2013年陕西省高考数学试卷(理科)
2013年普通高等学校统一招生考试数学题目(陕西理)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为 (A) [－1,1] (B) (－1,1)(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞- (D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 613. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的(A) 充分不必要条件 (B)(C) 充分必要条件 (D) 4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．信号的概率是(A)14π-(B)12π-(C) 22π- (D) 4π6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =(C) 若12||z z =, 则2112··z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定8. 设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x >0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 (A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是1(A) [15,20] (B) [12,25] (C) [10,30] (D) [20,30]10. 设[x ]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x , y , 有(A) [－x ] ＝ －[x ] (B) [2x ] ＝ 2[x ] (C) [x ＋y ]≤[x ]＋[y ] (D) [x －y ]≤[x ]－[y ]二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线22116x y m -=的离心率为54, 则m 等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y ＝2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为 . 14. 观察下列等式: 211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=- …照此规律, 第n 个等式可为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E ,过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.17. (本小题满分12分)设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==x1A(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.19. (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ∠的角平分线, 证明直线l过定点.21. (本小题满分14分)已知函数()e,xf x x=∈R.(Ⅰ) 若直线y＝kx＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y＝f (x)与曲线2(0)y mx m=>公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较()()2f a f b+与()()f b f ab a--的大小, 并说明理由.。
2013陕西高考数学理科试题【精简打印版】
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第一部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分）1.设全集为R ，函数()f x =M ，则R C M 为[].1,1A - ().1,1B -(][).,11,C -∞-+∞ ()().,11,D -∞-+∞ 2.根据下列算法语句，当输入x 为60时， 输出y 的值为.25A .30B .31C .61D3.设,a b 为向量，则“||||||=a a b b ·”是“a ∥b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.某单位有840名职工，先采取系统抽样的方法抽取42人做问卷调查，将840按1,2,,840 随机编号，则抽取的42人中，编号落在区间[]481,720的人数为 A.11 B.12 C.13 D.145.如图在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的通讯通讯范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机取一点，则该点无限好的概率是.14A π- .12B π-.22C π-.4D π 6.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是1.A 若120,z z -=则12z z = .B 若12,z z =则12z z =.C 若12,z z =则1122z z z z = .D 若12,z z =则2212z z =7.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos sin ,b C c B a A +=则ABC ∆ 的形状为.A 锐角三角形 .B 直角三角形 .C 钝角三角形 .D 不确定8.设函数()61,0,,0,x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩ 则当0x >时，()f f x ⎡⎤⎣⎦表达式的展开式中常数项为.A -20 .B 20 .C -15 .D 159.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位：m ）的取值范围是[].15,20A [].12,25B [].10,30C [].20,30D10.设[]x 表示不大于x 的最大正整数，则对任意实数,x y 有[][].A x x -=- [][].22B x x =[][][].C x y x y +≤+ [][][].D x y x y -≤-第二部分（共100分）二、填空题（本大题每小题5分，共25分）11.双曲线22116x y m-=的离心率为54，则m 等于___________. 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为___________.13.若点(),x y 位于曲线1y x =-与2y =所围成封闭区域，则2x y -的最小值为______.14.观察下列等式40m俯视图左视图主视图2222222222111231236123410=-=--+=-+-=-照此规律，第n 个等式可为_______________________.15.（考生注意：请在下列三题中任选一道作答）A.（不等式选做题）已知,,,a b m n 均为正数，且1,2a b mn +==，则()()am bn bm an ++的最小值为____________________.B.（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知22PD DA ==，则PE =__________________.C.（极坐标与参数方程选做题）如图，过原点的直线倾斜θ为参数，则圆220x y x +-=的参数方程为______________________.三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）已知向量)1cos ,,,cos 2,2x x x x R ⎛⎫=-=∈ ⎪⎝⎭b a ，设函数()f x = a b .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （II ）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.x17.（本小题满分12分） 设{}n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和公式；（II ）设1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 为是正方形，O是底面中心，11ABCD AB=AA AO ⊥平面， （Ⅰ）证明111C BB D D A ⊥平面（II ）求平面1OCB 与11BB D D 平面的夹角θ的大小.19.（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手，各位观众彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另外在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.（Ⅰ）求观众甲选出3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（II ）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望. 20. （本小题满分13分）已知动圆过定点()4,0,A 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（II ）已知点()1,0,B -设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同两点,P Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明直线l 过定点. 21．（本小题满分13分） 已知函数(),.xf x e x R =∈（Ⅰ）若直线1y kx =+与()f x 的反函数的图象相切，求实数k 的取值范围. （II ）设0x >，讨论()y f x =与曲线()20y mx m =>公共点的个数.（III ）设,a b <比较()()()()2f a f b f b f a b a+--与的大小，并说明理由.AD 1C 1。
2013年高考理科数学(陕西卷)解析版Word版含答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C)(D)【答案】D【解析】,所以选D输入xIf x≤50 Theny=0.5 * xElsey=25+0.6*(x-50)End If输出y2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时,输出y的值为(A) 25(B) 30(C) 31(D) 61【答案】C【解析】,所以选C3. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若,为真；相反，若，则。
所以“”是“a//b”的充分必要条件。
另：当为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14【答案】B【解析】使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
,所以从编号1～480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481～720共240人中抽取12人。
故选B5. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是。
完整版高考理科数学陕西卷word解析版
2013 年高考理科数学陕西卷word 解析版2013 年一般高等学校夏天招生全国一致考试数学理工农医类(陕西卷)注意事项：1．本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题．2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷种类信息．3．全部解答必然填写在答题卡上指定地域内．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分(共50 分)一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项切合题目要求(本大题共10 小题，每题5 分，共50 分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R，函数f(x)＝A ．[－1,1]B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案：D21 x 的定义域为M，则R M为()．解析：要使函数f(x)＝ 21 x 有意义，则1－x2≥0，解得－1≤x≤1，则M＝[－1,1]，R M＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)依据以下算法语句，当输入x为60时，输出y 的值为()．A ．25 B．30 C．31 D．61答案：C解析：由算法语句可知y 0.5x, x 50,25 x 50 ,x 50,所以当x＝60时，y＝25＋×(60－50)＝25＋6＝31.3．(2013陕西，理3)设a，b为向量，则“|a·b |＝|a ||b|”是“a∥b”的( )．A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a∥b”的充分必需条件；若a 与b 都不为零两向量的夹角为向量，设a·b＝|a||b|cos θ，由|a·b|＝|a||b|得|cos θ|＝1，则0或π，所θ，则a与b 的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a·b |＝|a ||b|，故“|a·b| 以a∥b.若a∥b，则a与b 同向或反向，故两向量的夹角为＝|a||b |”是“a∥b”的充分必需条件．4．(2013陕西，理4)某单位有840 名职工，现采纳系统抽样方法抽取42 人做问卷检查，将840 人按1,2，⋯，840 随机编号，则抽取的42 人中，编号落入区间[481,720] 的人数为()．A ．11 B．12 C．13 D．141 / 14解析：840÷42＝20，把1,2，⋯，840 分成42 段，没关系设第 1 段抽取的号码为l，则第k 段抽取的号码为l＋(k－1) 2·0,1≤l≤20,1≤k≤42.令481≤l＋(k－1) 2·0≤720，得25＋则25≤k≤36.满足条件的k 共有12 个．1l20≤k≤37－l20.由1≤l≤20，5．(2013陕西，理5)如图，在矩形地域ABCD 的A，C 两点处各有一个通讯基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形地域ADE 和扇形地域CBF (该矩形地域内无其余信号本源，基站工作正常)．若在该矩形地域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )．A ．1 π4B．π21 πC．22 答案：A D．π4解析：S 矩形ABCD＝1×2＝2，S 扇形ADE＝S扇形CBF ＝π.由几何概型可知该地点无信号的概率为4P＝S S S矩形ABCD 扇形ADE 扇形CBS矩形ABCDF2ππ2 1.2 46．(2013陕西，理6)设z1，z2 是复数，则以下命题中的假．命题是( )．A ．若|z1－z2|＝0，则z1 z2B．若z1 z2 ，则z1 z2C．若|z1|＝|z2|，则z1 z1 z2 z2D．若|z1|＝| z2|，则z12＝z22答案：D解析：对于选项A，若|z1－z2|＝0，则z1＝z2，故z z ，正确；对于选项B，若1 2 z z ，则z z z ，1 2 1 2 2正确；对于选项C，z1·z1 ＝|z1|2，z2·z 2＝| z2|2，若| z1|＝|z2|，则z1 z1 z2 z2 ，正确；对于选项D，如令z1＝i＋1，z2＝1－i，满足| z1|＝|z2|，而z12＝2i，z22＝－2i，故不正确．7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为()．A ．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确立2 / 14解析：∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin C c os B＝sin2A，∴sin( B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴2A．又sin A＞0，∴sin A＝1，∴πA ，故△ABC为直角三角形．28．(2013陕西，理8)设函数 f (x)＝61x , x 0,x则当x＞0时，f[ f(x)] 表达式的张开式中常数项为( )．x, x 0,A ．－20 B．20 C．－15 D．15 答案：A解析：当x＞0时，f(x)＝x ＜0，则f[ f(x)] ＝6 61 1x xx x.r r r61r 6 r r r 2 2 r r 3 rT C ( x) ( 1) C x x ( 1) C xr 1 6 6 6x.令3－r＝0，得r＝3，此时T4＝(－3 3C ＝－20.1)62 的内接矩形花园(阴9．(2013陕西，理9)在以以以下图的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )．A ．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]答案：C解析：设矩形另一边长为y，以以以下图.x 40 y40 40，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，应选C．