第九章 不可压缩流体二维边界层(Y)

p、u0 ——可由主流区的势流方程求得。
ux、、 0 ——剩下的三个知未知量。因此要求解边界层动量积分方程，
原则上还需要补充两个方程。
d
dx
0
ux2dy
u0
d dx
0
uxdy
u0
du0 dx
0
ux、、 0 ——剩下的三个知未知量。因此要求解边界层动量积分方程，
原则上还需要补充两个方程。
(1) 满足绕流物体壁面条件和边界层外边界条件的速度分布
由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量流量
的差值应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC控制面的
质量流量与动量分别为：
mBC
x
0
uxdy dx
KBC
mBCu0
u0
x
0
uxdy
dx
单位时间流入x处控制面AB的动量为：
K AB Kx Qux ux2dy
0
一般将壁面流速为零与流速达到来流速度的99％
处之间的距离定义为边界层厚度。
在来流越接近于物体的前端O处，流速越小，压强越大，在贴近物 体的前端O时流速减为零，压强增加到最大，流速为零，压强为最大的 点称为驻点或停滞点，在这一点上边界层厚度也为零。流体质点到达 停滞点后，便停滞不前。由于液体不可压缩，继续流来的液体质点， 在比物体两侧压强大的停滞点压强作用下，只好将压能部分转化为动 能，改变原来的运动方向，沿着物体两侧继续向前流动。
一、边界层的基本概念 二、边界层的动量积分方程 三、曲面边界层分离现象——卡门涡街 四、流阻力和阻力系数
在本世纪初之前，流体力学的研究分为两个分支： 一是研究流体运动时不考虑黏性，运用数学工具分析流体的 运动规律。另一个是不用数学理论而完全建立在实验基础上 对流体运动进行研究，解决了技术发展中许多重要问题，但 其结果常受实验条件限制。这两个分支的研究方法完全不同， 这种理论和实验分离的现象持续了150多年，直到九十年代初 普朗特提出了边界层理论为止。边界层理论使理想流体的理论 研究和黏性流体的实验研究融合在一起，由于边界层理论具有 广泛的理论和实用意义，因此得到了迅速发展，成为黏性流体 动力学的一个重要领域。本章介绍边界层的基本概念及研究方 法。
0
0
从 x 处dx控制面CD流出的动量为 ：
KCD
Kx
K x x
dx
0
ux2dy
x
0
ux2dy dx
从控制面BC流入的动量采用下列求法：
首先计算从x 处控制面AB流入的质量流量:
mx uxdy
0
从 x 处dx控制面CD流出的质量流量为：
mx
mx x
dx
0
uxdy
x
0
uxdy dx
x
0
ux2dy u0
x
0
uxdy
dp dx
0
——边界层动量积分式
上式是匈牙利科学家冯·卡门于1921年首先推导出来的。由于在推导过程中 未加任何近似条件，从这个意义上讲，它是严格的，而且对边界层的流动 性质也未加限制，因此它既可求解层流边界层，又可适用于紊流边界层。
x
0
所以研究板上的边界层具有一定的实际意义。
设有一块极薄的静止的光滑平板，顺流放置于二维恒定均匀流动中，
平板上游首端为坐标原点，取平板表面为x轴。来流速度为U0且平 行于x轴。
边界层外部：因平板极薄，边界层外部的流动不受平板及其端部
的影响，边界层外部边界上的流速u0处处相等，且
等于来流速度U0，即
u0 U0
ux f（y）
(2) 与速度分布有关的 与 的关0 系式。 0 0 ( )
事实上， 与0 的关系可根据边界层内的速度分布求出。
通常在求解边界层动量积分方程时，总是先选取边界层内速度分布，选 取的速度分布越接近实际，则所得结果越正确。但由于边界层运动的复杂 性，而预先选定的速度分布只能满足主要的边界条件，不可能正好满足动
图示为大雷诺数下黏性流体绕流翼型的二维流动，根据普朗特边界 层理论，把大雷诺数下均匀绕流物体表面的流场划分为三个区域，即边 界层、外部势流和尾涡区。
du
dy
在边界层和尾涡区内：黏性力作用显著，黏性力和惯性力有相同的数量 级，属于黏性流体的有旋流动区；
