第3章 平面光波的反射和折射I

k1′ = k1 = ω v1 = n1ω c k2 = ω v2 = n2ω c
分别代入（3.1.9）式得：
n1 sin θ1 = n1 sin θ1′
n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
即
θ1 = θ1′ n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
（3.1.14） （3.1.15）
此即几何光学中的反射和折射定律。
θ1 θ1
O
H1wk.baidu.com’
x
θ2
E2s E2p H2s k2
z
图3.1.2 场矢量的边值关系
相位连续条件：（上假定）符合电磁场在两 种介质分界面两侧的连续性条件，即～。 据此假定，右图所示 的s分量的反射系数 小于0，表明实际的 s分量反射光与入射
1.0 0.5 0 -0.5 -1.0 0 30
rp rs
《高等工程光学》
第三章
平面光波的反射和折射 I
本章概要
由电磁场的边值关系出发，首先导出单 色平面波在两种介质分界面上的反射和折射 定律的普遍表达式，其次导出反射、透射与 入射光波场分量间所满足的菲涅耳公式，在 此基础上引出全反射时的倏逝波及古斯－汉 森（Goos-Hänchen）位移，最后讨论单色 平面波在分层介质表面的反射和折射及在金 属中的传播特性。
关系 H = 式中取参数
a1 = ε 1 µ1，a2 = ε 2 µ 2
解上方程组可得反射波、折射（透射）波与 入射波的电场强度矢量振幅比（3.1.20）：
E1′s a1 cosθ1 − a2 cosθ 2 = rs = E1s a1 cosθ1 + a2 cosθ 2
E1′p E1 p a2 cosθ1 − a1 cosθ 2 = rp = a2 cosθ1 + a1 cosθ 2
E1′s n1 cosθ1 − n2 cosθ 2 sin(θ1 − θ 2 ) = rs = =− E1s n1 cosθ1 + n2 cosθ 2 sin(θ1 + θ 2 )
E1′p E1 p
n2 cosθ1 − n1 cosθ 2 tan(θ1 − θ 2 ) = rp = = n2 cosθ1 + n1 cosθ 2 tan(θ1 + θ 2 )
3.1.2 菲涅耳（Fresnel）公式 反射和折射定律只给出了光波在两介质 分界面两侧的传播方向，但并未给出各光波 的场矢量在分界面两侧的振幅和相位关系。
参考图3.1.2，设两介质分界面为z=0（xy）平面，光 波入射面为y=0（xz）平面。为方便讨论，将两场量 E和H分解成两正交分量，各分量方向由右手螺旋法 则确定。根据电磁场的边值关系可得（3.1.16）：
强度矢量分别为k1、k1’、k2，θ1、θ1’、θ2， E1、E1’、E2（如图3.1.1所示）。
v v ⎧ E1 = E10e v ⎪ v v −i (ωt −kv1′⋅r ) ′ ⎨ E1′ = E10e v v −i (ωt −kv ⋅r ) v ⎪E = E e 2 20 ⎩ 2
v v −i (ωt −k1⋅r )
E2 s 2a1 cosθ1 = ts = E1s a1 cosθ1 + a2 cosθ 2
E2 p E1 p
2a1 cosθ1 = tp = a1 cosθ 2 + a2 cosθ1
µ 对于非磁性介质，
= µ0 ，因而 a1 a2 = n1 n2
上述表达式可简化为（3.1.21）：
E1′s n1 cos θ1 − n2 cos θ 2 sin(θ1 − θ 2 ) = rs = =− E1s n1 cos θ1 + n2 cos θ 2 sin(θ1 + θ 2 )
（3.1.4）
显然，上式对整个界面成立的条件是式中指 数因子在界面上为0，即
因而
v v v ( k2 − k1 ) ⋅ r = 0 v v v ( k1′ − k1 ) ⋅ r = 0 v v v ( k2 − k1′) ⋅ r = 0
（3.1.5） （3.1.6） （3.1.7）