3 / 1410．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A ．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[ x]C．[x＋y] ≤[ x]＋[y] D．[x－y]≤[ x]－[y]答案：D解析：对于选项A，取x＝－，则[－x]＝[1.1] ＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝，则[2 x]＝[3] ＝3,2[ x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－，y＝－，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[ x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[ x]－[y]＋β1－β2] ＝[ x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[ x]－[y]＋β1－β2]＝[[ x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[ x]－[ y]－1＜[x]－[y]，应选项D 正确．第二部分(共100 分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题，每题5 分，共25 分)．2 2x y 11．(2013陕西，理11)双曲线16 m答案：951的离心率为4，则m等于__________．解析：由双曲线方程知a＝4.又 e ca54，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图以下，则其体积为__________．4 / 14π答案：3解析：由三视图可知该几何体是以以以下图的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝13π2π.2 313．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2 所围成的封闭地域，则2x－y 的最小值为__________．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝x1,x 1,x 1,x 1及y＝2 画出可行域如图暗影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x 并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4.14．(2013陕西，理14)观察以低等式12＝12－22＝－3112－22＋32＝62－22＋32－42＝－1015 / 14⋯⋯照此规律，第n 个等式可为__________．＋1n2＝(－1)n＋1·n n 1 答案：12－22＋32－42＋⋯＋(－1)n2解析：第n 个等式的左侧第n项应是(－1)n＋1n2，右侧数的绝对值为1＋2＋3＋⋯＋n＝n n2 1，故有12－22＋32－42＋⋯＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 1n n2.15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在以下三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a，b，m，n 均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2( a2＋b2)＝4ab ＋2(a2＋b2)＝2( a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n＝2时等号建立)．B．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 订交于e O 内一点E，过E作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则P E＝__________.答案： 6解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是B?D，则∠C＝∠A．又PE∥BC，∴∠C＝∠PED．∴∠APE PD＝∠PED．又∠P＝∠P，∴△PED∽△PAE，则PA PE＝3，∴PE2＝3×2＝6，∴PE＝ 6 .2＝3×2＝6，∴PE＝ 6 .2＝PA·PD．又PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA，∴PE2＋y2－x＝0 的参数方C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 程为__________．6 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版答案：xy2cos ,sin cos(θ为参数)解析：由三角函数定义知yx＝tan θ(x≠0)，y＝xtan θ，由x2＋y2－x＝0 得，x2＋x2tan2θ－x＝0，x＝12 1 tan2θ，则y＝xtan θ＝cos2θtan θ＝sin θcos θ，又＝cosπ时，x＝0，y＝0 也合适题意，故参数方2x 程为y2cos ,sin cos(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题，共75 分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12 分)已知向量a＝数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；1cos ,x ，b＝( 3 sin x，cos 2x )，x∈R，设函2(2)求f(x)在0, π2上的最大值和最小值．解：f(x)＝1cosx ,·( 3 sin x，cos 2x)2＝ 3 cos xsin x－12cos 2x＝32sin 2x－12cos 2x＝ππcos sin 2x sin cos 2x6 6＝πsin 2x .62π2π(1)f (x)的最小正周期为T ，π2即函数f(x)的最小正周期为π.(2)∵0≤x≤π，27 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版∴ππ5π2x .由正弦函数的性质，6 6 6当ππ2x ，即6 2πx时，f(x)获得最大值1.3当ππ2x ，即x＝0时，f(0)＝6 612，当π 52x π，即6 6πx时，2π 1f ，2 2∴f(x)的最小值为1 2 .所以，f(x)在0, π2上最大值是1，最小值是12.17．(2013陕西，理17)(本小题满分12 分)设{ a n} 是公比为q的等比数列．(1)推导{ a n} 的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{ a n＋1} 不是等比数列．(1)解：设{a n} 的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋⋯＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋⋯＋a1q n－1，①qS n＝a1q＋a1q2＋⋯＋a1q n，②①－②得，(1－q) S n＝a1－a1qn，∴Snna1 1 q1 q，∴na ,q 1,1nS a qn111 q,q 1.(2)证明：假设{ a n＋1} 是等比数列，则对任意的k∈N＋，(a k＋1＋1)2＝(a k＋1)( a k＋2＋1)，2a ＋2a k＋1＋1＝a k a k＋2＋a k＋a k＋2＋1，k 1a12q2k＋2a1q k＝a1q k－1·a1q k＋1＋a1q k－1＋a1q k＋1，∵a1≠0，∴2qk＝q k－1＋q k＋1.∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，∴q＝1，这与已知矛盾，∴假设不能够立，故{ a n＋1} 不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12 分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2 .8 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1 与平面BB1D1D 的夹角θ的大小．(1)证法一：由题设易知OA，OB，OA1 两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图．∵AB＝AA1＝ 2 ，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0) ，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．u u u u r u u u r由＝AB ，易得B1(－1,1,1)．A B1 1u u u r u u u r∵＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，AC1u u u rBB＝(－1,0,1)，1u u u r u u u r uu u r uu u r∴·＝0，AC ·BD＝0，A1C BB1 1∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．证法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又∵ABCD 是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又∵OA1 是AC 的中垂线，∴A1A＝A1C＝ 2 ，且AC＝2，∴AC2＝AA12＋A1C2，∴△AA1C 是直角三角形，∴AA1⊥A1C．9 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1，∴A1C⊥平面BB1D1D．(2)解：设平面OCB1 的法向量n＝(x，y，z)，u u u r uuur ∵OC＝(－1,0,0)，O B1＝(－1,1,1)，u u u rn OC x 0, x 0,∴u u ur∴y z.n OB x y z 0,1取n＝(0,1，－1)，uu u r由(1)知，A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D 的法向量，u u u r1 1∴cos θ＝|cos〈n，A1C〉|＝.2 2 2又∵0≤θ≤π，∴2π.319．(2013陕西，理19)(本小题满分12 分)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须互相独立地在选票上选3名歌手，此中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3 至5 号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有独爱，所以在 1 至5 号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；(2)X 表示3 号歌手获得观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学希望．解：(1)设A表示事件“观众甲选中 3 号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”，则P(A)＝1C 222C 33，P(B)＝2C 343C 55.∵事件A 与B 互相独立，∴观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率为P(A B )＝P(A) ·P( B )＝P(A) ·[1－P( B)] ＝2 2 43 5 15 . 或P AB1 3C C 42 4.2 3C C 153 5(2)设C表示事件“观众丙选中 3 号歌手”，则P(C)＝2C 343C 55，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P(X＝0)＝1 2 2 4 P( ABC) ，3 5 5 75P(X＝1)＝P (ABC ) P( ABC ) P( ABC )＝2 2 2 1 3 2 1 2 3 203 5 5 3 5 5 3 5 5 75，P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝2 3 2 2 2 3 1 3 3 333 5 5 3 5 5 3 5 5 75，P(X＝3)＝P(ABC )＝2 3 3 183 5 5 75，∴X 的分布列为X 0 1 2 3P 475207533751875∴X 的数学希望4 20 33 18 140 28 EX＝0 1 2 3 .75 75 75 75 75 1510 / 1420．(2013陕西，理20)(本小题满分13 分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹 C 交于不一样样的两点P，Q，若x轴是∠PBQ 的角均分线，证明直线l过定点．(1)解：如图，设动圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，当O1 不在y轴上时，过O1 作O1H⊥MN 交MN 于H，则H是MN 的中点，2 2∴|O M | x 4 ，又12 2 |O A| x 4 y ，1∴ 2 2 2 2x 4 y x 4 ，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1 在y轴上时，O1 与O 重合，点O1 的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为y2＝8x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q( x2，y2)，将y＝kx＋b 代入y2＝8x 中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，此中Δ＝－32 k b＋64＞0.11 / 14由求根公式得，x1＋x2＝82bk2k，①x1x2＝2b2k，②由于x轴是∠PBQ 的角均分线，所以y y1 2x1 1 x2 1，即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，(kx1＋b)( x2＋1)＋(kx2＋b)( x1＋1)＝0，2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，∴k＝－b，此时Δ＞0，∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．x，x∈R. 21．(2013陕西，理21)(本小题满分14 分)已知函数f(x)＝e(1)若直线y＝kx＋1 与f(x)的反函数的图像相切，务实数k 的值；(2)设x＞0，议论曲线y＝f(x)与曲线y＝mx2(m＞0)公共点的个数；f a f b(3)设a＜b，比较2 与f b f ab a的大小，并说明原由．解：(1) f(x)的反函数为g(x)＝ln x.设直线y＝kx＋1 与g(x)＝ln x 的图像在P( x0，y0)处相切，则有y0＝kx0＋1＝ln x0，k＝g′(x0)＝1x，解得x0＝e 2，2，1 k .2ex 与y＝mx2 的公共点个数等于曲线(2)曲线y＝e yxe2x与y＝m 的公共点个数．令xxe2x，则(x)e2x xx x3x，∴φ′(2)＝0.当x∈(0,2)时，φ′(x)＜0，φ( x)在(0,2)上单调递减；12 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(2，＋∞)上单调递加，∴φ(x)在(0，＋∞)上的最小值为(2)2 e 4.当0＜m＜2e4时，曲线yxe2x与y＝m 无公共点；当当2 xe em时，曲线y 2与y＝m 恰有一个公共点；4 x2e 1m时，在区间(0,2)内存在x1，使得φ(x1)＞m，在(2，＋∞)内存在x2＝me2，使得φ(x2)4 m＞m.由φ(x)的单调性知，曲线yxe2x与y＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x＞0时，若0＜m＜2e4，曲线y＝f(x)与y＝mx2 没有公共点；若2em ，曲线y＝f(x)与y＝mx2 有一个公共点；4若2em ，曲线y＝f(x)与y＝mx2 有两个公共点．4(3)解法一：能够证明f a f b f b f a2 b a.事实上，f a f b f b f a2 b aa b b ae e e e2 b ab a ab a e e b a 2e b a 21 1b a b a b a2 e e 2 e e 2 e 1(b＞a)．(*)令x 2(x) 1(x≥0)，x2 e 1则x x 2 x x 21 2e e 1 4e e 1(x) 0(仅当x＝0时等号建立)，x 2 x 2 x 22 e 1 2 e 1 2 e 1∴ψ(x)在[0，＋∞)上单调递加，∴x＞0时，ψ(x)＞ψ(0)＝0.13 / 142013 年高考理科数学陕西卷word 解析版令x＝b－a，即得(*) 式，结论得证．b a b af a f b f b f a e e e e解法二：2 b a 2 b ab a b a b abe be ae ae 2e 2e＝2 b a＝2aeb a[( b－a)e b－a＋(b－a)－2eb －a＋2]，b－a＋(b－a)－2e b－a＋2]，设函数u(x)＝xex＋x－2e x＋2(x≥0)，则u′( x)＝ex＋xe x＋1－2e x，令h(x)＝u′(x)，则h′(x)＝ex＋e x＋xe x－2e x＝xe x≥0(仅当x＝0时等号建立)，∴u′(x)单调递加，∴当x＞0时，u′(x)＞u′(0)＝0，∴u( x)单调递加．当x＞0时，u(x)＞u(0)＝0.令x＝b－a，则得( b－a)eb－a＋(b－a)－2e b－a＋2＞0，b a b a e e e e ∴2 b a >0，所以，f a f b f b f a2 b a.14 / 14。