在边界层和尾涡区外：流体的运动速度几乎相同，速度梯度很小，边界 理想流体势流区：层外部的流动不受固体壁面的影响，即使黏度较 大的流体，黏性力也很小，主要是惯性力。所以 可将这个区域看作是理想流体势流区，可以利用 前面介绍的势流理论和理想流体伯努利方程来研 究流场的速度分布。 边界层的厚度：实际上边界层内、外区域并没有明显的分界面，
Fx
0dx p
dp dx
dx
p
d( p
dx
0dx
)
dx
p
1 2
dp dx
dx
d
dx
dx
单位时间内通过控制面在x轴方向上的动量变化率为：
Kx
K xdx
Kx
K BC
x
0
ux2dy
dx
u0
x
0
uxdy dx
根据动量定理，令 K x ，可Fx 得边界层动量积分方程为:
量积分方程，这样求得的结果（ 、 0等）就都是近似的，故积分方程的解
法只能是近似的解法。但这种解法有一个很大的优点，就是只要能大致选 定速度分布形式，则可以得到误差并不很大的结果，而且解法较简单，因 此在工程上用得较广泛。
三、平板上的层流边界层
在工程中许多物体的绕流问题，可简化为流体绕平板的流动。
下面用动量方程来推导边界层动量积分方程
设二维定常匀速流动绕经一固体，如图所示。沿固体边界取x轴， 沿固体表面的法线取y轴，在大雷诺数情况下，固体边界附近就会产生 一层很薄的边界层，在边界层的任一处，取单位宽度、沿边界层长度 为dx的微元段作为控制体，控制体的控制面由边界层的过流断面AB与 CD以及内边界AD和外边界BC组成。 假定：（1）因为dx很小，所以AD和BC可视为直线。
uxdy dx
（2）计算作用在控制面上所有外力在x轴方向的合力。
因忽略质量力，只有表面力。
τ0 表示固体表面对流体作用的剪应力
壁面上粘性切应力合力为FAD
作用在控制面AD上的表面力FAD为：
FAD 0dx
作用在控制面AB、CD上的表面力分别为：
Px p
Pxdx
p
d( p
dx
)
dx
因边界层外是理想流体，所以在边界层外边界上摩擦应力 (粘性剪应力）
（2）因为边界层很薄，质量力忽略不计。 （3）因为边界层很薄，所以过流断面
AB与CD上的压强是均匀分布。 （4）外边界BC上的压强是不均匀的。
对控制体应用动量方程：
通过控制面AB、BC、CD的动量变化率等于作用 在控制面AB、BC、CD、AD上所有外力的合力。
Kx KCD KAB KBC Fx
0
从 x 处dx控制面CD流出的动量为 ：
KCD
Kx
K x x
dx
0
ux2dy
x
0
ux2dy dx
从控制面BC流入的动量为：
KBC
mBCu0
u0
x
0
uxdy
dx
单位时间内通过控制面在x轴方向上的动量变化率为：
Kx
K xdx
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Kx
K BC
x
0
ux2dy dx
u0
x
0
R exc
Ux
ν
Re
vd
ν
当雷诺数达到一定的数值时，边界层内流动经过一过渡段后转变为紊
流，成为紊流边界层。由层流边界层转变为紊流边界层的点xc称为转 折点，其雷诺数为临界雷诺数。
对于平板的边界层，层流转变为紊流的临界雷诺数为：
Rexc 5105 ~ 3106
影响临界雷诺数的主要因素：
（1）边界层外流体的压强分布；
1、边界层的基本概念
（1）边界层
实际流体流经物体时，固体边界上的流体质点必然黏附在固体表面 边界上，与边界没有相对运动；无论流动的雷诺数有多大，固体边界 上的流体质点的速度必为零，称为无滑移（动）条件。由于实际流体 在固体边界上的流速等于零，所以在固体边界的外法线方向上的流速 从零迅速增大，在边界附近的区域存在着相当大的流速梯度。在边界 附近的区域内粘性就不能忽略，这个附近的区域就称为边界层。
由于边界层内流体质点受到黏性力的作用，流动速度降低， 所以要达到外部势流速度，边界层厚度必然逐渐增加。
(3) 边界层内沿厚度方向，存在很大的速度梯度。 从边璧上的零变到外壁上的 U
(4) 在边界层内，黏性力与惯性力同一数量级。 (5) 边界层内的流态，也有层流和紊流两种流态。
二、边界层的动量积分方程
