第十一讲对顶角垂直
《对顶角》 讲义
《对顶角》讲义一、什么是对顶角在几何学中，对顶角是一个非常重要的概念。
当两条直线相交时，会产生四个角，其中相对的两个角就被称为对顶角。
比如说，我们有直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，这样就形成了四个角：∠AOC、∠AOD、∠BOC 和∠BOD。
其中，∠AOC 和∠BOD 就是一对对顶角，∠AOD 和∠BOC 也是一对对顶角。
对顶角的一个显著特点就是它们的大小相等。
这是因为两条相交直线所形成的相邻角之和总是等于 180 度。
二、对顶角的性质对顶角的主要性质就是它们的角度相等。
这一性质在解决几何问题中非常有用。
我们来证明一下为什么对顶角相等。
假设直线 AB 和直线 CD 相交于点 O，那么∠AOC 和∠BOD 是对顶角。
因为∠AOC 和∠AOD 组成了一个平角，平角的度数是 180 度，所以∠AOC ＋∠AOD ＝ 180 度。
同样，∠AOD 和∠BOD 也组成了一个平角，所以∠AOD ＋∠BOD ＝ 180 度。
因为∠AOC ＋∠AOD ＝ 180 度，∠AOD ＋∠BOD ＝ 180 度，所以∠AOC ＝∠BOD。
同理可以证明∠AOD ＝∠BOC。
三、对顶角在实际中的应用对顶角的概念和性质在日常生活和数学学习中都有广泛的应用。
在建筑设计中，工程师们需要精确地测量角度，以确保建筑物的结构稳定和美观。
对顶角的知识可以帮助他们准确计算和规划建筑物中各种角度的关系。
在数学题目中，经常会出现需要利用对顶角相等这一性质来求解角度的问题。
例如，已知两条直线相交，其中一个角的度数，求其对顶角的度数。
又或者在证明三角形内角和等于 180 度的过程中，也可能会用到对顶角的性质。
四、如何识别对顶角要准确识别对顶角，需要注意以下几点：首先，必须是两条直线相交形成的角。
其次，对顶角是相对的两个角，而不是相邻的角。
可以通过观察图形，判断哪些角是由两条相交直线产生的，并且相对位置符合对顶角的特征。
五、对顶角与邻补角的区别在学习对顶角的同时，我们还会接触到邻补角的概念。
2024版《对顶角》PPT优质课件
《对顶角》PPT优质课件目录•对顶角基本概念与性质•直线交点与对顶角关系•三角形中的对顶角应用•多边形中的对顶角应用•空间图形中的对顶角拓展•总结回顾与拓展延伸01对顶角基本概念与性质对顶角定义及图形表示定义两条直线相交，相对位置的两个角互为对顶角。
图形表示通过相交直线和对应角的标记，清晰展示对顶角的位置关系。
对顶角性质探讨对顶角相等在任何情况下，对顶角的度数总是相等的。
对顶角与邻补角关系对顶角与相邻的补角之和等于180度。
相邻角与对顶角关系相邻角定义两条直线相交，相邻的两个角称为相邻角。
相邻角与对顶角关系相邻角与对顶角之间存在互补或互余的关系，具体取决于直线的夹角。
02直线交点与对顶角关系当两条直线相交于一点时，它们会形成四个角。
其中，相对的两个角互为对顶角。
对顶角有一个公共的顶点和两条相交的直线。
直线交点产生对顶角现象交点处对顶角数量关系对顶角相等，即两个对顶角的度数相同。
相邻的两个角互补，即它们的度数之和为180度。
若知道一个角的度数，则可以求出其相邻角的度数。
当两条直线垂直相交时，形成的四个角都是直角，即90度。
在一些特定的图形中，如平行四边形等，对顶角也有特殊的关系和性质。
在解决一些复杂的几何问题时，可以利用对顶角的性质来简化问题或寻找解题思路。
特殊情况下的直线交点和对顶角03三角形中的对顶角应用三角形内角和定理与对顶角关系三角形内角和定理三角形的三个内角之和等于180度。
对顶角与三角形内角和定理的关系在三角形中，对顶角相等，因此可以通过计算一个角的度数，再利用三角形内角和定理求出其他两个角的度数。
等腰三角形的性质等腰三角形的两条等边所对的两个底角相等。
底边两端点所对顶角的性质在等腰三角形中，底边两端点所对的两个顶角也相等，并且这两个顶角的度数之和等于180度减去底角的度数。
直角三角形的性质直角三角形有一个90度的直角，其余两个角之和为90度。
斜边两端点所对顶角的性质在直角三角形中，斜边两端点所对的两个顶角互余，即它们的度数之和等于90度。
沪教版 七年级数学 寒假班讲义 邻补角、对顶角及垂直(学生版)
1、平面上两条不重合直线的位置关系 相交：两条直线有一个交点；平行：两条直线没有交点．2、邻补角的意义两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角． 3、邻补角的性质 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．【例1】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对邻补角，并把他们写出来．邻补角、对顶角及垂线知识结构模块一 邻补角的意义和性质例题解析知识精讲ABC DEFOOE DCBA 【例2】 判断：（1）平面内两条直线的位置关系，不是相交就是平行； （ ） （2）平面内两条直线有交点，则这两条直线相交； （ ） （3）有一条边是公共边的两个角互为邻补角．（） （4）有两个角互为补角，并且有一条公共边，那么他们互为邻补角．（ ）【例3】 如图，∠AOD 的邻补角是______________．【例4】 如图，OC 平分∠AOB ，∠AOD =2∠BOD ，∠COD =28°，求∠AOC 的大小．【例5】 如图，直线a 、b 相交，∠1=40°，求∠2，∠3，∠4的度数．【例6】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠AOC=120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【例7】 同一平面上的任意三条直线，可以有________________个交点．ABCDEFOab12 34ABC D O1、对顶角的意义：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关 系的两个角叫做互为对顶角． 2、对顶角的性质： 对顶角相等．【例8】 下列说法中，正确的是()A ． 有公共的顶点，且方向相反的两个角是对顶角B ． 有公共顶点，且又相等的两个角是对顶角C ． 由两条直线相交所成的角是对顶角D ． 角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角【例9】 如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于一点O ，问一共可以构成多少对对顶角，并 把他们写出来．【例10】 下列图中，∠1与∠2是对顶角的是（）A. B. C. D.12121212例题解析知识精讲模块二 对顶角的意义和性质ABC DEFO【例11】判断：（1）有公共顶点，且度数相等的两个角是对顶角．（）（2）相等的两个角是对顶角．（）【例12】若∠1与∠2是对顶角，∠3与∠2互余，且∠3=60°，那么∠1=__________．若∠1与∠2是对顶角，且∠1与∠2互余，则∠1=__________，∠2=__________．【例13】如图，直线AB、CD交于点O，则（1）若∠1+∠3=68°，则∠1=__________．（2）若∠2 : ∠3=4 : 1，则∠2=__________．（3）若∠2 -∠1=100°，则∠3=__________．【例14】如图（1）所示，两条直线AB与CD相交有几对对顶角？（2）如图（2）所示，三条直线AB、CD、EF相交有几对对顶角？（3）试猜想n条直线相交于一点会有多少对对顶角？32 1O D BC A1、垂线的意义如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 2、垂直的符号记作：“⊥”，读作：“垂直于”，如：CD AB ，读作“AB 垂直于CD ”．