2013年陕西高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．设全集为R ，函数f (x )的定义域为M ，则M R ð为 ( ) A ．[－1,1] B ．(－1,1) C ．(][),11,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【测量目标】函数的定义域，集合的基本运算. 【考查方式】根据根式定义，直接求解定义域. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】要使函数()f x =1－20x …，（步骤1）∴－1…x …1，则M ＝[－1,1]，M R ð＝(－∞，－1) (1，＋∞)．故选D.（步骤2）2．根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为 （ ）第2题图A ．25B ．30C ．31D ．61 【测量目标】分段函数，选择结构的程序框图.【考查方式】由算法语句读出其功能，再利用分段函数的解析式求函数值. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ⎧=⎨+(-)>⎩…（步骤1）∴当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.故选C.（步骤2）3．设a ，b 为向量，则“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】平面向量的数量积运算，充分、必要条件.【考查方式】讨论平面向量的共线条件，进一步结合充分、必要的条件求解. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】若,= a b a b 若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；（步骤1） 若a ，b 中均不为零向量，则cos ,,==a b a b a b a b cos ,1∴=a b ,π⇒=a b 或0，∴a ∥b ，即= a b a b ⇒a ∥b .（步骤2）若a ∥b ，则,π=a b 或0，cos ,∴== a b a b a b a b ，（步骤3）其中若a ，b 中有零向量也成立，即a ∥b ⇒= a b a b ；（步骤4） 综上知：“|a b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件.（步骤5）4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 ( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 【测量目标】系统抽样.【考查方式】根据系统抽样的方法结合不等式求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】抽样间隔：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ， 则第k 段抽取的号码为：l ＋(k －1) 20,1…l …20,1…k …42；（步骤1） 令481…l ＋(k －1) 20…720，得25＋120l -…k …37－20l.由1…l …20，（步骤2）则25…k …36.满足条件的k 共有12个．（步骤3）5．如下图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 ()第5题图A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型进行求解. 【难易程度】容易【试题解析】取面积为测度，则所求概率为：P ＝2121π12π4124FABCD ADE CB ABCDS S S S ⨯-⨯⨯⨯--==-矩形扇形扇形矩形.6．设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假．命题是 ( ) A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若12z z =，则1122z z z z =D ．若12z z =，则2212z z = 【测量目标】复数的基本概念.【考查方式】结合复数的模、共轭复数及复数的运算等判断求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】选项A ，若120z z -=，则12z z =，故12z z =，真命题；（步骤1） 选项B ，若12z z =，则122z z z ==，真命题；（步骤2） 选项C ，12z z =2212z z ⇒=1122z z z z ⇒= ，真命题；（步骤3） 选项D ，如令1z ＝i ＋1，2z ＝1－i ，满足|1z |＝|2z |，而1z 2＝2i ，2z 2＝－2i ，假命题．（步骤4） 7．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 【测量目标】利用正弦定理判断三角形的形状.【考查方式】利用正弦定理的变形将角的正弦值转化为三角形三角之间的关系. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，（步骤1） 即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形．（步骤2） 8．设函数f (x )＝6100,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,,…则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 （ ） A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．15 【测量目标】分段函数，二项式定理.【考查方式】利用分段函数的解析式和二项式的通项公式进行求解. 【难易程度】中等【试题解析】 f (x )＝610,0,x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩,… 当x ＞0时，f (x )＝0，则f [f (x )]＝66(f ⎛== ⎝，（步骤1）663221666C (1)C (1)C rr rr r r r r r r r T x x x ----+⎛==-=- ⎝，（步骤2） 令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.（步骤3）9．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是 ()第9题图A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30] 【测量目标】几何证明.【考查方式】利用三角形相似和面积比例关系求解. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】设矩形另一边长为y ，如图所示： 由三角形相似知：404040x y -=，∴ y ＝40－x . xy …300，∴x (40－x ) …300，解得10…x …30，故选C ．第9题图10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 ( ) A ．[－x ]＝－[x ] B ．[2x ]＝2[x ] C ．[x ＋y ]…[x ]＋[y ] D ．[x －y ]…[x ]－[y ]【测量目标】定义新运算.【考查方式】运用创新意识求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】选项A,取 1.5,x =则[][]1.52,x -=-=-[][]1.51,x -=-=-显然[][].x x -≠-（步骤1） 选项B ，取 1.5x =，则[][]122 1.512x ⎡⎤+==≠=⎢⎥⎣⎦.（步骤2）选项C ，取 1.5,x =则[]2x =[][]233,x ==[][]221.52,x ==显然[][]22x x ≠.故选D （步骤3）第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11. 双曲线222116x y m-=的离心率为54，则m 等于 . 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】由双曲线的简单几何性质以及离心率求解未知参数. 【难易程度】容易 【参考答案】3【试题解析】由题意知，216 4.a a =⇒=又54c e a ==5c ∴=22225169,3b c a b ∴=-=-=∴=即3m =．12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．第12题图【测量目标】由三视图求几何体的体积. 【考查方式】利用三视图，想象出几何体，求解. 【难易程度】中等 【参考答案】π3【试题解析】由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则21π12π323SABV⨯⨯⨯==几何体.第12题图13．若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】作出可行域，数形结合求解.【难易程度】中等【参考答案】4-【试题解析】如图，由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-⎧⎨-+<⎩…及y＝2画出可行域如图阴影部分所示，（步骤1）令2x－y＝z，⇒y＝2x－z，（步骤2）画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最小，即minz＝2×(－1)－2＝－4.（步骤3）第13题图14．观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10…照此规律，第n个等式可为__________．【测量目标】合情推理（归纳推理）.【考查方式】观察等式，灵活运用归纳推理的方法.【难易程度】较难【参考答案】2222121121234(1)(1)n n n n n (+)----＋＋＋＋…＋＝【试题解析】第n 个等式的左边第n 项应是()11n +-n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋()11n +-n 2＝()11n +-12n n (+). 15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．【测量目标】基本不等式求最值. 【考查方式】利用基本不等式求最值. 【难易程度】中等 【参考答案】2【试题解析】(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)…2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2当且仅当m ＝n “＝”.∴所求最小值为2.B ．(几何证明选做题)如下图，弦AB 与CD 相交于圆O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.第15题B 图【测量目标】三角形相似.【考查方式】通过逻辑推理判定三角形相似即可求出答案. 【难易程度】较难【试题解析】 ∠C 与∠A 在同一个圆O 中，所对的弧都是弧BD ⇒∠C ＝∠A .（步骤1） 又 PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．（步骤2） 又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△P AE ，则PE PDPA PE=，∴PE 2＝P A PD ．（步骤3）又 PD ＝2DA ＝2，∴P A ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE （步骤4）C ．(坐标系与参数方程选做题)如下图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．第15题C 图【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用直角坐标方程和参数方程的转化求解参数方程. 【难易程度】中等【参考答案】2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)【试题解析】由三角函数定义知yx＝tan θ(x ≠0)⇒y ＝x tan θ，（步骤1） 由x 2＋y 2－x ＝0⇒x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，（步骤2） 则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意， 故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．（步骤3）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16.(本小题满分12分)已知向量1cos ,2x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a ,=b ),cos 2,x x x ∈R ,设函数()=f x a b .(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】平面向量的数量积运算，三角恒等变化.【考查方式】利用向量数量积的运算，两角和的正弦公式、二倍角公式、正弦函数的性质进行求解. 【难易程度】容易 【试题解析】)1()cos,,cos 22f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin cos 22x x x =-12cos 22x x =-ππcos sin 2sin cos 266x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（步骤1）（1）()f x 最小正周期为2πT ω=2ππ2==,即函数()f x 的最小正周期为π.（步骤2）（2）π0,2x ∴ 剟ππ5π2.666x --剟（步骤3） 由正弦函数图象的性质得，当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值1.（步骤4）当ππ266x -=-，即0x =时，(0)f =12-.（步骤5）当π5π266x -=，即π2x =时，π1()22f =，（步骤6）()f x ∴的最小值为12-.因此，()f x 在π(0,)2上的最大值是1，最小值是12-.（步骤7）17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 【测量目标】等比数列的n 项和公式，反证法.【考查方式】利用等比数列的通项公式及概念推导前n 项和公式；利用反证法证明要证的结论. 【难易程度】中等【试题解析】(1)设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；（步骤1） 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，（步骤2）∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩（步骤3）(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k *∈N ，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1， a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1 a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，（步骤4）∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.（步骤5）又∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，（步骤6）∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．（步骤7）18．(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．第18题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系，空间向量的应用.【考查方式】利用直线的方向向量与平面内的向量垂直判定线面垂直，进而求出法向量，求解二面角. 【难易程度】较难【试题解析】(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图， ∵AB ＝AA 1OA ＝OB ＝OA 1＝1，（步骤1） ∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)．11A B ＝AB，∴B 1(－1,1,1)．（步骤2） ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB＝(－1,0,1)，∴1AC BD ＝0，1AC 1BB＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）第18题（1）图证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵四边形ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．