联合分析法相关计算

2.联合分析法相关计算

（1）效用函数及其举例说明

效用函数的形式为：

U(X) =

其中 U（x）为所有属性的效用；n为属性个数；m j 为第i个属性的水平数目；a ij（我们称之为部分值函数）为第i个属性的第j 水平的效用，我们称之为部分值函数,当在某一测试中，这一属性水平组合出现时取1，不出现则取0，x ij为第i个属性的第j个水平组合是否出现。我们通常采用带虚拟变量（又称作二分变量、哑变量、工具变量或者定型变量）的简单最小二乘法来进行估算。虚拟变量的取值只有两种，如0和1，虚拟变量重新定义分类通常的做法是，如果需要重新定义的变量有K个类别，则需要使用K-1个虚拟变量，其原因在于只有K-1个虚拟变量是相互独立，第K个类别的情况可以从其他K-1个变量获得。比如在分析性别这个两类别的变量时，就着急需要一个虚拟变量，样本中男性所占的比例等信息可以从女性所占百分比等信息中推知。

【课堂案例】将“冷冻”食品消费者作为虚拟变量处理

一项消费者对冷冻食品偏好的研究将消费者分为重度使用者、中度使用者、轻度使用者、非使用者。最初的编码为4、3、2和1。这样的编码对一些统计数据分析是没有意义的。所以，为了进行分析，将产品使用者重新用3个虚拟变量X1,X2,X3表示，如表5 所示。

表5—重新定义前后的变量

产品使用最初编码虚拟变量

X1 X2 X3

非使用者 1 1 0 0

轻度使用者 2 0 1 0

中度使用者 3 0 0 1

重度使用者 4 0 0 0

我们以学生对旅游鞋的评价为例说明效用函数的计算。定性研究确定了三个重要属性：鞋底、鞋面和价格。如表5—所示，每一个属性均设三个水平。

旅游鞋的属性及其水平

属性

水平

编码描述

鞋底 3 橡胶

2 合成树脂

1 塑料

鞋面 3 真皮

2 帆布

1 尼龙

价格 3 ￥30.00

2 ￥60.00

1 ￥90.00

在对旅游鞋的不同属性组合进行评价时，要求调查对象对估计集中地9种组合打分，采

用的是9级Likert量表（1=不喜欢，9=极喜欢）。收集定量数据时，消费者给的是分值而不是职位，在这种情况下，判断一般是独立做出的。这对调查对象来说更方便，也比定序数据更便于分析。表5—给出了一个调查对象的评分结果。

旅游鞋的属性组合及其得分

用带虚拟变量的普通最小二乘法对表5—提供的数据进行了分析。因变量为偏好得分，自变量或预测变量时6个虚拟变量，每个原始变量用两个虚拟变量定义。表5—是住哪换过的数据。表5—表示每一属性效用函数的估算值。

联合分析的结果

因为变量数为6个，用b 0 ,b 1 ,b 2,b 3 ……b 6代表估算的参数，效用函数可由下式表示：a（x）= b0 + b1 X1+ b 2 X2+b 3 X3+b 4X4+b 5 X5+b 6X6

式中：X1,X2——鞋底的虚拟变量

X3,X4——鞋面的虚拟变量

X5,X6——价格的虚拟变量

对于鞋底，属性水平的虚拟变量取值如下：

其他属性的属性水平的编码相似，参数的估计值如下：

b0=4.222 b0=-0.333 b0=1.333

b0=1.000 b0=1.000 b0=2.333

上述虚拟变量将水平3设为基准水平，因此系数与部分值有关。每一虚拟变量的系数，表示该水平的部分值与基准水平的部分值之差。对于鞋底，有：

a 11 - a 13 =

b 1

a 12 - a 13 =

b 2

为了求部分值，需要附加一个约束条件。因为是用定距尺度估算部分值，原点是人为的，所以附加的约束条件是

a 11+a 12+ a 13 =0

对于第一个属性鞋底有如下公式：

a 11 - a 12 = 1。000

a 12 - a 13 =-0.333

a 11+a 12+ a 13 =0

解上述方程组，得

a 11=0.778

a 12=-0.556

a 13=-0.222

用相同的方法估算，对于鞋面和价格属性分别有如下公式

鞋面： a 21 - a 23 = b 3

a 22 - a 23 =

b 4

a 11+a 12+ a 13 =0

价格： a 21 - a 23 = b 5

a 22 - a 23 =

b 6

a 11+a 12+ a 13 =0

（2）属性相对重要性

属性的相对重要性的计算，给予这样一个假定，差值越大表示该属性在整体轮廓的重要性越高，差值越小表示越不重要，一般用百分比来表示属性的相对重要性，计算公式如下：

其中： W J=第j个属性的相对重要性

Max(v ij)=第j个属性的最大水平效用值

Min(v ij)=第j个属性的最小水平效用值3.估摸市场占有率

{Max(v ij)- Min(v ij)}表示第i个属性效用函数的全距。

那么，按照属性相对重要性的定义，我们可以计算出上述学生旅游鞋相对重要性的权重。

部分值函数全距和=[0.778-(-0.556)]+[0.445-(-0.556)]+[1.111-(-1.222)]=4.668 鞋底的相对重要性=[0.778-(-0.556)]/ 4.668=0.286

鞋面的相对重要性=[0.445-(-0.556)]/ 4.668=0.214

价格的相对重要性=[1.111-(-1.222)]/ 4.668=0.500

（3）最大效用模型市场占有率

在许多结合分析研究中，获得属性水平的效用值往往并不是市场研究的最终目的，更主要的是寻找产品、服务的最佳市场组合，模拟消费者的市场选择和估计市场占有率，这种市场占有率是基于消费者偏好的市场份额。同时也可以模拟一种新产品进入市场以后，市场占有率的变化。

最普遍使用的模拟市场占有率的方法是最大效用模型（Maximum Utility Model）,它假定每一个消费者总是购买他或她认为最具有最大轮廓效用的产品，不同的消费者选择每一种产品的概率平均，可以得出预测的市场份额（占有率）。其他模拟市场占有率的方法有Bradley-Terry-Luce(BTL)模型和logit模型，在BTL模型中，选择概率是效用的线性函数，在logit模型中，选择概率是效用的logit函数，logit函数是非线性的严格递增的函数。三种模型的概率计算如下：