注：垂直是特殊的相交．3、垂直公理：在平面内，过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条．简记为：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直 4、中垂线过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线．5、垂线段的性质联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．6、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离．如果一个点在直线l 上，那么就说这个点到直线l 的距离为零．【例15】 判断：（1）经过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． （ ） （2）两条直线的交点叫垂足． （ ） （3）线段和射线没有垂线．（ ） （4）两条直线不是平行就是互相垂直．（） （5）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离． （ ）例题解析知识精讲模块三 垂线(段)的意义和性质AB CD 【例16】 如图，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，那么点B 到线段CD 的距离是线段__________的长度；线段CD 的长度是点C 到线段________的距离；线段AC 是点________到线段_______的距离．【例17】 下列选项中，哪个是直线l 的垂线（ ）【例18】 如图，AC BC ⊥，垂足为C ，AC =4，BC =3，那么点A 与BC 的距离为______．【例19】 如图，直线AB ，CD 交于点O ，OE ⊥AB ，:1:2AOC COE ∠∠=，则 COE ∠=_________．【例20】 如图，已知OA ⊥OB ，OC ⊥OD ，BOC ∠比AOC ∠大20︒，则BOD ∠的 度数为_______．ABC DEOABCDllllABCDOC【例21】 如图，一棵小树生长时与地面成80°角，它的主根深入泥土，如果主根和小树在同一条直线上，那么∠2等于多少度?【例22】 如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OB 平分∠DOF ，∠COF =47∠BOD ．求∠AOC 、∠EOD 、∠COE 的度数．【例23】 如图，AOC ∠与BOC ∠是邻补角，OD 、OE 分别是AOC ∠与BOC ∠的平分线，试判断OD 与OE 的位置关系，并说明理由．【例24】 下列结论不正确的是()A ．互为邻补角的两个角的平分线所成的角为90°B ．相等的两个角是对顶角C ．两直线相交，若有一个夹角为90°，则这四个角中任取两个角都互为补角D ．同角的余角相等例题解析模块四 综合运用ABCD E FOABCD EO【例25】 如图，AB 与CD 为直线，图中共有对顶角()．A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【例26】 如图所示，已知AB 、CD 相交于O 点，OE ⊥AB ，∠EOC =28°，则∠AOD =_______．【例27】 如图，直线AD 和BE 相交于O 点，OC ⊥AD ，∠COE =70°，求∠AOB 的度数．【例28】 如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，AB ⊥CD ，OG 平分∠AOE ， ∠FOD ＝28°，求∠COE 、∠AOE 、∠AOG 的度数．【例29】 已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1，∠2=20°，求∠DOE 的度数．【例30】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，且∠AOC =∠AOD －80°，A BCD EFABCDEOABCDEFGOA BCDE O A B CD E F12 O3F E ODCBAFEOD C B AOE DC BA 求∠AOE 的度数．【习题1】 下列语句中正确的是（）A ．过直线AB 的中点且和AB 垂直的直线叫做中垂线 B ．过线段CD 的中点且和CD 垂直的直线叫做CD 的中垂线C ．和直线AB 相交且过A 点的直线是AB 的中垂线D ．和线段AB 相交且成90度的直线是AB 的中垂线【习题2】 如图，直线a ，b 相交，∠1=40°，则∠2=_______，∠3=_______，∠4=_______．【习题3】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠BOE 的对顶角是______，∠COF 的邻补角是____，若∠AOE =30°，那么∠BOE =_______，∠BOF =_______【习题4】 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠COE =90°，∠AOC =30°，∠FOB =90°，则∠EOF =________．【习题5】 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOD ，∠随堂检测ABC DE Oa b1234AOC =120°，求∠BOD ，∠AOE 的度数．【习题6】 如图所示，直线a ，b ，c 两两相交，∠1=2∠3，∠2=65°，求∠4的度数．【习题7】 如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠AOE =40°，∠BOC =2∠AOC ，求∠DOF ．【习题8】 如图，已知∠2与∠BOD 是邻补角，OE 平分∠BOD ，OF 平分∠COE ，∠2∶∠1=4∶1，求∠AOF 的度数．【习题9】 已知点O 是直线AB 上一点，OC ，OD 是两条射线，且∠AOC =∠BOD ，则∠AOC与∠BOD 是对顶角吗?为什么?ABCD EF OABC DE F 2 1Ob a c2314课后作业【作业1】判断：（1）两个角开口相反且有公共点，则他们是对顶角（）（2）∠A与∠B互为邻补角，所以他们相等（）（3）∠1和∠2相等，并且他们有一条边在同一直线上，那么∠1=∠2=90°（）（4）同一平面内，两条不相交的直线，一定不会垂直（）（5）经过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直（）（6）同一平面内，点到直线的各条线段中，垂线段最短（）（7）邻补角一定是补角，补角不一定是邻补角（）【作业2】如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定【作业3】如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB 两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．【作业4】如图，AOB为直线，∠AOD：∠DOB=3：1，OD平分∠COB．（1）求∠AOC 的度数；（2）判断AB 与OC 的位置关系．【作业5】 若两个角互为邻补角，则它们的角平分线所夹的角为_________度．【作业6】 作图：已知线段AB 及线段外一点P ．（1） 过点P 作线段AB 的垂线； （2） 画线段AB 的垂直平分线．【作业7】 如图所示，这是某位同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少?（比例尺为1:100）【作业8】 如图所示，直线、b 、c 相交，∠1=60°，∠2=23∠4，求∠3、∠5的度数．【作业9】 如图，OD ⊥OC ，且2:13:2∠∠=，那么1∠=________，3∠=_______．a bc1 2 34 5 ABCDO123 A BP起跳线【作业10】 如图，直线AB 、CD 、EF 交于点O ，DOB ∠是它的余角的2倍，2AOE DOF ∠=∠，且有OG OA ⊥，求EOG ∠的度数．ABCDE FGO。