（步骤1） 又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，（步骤2） ∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，又1BB BD B = ,∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．（步骤3）(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧=-=⎪⎨=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩（步骤4）取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，（步骤5） ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0…θ…π2，∴π3θ=.（步骤6）19．(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．【测量目标】古典概型，离散型随机变量的分布列及期望【考查方式】利用古典概型和独立事件的概率求解概率进而求解分布列及期望.【难易程度】中等【试题解析】(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.（步骤1） ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为：P (A B )＝P (A ) P (B )＝P (A ) [1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫()== ⎪⎝⎭ 或（步骤2） (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，（步骤3） ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为：P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (ABC )＋P (ABC )＋P (ABC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，（步骤4） ∴X 的分布列为（步骤5）∴X 的数学期望4203318140280123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.（步骤6） 20． (本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心C 的轨迹方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．【测量目标】圆的方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中的定点问题.【考查方式】利用曲线方程求解轨迹方程，进一步与直线方程联立求解定点.【难易程度】较难【试题解析】（1）如图（a ），设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A =，（步骤1）=y 2＝8x (x ≠0)．（步骤2） 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .（步骤3）第20题（1）图（a ）(2)如图（b ），由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，⇒∆＝－32kb ＋64＞0.（步骤4）由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，②（步骤5） x 轴是∠PBQ 的角平分线，⇒121211y y x x =-++，（步骤6） 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③（步骤7）将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时∆＞0，（步骤8）∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．（步骤9）第20题（2）图（b ）21. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由． 【测量目标】函数零点的求解，导数的几何意义，反函数.【考查方式】利用导数的几何意义求解切线斜率，利用零点判断公共点个数，利用分析法求证不等式.【难易程度】较难【试题解析】(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ，解得x 0＝e 2，21e k =. (2)曲线y ＝e x 与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x =与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x xϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0. 当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b ab a+->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e eab a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ϕ=+-+(0x …)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ϕ(+)-(-)'=-==(+)(+)(+)…(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ϕ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ϕ(x )＞ϕ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a ) b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x ＋2(x …0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝0x xe …(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )b a e -＋(b －a )－2b a e -＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a ()+()()-()>-.。
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(陕西卷)
2021年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集为R, 函数()f x =M, 则C M R 为 （ ）A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(,1][1,)-∞-⋃+∞D ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞2．根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 （ ）A ．25B ．30C ．31D ．613．设a, b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a//b”的 （ ）(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 （ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．145．如图, 在矩形区域ABCD 的A, C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是 （ ）A ．14π-B ．12π-C ．22π- D ．4π 6．设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（）A ．若120z z -=，则12z z =B ．若12z z =，则12z z =C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =7．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．设函数41,00.,()x x f x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝≥⎭⎨⎪⎩ , 则当x>0时, [()]f f x 表达式的展开式中常数项为 （ ）(A) －20 (B) 20 (C) －15 (D) 159．在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是 （ ）A ．[15,20]B ．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．设[x]表示不大于x 的最大整数, 则对任意实数x, y, 有 （ ）A ．[－x] ＝ －[x]B ．[2x] ＝ 2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]二、填空题11．双曲线x 216−y 2m =1的离心率为54, 则m 等于 . 12．某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.13．若点(,)x y 位于曲线|1|y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为 .14．观察下列等式:211=22123-=-2221236-+=2222123410-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 .15．已知a, b, m, n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为 . 16．如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E, 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P. 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .17．(坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题18．已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()?f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 19．设{}n a 是公比为q 的等比数列.(Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;(Ⅱ) 设q≠1, 证明数列{}1n a +不是等比数列.20．如图, 四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形, O 为底面中心, A 1O ⊥平面ABCD, 1AB AA ==(Ⅰ) 证明: A 1C ⊥平面BB 1D 1D;(Ⅱ) 求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小.21．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;(Ⅱ) X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X 的分布列和数学期望. 22．已知动圆过定点A(4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P, Q, 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.23．已知函数f(x)=e x ,x ∈R .(Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值;(Ⅱ) 设x>0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线y =mx 2(m >0)公共点的个数.(Ⅲ) 设a<b, 比较f(a)+f(b)2与f(b)−f(a)b−a 的大小, 并说明理由.参考答案1．D【解析】[]()()()-1,1,11,R f x M C M ==-∞-⋃+∞的定义域为，故,选D.要注意避免出现1x ±及求补集时区间端点的取舍错误.【考点定位】本题考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合运算等知识.属于容易题.2．C【解析】试题分析：输入60x =，判断50?x ≤，否，250.6(6050)31y =+⨯-= ，输出31y =故选C ．考点：算法语句．3．C【解析】a, b 为向量, cos ,a b a b a b a b ==向量a 、b 的夹角为0︒或180︒则“||||||a b a b =”是“//a b ”的充分必要条件.此类问题解答要注意掌握好命题条件和向量共线的基本知识.【考点定位】本题考查向量的数量积、向量夹角、向量模长和充要条件等知识. 属于容易题. 4．B【解析】试题分析：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．∴从编号1～480的人中，恰好抽取480/20=24人，接着从编号481～720共240人中抽取240/20=12人考点：系统抽样5．A【解析】试题分析：由图形知，无信号的区域面积212121242S ππ=⨯-⨯⨯=-，所以由几何概型知，所求事件概率22124P ππ-==-，故选A ．考点：几何概型．6．D【解析】试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真； 对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真；对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z = 222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．7．B【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】 因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.8．A【解析】6[()]f f x=-，所以33346(20T C==-. 准确运用二项式定理是解题关键.【考点定位】本题考查分段函数和二项式定理.属于中档题.9．C【详解】如图△ADE∽△ABC，设矩形的另一边长为y，则22404040ADEABCxS yS∆∆-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，所以40y x=-，又300xy，所以(40)300x x-，即2403000x x-+，解得1030x. 【考点定位】本题考查平面几何知识和一元二次不等式的解法，对考生的阅读理解能力、分析问题和解决问题的能力以及探究创新能力都有一定的要求.属于中档题.10．D【解析】取 2.5x=，则[][ 2.5]3,[][2.5]2x x-=-=--=-=-，所以A项错误；[2][5]5,2[]2[2.5]4x x====，所以B项错误；再取 2.8y=，则[][5.3]5,[][][2.5][2.8]224x y x y+==+=+=+=，所以C项错误.【考点定位】本题考查取整函数(即高斯函数)，分段函数思想.属于难题.11．9【解析】试题分析：由双曲线方程可知其实半轴长为，根据双曲线离心率公式有.考点：双曲线的离心率.12．3π 【解析】由三视图还原几何体为半个圆锥，高为2，底面半圆的半径r ＝1. ∴体积V ＝12×13(π×12×2)＝3π.13．. 4-【详解】如图，封闭区域为三角形．令|1|2x -=，解得11x =-，23x =，所以三角形三个顶点坐标分别为(1，0，)，(1,2)-，(3,2)，把2z x y =-变形为2y x z =-，则直线经过点(1,2)-时z 取得最小值； 所以2(1)24min z =⨯--=-，故2x y -在点(1,2)-取最小值4-．故答案为：4-．14．2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n N ++*+-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅∈， 【解析】观察上式等号左边的规律发现：左边的项数依次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3,n ⋅⋅⋅指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示；等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为，所以第n 个式子可为：2222121(1)1234(1)(1)()2n n n n n n N ++*+-+-+⋅⋅⋅+-=-⋅∈．解题的关键在于：1．通过四个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律； 2．符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示；3．