由于r代表光波在分界面上入射点的位置 矢量，故三波矢k1 、k1’、k2 与其相应的波矢 对共面，且各自所处的均与界面垂直。
第3章 平面光波的反射和折射
§3.1 平面波在两种电介质分界面上的 反射和折射 §3.2 全反射和倏逝波 §3.3 古斯－汉森位移 §3.4 光波在分层介质上的反射和折射 §3.5 光频电磁波在金属中的传播
§3.1 平面波在两种电介质分界 面上的反射和折射
3.1.1 矢量形式的反射和折射定律 如下图所示，在介质1和2构成的无限大分 界面处，一单色平面光波由介质1进入介质2， 在分界面处发生反射和折射。 若以n表示分界面法线方向单位矢量，入 射、反射和折射光波的波矢量、角度及电场
E1′p E1 p n2 cos θ1 − n1 cos θ 2 tan(θ1 − θ 2 ) = = rp = n2 cos θ1 + n1 cos θ 2 tan(θ1 + θ 2 )
E2 s 2n1 cosθ1 2 sin θ 2 cosθ1 = ts = = E1s n1 cosθ1 + n2 cosθ 2 sin(θ1 + θ 2 )
ˆ 矢量，则 n = z0 ，上述边界条件简化为：
ˆ ˆ ˆ ˆ ⎧ ( E1 x + E1′x ) y0 − ( E1 y + E1′y ) x0 = E2 x y0 − E2 y x0 ⎨ ˆ ˆ ˆ ˆ ( H1 x + H1′x ) y0 − ( H1 y + H1′y ) x0 = H 2 x y0 − H 2 y x0 ⎩
tp ts
θB
60 90
光振幅矢量方向相反，即反位相。
入射角θ1
半波损失：光反射过程中振幅矢量的相位不 连续，存在π的相位突变或半个波长的光程 差,称～。
讨论 （1）外反射：平面光波由光疏介质进入光密 介质时的情况（n1<n2）。 由菲涅耳公式，对任意入射角 θ1 ，rs<0，而ts 和tp>0。表明：E1s’与E1s 反相位，E2s 与E1s 及 E2p与E1p同相位。因此，s分量在反射过程中出 现半波损失，透射过程中没有。同时，p分量 在透射过程中没有半波损失，但在反射过程中 的相位变化较为复杂，考虑以下情况：
E2 p 2n1 cosθ1 2sinθ2 cosθ1 = tp = = E1p n1 cosθ2 + n2 cosθ1 sin( 1 +θ2 )cos( 1 −θ2 ) θ θ
上述4式表达了反射光波电场强度矢量、 折射（透射）光波电场强度矢量与入射光波 电场强度矢量之间的振幅比及相位关系，由 菲涅耳首先导出，故称菲涅耳公式。
3.1.3 反射光波与透射光波的偏振态 菲涅耳公式（3.1.21）表明：在线性光 学范畴内，光波电场强度矢量的s分量和p 分量各自独立地变化，互不相关，且相应 的振幅反射（比）系数rs、rp 和透射（比） 系数ts、tp也不相等。
假定可见平面光波由空气（n1=1.0）入射到 玻璃（n2=1.5）表面，根据菲涅耳公式可求 出在分界面上，两偏振分量的振幅反射系数 和振幅透射系数随入射角的变化关系曲线。
证明
v v v v v v k2 ⋅ r = k1′ ⋅ r = k1 ⋅ r
θ1 = θ1′ n1 sin θ1 = n2 sin θ 2
参考图3.1.1所示的几何关系可得（3.1.9）：
k1 sin θ1 = k1′ sin θ1′ = k2 sin θ 2
设光波在两种介质中的速度分别为v1和v2，且 v1 = v1’，因k =ω/v及n = c/v，所以有：
即
⎧ E1 x + E1′x = E2 x ⎪ E + E′ = E ⎪ 1y 1y 2y ⎨ H1 x + H1′x = H 2 x ⎪ ⎪ H1 y + H1′y = H 2 y ⎩
（3.1.18）
根据图3.1.2所示各场分量与坐标分量之间的 投影关系，利用平面光波电磁矢量振幅间的
ε µ E ，（3.1.18）式可简化为： ⎧ ( E1 p − E1′p ) cosθ1 = E2 p cosθ 2 ⎪ E1s + E1′s = E2 s ⎪ ⎨ a1 ( E1s − E1′s ) cosθ1 = a2 E2 s cosθ 2 （3.1.19） ⎪ ⎪ a1 ( E1 p + E1′p ) = a2 E2 p ⎩