第十一讲 命题、逆命题
第十一讲命题、逆命题及证明举例一、演绎证明的概念：演绎推理时数学证明的一种常见的、完全可靠的方法，演绎推理的过程就是二、定义：一般地，能界定某个对象含义的句子，称为定义。
三、命题：判断一件事情是正确的还是错误的句子叫做命题，正确的命题称为，错误的命题称为。
命题的组成：许多命题常有题设（或已知条件）和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由题设推出的事项。
命题的形式：命题常写出“如果……那么……”的形式，用“如果”开始的部分是题设，而用“那么”开始的部分是结论。
四、公理：数学中有些命题的正确性是人们长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。
五、定理：数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为推理其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。
六、定义、公理、定理的区别：（1）定义必须是严密的。
一般避免使用含糊不清的术语，比如“一些”“大概”等词语不能在定义中出现。
正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来。
（2）公理是不需要证明的基本事实。
（3）定理可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
（4）公理和定理都是真命题，但是它们的来历却不同，前者来源于实践，后者通过推理论证得来。
例1.判断下列命题的真假。
如果是假命题，请举出一个反例。
（1）若a>b，则（2）两个锐角的和是个锐角（3）同位角相等，两直线平行（4）一个角的补角大于这个角例2. 把下列命题改成“如果……那么……”的形式，然后指出命题的题设和结论。
（1） 对顶角相等 （2） 同位角相等，两直线平行 （3） 同角的余角相等 （4） 平行四边形的对角相等例3. 求证：两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行。
例4. 8、已知，如图，AB ∥CD ，∠EAB+∠FDC=180°。
求证：AE ∥FD 。
例5.已知：如图，DC ∥AB ，∠1+∠A=90°。
2020华师大初一上册培优讲义第十一讲 相交线
第十一讲相交线学习目标1、知识目标：理解并掌握对顶角的概念；初步了解三线八角的基本图形。
2、能力目标：在具体的情景中了解对顶角，能找出图形中的对顶角，理解对顶角相等，并能运用它解决一些简单问题。
3、情感目标：引导学生对图形观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验、树立学习的信心。
一、知识讲解课前测评1．（2017春卫滨区校级期末）如图，∠1和∠2是对顶角的图形是（）A．B．C．D．2．（2017春高要市期中）如图所示，三条直线AB，CD，EF相交于一点O，则∠AOE+∠DOB+∠COF等于（）A．150° B．180° C．210° D．120°（第2题）（第3题）3．（2017春雨城区校级期中）如图，下列说法中错误的是（）A．∠3和∠5是同位角B．∠4和∠5是同旁内角C．∠2和∠4是对顶角D．∠1和∠2是同位角4．（2017春岱岳区期中）下列命题是真命题的有几个？（）∠对顶角相等；∠相等的角是对顶角；∠若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；∠若两个角不是对顶角，则这两个角不相等．A．1个B．2个C．3个D．4个5．（2015春祁阳县期末）如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC=13∠BOC，OC是∠AOD的平分线．（1）求∠COD的度数。
（2）判断OD与AB的位置关系，并说出理由。
知识点回顾1、了解对顶角、垂直、垂足、垂线、垂线段的概念（1）具有相同的______，且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。
（2）两条直线所构成的四个角中有一个为时，叫做两条直线互相垂直，交点叫做，其中一条直线叫做另一条直线的；（3）直线AB，CD互相垂直，记作；（4）从直线外一点作直线的垂线，这点到之间的线段叫做垂线段，垂线段的叫做点到直线的距离。
2、理解对顶角和垂线的性质（1）对顶角；（2）过一点有且只有条直线与已知直线垂直。
七年级数学《对顶角》优秀课件
性质，理解对顶角在图形中的位置关系。
练习题二
02
题目内容描述。本题旨在让学生运用对顶角的性质进行简单的
计算和证明，加深对知识点的理解。
练习题三
03
题目内容描述。通过此题的练习，学生可以进一步巩固对顶角
的应用，提高分析问题和解决问题的能力。
课后作业布置和要求
作业内容
布置与对顶角相关的计算题、证明题 和应用题，要求学生独立完成。
角度计算
实际问题中的应用
在建筑、工程等领域，经常需要测量 或计算角度。利用对顶角性质，可以 方便地解决这些问题。
结合图形中的其他已知条件，如平行 线、角的和差等，利用对顶角性质进 行角度计算。
利用对顶角证明线段相等或平行
证明线段相等
如果两条线段分别与第三条线段 构成对顶角，且这两个对顶角相
等，则这两条线段相等。
下一步学习计划建议
深入学习几何知识
加强练习和巩固
拓展应用领域
对顶角是几何学的基础知识之一， 为了更好地掌握几何学，我建议 继续深入学习其他相关的知识点， 如平行线、三角形、四边形等。
通过大量的练习和巩固，可以加 深对知识点的理解和记忆。因此， 我建议多做一些与对顶角相关的 练习题，并注意总结归纳解题方 法和技巧。
对顶角不仅在数学中有广泛的应 用，在其他学科和领域中也经常 涉及到。因此，我建议尝试将所 学的对顶角知识应用到其他学科 和领域中，以拓展自己的视野和 应用能力。
THANKS
感谢观看
知识掌握情况
通过本课件的学习，我深刻理解了对顶角的定义和性质，并能够在实际问题中灵活应用。我能够准确地识别对顶角，并运 用它们解决几何问题。
学习方法和策略
在学习过程中，我采用了多种方法和策略，如反复阅读课件、做笔记、与同学讨论等。这些方法和策略帮助我更好地理解 和记忆知识点，并提高了我的学习效率。
2024年七年级数学课件对顶角
七年级数学课件对顶角一、引言在七年级数学课程中，对顶角是一个重要的几何概念。
对顶角是指在两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
它们具有一些特殊的性质和定理，对于解决几何问题具有重要意义。
本文将详细介绍对顶角的定义、性质和定理，并通过一些典型例题来帮助同学们更好地理解和应用对顶角。
二、对顶角的定义对顶角是指两条相交直线上，一对位于相交点两侧且互不相邻的角。
在一个交点处，通常会有两对对顶角，分别是相邻角和不相邻角。
相邻角是指位于相交点两侧且相邻的两个角，而不相邻角是指位于相交点两侧且不相邻的两个角。
三、对顶角的性质1.对顶角相等：在一个交点处，两对对顶角的大小相等。
这是对顶角最基本的性质，也是解决几何问题的关键。
2.对顶角互补：在一个交点处，一对对顶角的和等于180度。
这是由于直线的性质，即直线上的两个相邻角的和为180度。