表达的完整性，不要遗漏了n N *∈．【考点定位】本题考查观察和归纳推理能力．属于中等题． 15．2 【解析】 由柯西不等式可得 （am+bn ）（bm+an ）≥16【详解】易知BCE PED BAP ∠∠=∠＝PDE PEA ∴∆~∆PE PDPA PE∴＝ 而PD DA ＝２＝２PA ∴＝３，•PE PA PD ２＝＝６故PE 【考点定位】本题考查平面几何证明，利用三角形相似即可求解，属于容易题.17．2cos x θ=,sin cos y θθ=,0.θπ≤<【解析】2222110,(),24x y x x y +-=-+=以（12,0）为圆心，12为半径，且过原点的圆它的标准参数方程为111, ,02222x cos y sina ααπ=+=≤<，，由已知，以过原点的直线倾斜角θ为参数,则0,θπ≤< 所以022θπ≤< .所以所求圆的参数方程为2cos x θ=,sin cos y θθ=,0.θπ≤<【考点定位】本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题. 18．(Ⅰ)22T ππ==(Ⅱ)max ()1f x =min 1()2f x =- 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可. 【详解】()f x a b =⋅1cos cos 22x x x -12cos 222x x =- πsin(2)6x =-（Ⅰ）()f x 的最小正周期为22T ππ==. （Ⅱ）[0,]2x π∈，52[,]666x πππ∴-∈-，1sin(2)[,1]62x π∴-∈-故当2=62x ππ-即3x π=时，max ()1f x =当2=66x ππ--即0x =时，min 1()2f x =-本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式11221212(,),(,),,x y x y x b x x y y ==∈⋅=+a b R a 若则()2sin T y A x πωφω==+以及函数图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一. 【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．19．(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析 【解析】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为1111...n n S a a q a q -=+++（1）将（1）式两边分别乘以q 得2111...n n qS a q a q a q =+++（2）（1）-（2）得11(1)nn q S a a q -=-当0q ≠时1(1)1n n a q S q-=-或11n n a a q S q -=- 当1q =时，12...n a a a ===，所以1n S na = （Ⅱ）方法一：{}2n 2131,a +1a +1=a +1?a +1q ≠假设数列为等比数列，那么（）（）（）2211111a q+1=a +1?a q +1(1)001,a q a q ⇒-=⇒==即（）（）（）或均与题设矛盾，故数列{}n a +1不可能为等比数列.方法二：{}2n k 111,a +1a +1=a +1?a +1k k q -+≠假设数列为等比数列，那么（）（）（）1221111111?1(1)001,k k k a q a q a q a q a q --+=++⇒-=⇒==即（）（）（）或均与题设矛盾，故数列{}n a +1不可能为等比数列.本题考查了等比数列前项和公式的推导，涉及参数q 分类讨论及错位相减法，体现高考题型源于教材的基本理念.而在第二问中要求证明数列不是等比数列，既考查了对等比数列概念的理解，又涉及到了反证法的应用；知识有机结合，考查综合能力.问中对数列的证明可以采取特殊代替一般的方法，也可以通行通法的解题思想.判断一个数列是否是等比数列一定要关注首项的验证，负责容易错误.【考点定位】本题考查等比数列的前n 项和公式推导和有关等比数列的证明. 突出对教材重要内容的考查，引导回归教材，重视教材.属于容易题.20．(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 所求夹角的大小为60 【解析】(1)证明 法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)， ∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD.又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C. 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1CAC ＝2， ∴AC 2＝21AA ＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C. 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D.(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z)． ∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10{0n OC x n OB x y z ⋅=-=⋅=-++=∴0{x y z==-取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12.又∵0≤θ≤2π，∴θ＝3π.21．(Ⅰ)415；(Ⅱ) 2815.【详解】(Ⅰ) 由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为C 11⋅C 21C 32=23，观众乙未选中3号歌手的概率为C 43C 53=25，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为23×25=415.(Ⅱ)X 的所有可能取值为0,1,2,3.由(Ⅰ)知，观众甲选中3号歌手的概率为23，观众乙选中3号歌手的概率为1−25=35，则观众丙选中3号歌手的概率也为1−25=35，则P(X =0)=(1−23)×(1−35)2=475,P(X =1)=23×(1−35)2+(1−23)×C 21×35×(1−35)=2075=415,P(X =2)=23×C 21×35×(1−35)+(1−23)×(35)2=3375=1125,P(X =3)=23×(35)2=1875=625.则X 的分布列如下：EX =0×475+1×415+2×1125+3×625=2815.22．(Ⅰ)2=8y x ； (Ⅱ)见解析 【详解】(Ⅰ)设动圆圆心C 的坐标为（ x , y ）则222224)0)4,=8.x y x y x -+-=+（（整理得所以，所求动圆圆心的轨迹C 的方程为2=8y x (Ⅱ)证明：设直线l 方程为y kx b =+，联立得22222228(82)0k x kbx b x k x kb x b ++=⇒--+=（其中32640kb ∆=-+>）设1122(,),(,)P x kx b Q x kx b ++,若x 轴是PBQ ∠的角平分线，则()1212121221121212()2·1+?(1)11(1)1(1)1QB PB kx x k b x x bkx b kx b kx b x kx b x k k x x x x x x +++++++++++=+==++++++（）（）（）（）（）()()2128()011k b k x x +==++，即k b =-故直线l 方程为(1)y k x =-，直线l 过定点.（1,0）本题考查轨迹方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题.第一问曲线轨迹方程的求解问题是高考的热点题型之一，准确去除不满足条件的0x ≠点是关键.第二问对角平分线的性质运用是关键，对求定值问题的解决要控制好运算量，同时注意好判别式32640kb ∆=-+>的条件，以防多出结果.圆锥曲线问题经常与向量、三角函数结合，在训练中要注意.本题无论是求圆心的轨迹方程，还是求证直线过定点，计算量都不太大，对思维的要求挺高；设计问题背景，彰显应用魅力. 【考点定位】本题考查迹曲线方程求法、直线方程、圆方程、直线与圆的位置关系及直线过定点问题，属于中档题.23．(Ⅰ)k =1e 2 (Ⅱ)（1）m >e 24时，两曲线有2个交点；（2）m =e 24时，两曲线有1个交点； （3）m <e 24时，两曲线没有交点。
2013年陕西高考理科数学试题及答案
20XX XX 高考理科数学试题与答案注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2. 考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写XX 、XX 号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求〔本大题共10小题，每小题5分，共50分〕1. 设全集为R ,函数()f x =M , 则C M R 为(A) [－1,1] (B) (－1,1)(C),1][1,)(∞-⋃+∞-(D),1)(1,)(∞-⋃+∞-[答案]D[解析]),1()1,(],1,1[.11,0-12∞--∞=-=≤≤-∴≥ MR C M x x 即,所以选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A)25 (B) 30 (C) 31 (D) 61 [答案]C[解析]31)50(6.025,60=-⋅+=∴=x y x ,所以选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·〞是“a //b 〞的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件[答案]C[解析]。
θcos ||||⋅⋅=⋅b a b a若1cos ||||||±=⇒⋅=⋅θb a b a ,b //a 0，即或的夹角为与则向量πb a 为真； 相反，若b a //，则||||||0b a b a b a ⋅=⋅，即或的夹角为与向量π。
所以“||||||=a a b b ·〞是“a //b 〞的充分必要条件。
另：当b a 或向量为零向量时，上述结论也成立。
所以选C4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为(A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14 [答案]B[解析]使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。
(完整版)2013年陕西高考理科数学试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．(2013陕西，理1)设全集为R ，函数f (x )＝21x -的定义域为M ，则R M 为()．A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)1)∪(1，＋∞)．2．(2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y的值为( )．A ．25B ．30C ．31D ．613．(2013陕西，理3)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a ||b |”是“a∥b ”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2013陕西，理4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )．A ．11B ．12C ．13D ．145．(2013陕西，理5)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是( )． A ．π14-B ．π12-C ．π22-D ．π4 6．(2013陕西，理6)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假．命题是( )． A ．若|z1－z2|＝0，则12z z = B ．若12z z =，则12z z =C ．若|z1|＝|z2|，则1122z z z z⋅=⋅ D ．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22 7．(2013陕西，理7)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )．A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定8．(2013陕西，理8)设函数f (x )＝610,0,x x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x ＞0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为 A ．－20 B ．20 C ．－15 D ．159．(2013陕西，理9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )．A．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]10．(2013陕西，理10)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，y，有( )．A．[－x]＝－[x] B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y] D．[x－y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．(2013陕西，理11)双曲线22116x ym-=的离心率为54，则m等于__________．12．(2013陕西，理12)某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．(2013陕西，理13)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为__________．14．(2013陕西，理14)观察下列等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10……照此规律，第n个等式可为__________．15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A．(不等式选做题)已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为__________．B．(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于e O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知PD＝2DA＝2，则PE＝__________.C．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．(2013陕西，理16)(本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(2013陕西，理17)(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18．(2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．19．(2013陕西，理19)(本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．20．(2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．21．(2013陕西，理21)(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数；(3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学（理科）(陕西卷)第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求(本大题共10小题，每小题5分，共50分)．1．答案：D解析：要使函数f (x )＝21x -有意义，则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2．答案：C 解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31.3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l .由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5．答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124F ABCD ADE CB ABCD S S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝x -＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝. 663221666C (1)C (1)C r r r r r r r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y ，如图所示.404040x y -=，则x ＝40－y ，y ＝40－x .