关于指数函数图像与性质 (2)课件
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4.2.2指数函数的图像与性质2课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1 3
1
∴当 t＝ (此时 x＝1)时，取到最小值 g2＝ ，
2
4
2
当 t＝2(此时 x＝－1)时，取到最大值 g(2)＝3，
3
∴f(x)的最小值为 ，最大值为 3.
4
角度2 指数函数图象和性质的综合运用
2
例3
函数 f(x)＝a－ x .
2 ＋1
(1)求证：不论 a 为何实数，f(x)总为增函数；
训练1
(1)函数y＝ax在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a＝
A.－1 或 2
√
B.2
1
C.
2
y＝ax在[1，2]上是单调函数，
当a>1时，a2－a＝2，解得a＝2(舍去－1).
当0<a<1时，a－a2＝2，方程无解.
综上知a＝2.
1
D.
4
(2)函数
1x
1x
f(x)＝4 －2 ＋1
2 ＋1
2 ＋1
x
故函数 f(x)的值域为(－1，1).
例4 如图，某城市人口呈指数增长.
(1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需时间；
(2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人?
解: (1)视察图，发现20年约为10万人，经过40
年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口
所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一
函数值变 x > 0时，y > 1
化情况
x < 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1
过定点
角度1 定义域、值域、最值ห้องสมุดไป่ตู้题
高中数学同步教学课件 指数函数的性质与图像(二)
1．若2x＋1<1，则x的取值范围是( )
A．(－1,1)
B．(－1，＋∞)
C．(0,1)∪(1，＋∞) 【答案】D
D．(－∞，－1)
【解析】∵2x＋1<1＝20，且y＝2x是增函数，
∴x＋1<0，∴x<－1.
2．设23－2x＜0.53x－4，则x的取值范围是________. 【答案】(－∞，1) 【解析】∵0.53x－4＝123x－4＝24－3x，∴由 23－2x＜24－3x， 得 3－2x＜4－3x，∴x＜1.]
知识点2 指数不等式
对于形如 af(x)>ag(x)(或 af(x)<ag(x))的不等式， 当 a>1 时，转化为 f(x)>g(x)(或__f_(_x_)<_g_(_x_)_)； 当 0<a<1 时，转化为__f_(x_)_<_g_(_x_) _(或___f(_x_)_>_g_(x_)_)．
[微体验]
[方法总结] 解简单的指数不等式的一般方法
(1)形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的 取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形 式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的形式利用函数图像求解．
C．(2，－3)
D．(2，－2)
【答案】B 【解析】令x－1＝0，得x＝1，此时y＝a0－3＝1－3＝－2， ∴函数y＝ax－1－3恒过定点(1，－2)．
2．方程|2x－1|＝a 有唯一实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】a|a≥1或a＝0 【解析】作出 y＝|2x－1|的图像， 如图，要使直线 y＝a 与图像的交点只有一个， ∴a≥1 或 a＝0.
3.3.2指数函数的图象和性质第2课时课件-高一上学期数学北师大版
学习目标
新课讲授
课堂总结
差异：
学习目标
新课讲授
课堂总结
问题2：根据上述几个函数图像的特点，你能归纳出当0<a<1时， 指数函数y＝ax的性质吗？小组进行讨论.
学习目标
新课讲授
课堂总结
指数函数y＝ax在0<a<1的情况下，它的图像特征和函数性质如下所示:
a的范围
图像
定义域 值域 过定点 性 质 单调性
⑷当x<0时，y>1;当x>0时，0<y<1.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题： （1）指数函数有哪些性质？ （2）不同底数a对指数函数的大小有什么影响？
0<a<1
y
(0,1)
o
x
R
(0,+∞) 过定点(0,1)
学习目标
新课讲授
课堂总结
学习目标
新课讲授
课堂总结课堂总结
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
1.比较下列各题中两个数的大小：
（1）0.8 2 ,0.8 3
（2）0.90.3，0.93.1.
y 0.8x
由 2 3, 所以 0.8 2 0.8 3 ;
思考：观察图像，你能发现函数图像有什么特点？
学习目标
新课讲授
课堂总结
x
...
-2
-1
0
1
2
...
...
1
...
学习目标
新课讲授
课堂总结
从图象可以看出：
学习目标
新课讲授
课堂总结
共同点： ①两者都在x轴的上方 ②图像都是下降的, 值域是(0,+∞)
北师大版高中数学必修一课件《3.3.3指数函数的图像与性质(2)》
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域 （1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5； （5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝； （3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝； （5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时 先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值 的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .
