初中数学动点问题教案

图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

解决动点问题应具备的数学思想：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．

动点问题中的方程思想

例1、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,且AD>BC ，BC=6cm ，P 、Q 分别从A,C 同时出发，P 以1cm/s 的速度由A 向D 运动，Q 以2cm/s 的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？

例2、如图，梯形ABCD 中AD//BC ， ∠B=90 °AB=14cm ，AD=15cm,BC=21cm ，点M 从A 点开始，沿AD 边向D 运动，速度为1cm/s ，点N 从点C 开始沿CB 边向点B 运动，速度为2cm/s ，设四边形MNCD 的面积为S 。（1）写出面积S 与时间t 之间的函数关系式。

（2）t 为何值时，四边形MNCD 是平行四边形？

（3） t 为何值时，四边形MNCD 是等腰梯形？

例3、如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动。点Q 从点B 开始沿BC 边向C 点以2cm/s 的速度移动。已知AB=6cm ，BC=12cm 。

D

M

1.如果点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，到几秒钟时，△PBQ 的面积等于8平方厘米？

2.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，并且P 到B 点后又继续在BC 边上前进，Q 到C 点后又继续在CA 边上前进，经过几秒，使△PCQ 得面积等于12.6cm²？

动点问题中的相似问题

例1、例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .

(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

例2 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR//BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

A

E

D C B

图2

例3如图，在Rt ABC △中，90A ∠= ，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的

中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； 分析:由△BHD∽△BAC ,可得DH;由△RQC ∽△A BC,可得 y 关于x 的函数关系式;

练习．如图，等腰梯形ABCD 中，//,6,13AD BC AB CD cm BC cm ===，点P 沿BC 从B 向C 以1/cm s 的速度运动（不包含B 、C 两点），且APQ B ∠=∠，射线PQ 交CD （或CD 的延长线）于点Q 。设P 点的运动时间为t 。

（1）如图①，当PQ 交CD 于Q 时，求证：ABP PCQ ∆∆

（2）如图②，当PQ 交CD 的延长线于Q 时，设DQ y =，请求出y 与t 之间的函数关系式；

（3）请问当时间t 等于多少时，以A 、B 、P 为顶点的三角形与以Q 、P 、A 为顶点的三角形相似？