由xy ≥300，即x (40－x )≥300，解得10≤x ≤30，故选C ．10．答案：D解析：对于选项A ，取x ＝－1.1，则[－x ]＝[1.1]＝1，而－[x ]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B ，令x ＝1.5，则[2x ]＝[3]＝3,2[x ]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C ，令x ＝－1.5，y ＝－2.5，则[x ＋y ]＝[－4]＝－4，[x ]＝－2，[y ]＝－3，[x ]＋[y ]＝－5，故不正确；对于选项D ，由题意可设x ＝[x ]＋β1,0≤β1＜1，y ＝[y ]＋β2,0≤β2＜1，则x －y ＝[x ]－[y ]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[x ]－[y ]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x －y ]＝[[x ]－[y ]＋β1－β2]＝[[x ]－[y ]－1＋1＋β1－β2]＝[x ]－[y ]－1＜[x ]－[y ]，故选项D 正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a ＝4.又54c e a ==，解得c ＝5，故16＋m ＝25，m ＝9. 12． 答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r ＝1，高SO ＝2，则V 几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y ＝|x －1|＝1,1,1,1x x x x -≥⎧⎨-+<⎩及y ＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x －y ＝z ，则y ＝2x －z ，画直线l 0：y ＝2x 并平移到过点A (－1,2)的直线l ，此时－z 最大，即z 最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1·12n n (+) 解析：第n 个等式的左边第n 项应是(－1)n ＋1n 2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n ＝12n n (+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋112n n (+). 15．(2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．答案：2解析：(am ＋bn )(bm ＋an )＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个e O 中，所对的弧都是»BD，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE . C ．答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x - ＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质， 当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-， 当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-. 17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ， ∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q =⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩ (2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1，∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B u u u u r ＝AB u u u r ，易得B 1(－1,1,1)． ∵1AC u u u r ＝(－1,0，－1)，BD u u u r ＝(0，－2,0)， 1BB u u u r ＝(－1,0,1)， ∴1AC u u u r ·BD u u u r ＝0，1AC u u u r ·1BB u u u r ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．(2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )， ∵OC u u u r ＝(－1,0,0)，1OB u u u r ＝(－1,1,1)， ∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩u u u r u u u r n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)， 由(1)知，1AC u u u r ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量，∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC u u u r 〉|12=. 又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=. ∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或 (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=， ∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=， P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=， ∴X 的分布列为∴X 的数学期望40123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝. 20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴1||O M =1||O A = = 化简得y ＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64＞0.由求根公式得，x 1＋x 2＝282bk k -，① x 1x 2＝22b k，② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以121211y y x x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0，2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0，∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切，则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e x y x=与y ＝m 的公共点个数． 令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=， ∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=. 当0＜m ＜2e 4时，曲线2e x y x =与y ＝m 无公共点； 当2e 4m =时，曲线2e xy x=与y ＝m 恰有一个公共点； 当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =，使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点． 综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点； 若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点； 若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点． (3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-. 事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)， 则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x x x x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证． 解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=--- ＝e e e e 2e 2e 2b a b a b ab b a a b a +---+(-)＝e 2ab a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2]， 设函数u (x )＝x e x ＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x ，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x ≥0(仅当x ＝0时等号成立)，∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0，∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a ＋2＞0， ∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。
[VIP专享]2013年高考真题——理科数学(陕西卷)解析版
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理科数学
注意事项: 1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题. 2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的 试卷类型信息. 3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
【解析】显然本题考查几何概型，必须看清楚题目中加点字！！所以
1 £ 2 ¡ 1¼
【解析】由1 ¡ x2 ¸ 0得¡ 1 · x · ¡ 1，故CR M = f xjx < ¡ 1or x > 1g选 D
2. 根据下列算法语句, 当输入x为 60 时, 输出y的值为 (A) x If x≤50 Then
y=0.5 * x Else
y=25+0.6*(x-50) End If 输出 y
(D) 61
( 0:5x
【解析】由算法语句可得y = f (x) = 25 + 0:6(x ¡ 50)
x · 50
x
>
故f 50
(60)
=
31选 C
3. 设 a, b 为向量, 则“ | a·b || a || b | ”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)数学试题(理科)参考答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学试题（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）。
1-5DCCBA 6-10DBACD二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．9 12．3π 13．-4 14．()()1222221112341(1)2n n n n n +++-+-++-=- 15．A ．2 B ．6 C ．)(cos sin cos 2为参数θθθθ⎩⎨⎧==y x三、解答题16．（本小题满分12分）解：1()(cos ,)(3sin ,cos 2)2f x x x x =-•13cos sin cos 22x x x =-31sin 2cos 222x x =- cossin 2sincos 266x x ππ=-sin(2)6x π=-（Ⅰ）()f x 的最小正周期为222T πππω===， 即函数()f x 的最小正周期为π。
（）02x π≤≤，52666ππππ∴-≤-≤。
由正弦函数的性质， 当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值1．当266x ππ-=-，即0x =时，1(0)2f =-， 当5266x ππ-=-，即2x π=时，1()22f π=，1()2f x ∴最小值为－因此，1()022f x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦在，上最大值是1，最小值为－。
17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设{}n a 的前n 项和为n S ，1111211111;1,n n n q S a a a na q S a a q a q -==+++=≠=+++当时，当时， ①2111,n n qS a q a q a q =+++ ②①－②得，11(1),nn q S a a q -=-11,11(1),11(1),1n n na q n n a q q qa q S S q =-≠-⎧-⎪∴=∴=⎨-⎪⎩ （Ⅱ）假设(1)n a +是等比数列，则对任意的k N +∈，()()()21221122221121111111111,211,2k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a q a q a q a q a q a q ++++++-+-++=++++=++++=•++{}11120,2.0,2101,1k k k n a q q q q q q q a -+≠∴=+≠∴-+=∴=∴+这是已知矛盾。
2013年高考真题——理科数学(陕西卷)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学注意事项:1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 设全集为R , 函数x f (x )=p1¡2的定义域为M ，则C RM为(A) [－1,1] (B) (－1,1) (C),1][1,)(∞-⋃+∞- (D),1)(1,)(∞-⋃+∞-【解析】由x 1¡2·0得¡1·x ·¡1，故CRM=fx j x <¡1orx >1g 选D2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61【解析】由算法语句可得y=f (x )=(0:5xx ·5025+0:6(x ¡50)x >50故31f (60)=选C3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的判定，一般来说有两种方法，定义法和集合大小。
本题利用定义法就行了。
由¯¢¯=¯¡j ¯cos ¯¯¡!a ¡!b ¯¯¯¯j !a ¯¯¯¡!b ¯¯µ¯¯¯故=¯¢¯=j ¯¯j cos µj 1;¯¯¡!a ¡!b ¯¯¡!aj ¯¯¡!b ¯¯，所以答案为C，这是这几年充要条件考题中很少出现的充要条件的答案了。
2013年高考理数真题试卷(陕西卷)
第1页，总18页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2013年高考理数真题试卷（陕西卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共10题)1. （2013•陕西）设全集为R ，函数 的定义域为M ，则∁R M 为（ ）A . [﹣1，1]B . （﹣1，1）C . （﹣∞，﹣1]∁[1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∁（1，+∞）2. （2013•陕西）设[x]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有（ ）A . [﹣x]=﹣[x]B . [2x]=2[x]C . [x+y]≤[x]+[y]D . [x ﹣y]≤[x]﹣[y]3. （2013•陕西）根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出y 的值为（ ）A . 25B . 30C . 31D . 61 4. （2013•陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为（ ）A . 11B . 12C . 13D . 145. （2013•陕西）如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是（ ）答案第2页，总18页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B .C .D .6. （2013•陕西）设∁ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则∁ABC 的形状为（ ）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 不确定7. （2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x （单位m ）的取值范围是（）A . [15，20]B . [12，25]C . [10，30]D . [20，30]8. （2013•陕西）设z 1 ， z 2是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A . 若|z 1﹣z 2|=0，则 = B . 若z 1= ，则 =z 2C . 若|z 1|=|z 2|，则z 1• =z 2•D . 若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 229. （2013•陕西）设函数f （x ）= ，则当x ＞0时，f[f （x ）]表达式的展开式中常数项为（ ）A . ﹣20B . 20C . ﹣15D . 1510. （2013•陕西）设 ， 为向量，则| • |=| || |是“ ∁ ”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件。