3.对顶角的平行线性质：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
这是平行线性质的一个重要应用。
四、对顶角的定理1.对顶角定理：如果两条直线相交，那么在交点处，两对对顶角的大小相等。
2.对顶角互补定理：如果两条直线相交，那么在交点处，一对对顶角的和等于180度。
3.对顶角的平行线定理：如果两条直线被一条横截线所截，那么在这两条直线之间，对顶角是相等的。
五、典型例题例题1：如图，直线AB和CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD。
解答：根据对顶角定理，我们知道在交点O处，两对对顶角的大小相等。
因此，∠AOC=∠BOD。
例题2：如图，直线AB和CD被直线EF所截，且∠AEF=70度，求证：∠BEF=110度。
解答：根据对顶角的平行线定理，我们知道在直线AB和CD之间，对顶角是相等的。
因此，∠AEF=∠BEF。
又因为∠AEF=70度，所以∠BEF=70度。
由于直线上的两个相邻角的和为180度，所以∠BEF=180度∠AEF=180度70度=110度。
《对顶角》 讲义
《对顶角》讲义一、什么是对顶角在几何图形中，两条直线相交会形成四个角，其中不相邻的两个角就叫做对顶角。
比如，我们画两条相交的直线 AB 和 CD，交点为 O，那么形成的四个角分别是∠AOC、∠AOD、∠BOC 和∠BOD。
其中，∠AOC 和∠BOD 就是一对对顶角，∠AOD 和∠BOC 也是一对对顶角。
对顶角的一个重要特征就是它们的角度大小是相等的。
这是因为两条直线相交时，相对的两个角所对应的旋转量是相同的。
二、对顶角的性质1、对顶角相等这是对顶角最重要的性质。
无论两条相交直线的位置和方向如何变化，只要它们相交形成对顶角，那么对顶角的度数一定相等。
例如，在一个复杂的几何图形中，如果我们能够证明两个角是对顶角，那么就可以直接得出它们的角度相等，这为解决很多几何问题提供了重要的依据。
2、对顶角是成对出现的每次两条直线相交，都会形成两对对顶角，它们是相互对应的。
三、对顶角的证明我们可以通过简单的几何推理来证明对顶角相等。
因为两条直线相交，形成了一个平角，也就是 180 度。
以∠AOC 和∠BOD 为例，因为直线 AB 是一条直线，所以∠AOC ＋∠BOC ＝ 180°；同理，直线 CD 也是一条直线，所以∠BOD ＋∠BOC ＝ 180°。
由此可以得出，∠AOC ＝ 180°∠BOC，∠BOD ＝ 180°∠BOC，所以∠AOC ＝∠BOD。
同理可以证明∠AOD ＝∠BOC。
四、对顶角在实际问题中的应用1、测量角度在实际的测量工作中，如果我们无法直接测量某个角的度数，但可以通过找到它的对顶角，然后测量对顶角的度数来间接得到这个角的度数。
2、解决几何证明题很多几何证明题中，会涉及到对顶角的性质。
通过证明两个角是对顶角，从而得出它们相等的结论，进一步推导出其他相关的结论。
3、建筑和工程设计在建筑和工程设计中，对顶角的概念和性质也常常被运用。
比如在确定建筑物的角度、管道的走向等方面。
七年级数学相交线、垂线、对顶角、空间里的垂直关系、同位角、内错角、同旁内角人教四年制版知识精讲
七年级数学相交线、垂线、对顶角、空间里的垂直关系、同位角、内错角、同旁内角人教四年制【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 1. 相交线、垂线、对顶角。
2.空间里的垂直关系。
3. 同位角、内错角、同旁内角。
2叫做 2. 对顶角的性质：——对顶角相等。
要注意：反之不成立，即对顶角相等，相等的角未必是对顶角。
3. 垂线：——当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
它们的交点叫做垂足。
例如：直线CD 的垂线或4. 5.解：用刻度尺量得PO 的长度为15mm ，延长DO ，画DO PG ，垂足为G ，（图2）量得线段PG 的长度为13mm 。
所以点P 到OC 、OD 的距离分别为15mm 和13mm 。
[例3] 如图直线DE 、BC 被直线AB 所截∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4各是什么角？2341AC DEB解：观察图形特点，可知∠1和∠2是内错角，∠1和∠3是同旁内角，∠1和∠4是同位角。
[例4] 如图∠1和∠2是什么角？∠2和∠3呢？∠4和∠5呢？它们分别是由哪两条直线被哪条直线截成的？21ACD EF B AC DEFB 32ACDEFB54（1） （2） （3） 答：∠1和∠2是同位角，是由直线CD 、FE 被AB 截成的。
∠2和∠3是内错角，是由直线AB 、CD 被EF 截成的。
∠4和∠5是同旁内角是由直线AB 、EF 被CD 截成的。
[例5] 如图∠AED 与哪个角是同位角？∠EDC 与哪个角是内错角？∠DEC 与哪个角是同旁内角？答：∠AED 与∠ACB ，∠AED 与∠ACD 是同位角。
∠EDC 与∠DCB ，∠EDC 与∠FED ，∠EDC 与∠AED 是内错角。
∠DEC 与∠ECB ，∠DEC 与∠ECD ，∠DEC 与∠EDB ，∠DEC 与∠EDC 是同旁内角。
[例6]（1）两个同位角一定相等吗？（2）在图中，如果同位角∠1与∠2相等，那么内错角∠2和∠3相等吗？同旁内角∠A. ︒40B. ︒48C. ︒50D. ︒557.A.C.8. 如图O是直线①∠AOD与∠A.C.9.A. ∠1和∠4C. ∠4和∠B10.A. 2对二. 填空题：1. 如图直线AB。
对顶角,垂直,同位角,内错角,同旁内角
对顶角、垂线、三线八角、邻补角一、基础知识点：1.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。
2.相交：在同一平面内，有一个公共交点的两条直线称为相交线。
3.邻补角：（1）定义：有公共顶点，且有一条公共边，另一条边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为邻补角。
（2）性质：位置——互为邻角数量——互为补角（两角之和为180°）4.对顶角：（1）定义：有一个公共顶点，并且有一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角（2几何语言：∵∠1+∠2=180°∠2+∠3=180°∴∠1=∠3（同角的补角相等）5、邻补角和对顶角的区别和联系注意：⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。
⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。
1、如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数.解：∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角∴ ＝ ＝ °（ ）∵ 与 是邻补角∴∠AOD ＝180°－∠AOC ＝180°－50°＝130° ∵ 与 是对顶角∴∠BOC ＝∠AOD ＝130°（ ）2、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知∠BOE=65°,求∠AOD 、50 OADCB∠AOC 的度数.【基础知识点】 6、垂线⑴定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
沪科版七年级下册数学：10.1 对顶角及其性质 (共17张PPT)
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1 和∠3有公共顶点O，并且它们的两 边互为反向延长线，这样的两个角 叫做对顶角。
3、图中还有其他角能构成对顶角吗？ ∠2和∠4也是一对对顶角。