3.1.4 布儒斯特（Brewster）定律 由菲涅耳公式还可得出，当 θ1 + θ 2 = 90o r 时， p = 0, rs = cos 2θ1 。正好对应于上图3.1.3 中p分量的振幅反射系数曲线上为0的点。 因此，当折射光波矢与反射光波矢方向 正交时，反射光波只存在偏振面垂直与入射 面的s分量。此由布儒斯特首先据实验得出， 故称为布儒斯特定律，此时的入射角称布儒 斯特角，表示为： ⎛ n2 ⎞ θ B = arctan⎜ ⎟ ⎜ n ⎟ （3.1.22） ⎝ 1⎠
v v v v v ⎧ n × ( E1 + E1′) = n × E2 v v ⎨v v v ⎩n × ( H1 + H1′) = n × H 2
E1s n1 n2 H1s
E1p
E1p’
k1’
H1s’
k1
θ1 θ1
O
E1s’
θ2 E2s
x
E2p
z
H2s k2
图3.1.2 场矢量的边值关系
ˆ ˆ ˆ 若分别以 x0、y0、z0 表示3个坐标轴方向单位
E1p
k1’
E1s n1 n2
k1
θB θB
O
E1s’
x
θ2
z
E2s
E2p
k2
图3.1.4 自然光以布儒斯特角入射时的情形
依布氏定律，如图3.1.4所示： 自然光 反射光为s线偏光，透射光为 部分偏振光； 圆偏光 反射光为s线偏光，透射光为 椭圆偏振光； s线偏光 p线偏光 反射、透射光均为s线偏光； 反射光强为0，全透射（p偏）.
结论 入射、反射和折射光波的波矢量均位于 同一平面内，且此平面与分界面正交。（即 通常所说的入射面） 将上三式合并，可得下关系式（3.1.8）：
v v v v v v k2 ⋅ r = k1′ ⋅ r = k1 ⋅ r
光的反射和折射定 律的矢量表达式
可见，入射、反射和折射光波的波矢量 在界面方向的投影值大小相等。
3.1.5 相位突变与半波损失 如图所示，在推导菲涅耳公式时，规定了 反射、透射与入射光波振幅矢量在入射点的瞬 时取向关系：即s分量 E E ’ 的反射、透射光与入射 光振幅矢量取向一致， 而p分量与相应的s分 量及波矢量三者间构成 右手螺旋关系。
E1s n1 n2
1p 1p
k1’
H1s
k1
E1s’
v ikv1⋅r v ikv1′⋅r v ikv2 ⋅r v v v v v ′ n × ( E10 e + E10 e ) = n × E20 e
v v v v v v i ( kv2 ⋅r − kv1⋅rv ) v i ( kv1′⋅rv −kv1⋅r ) ′ − E10 e n × E10 = n × [ E20 e ]
E2 s 2n1 cosθ1 2 sin θ 2 cosθ1 = ts = = E1s n1 cosθ1 + n2 cosθ 2 sin(θ1 + θ 2 )
E2 p 2n1 cosθ1 2sinθ2 cosθ1 = tp = = n1 cosθ2 + n2 cosθ1 sin( 1 +θ2 )cos( 1 −θ2 ) θ θ E1p
1.0 0.5 0 -0.5 -1.0 0 30 1.0
rp rs
tp ts
ItpI
0.5
ItsI IrsI IrpI
θB
60 90 0 30
入射角θ1
入射角θ1
60
90
图3.1.3 光波在空气与玻璃分界面上的振幅反射与透射系数曲线
上图可看出：反射光中，s分量的振幅绝对值 总是大于或等于p分量振幅的绝对值；透射光 中， p分量的振幅绝对值总是大于或等于s分 量振幅的绝对值。 结论：通常，入射光为自然光时，反射光和 透射光均为部分偏振光；入射光为圆偏振光 时，反射光和透射光均为椭圆偏振光；入射 光为线偏振光时，反射光和透射光仍为线偏 振光，但振动面相对原入射光有一定偏转。
k1
θ1 θ1’
k1’
1 2
O
θ2
k2
图3.1.1 单色平面波在两种介质 分界面上的反射和折射
（3.1.1）
根据电磁场的边值关系，界面上无传导电 流和自由电荷分布时，电场强度矢量应满足连 续性条件：
v v v v v n × ( E1 + E1′) = n × E2
（3.1.2）
将（3.1.1）式代入上式得：