（金戈铁骑 整理制作）
§3.3.3指数函数的图像与性质（2）
永丰中学高中数学教研组
必修1第三章第3节
复习导入
指数函数的图像与性质
a＞1
0＜a＜1
•
图
1、指数y函数的定义；y
函象• 2数、叫指做数指o函y数1 数函a图xx数(a象，的0其, 且作中oa1法x是；1)自x
(变1)•定量义3域、. 指数列函表数描的点图R连象线和性质.
形如y a f (x)的函数的定义域就是f (x) 的定义域
必修1第三章第3节
探究二、指数型函数值域的求法
例：求下列函数的值域 （1）y 2x1；（2）y 2 ； x2 2x1
1
（3）y 2x2 ；（4）y 23x5； （5）y 2 x ；（6）y 2 x5
必修1第三章第3节
解：（1）｛y y 0｝；（2）｛y y 1｝； （3）｛y 0 y 1｝；（4）｛y y 0且y 1｝； （5）｛y y 1｝；（6）｛y y 1｝
总结：
求形如y a f (x)的函数的值域时 先求f (x)的值域
必修1第三章第3节
探究三、利用指数函数性质比较大小
(2)值域
(0,+∞)
性 (3)定点
过定点(0,1)，即x=0时，y=1
质 (4)单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
(5)函数值 的分布情
况
当x＞0时，y＞1
当x＞0时，0＜y＜1
当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1
必修1第三章第3节
新知探究
探究一、指数型函数定义域的求法
例：求下列函数定义域
（7）方程2x x 3的实数解的个数为 _____ .
高数数学必修一《4.2.2.2指数函数的图像和性质(二)》教学课件
2．函数f(x)＝34−x2 的单调递增区间是(_－_∞_，_0_]___.
解析：令t＝4－x2，则y＝3t是单调递增函数， 当x∈(－∞，0]时，t＝4－x2单调递增；当x∈[0，＋∞)时，t＝4－x2单调递减， 由复合函数单调性可知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＝34－x2单调递增．
微点拨❶
跟踪训练2 (1)函数y＝ 2x − 8的定义域为( ) A．(－∞，3) B．(－∞，3] C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
答案：D
解析：由题意得2x－8≥0，所以2x≥23，解得x≥3.故选D.
(2)解关于x的不等式(13)x－4≥3－2x .
解析：不等式(13)x－4≥3－2x即34－x≥3－2x， 由于y＝3x在R上单调递增，所以4－x≥－2x，x≥－4， 所以不等式的解集为[－4，＋∞)．
解析：因为ax＋1＞(1a)5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3. 当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3. 综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)， 当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．
题后师说
利用指数函数单调性解不等式的步骤
综上，m＝1.
(2)当a＝4，b＝2时，f(x)＝4x＋m·2x. 令t＝2x>0，则g(t)＝t2＋mt在(0，＋∞)上有最小值，所以－m2 >0，得m<0. 所以实数m的取值范围是(－∞，0)．
随堂练习
1.a＝20.7，b＝40.37，c＝(12)－1.8，则a、b、c的大小关系为(
)
A．a<b<c
(2)设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
2.1.2指数函数图象及性质(二)
若把函数 f ( x ) 的图象向左平移2 个单位, y=3(x+2)2 则得到函数 ____________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向下平移 3 个单位, y=3x2－3 则得到函数 _________ 的图象； 若把函数 f ( x ) 的图象向上平移 4 个单位, y=3x2+4 则得到函数 _________ 的图象.
C. 0 a 1, 且 b 0 B. a 1, 且 b 0 D. a 1, 且 b 0
y
o
x
0 a 1, 1 b 1 0,
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二) y ( 1 ) x 作出函数图象,求定义域、 例1. 已知函数 2 y ( 1 )| x| 的关系. 值域,并探讨与图象 2
y
2
o -2
- x 1
x
所以当x＜0时, f ( x ) 2
主页
.
§2.1.2指数函数及其性质(二)
1.图像过定点问题
由于函数y＝ax(a＞0,且a≠1)恒经过定点 (0,1),因此指数函数与其它函数复合会产生一 些丰富多彩的定点问题
例2.函数y＝ax-3＋2(a＞0,且a≠1)必经 过哪个定点？ (3, 3)
点评:函数y＝ax-3＋2的图象恒过定点(3,３),实 际上就是将定点(0,1)向右平移3个单位,向上平 移2个单位得到.
