1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(全)上课用

x
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
-1+1=0.
练习.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最 小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： （2）令t=2x,因为使函数y 3sin t , t R 取最大值的t的集合是 {t | t 2k , k Z } 2 由 2 x t 2k 得 x k 2 4 所以使函数 y 3sin 2 x, x R取最大值的x的集合是
2
5 2
3
x
5 3 1 1 3 x 对称轴： , , , , 2 2 2 2 2 x

2
k , k Z
对称中心： ( ,0),(0,0),( ,0),(2 ,0)
( k ,0) k Z
余弦函数的图象
3 5 2
五、余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
- -1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [
+2k , 2
+2k],kZ 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
减区间为 [2k, 2k + ], kZ ，
( 3 , 0) 2
-
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
注意：函数图 像的凹凸性！
( , 1)
与x轴的交点： (

2
, 0)
一、正弦、余弦函数的周期性
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
x
y=sinx (xR)
y=cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -

R
3 { x | 2 k x 2k , k Z} 2 2
[0,1]
[0,2]
(3) y 2sin(2 x ), x [ , ] 3 6 6


四.最值
探究：正弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
y
1
2
O

2
P' 3 2
2

1
3 2
,1)
最低点： ( 3 ,1)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
余弦函数 图像特征：
-1
y
y cos x
-
x [0, 2 ]
1-
o
-1 -
6

3

2
2 3
5 6

在函数 y cos x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有：
最高点： (0,1) (2 ,1) 最低点：
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x

k , k Z }

k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
3、 周期函数的周期T往往是多值的（如y=sinx 2,4,…,-2,-4,…都是周 期）
A cos( x ) 的周期是
2

二.奇偶性
3 5 2
2 3
2
y
1


2
O

2

(1) f ( x ) sin x , x R 任意x R f ( x ) sin( x ) sin x f ( x ) f ( x ) sin x , x R 为奇函数 y
三角函数
1.4.2正弦函数余弦函数的性质
知识回顾:
y
1-
正、余弦函数图像特征：
y sin x x [0,2 ]
6
-1
o
-1 -


2
3
2 3
5 6

7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
注意：函数图 像的凹凸性！

2
在函数 y sin x, x [0, 2 ] 的图象上，起关键作用的点有： 最高点： (
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
练习
下列等式能否成立？
(1)2cos x 3
3 1 cos x 2
×
√
(2)sin x 0.5
2
sin x 0.5 [1,1]
例1.求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[2,4]
(1) y 3 sin x
(2) y cos x
3
x
(1)sinx > 0 : (0 2k , 2k )
kZ kZ
(2)sin x 0 :( 2k , 0 2k )
y
1
(1)cos x 0 : (2)cos x 0 :
3 5 2
2 3
2


(

2
2
O


2k
1
,

2
2
3 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
3 5 … [ 5 , 3 ]、 ， ]、 ， ]…上时， [ [ 当 在区间
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ [ [ 当x在区间 … [ , ]、 ， ]、 ， ]、 , ] „ 2 2 2 2 2 2 2 2
上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1 减小到 1 。
探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数在每个闭区间[ 2 k , 2 k ]( k Z ) 2 2 都是增函数，其值从－1增大到1； 3 而在每个闭区间[ 2 k , 2 k ]( k Z )上都是 2 2 减函数，其值从1减小到－1。
2、“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x0+t)f (x0)） 正周期是 2
余弦函数是周期函数， k (k Z且k 0) ，最小 2 4、周期T中最小的正数叫做f (x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） 正周期是 2 2 函数 y A sin( x ) 的周期是 函数 y
2
5 2
3
x
2k ) 2k )
kZ kZ
3 ( 2k , 2 2

五、正弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2

3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
sinx


2
…
0 0
…
2
…
0
…
3 2
-1
1
-1
y=sinx (xR)
增区间为 [[ +2k, 2 +2k],kZ 其值从-1增至1 ， ] 2 2 2 3 3 减区间为 [[ +2k, +2k],kZ 其值从 1减至-1 ， ] 2 2 2
1
1
3 2
2
5 2
3
x
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
(2) f ( x ) cos x , x R 任意x R f ( x ) cos( x ) cos x f ( x ) f ( x ) cos x , x R 为偶函数
学以致用
例3 比较下列各组数的大小:
(1) sin( )与 sin( ); 18 10
23 17 (2) cos( )与 cos( ). 5
六、正弦、余弦函数的对称性 y 正弦函数的图象
1
P

2
3 5 2
2 3
2

P
' 2

O

1
3 2
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
[ 0] [ 2 当x在区间 [ 3 , 2 ]、 ， 、 ， ][3 , 4 ] 上时，
曲线逐渐上升，cosα的值由 1 增大到1 。
[0 [2 3 当x在区间 [ 2 , ]、 ， ]、 ， ] 上时，
练习
P46 (4) y 4 sin x
x [ , ]
先画草图，然后根据草图判断
y
4
3 5 2
2 3
2


2
O

2

4
3 2
2
5 2
3
x
练习
P46 练习1
3 5 2
2 3
2
y
1


2
O

2

1
3 2
2
5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
x
当且仅当 x 2 k ， （ k Z ） 时 ， (cos x ) max 1；
当且仅当 x 2 k ， （ k Z ） 时 ， (cos x ) min 1 .
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1

2
3
4
5
6
y cos x( x R)
o
-1

2
3
4
5
Baidu Nhomakorabea
6
x
一.周期性
对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T，使得 当x取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x)
那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个 函数的周期。
正弦函数是周期函数， k (k Z且k 注：1、T要是非零常数 2
0) ，最小
曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 1 。
探究：余弦函数的单调性 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
由余弦函数的周期性知：
在每个闭区间[ k
2 , 2 k ]都是增函数，
其值从－1增大到1 ； 而在每个闭区间 [2 k , 2 k ] 上都是减函数， 其值从1减小到－1。
x
例题
求使函数 y 3 cos( 2 x

2 自变量的集合，并写出最大值、最小值。 y
1
) 取得最大值、最小值的
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
分析：令 z 2 x

化未知为已知
2 则 y 3 sin z
例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最
三.定义域和值域
y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域：R 值域：[-1，1] y
1
2
O

2
3 5 2
2 3
2



1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
小值时的自变量x的集合，并说出最大、最小值分别是什么.
(1)y cos x 1, x R; (2)y 3sin 2 x, x R.
解： 这两个函数都有最大值、最小值. （1）使函数 y cos x 1, x R 取得最大值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最大值的x的集合
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当
x

2
有最大值 y 1 2 k 时， 有最小值 y 1 2 k 时，
最小值：当x


2
探究：余弦函数的最大值和最小值 y
1
3 5 2
2 3
2


2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
最大值： 当
x 0 2 k 时， 有最大值 y 1