判断下列各图中∠1和∠2是否为对顶角，并说明理由？
1
2 （1）
1
（2）
2
1
2
（3）
1 2 （5）
12
（4）
1
2
人生舞台的大幕随时都可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。人生最精彩的不是实现梦想的一瞬间，而是坚持梦想的过程。人与人之间的差距， 么大，还是因为不能狠下心来逼自己日出东海落西山，愁也一天，喜也一天；遇事不钻牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。如果你坚信自己最优秀，那么你就 果你真心选择去做一件事，那么全世界都是帮助你的。头脑是日用品，而不是装饰品。我要的未来，要靠我自己去拼。想成功就要和成功者的思想、脚步 想干的人永远在找方法，不想干的人永远在找理由。要感谢痛苦与挫折，它是我们的功课，我们要从中训练，然后突破，这样才能真正解脱。要纠正别人 省自己有没有犯错。 也许终点只有绝望和失败，但这绝不是停止前行的理由。一个人的快乐，不是因为他拥有的多，而是因为他计较的少。一个人只有 己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错。一个一味沉溺于往事的人，是不能张开双臂去拥抱今天的。一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。这 出来的结果反而会更好有人说，世界上最美的是梦，最长的是路；最易做的是梦，最难走的是路。愿你像那石灰，别人越是浇你冷水，你越是沸腾。真正 人，总是容易获得比别人更多的机会。如果缺少破土面出并与风雪拼搏的勇气，种子的前途并不比落叶美妙一分。生活会辜负努力的人，但不会一直辜负 失败的历程也是成功的历程。时间会告诉你一切真相。有些事情，要等到你渐渐清醒了，才明白它是个错误；有些东西，要等到你真正放下了，才知道它 现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。输在犹豫，赢在行动。树苗如果因为怕痛而拒绝修剪，那就永远不会成材。13.在我们的生活中，如果没有了 像小鸟在天空中飞翔时断了翅膀一样，永远不能前进。战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要像和风一样温柔。站起来的次数能够比跌倒的次数多 是强者。真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。真正的强者不是没有眼泪的人，而是含着眼泪奔跑的人。只会幻想而不行动的人， 不到收获果实时的喜悦。志坚智达言信行果，失败的尽头是成功努力的终点是辉煌。志在峰巅的攀登者，不会陶醉在沿途的某个脚印之中竹根——即使被 人得见，也决然不会停止探索而力争冒出新笋。总要有一个人要赢，为什么不能是我。最坚固的捆绑是习惯。最可怕的不是有人比你优秀，而是比你优秀 更努力。最有希望的成功者，并不是才干出众的人而是那些最善利用每一时机去发掘开拓的人。昨天如影——记住你昨天的挫折和失败的教训；今天如画 生活、快乐和幸福的人生要靠你自己去描绘；明天如梦——珍惜今天,选择好自己的目标，努力地为自己的明天去寻求和拼搏。不曾扬帆，何以至远方。不 时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。不要 要顺其自然。该是你的终会得到。成功也就不会太远了。趁着年轻，不怕多吃一些苦。这些逆境与磨练，才会让你真正学会谦恭。不然，你那自以为是的 一切的优越感，迟早会毁了你。成功的法则极为简单，但简单并不代表容易。成功的秘诀就是每天都比别人多努力一点。生命如自助餐厅，要吃什么菜自 命像流水，这些不快的事总要过去，如果注定一辈子要这么过，再不开心也没有用。如果你看到前面的阴影，别怕，那是因为你背后有阳光。如果为了安 海在一起，船就失去了存在的意义。山高路遥不足惧，最怕贪图安逸心。少壮不努力，老大徒伤悲。犹如一条船,每人都要有掌舵的准备。生活对于智者永 扬的歌，它的主旋律永远是奋斗。金钱难买健康，健康大于金钱，金钱难买幸福，幸福必有健康，生命的幸福不在名利在健康，身体的强壮不在金钱在运 生有那么多的徒劳无功，梦想，我还是要一次次全力以赴。经过大海的一番磨砺，卵石才变得更加美丽光滑。就算全世界都说我漂亮，但你却说我不漂亮 是不漂亮。可怕的是，比你优秀的人比你还要努力。空谈不如实干。踱步何不向前行。
相交线-对顶角、垂线
我的收获或困惑： 教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！ O D C BA21D §4.7相交线（1）-对顶角【重难点】1、对顶角的正确判断．2、对顶角相等的应用，写出简单的证明过程． 【课前预习】1、如果︒=∠+∠18021，则1∠与2∠是______．2、已知︒=∠301，2∠是1∠的邻补角，则2∠=_______．3、如图，BP 是ABC ∠的角平分线，︒=∠40ABC ，则ABP ∠=_______．4、1∠与2∠互为补角，3∠与2∠也互为补角，则1∠_______3∠． 【学习过程】 一、自主学习对顶角定义：（1） 指出1∠的边和顶点．（2）把AO ，DO 延长，得到OC ，OB ， 形成2∠，观察这两个角，它们有什么特点？ （3）总结： 对顶角的定义： ． 于是我们在上图中可得到：∠ 与∠ 是对顶角，∠ 与∠ 是对顶角． 二、合作交流（对顶角相等）1、操作：每个同学画一对对顶角，分别量出它们的度数．猜想：下图中，1∠=2∠ ，43∠=∠.（为什么？）结论：如果两个角是对顶角，那么这两个角 ．简单的说： 相等．2、如图，直线AB 与CD 相交于点O ，射线OE 是角BOD ∠的平分线，已知︒=∠110AOD ，求COB ∠，AOC ∠，BOE ∠，EOD ∠的度数．三、巩固练习1、说出下列图中的对顶角．图1有： 图2有： 图3有：P CB AEODCB AH G FEDCB AG FEDCBA我的收获或困惑： 教师寄语：沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！面对困难别退缩，相信自己一定行！ 2、已知：直线AB 与直线CD 相交于O ，︒=∠120AOC ，求BOD ∠，BOC ∠，DOA ∠各为多少度？ 解：五、当堂测试1、如图：︒=∠401 ，︒=∠90AOD ,那么,4∠，3∠=___．2、已知：直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分BOG ∠，︒=∠68BOG ，求AOD ∠．3、直AB 、CD 相交于O 点，︒=∠90AOE ，如果︒=∠35AOD ，那么EOC ∠等于多少度？四、小结这节课我学会了：我的困惑：教（学）后反思：第1题 543F E O DC BA 21第2题 第3 题 EOD C BA§4.7相交线（2）-垂线班级：学生姓名:一、【学习目标】1、理解相交线、垂线的概念，会用三角尺、量角器过一点画已知直线的垂线；2、理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离。
邻补角,对顶角,垂线
邻补角，对顶角,垂线★知识精要1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为邻补角。
2.对顶角：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角。
3.对顶角的性质：对顶角相等。
4.等角（同角）的补角（余角）相等。
5.两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角.如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交；如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