沿着物体两侧流动的流体，由于边界层中流体质点受到摩擦阻力 的作用，沿着流体流动方向物体的阻滞作用向流体内部扩展，边界 层的厚度逐渐增加，因此边界层的厚度δ是x的函数。
（2）边界层的两种流动状态
根据实验结果可知，边界层内也存在着层流和紊流两种流动状态。 层流边界层：若全部边界层内部都是层流，称为层流边界层。 紊流边界层：若边界层内部是紊流，在紊流边界层内紧靠壁面处也
K AB ——单位时间内从控制面AB流入的动量 KCD ——单位时间内从控制面CD流出的动量 K BC ——单位时间内从控制面BC流入的动量
Fx ——作用在控制面ABCD
上的所有表面力在x方 向的代数和。
（1）计算通过边界层控制面在x轴方向上的动量变化率
单位时间流入x处控制面AB的动量为：
K AB Kx Qux ux2dy
边界层内的流体是黏性流体的运动，理论上可以用粘性流体的运 动微分方程——纳维—斯托克斯方程（N—S方程）来研究其运动 规律。但由此得到的边界层微分方程中，非线性项仍存在，因此 即使对于外形很简单的绕流物体求解也是很复杂的，目前只能对 平板、楔形体绕流层流边界层进行理论计算求得其解析解。但工 程上遇到的很多问题，如任意翼型的绕流问题和紊流边界层，一 般来说求解比较困难，为此人们常采用近似解法，其中应用的较 为广泛的是边界层动量积分方程解法。
在边界层外部，由于是平面有势流动（水平面内），且流速不变，
所以边界层外部边界上的压强也处处相等，根据伯努利方程：
z1
p1
g
v12 2g
z2
p2
g
v22 2g
p
1 2
u02
常数
z1 z2
v1 v2 u0 U0
dp dx
u0
du0 dx
0
对于不可压缩的均质流体： 常 数 代入边界层动量积分方程
为零，作用在控制面BC上的表面力只有表面压强。而表面压强可取B、C
两点压强的平均值
CD - AB d dx d dx
PBC
p p dp dx
dx sin BC
2
p
1 2
dp dx d
dx dx
dx
dx
dx
d dx sin dx
BC
作用在控制面上的所有表面力在x方向的代数和，并略去二阶小量，得
Rexc
Ux ν
（2）固体边界的壁面的粗糙度；
（3）边界层外来流的紊流强度等因素有关。
目前确定临界雷诺数的数值主要依靠实验。
增加壁面粗糙度或层外流体的紊流度都会降低临界雷诺数的
数值，使层流边界层提前转变为紊流边界层。
2、边界层的基本特征
(1) 与物体的特征长度相比，边界层的厚度很小, x
(2) 边界层厚度沿流体流动方向是增加的。
有一层极薄的层流底层。 混合边界层：层流变为紊流之间的过渡区。若在边界层起始部分内
是层流，而后曲线开始抖动，最后变为紊流，称为混合边界层。
（3）判别边界层为层流和紊流的准则数——雷诺数
判别边界层的层流和紊流的准则数仍为雷诺数，但雷诺数中的特征尺
寸用离前缘点的距离x表示之，特征速度取边界层外边界上的速度 U
ux2dy
u0
x
0
uxdy
dp dx
0
根据平面势流的伯努利方程
p
1 2
u02
常数
dp dx
u0
du0 dx
代入到边界层动量积分式中
d
dx
0
ux2dy
u0
d dx
0
uxdy
u0
du0 dx
0
上述边界层的动量积分方程式可以看到，方程中含有五个未知量：
p、u0、ux、、 0
d
dx
0
ux2dy
u0
d dx
0
uxdy
u0
du0 dx
0
U0
d dx
0
uxdy
d dx
0
ux2dy
0
——平板边界层的动量积分方程
U0
d dx
0
uxdy
d dx
0
u
2 x
dy
0
建立两个补充方程：
ux f（y） 0 0 ( )
补充方程一：边界层内的流速分布关系式：ux f（y）
一、边界层的基本概念
1904年，在德国举行的第三届国际数学家学会上，德国著名的力学 家普朗特第一次提出了边界层的概念。他认为对于水和空气等黏度很小 的流体，在大雷诺数下绕物体流动时，黏性对流动的影响仅限于紧贴物 体壁面的薄层中，而在这一薄层外黏性影响很小，完全可以忽略不计， 这一薄层称为边界层。普朗特的这一理论，在流体力学的发展史上有划 时代的意义。普朗特边界层理论开辟了用理想流体理论和黏性流体理论 联合研究的一条新途径。