2013年高考理科数学(陕西卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学注意事项:1.本试卷分为两部分, 第一部分为选择题，第二部分为非选择题.。
2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.。
3.所有解答必须填写在答题卡上指定区域内。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集为R，函数f(x)＝21x-的定义域为M，则MCR为．A．[－1,1] B．(－1,1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为A．25 B．30 C．31 D．613．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为．A．11 B．12 C．13 D．145．如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是．6．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定8．设函数f(x)＝61,0,x xxx x⎧⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-≥⎩,,则当x＞0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为A．－20 B．20 C．－15 D．159．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是A．[15,20] B．[12,25]C ．[10,30]D ．[20,30]10．设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有A ．[－x]＝－[x]B ．[2x]＝2[x]C ．[x ＋y]≤[x]＋[y]D ．[x －y]≤[x]－[y]第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于__________． 12．某几何体的三视图如图所示，则其体积为__________．13．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为__________． 14．观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为__________．15． (考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A ．(不等式选做题)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为__________．B ．(几何证明选做题)如图，弦AB 与CD 相交于O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝__________.C ．(坐标系与参数方程选做题)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16． (本小题满分12分)已知向量a ＝1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b ＝x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列．18． (本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1. (1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．19． (本小题满分12分)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手． (1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列及数学期望．20．(本小题满分13分)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是 ∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．21．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图像相切，求实数k 的值；(2)设x ＞0，讨论曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m ＞0)公共点的个数； (3)设a ＜b ，比较2f a f b ()+()与f b f a b a()-()-的大小，并说明理由．参考答案及其解析一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分)． 1．答案：D解析：要使函数f (x )则1－x 2≥0，解得－1≤x ≤1，则M ＝[－1,1]，R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．答案：C解析：由算法语句可知0.5,50,250.650,50,x x y x x ≤⎧=⎨+(-)>⎩所以当x ＝60时，y ＝25＋0.6×(60－50)＝25＋6＝31. 3．答案：C解析：若a 与b 中有一个为零向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件；若a 与b 都不为零向量，设a 与b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a ||b |cos θ，由|a ·b |＝|a ||b |得|cos θ|＝1，则两向量的夹角为0或π，所以a ∥b .若a ∥b ，则a 与b 同向或反向，故两向量的夹角为0或π，则|cos θ|＝1，所以|a ·b |＝|a ||b |，故“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件． 4．答案：B解析：840÷42＝20，把1,2，…，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为l ，则第k 段抽取的号码为l ＋(k －1)·20,1≤l ≤20,1≤k ≤42.令481≤l ＋(k －1)·20≤720，得25＋120l -≤k ≤37－20l.由1≤l ≤20，则25≤k ≤36.满足条件的k 共有12个．5． 答案：A解析：S 矩形ABCD ＝1×2＝2，S 扇形ADE ＝S 扇形CBF ＝π4.由几何概型可知该地点无信号的概率为 P ＝π2π2124FABCD ADE CB ABCDS S S S ---==-矩形扇形扇形矩形. 6．答案：D解析：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2，故12z z =，正确；对于选项B ，若12z z =，则122z z z ==，正确；对于选项C ，z 1·1z ＝|z 1|2，z 2·z 2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则1122z z z z ⋅=⋅，正确；对于选项D ，如令z 1＝i ＋1，z 2＝1－i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 12＝2i ，z 22＝－2i ，故不正确．7．答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ．又sin A ＞0，∴sin A ＝1，∴π2A =，故△ABC 为直角三角形． 8．答案：A解析：当x ＞0时，f (x )＝＜0，则f [f (x )]＝66⎛= ⎝. 663221666C (1)C (1)C rr rrrr r r r r r T x x x ----+⎛=⋅=-⋅=- ⎝.令3－r ＝0，得r ＝3，此时T 4＝(－1)336C ＝－20.9．答案：C解析：设矩形另一边长为y，如图所示.404040x y-=，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C．10．答案：D解析：对于选项A，取x＝－1.1，则[－x]＝[1.1]＝1，而－[x]＝－[－1.1]＝－(－2)＝2，故不正确；对于选项B，令x＝1.5，则[2x]＝[3]＝3,2[x]＝2[1.5]＝2，故不正确；对于选项C，令x＝－1.5，y＝－2.5，则[x＋y]＝[－4]＝－4，[x]＝－2，[y]＝－3，[x]＋[y]＝－5，故不正确；对于选项D，由题意可设x＝[x]＋β1,0≤β1＜1，y＝[y]＋β2,0≤β2＜1，则x－y＝[x]－[y]＋β1－β2，由0≤β1＜1，－1＜－β2≤0，可得－1＜β1－β2＜1.若0≤β1－β2＜1，则[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[x]－[y]；若－1＜β1－β2＜0，则0＜1＋β1－β2＜1，[x－y]＝[[x]－[y]＋β1－β2]＝[[x]－[y]－1＋1＋β1－β2]＝[x]－[y]－1＜[x]－[y]，故选项D正确．第二部分(共100分)二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题，每小题5分，共25分)．11．答案：9解析：由双曲线方程知a＝4.又54cea==，解得c＝5，故16＋m＝25，m＝9.12．答案：π3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径r＝1，高SO＝2，则V几何体＝1π2π323⨯⨯=.13．答案：－4解析：由y＝|x－1|＝1,1,1,1x xx x-≥⎧⎨-+<⎩及y＝2画出可行域如图阴影部分所示．令2x－y＝z，则y＝2x－z，画直线l0：y＝2x并平移到过点A(－1,2)的直线l，此时－z最大，即z最小＝2×(－1)－2＝－4.14．答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·12n n(+)解析：第n个等式的左边第n项应是(－1)n＋1n2，右边数的绝对值为1＋2＋3＋…＋n＝12n n(+)，故有12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋112n n(+).15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A．答案：2解析：(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2)mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋2ab＋b2)＝2(a＋b)2＝2(当且仅当m＝n)．B ．解析：∠C 与∠A 在同一个O 中，所对的弧都是BD ，则∠C ＝∠A ．又PE ∥BC ，∴∠C ＝∠PED ．∴∠A ＝∠PED ．又∠P ＝∠P ，∴△PED ∽△PAE ，则PE PD PA PE=，∴PE 2＝PA ·PD ．又PD ＝2DA ＝2，∴PA ＝PD ＋DA ＝3，∴PE 2＝3×2＝6，∴PE .C ． 答案：2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)解析：由三角函数定义知y x＝tan θ(x ≠0)，y ＝x tan θ，由x 2＋y 2－x ＝0得，x 2＋x 2tan 2θ－x ＝0，x ＝211tan θ+＝cos 2θ，则y ＝x tan θ＝cos 2θtan θ＝sin θcos θ，又π2θ=时，x ＝0，y ＝0也适合题意，故参数方程为2cos ,sin cos x y θθθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共75分)．16．解：f (x )＝1cos ,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭x ，cos 2x )x sin x －12cos 2xx －12cos 2x ＝ππcos sin 2sin cos 266x x -＝πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2， ∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1.当ππ266x -=-，即x ＝0时，f (0)＝12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴f (x )的最小值为12-.因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值是1，最小值是12-.17．(1)解：设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n，∴111nn a q S q (-)=-，∴11,1,1, 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=(-)⎨≠⎪-⎩(2)证明：假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，21k a +＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 12q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1，∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾，∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．18．(1)证法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立直角坐标系，如图．∵AB ＝AA 1， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由11A B ＝AB ，易得B 1(－1,1,1)．∵1AC ＝(－1,0，－1)，BD ＝(0，－2,0)，1BB ＝(－1,0,1)，∴1AC ·BD ＝0，1AC ·1BB ＝0，∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ．证法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ．又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C ．又∵OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 12＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C ．又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1，∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D ． (2)解：设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，∵OC ＝(－1,0,0)，1OB ＝(－1,1,1)，∴10,0,OC x OB x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩n n ∴0,.x y z =⎧⎨=-⎩取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，1AC ＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，1AC 〉|12=.又∵0≤θ≤π2，∴π3θ=.19．解：(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝1223C 2C 3=，P (B )＝2435C 3C 5=.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝2243515⨯=.13242335C C 4.C C 15P AB ⎛⎫⋅()== ⎪⋅⎝⎭或(2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝2435C 3C 5=，∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P (X ＝0)＝1224()35575P ABC =⨯⨯=，P (X ＝1)＝()()()P ABC P ABC P ABC ++ ＝2221321232035535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A BC )＝2322231333335535535575⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，P (X ＝3)＝P (ABC )＝2331835575⨯⨯=，∴X 的分布列为∴X 的数学期望0123757575757515EX ⨯+⨯+⨯+⨯==＝.20．