6.垂线的基本性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（1）过直线上一点作已知直线的垂线（2）过直线外一点作已知直线的垂线（3）作已知线段的中垂线（过线段中点且垂直于这条线段的直线）7.联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.8.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零.【热身练习】1.若点O是直线AB上的一点，AB⊥OD,OC⊥OE,则图中互余的角有（）A.3对B.4对C.5对D.6对2.下列说法中错误的个数是 ( )（1）一个角的邻补角只有一个（2）一个角的邻补角一定大于这个角（3）如果两个角互为邻补角，则两个角必定一个是锐角，一个是钝角（4）钝角的邻补角一定为锐角A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中正确的是（）A.因为对顶角相等，所以相等的角是对顶角B.互为对顶角的两个角度数之和不会超过1800C.有着公共顶点的两个角不一定是对顶角D.有一条公共边的两个角是邻补角4.画一条线段的垂线，垂足在（）A.线段上B.线段的端点C.线段的延长线上D.以上都有可能5.点到直线的距离是指这点到这条直线的（）A.垂线段B.垂线的长C.长度D.垂线段的长6.下列语句正确的是（）A.直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离B.直线外一点与直线上的各点连接的所有线段中，垂线最短C.平分线段的直线只有一条D.在平面内过一点有且只有一条直线垂直于已知直线7.下列作图语句正确的是（）A.作直线MN的中垂线B.过点P作线段AB的垂直平分线C.过点O 作OC⊥直线AB,点C为垂足D.过点P作直线PQ,使它平分线段AB8.若点A在直线l外，点B在直线l上，AB两点之间的距离记作a, 点A到直线l的距离记作b，则a和b之间大小关系是（）A. a＜bB. a＞bC. a≤bD. a≥b9.若点P到直线l的距离为3，则直线l上到点P 距离为4的点的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个10.若点A,B分别位于直线l的两侧，点A到直线l的距离为5cm，点B到直线l的距离为8cm，则AB两点间的距离（）A.等于13cmB.大于13cmC.不小于13cmD.小于13cm11.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判定两条直线垂直的是（）A.有两个角相等B.有两对角相等C.有三个角相等D.有四对角相等12.两个角的角平分线互相垂直，则（）A.这两角互补B.这两角互为对顶角C.这两角都是直角D.这两角为邻补角13.点P为直线m外一点，点A,B,C为直线m上的三点，PA=4cm，PB=5cm，PC=2cm，则点P 到直线m的距离为（）A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm14.如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（）A.2条B.3条C.4条D.5条15.两条直线相交，有对对顶角，对邻补角；三条直线相交，有对对顶角，对邻补角；四条直线相交，有对对顶角，对邻补角；由此可见，n条直线相交，有对对顶角，对邻补角.16.如图，∠ACB=900，CD⊥AB,垂足为D,那么点A到线段BC的距离是线段的长度，线段CD的长度是点到的距离.17.自钝角的顶点引它的一边的垂线，把这两个角分成两个角，它们的度数比是1：2，则这个钝角的度数是18.如图，直线MN,PQ交于点O,OE⊥PQ于点O,OQ平分∠MOF,若∠MOE=450，则∠NOE= , ∠NOF= , ∠PON=【精解名题】一、简答题：1.如图，已知直线AB,CD,EF相交于点0，∠1=950，∠2=320，则∠BOE的度数2.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠BOC比∠AOB少100，求∠COD的补角的度数3.如图，已知：∠AOC=900，∠BOD=900, ∠AOD=3∠BOC,求∠BOC的度数4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,且∠DOE=3∠COE,求∠AOD的度数5.如图所示，直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF, ∠AOE=700,求∠DOG的度数二、作图题：，画出BC边上的高和AB边上的中垂线1.（1）如图，已知ABC（2）如图，分别过点M,N画出OA,OB的垂线2.如图，一辆汽车在笔直的公路AB 上由A 向B 行驶，M,N 分别是位于公路AB 两侧的村庄 （1）设汽车行驶到公路AB 上点P 的位置时，距离村庄M 最近，行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中的AB 上分别画出点P,Q 的位置 （2）当汽车从A 出发向B 行驶时，在公路AB 的哪一段上距离M,N 两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N 越来越近，而离村庄M 越来越远？三、简答计算：1.如图所示，射线OA,OB,OC,OD 有公共端点O,且OA ⊥OB,OC ⊥OD, ∠AOD=45∠BOC,求∠BOC 的度数.2.如图，已知直线AB，CD交于点O,OE平分∠BOD, ∠3：∠2=8:1，求∠AOC的度数3.如图，直线AB,CD,EF和GH相交于点P,且∠APC=250，∠EPG=250 ，∠BPF=650 ，问哪些直线互相垂直？4.如图，两直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,如果∠AOC: ∠AOD=7:11. (1)求∠COE (2)若OF⊥OE, ∠AOC=700，求∠COF5.如果∠1和∠2有公共顶点，且∠1的两边分别垂直于∠2的两边，则∠1和∠2的关系是什么？。
华师大版七年级数学上册《对顶角和垂线》课件
• 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。上午7时25 分31秒上午7时25分07:25:3121.11.8
D D
A
0
C (1)
B
A
O
B
C
(2)
垂线的性质：
• 经过直线外或直线上一点，有且只有一 条直线与已知直线垂直。
• 从直线外一点到这条直线的垂线段的长 度叫做点到直线的距离.线段AB的长度就 是点A到直线BC的距离.
巩固新知
• 如图,直线a,b相交,∠1=40°,求 ∠2,∠3,∠4的度数.
a
2
５.１相交线 第１课时 对顶角和垂线
导入新课
• 我们生活的世界中,蕴涵着大量的相交线 和平行线. 本章要研究相交线所成的角和 它的特征,相交线的一种特殊形式即垂直, 垂线的性质, 研究平行线的性质和平行的 判定以及图形的平移等问题.
对顶角的概念
• 1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出 图中4个角,两两相配共能组成几对角? 各对角的位置关系如何?根据不同的位置 怎么将它们分类?
314b来自课堂小结• 1.对顶角性质:对顶角相等 • 2.垂线的性质：经过直线外或直线上一
点，有且只有一条直线与已知直线垂直。
C
B
O A (1) D
• 概括形成邻补角、对顶角概念.
• (1)师生共同定义邻补角、对顶角.
• 有一条公共边,而且另一边互为反向 延长线的两个角叫做邻补角.
