2－4）是用于碰撞过程的动量矩定理 又称为冲量矩定理： 质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩
在不考虑摩擦的一般情况下 碰撞前后的两个物体都在运动 此时恢复因数定义为
r n k n r
n n
（2－9）
和 r 分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿 式中 r 接触面法线方向的相对速度
§ 2－4 碰撞问题举例
例 2－1 两物体的质量分别为 m1和 m2 恢复因数为k 产生对心正碰撞 如图所示
第一阶段碰撞冲量为 I 1 0 (m ) I1 第二阶段碰撞冲量为 I 2
于是得
§ 2－3 质点对固定面的碰撞· 恢复因数
(m 0) I 2
I2 （2－7） I1 k （2－8） 常数k恒取正值 称为恢复因数
恢复因数需要用试验测定
2gh1
i 1 i 1 i 1 i 1
1.用于碰撞过程的动量定理——冲量定理
(e) 因为 I i 0 于是得
i i 1
(e) mii mii I i
n

n

n
i 1
i 1
i 1
（2－2）
式（2－2）是用于碰撞过程的质点系动量定理 因此又称为冲量定理： 质点系在碰撞开始和结束时动量的变化 等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢 （2－2）可写成 n mC I i(e) mC （2－3） i 1 分别是碰撞开始和结束时质心的速度 式中 C 和 C
求碰撞结束时各自质心的速度和碰撞过程中动能的损失
LC J C
式（2－5）可写为 式中 1 ，2 分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度 上式中不计普通力的冲量矩 式（2－6）与（2－3）结合起来 可用来分析平面运动刚体的碰撞问题 称为刚体平面运动的碰撞方程
( e) J C 2 J C 1 M C (I i )
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（2－6）
由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短 在研究一般的碰撞问题时 通常做如下两点简化
（1）在碰撞过程中 由于碰撞力非常大 重力 弹性力 等等普通力远远不能与之相比 因此这些普通力的冲量忽略不计 （2）由于碰撞过程非常短促 碰撞过程中 速度变化为有限值 物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置变化很小 因此在碰撞过程中 物体的位移忽略不计