(1)解：如图，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M|，当O1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点， ∴1||O M =1||O A ==化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0， 其中Δ＝－32kb ＋64＞0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝282bkk-，① x 1x 2＝22b k，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以121211y yx x =-++， 即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ＞0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即直线l 过定点(1,0)．21．解：(1)f (x )的反函数为g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 的图像在P (x 0，y 0)处相切， 则有y 0＝kx 0＋1＝ln x 0，k ＝g ′(x 0)＝01x ， 解得x 0＝e 2，21ek =. (2)曲线y ＝e x与y ＝mx 2的公共点个数等于曲线2e xy x=与y ＝m 的公共点个数．令()2e x x x ϕ=，则3e 2()x x x x ϕ(-)'=，∴φ′(2)＝0.当x ∈(0,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )在(0,2)上单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，φ′(x )＞0，φ(x )在(2，＋∞)上单调递增，∴φ(x )在(0，＋∞)上的最小值为2e (2)4ϕ=.当0＜m ＜2e 4时，曲线2e xy x =与y ＝m 无公共点；当2e 4m =时，曲线2e xy x =与y ＝m 恰有一个公共点；当2e 4m >时，在区间(0,2)内存在1x =使得φ(x 1)＞m ，在(2，＋∞)内存在x 2＝m e 2，使得φ(x 2)＞m .由φ(x )的单调性知，曲线2e xy x=与y ＝m 在(0，＋∞)上恰有两个公共点．综上所述，当x ＞0时，若0＜m ＜2e 4，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2没有公共点；若2e 4m =，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有一个公共点；若2e 4m >，曲线y ＝f (x )与y ＝mx 2有两个公共点．(3)解法一：可以证明2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.事实上，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-⇔e e e e 2a b b a b a +->-⇔ e e 2e e b a b a b a -->+⇔2e 12e e a b a b a ->-+⇔212e 1b a b a -->-+(b ＞a )．(*) 令2()12e 1x x x ψ=+-+(x ≥0)，则2222212e e 14e e 1()02e 12e 12e 1x x x x xx x x ψ(+)-(-)'=-==≥(+)(+)(+)(仅当x ＝0时等号成立)， ∴ψ(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＞0时，ψ(x )＞ψ(0)＝0.令x ＝b －a ，即得(*)式，结论得证．解法二：e e e e 22b a b af a f b f b f a b a b a()+()()-()+--=---＝e e e e 2e 2e 2b a b a b a b b a a b a +---+(-)＝e 2a b a (-)[(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2]， 设函数u (x )＝x e x＋x －2e x＋2(x ≥0)，则u ′(x )＝e x ＋x e x ＋1－2e x，令h (x )＝u ′(x )，则h ′(x )＝e x ＋e x ＋x e x －2e x ＝x e x≥0(仅当x ＝0时等号成立)， ∴u ′(x )单调递增，∴当x ＞0时，u ′(x )＞u ′(0)＝0， ∴u (x )单调递增．当x ＞0时，u (x )＞u (0)＝0.令x ＝b －a ，则得(b －a )e b －a ＋(b －a )－2e b －a＋2＞0，∴e e e e >02b a b ab a+---， 因此，2f a f b f b f a b a()+()()-()>-.。
2013年陕西卷(理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（陕西卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为R，函数()f x =M ，则U C M 为 A.[1,1]- B.(1,1)-C.(,1][1,)-∞-+∞UD.(,1)(1.)-∞-+∞U 2.根据下列算法语句，当输入x 为60时，输出x 的值为A ．25B ．30C ．31D ．613.设a r ，b r为向量，则“a b a b ⋅=r r r r ”是“a b r r ∥”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为A ．11B ．12C ．13D ．145.如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基 站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无．信号的概率是 A.14π- B.12π- C.22π-D.4π6.设1z ，2z 是复数，则下列命题中的假命题是A.若120z z -=，则12z z =B.若12z z =，则12z z =C.若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅D.若12z z =，则2212z z =7.设ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ,若cos cos sin b C c B a A +=,则ABC ∆的形状为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定8.设函数61()0()0x x x f x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，则当0x >时，(())f f x 表达式的展开式中常数项为A ．20-B ．20C ．15-D ．15 9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于2300m 的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x （单位：m ）的取值范围是A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]10.设[]x 表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y ，有 A.[][]x x -=- B.[2]2[]x x = C.[][][]x y x y +≤+ D.[][][]x y x y -≤- 二、填空题：本大题共5小题，每题5分，满分25分.11.双曲线22116x y m -=的离心率为54，则m 等于 . 12.某几何体的三视图如图所示，则其体积为 .40m13.若点(,)x y 位于曲线1y x =-与2y =所围成的封闭区域，则2x y -的最小值为 . 14.观察下列等式:211=，22123-=-，2221263+-=，2222124310-+-=-，…，照此规律，第n 个等式可为 .15.（考生请注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）A.（不等式选做题）已知a ，，b ，m ，n 均为正数，且1a b +=,2mn =，则()()am bn bm an ++的最小值为 .B.（几何证明选做题）如图，弦AB 与CD 相交于O e 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P .已知22PD DA ==，则PE = .C.（坐标系与参数方程选做题）如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆220y x x +-=的参数方程为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量1(cos ,)2a x =-r，,cos 2)b x x =r ，x R ∈，设函数()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在[0,]2π上的最大值和最小值.C17.（本小题满分12分） 设{}n a 是公比为q 的等比数列. （Ⅰ）推导{}n a 的前n 项和公式；（Ⅱ）设1q ≠，证明数列{}1n a +不是等比数列. 18.（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB AA ==（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面11BB D D ；（Ⅱ）求平面11OC B 与平面11BB D D 的夹角θ的大小.19.（本小题满分12分）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手. （Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X 表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分13分）已知动圆过定点(4,0)A ,且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)B -,设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ,Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明：直线l 过定点. 21.（本小题满分14分）ABCDA 1B 1C 1D 1O已知函数()x f x e =，x R ∈.（Ⅰ）若直线1y kx =+与()y f x =的反函数的图像相切,求实数k 的值； （Ⅱ）设0x >，讨论曲线()y f x =与曲线2y mx =（0m >）公共点的个数； （Ⅲ）设a b <，比较()()2f a f b +与()()f b f a b a--的大小，并说明理由.。
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2013年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1. 本试卷分为两部分, 第一部分为选择题, 第二部分为非选择题.
2. 考生领到试卷后, 须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息.
3. 所有解答必须填写在答题卡上指定区域内. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. 设全集为R , 函数2()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为
(A) [－1,1]
(B) (－1,1)
(C) ,1][1,)(∞-⋃+∞-
(D) ,1)(1,)(∞-⋃+∞-
2. 根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 (A) 25 (B) 30 (C) 31 (D) 61
3. 设a , b 为向量, 则“||||||=a a b b ·”是“a //b ”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481, 720]的人数为 (A) 11 (B) 12 (C) 13 (D) 14
输入x
If x ≤50 Then
y =0.5 * x Else y =25+0.6*(x -50) End If 输出y
5. 如图, 在矩形区域ABCD 的A , C 两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无．
信号的概率是
(A)14
π
-
(B)
12
π
-
(C) 22π
-
(D) 4
π
6. 设z 1, z 2是复数, 则下列命题中的假命题是 (A) 若12||0z z -=, 则12z z = (B) 若12z z =, 则12z z =
(C) 若12||z z =, 则2112·
·z z z z = (D) 若12||z z =, 则2122z z =
7. 设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为
(A) 锐角三角形
(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定
1
2
D
A
C
B
E
F
8. 设函数
4
1
,
.
,
()
,
x x
f x x
x x
⎧⎛⎫
-<
⎪ ⎪
=⎝
-≥
⎭
⎨
⎪
⎩
, 则当x>0时, [()]
f f x表达式的展开式中常数项为
(A) －20 (B) 20 (C) －15
(D) 15
9. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x(单位m)的取值范围是
(A) [15,20] (B) [12,25]
(C) [10,30]
(D) [20,30]
10. 设[x]表示不大于x的最大整数, 则对任意实数x, y, 有
(A) [－x] ＝－[x] (B) [2x] ＝2[x]
(C) [x＋y]≤[x]＋[y] (D) [x－y]≤[x]－[y
]
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 双曲线
22
1
16
x y
m
-=的离心率为
5
4
, 则m等于.
40m
x
40m
1
1
2
1
12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为.
13. 若点(x, y)位于曲线|1|
=-与y＝2所围成的封闭区域, 则2x－y的最小值为.
y x
14. 观察下列等式:
2
=
11
22
-=-
123
222
-=
+
3
126
2222
+
-=-
310
-
124
…
照此规律, 第n个等式可为.
15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a ＋b ＝1, mn ＝2, 则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB 与CD 相交于O 内一点E , 过E 作BC 的平行线与AD 的延长线相交于点P . 已知PD ＝2DA ＝2, 则PE ＝ .
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆220y x x +-=的参数方程为
.
E D
O P
A
B
C
θ
P O
y
x
三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. (本小题满分12分)
已知向量1
(cos ,),(3sin ,cos2),2
x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;
(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD ,
12
AB AA
==.
O D1
B1
C1
D A
C
B
A1
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(
Ⅱ)
求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小.
19. (本小题满分12分)
在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.
(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;
(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.
20. (本小题满分13分)
已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是PBQ
的角平分线, 证明直线l过定点.
21. (本小题满分14分) 已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 若直线y ＝kx ＋1与f (x)的反函数的图像相切, 求实数k 的值; (Ⅱ) 设x >0, 讨论曲线y ＝f (x) 与曲线2(0)y mx m => 公共点的个数. (Ⅲ) 设a <b , 比较
()()2f a f b +与()()
f b f a b a
--的大小, 并说明理由.。