对顶角和垂线华东师大
06
对顶角和垂线的历史与发展
对顶角的历史
古希腊数学家发现 对顶角
对顶角在几何学中 的应用逐渐被深入 研究
对顶角的定义和性 质逐渐被揭示
垂线的历史
古埃及人使用垂线测量建筑 古希腊数学家研究垂线的性质
近代数学家进一步深化垂线理论和应用
对顶角和垂线的发展现状
1
对顶角和垂线在数学领域的基础地位得到进一 步巩固
02
垂线的定义与性质
垂线的定义
垂线的定义
过一点作一条直线与已知直线垂直，这条直线叫做已知直线的垂线。
垂线的表示方法
用符号“⊥”表示两条直线互相垂直。
垂线的性质
性质1
性质2
垂线是过一点所作的已知直线的垂线。
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质3
性质4
如果两条直线相交成直角，那么这两条直线 互相垂直。
2
新的理论和应用不断出现，涉及多个学科领域
3
在教育领域，对顶角和垂线成为基础几何学的 重要内容
THANKS
谢谢您的观看
记法
用符号“∠”表示对顶角Байду номын сангаас例如∠AOB或∠α。
对顶角的性质
大小相等
对顶角相等，这是对顶角的最基本 性质。
互为反向延长线
对顶角的位置关系是反向延长线， 这意味着它们不会在同一直线上。
对顶角的度数
对顶角的度数总是相等的，无论它 们的大小如何。
对顶角与对边等角
在几何图形中，如果两个角是对顶 角，那么它们对应的边也互相垂直 。
转化法
如果两个角相等，那么它们的补角也相等。因 此，可以通过证明两个角的补角相等来证明这 两个角是对顶角。
平行线法
垂直与对顶角
4
3
2
1
E
D
A
C
∠1
∠BCE
பைடு நூலகம்
∠2
∠3
∠BAC
∠4
∠DAB
∠5
∠ACB
∠ABC
总结升华
1、角的概念：角由两条具有公共端点的射线组 成，两条射线的公共端点是这个角的顶点.两条 射线叫角的边。 2、角的表示方法：角通常用三个字母及符号“∠” 来表示. 当以某一字母为顶点的角只有一个时，可以用一 个大写字母或用三个大写字母表示都可以；当以 某一字母为顶点的角有多个时，必须用三个大写 字母来表示。为了简便也可以用∠1； ∠2或 ∠
b
精彩展示
展示内容
导学部分1 (前黑板）
导学部分2 (前黑板） 合作探究例1
展示小组
1组
3组 5组 6组 7组 8组 9组
例2
能力提升 跟踪练习填空题6 解答题3
特别提示：⑴口头展 示，声音洪亮、清楚； 书面展示要分层次、 要点化，书写要认真、 规范。 ⑵非展示同学巩固基 础知识、整理落实学 案，做好拓展。不浪 费一分钟，小组长做 好安排和检查。
静态角的概念
边
顶点
边
角是由两条有公共端点的射线所组成的图形. 这个公共端点叫做这个角的顶点. 这两条射线叫做这个角的边.
B
O
A
如果一个角的终边继续旋转，旋 转到与始边成一条直线时，所成的角
叫做平角.
O
A （B）
当旋转到终边与始边重合时，所 成的角叫做周角.
将图中的角用不同的方法表示出来，并填写下 B 表
∠
来表示。
整理巩固
要求：整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图
第十一讲对顶角垂直
对顶角导学案1、 什么是邻补角？两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.例如∠1和∠2，∠3和∠41.如果∠1+ ∠2=1800，则∠1与∠2是——————2.已知∠1=300， ∠2是∠1的邻补角，则∠2=————3.∠ 1与∠2互为补角， ∠3与∠2也互为补角，则∠1 ——— ∠32、 什么是对顶角？两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角.例题如图,直线AB 、CD 相交于点O. 若∠AOC+∠BOD=100°,.B O在上图中可得到： 与∠BOD 是对顶角,∠COD 与 是对顶角辨析：下列各图中的角是否是对顶角？（1） （2） （3） （4）3、操作：每个同学画一对对顶角，分别量出它们的度数。
猜想：∠1=∠2,∠3=∠4 说明理由：结论：如果两个角是对顶角，那么 。
简单的说： 。
A BCD O 1 2 3 4当夹角α=90°时,a与b垂直.当夹角α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交..垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的_____，它们的交点叫____.如图，a、b互相垂直, O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a,数学表达形式：反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°数学表达形式：∵AB⊥CD （已知）∴∠AOD=90°（垂直的定义）垂线的画法1、放2、靠3、画线问题: 过直线l 上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条?结论:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.例如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求∠EOD的度数.由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成: 垂线段最短.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.1.如图，钝角三角形ABC，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线.2.如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD 的度数.3.如图：∠AOE=40°，∠BOD=90°那么，∠DOF =-----∠EOC=-----∠BOC=-----∠EOD=-----F E O D C B A4.如图1,直线AB 、CD 、EF 相交于点O,∠BOE 的对顶角是_______,若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.F EO D C B A(1) (2)5.如图2,直线AB 、CD 相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=6.已知：直线AB 与直线CD 相交于O ， ∠AOC=120°，求∠BOD ， ∠BOC ，∠DOA 各为多少度？7.如图2—11，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠AOC 的对顶角是 ，∠AOD 的对顶角是 ，∠BOC 的邻补角是 和 ，∠BOE 的邻补角是 和 .8.如图3，一棵小树生长时与地面所成的角为80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于 °。
对顶角与垂线及其性质应用
第五章相交线与平行线专题1 对顶角与垂线及其性质应用知识要点1．相交线如图1－1所示，直线AB和CD相交于点O，点O是交点2．邻补角：有一条公共边，并且另一边互为反向延长线的两个角互为邻补角，图1－1中∠1，∠2，∠3，∠4都各有两个邻补角邻补角的性质：邻补角互补．3．对顶角：有一个公共顶点，两边均互为反向延长线，这样的两个角互为对顶角．图1－1中有两对对顶角，为∠1和∠3，∠2和∠4对顶角的性质：对顶角相等．4．垂直：如图1－2所示，两条直线AB，CD相交所成的角等于90°时，这两条直线互相垂直，即直线AB是直线CD的垂线，直线CD是直线AB的垂线，记作AB⊥CD．PO 为点P到直线CD的垂线段，PO的长称为点P到直线CD的距离两直线垂直是直线相交的一种特殊情形．垂线的性质：（1）在同一平面内，过（直线外武直线上）一点有且只有一条直线与已知直线垂直（2）垂线段最短5．