数学建模之时间序列模型

一、时间序列

时间序列分析是当前对动态数据处理的一种有效方法,它不要求考虑影响观测值的各种力学因素,而只是分析这些观测数据的统计规律性。通过对时间序列统计规律性进行分析,构造拟合出这些规律的可能数值,最后给出预测结果的精度分析。

1.1AR 模型：

1.1.1 模型的应用 ①年降雨水量的预测， ②城市税收收入的预测。 1.1.2步骤 ①模型识别

令均值为零的时间序列(1,2,,)t x t n =,延迟k 周期的自协方差函数是

[],k k t t k E y y γγ-+== （1）

用ˆk γ、ˆk ρ分别表示自协方差函数的估计值和自相关函数的估计值,则自相关系数为

k

k k γρργ-==

（2） 1

1ˆˆ,0,1,2,

,1n k

k k t t k t y y k n n γγ-+==-==-∑（3）

ˆˆˆ,0,1,2,,1k

k k k n γρργ-==

=- （4）

（1）对p 阶AR(P)模型有

01122t t t p t p t x x x x φφφφε---=+++

++ （5）

{}00,()t x AR p φ=当为中心化序列,

当00φ≠ ，可通过平移得到中心化()AR p 序列。

用B 表示移位算子，1;t t j t t j Bx x B x x --==，则AR(P)模型的算子形式：

212(1)p p t t B B B x φφφε---

-=

即

()p t t B x φε=

（5）两边同乘t k x +后再取均值得：

1122[,][,()]t k t t k t t p t p t E x x E x x x x φφφε++---=++

++

由协方差函数函数得：

211220k k k p k p k r εφγφγφγσδ---=++

++ （6）

取0,1,2,

,k p =，再将得到的差分方程两边同时除以0γ得：

1121121122

1122p p p p p p p p

ρφφρφρρφρφφρρφρφρφ----=+++=++

+

=++

+ （7）

由上式（7）可得，k ρ应该满足：

()0,0p k B k φρ=> （8）

解得通解为

1122k k k

k p p

c c c ρλλλ---=++

+ （9） 其中,1,2,

,i c i p =可以由p 个初值021,,,p ρρρ-代入计算得到，

,1,2,,i i p λ=是特征方程()0p B φ=的根。

平稳条件：P 个特征根都在单位圆外,即||1i λ>。

令AR(P)最后一个系数为,p p p φφ=，称,(1,2

,,)p p p p φ=为偏自相关函数，

则p 阶AR 模型的偏自相关函数在k>p 时应截止为零。 计算样本的偏自相关函数估计值为：

11

1,,1

11,1,1,,1,ˆ1ˆˆˆˆ2,3,ˆˆ1,ˆˆˆ1,2,

,1m m m j m i j m m j m m j

j j m j m j m m m m j m m j m ρρφρφφρφφφφ---=--=--- =⎧⎪⎪-⎪= ⎨ =⎪

⎪-⎪⎩=- =-∑∑ （10） （2）对MA(q)模型有

1122...t t t t q t q x μεθεθεθε---=+----

当0u =时，模型为中心化()MA q 模型；

当0u ≠时，通过t t y x u =-可转化为中心化()MA q 模型。

算子形式为

()t t X B ε=Θ

212()1...q q B B B B θθθΘ=----

当特征方程()0B Θ=的根都在单位圆外是时间序列可逆。

与（1）AR(P)的分析方法相同，得到MA(q)过程的协方差函数和自相关函数为

21110(...)10k k k q k q k k q k q εγθθθθθσ+- =⎧⎪

=-+++ ≤≤⎨⎪ >⎩

11222

121011...0k k q k q

k q

k k q k q θθθθθρθθθ+-⎧ =⎪

-+++⎪= ≤≤⎨++++⎪⎪ >⎩

（3）对于ARMA(p,q)模型有

0111122......t t p t p t t t q t q x x x φφφεθεθεθε-----=++++----

00φ=时，该模型为中心化()p,q ARMA 模型 00φ≠时，可通过平移转化为中心化()p,q ARMA 模型

算子形式

()()q t t B x B φε=Θ

其中：1()1...P p B B B φφφ=---是P 阶自回归系数多项式；

212()1...q q B B B B θθθΘ=----是q 阶移动平均系数多项式。

平稳条件：特征方程()0B φ=的根都在单位圆外， 可逆条件：()0B Θ=的根都在单位圆外。

与（1）AR(P)的分析方法相同可得()p,q ARMA 自协方差函数和自相关系数为

20

()k t t k i i k i E x x G G εγσ∞

++===∑

其中：Green 函数：011,1,2,...i i

i k j k

k G G G j φ-==⎧

⎪⎨==⎪⎩

∑，',0,k k k p k p φφ=⎧=⎨>⎩ 0

20

j

j k

j k k j

j G G

G

γργ∞

+=∞

===

∑∑

时间序列模型的识别标准准则如下表