三线八角：如图1－3所示，∠1和∠2是同位角，此时它们构成的图形近似字母“F”；∠3和∠4是内错角，此时它们成的图形近字母“Z”；∠1和∠4是同旁内角，此时它们构成的图形近似字母“C”典例精析例1如图1－4所示，已知直线AB、CD、EF相交于点O，（1）∠BOC的对直角是________；∠DOF的对顶角是___________（2）∠AOF的邻补角是________；∠EOD的邻补角是________（3）若已知∠AOF＝160°，试求∠BOE，∠EOA的度数【分析】根据对顶角和邻补角的定义和性质，先找出已知角的边及所在的直线，再找出符合条件的边和角即可，【解】（1）∠AOD；∠EOC（2）∠BOF和∠EOA；∠DOF和∠EOC（3）∵∠AOF＝160°，∴∠BOE＝∠AOF＝160°，∵∠EOA十∠AOF＝180°∴∠EOA＝180°－∠AOF＝180°－160°＝20°，即∠BOE＝160°，∠EOA＝20°【点评】本题考查对顶角、邻补角的概念与性质，识别它们并能灵活运用其性质是解题的关键拓展与变式1 如图1－5所示，直线AB、CD相交于点O，射线OE为∠BOD的平分线，若∠AOC＝50°则∠AOD为__________，∠BOD为__________，∠BOE为__________，COE为__________拓展与变式2 如图1－6所示，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC∠FOC＝90°，若∠BOD∶∠BOE＝10∶13，求∠AOF的度数【反思】熟记“对顶角与邻补角”的基本图，用时做到“心中有图”，解题时就可以运用自如例2如图1－7所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE是OD的反向延长线（1）∠AOC和∠BOD相等吗？为什么？（2）若∠BOD＝32°，求∠AOE的度数【分析】根据垂直的定义和性质，结合“同角的余角相等”，可得到对应的结论【解】（1）∠AOC＝∠BOD，理由如下∵OA⊥OB，OC⊥OD∴∠AOB＝∠COD＝90°，即∠AOC＋∠BOC＝90°，∠BOD＋∠BOC＝90∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）（2）∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠AOE＝180°－∠AOB－∠BOD＝180°－90°－32°＝58°，即∠AOF＝58°【点评】本题利用垂直的定义，余角和互补的性质计算，要注意领会由垂直得直角这一要点拓展与变式3如图1－8所示，已知OA⊥OC，OD⊥OB，∠BOC＝40°，求∠AOD的度数拓展与变式4 如图1－9所示，直线EF，CD相交于点O，OA⊥OB，且OC平分∠AOF，若∠AOE＝a，求∠BOD的度数（用含a的式子表示）【反思】注意垂直和对顶角，邻补角的性质的书写格式，必按照要求书写好“几何语言”，做到每个步骤都要有根有据，例3 如图1－10所示，和∠ABC互为内错角的角是________________ ，和∠ABC互为同旁内角的角是___________，【分析】对于∠ABC，直线BA和直线BC都可以作为截线，找出“三线八角”的基本图【解】和∠ABC互为内错角的角是∠BCI，∠BAD，∠HAB，和∠ABC互为同旁内角的角是∠ACB，∠BAC，∠BAE【点评】结合“三线八角”基本图分析时，注意截线的选择，拓展与变式5 观察图1－11，用给定的∠1至∠5完成填空：∠1与________是同位角，∠2与________是内错角，∠5与________是同旁内角拓展与変式6 如图1－12所示，能与∠a构成同旁内角的角有（）A．6个B．5个C．3个D．2个【反思】在寻找某个已知角对应的“三类角”时，应尝试将该已知角的两边分别作为截线专题突做1．如图1－13所示，能与∠a构成同位角的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图1－14所示，直线a，b，c两两相交，∠1＝80°，∠2＝2∠3，则∠4＝________ 3．如图1－15所示，∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，延长AC交直线MN于E，作ED ⊥BC，垂足为D请你写出图中5对互余的角和5对互补的角4．若3条不同的直线相交于一点，则其中共有几对对顶角？共有几对邻补角？若n条不同的直线相交于一点呢？5．如图1－16所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝13∠BCC，OC是∠AOD的平分线（1）求∠COD的度数（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由。
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对顶角导学案
1、 什么是邻补角？
两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.
例如∠1和∠2，∠3和∠
4
1.如果∠1+ ∠2=1800，则∠1与∠2是——————
2.已知∠1=300， ∠2是∠1的邻补角，则∠2=————
3.∠ 1与∠2互为补角， ∠3与∠2也互为补角，则∠1 ——— ∠3
2、 什么是对顶角？
两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角互为对顶角.
例题如图,直线AB 、CD 相交于点O. 若∠AOC+∠BOD
=100°,
.
B O
在上图中可得到： 与∠BOD 是对顶角,∠COD 与 是对顶角
辨析：下列各图中的角是否是对顶角？
（1） （2） （3） （4）
3、
操作：每个同学画一对对顶角，
分别量出它们的度数。
猜想：∠1=∠2,∠3=∠4 说明理由：
结论：如果两个角是对顶角，那么 。
简单的说： 。
A B
C
D O 1 2 3 4
当夹角α=90°时,a与b垂直.
当夹角α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是______时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的_____，它们的交点叫____.
如图，a、b互相垂直, O叫垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线.
从垂直的定义可知，判断两条直线互相垂直的关键：只要找到两条直线相交时四个交角中一个角是直角.
垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直
如图，a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a,
数学表达形式：
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°
数学表达形式：
∵AB⊥CD （已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
垂线的画法1、放2、靠3、画线
问题: 过直线l 上(或外)的一点A ,作l的垂线,可以作几条?
结论:在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
例如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB, ∠1=55°,求∠EOD的度数.
由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段
结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.
简单说成: 垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
1.如图，钝角三角形ABC，分别过A、B、C作BC、AC、AB的垂线.
2.如图,∠ABC=90°,∠1=60°,过B作AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂足是D,若∠1=∠2,求∠ABO,∠BOD 的度数.
3.如图：∠AOE=40°，∠BOD=90°
那么，∠DOF =-----
∠EOC=-----
∠BOC=-----
∠EOD=-----
F E O D C B A
4.如图1,直线AB 、CD 、EF 相交于点O,∠BOE 的
对顶角是_______,若∠AOC:∠AOE=2:3,∠EOD=130°,则∠BOC=_________.
F E
O D C B A
(1) (2)
5.如图2,直线AB 、CD 相交于点O,∠COE=90°,∠AOC=30°,∠FOB=90°, 则∠EOF=
6.已知：直线AB 与直线CD 相交于O ， ∠AOC=120°，求∠BOD ， ∠BOC ，∠DOA 各为多少度？
7.如图2—11，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠AOC 的对顶角是 ，∠AOD 的对顶角是 ，∠BOC 的邻补角是 和 ，∠BOE 的邻补角是 和 .
8.如图3，一棵小树生长时与地面所成的角为80°，它的根深入泥土，如果根和小树在同一条直线上，那么∠2等于 °。
9.如图4，∠ACB=90°,CD ⊥AB ，则图中与∠A 互余的角有 个，它们分别是 。
∠A=∠ ,根据是 。