主页
§2.1.2指数函数及其性质(二)
【1】函数y＝ax+5-1（a＞0,且a≠1）必经 过哪个定点？ ( 5, 0)
【2】函数 y a b=____. 1
x b
2 恒过定点(1,3)则
1 ) x12 2 x1 , f ( x ) ( 1 ) x22 2 x 2 , 则 f ( x1 ) ( 5 2 5
人教B版(2019)数学必修(第二册)：4.1.2 指数函数的性质与图像 课件(共104张PPT)
c=0.22.1，则a，b，c的大小关系是( )
A.a<c<b
B.b>a>c
C.b<a<c
D.c>a>b
【解析】选B.a=0.52.1∈(0，1)，b=20.5>1，c=0.22.1， 0.52.1>0.22.1，所以a>c，所以b>a>c.
【加练·固】
已知
a
(
3
)
1 3
,
b
(
3 )
1 4
类型一 指数函数的概念 【典例】1.函数y=(a2-3a+3)·ax是指数函数，则a的值 为________. 2.指数函数y=f(x)的图像经过点(π，e)，则f(-π) =________.
【思维·引】1.根据指数函数的解析式的特征列方程 求解. 2.设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f(-π).
A.[3，9] C. [ 1，3]
3
B.[ 1，9]
3
D. [ 1，1]
93
3.已知函数f(x)=ax(a>0，a≠1)在区间[-1，1]上的最 大值与最小值的差是1，则实数a的值为________.
【思维·引】1.根据被开方数大于等于0求定义域. 2.先确定函数的单调性，再求最值. 3.分情况表示出最大值、最小值，列方程求a的值.
【加练·固】
函数y= 1－(1)x 的定义域为________.
3
【解析】因为函数有意义的充要条件是1- (1)x ≥0，则
3
(1)x ≤1，即x≥0，
3
所以函数的定义域为[0，+∞).
第2课时 指数函数的性质与图像的应用
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
4.2.2指数函数的图象和性质(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版【01】
【变式训练】
1．函数 y＝12x2－2x－3的值域为_(_0_,_1_6__]_．
解析：定义域为 R.因为 x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以12x2－2x－3≤12－4＝16. 又12x2－2x－3>0， 所以函数 y＝12x2－2x－3的值域为(0，16]．
题型二 指数函数的单调性及应用
角度 2 解指数不等式
(, 1)
例 3、（1）不等式 4x<42－3x 的解集是_______2_.
（2）若 a－5x>ax＋7(a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围．
（1）解析：因为
4x<42－3x，所以
x<2－3x，所以
1 x<2.
（2） 解：①当 a>1 时，因为 a5x ax7 ，且函数 y＝ax 为增函数，所以－5x>x＋7，解得 x<－76. ②当 0<a<1 时，因为 a5x ax7 ，且函数 y＝ax 为减函数，所以－5x<x＋7，解得 x>－76.
即
a
4
1 x
1
a
1 4x
1
恒成立，解得Fra bibliotek2a1 4x 1
1 4x 1
1，所以
a
1 2
.
题型三 指数函数性质的综合问题 例 5、已知定义在 R 上的函数 f(x)＝a＋4x＋1 1是奇函数. (2)判断 f(x)的单调性(不需要证明)； (3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求实数 k 的取值范围. (2)由(1)知 f(x)＝－12＋4x＋1 1，故 f(x)在 R 上为减函数.
综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围为－∞，－67；当 0<a<1 时，x 的取值范围为－76，＋∞.
课件6：4.1.2 指数函数的性质与图像
∴ ＝在［-1，1］上单调递增，
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
∴
1
0< ≤≤.
由二次函数的图象知，
1
当∈[ , ]时，
函数＝（ + 1） −
2
1
2在[ , ]上为增函数，
故当＝时，max＝2 + 2 − 1，
∴ 2 + 2 − 1＝14，解得＝3或＝-5（舍去）.
②若0<<1，∵ ∈［-1，1］，
∴
2 −2−3
1
2
∴ y＝
≤
1 −4
＝16.又∵
2
2 −2−3
1
2
2 −2−3
1
的值域为（0，16］.
2
>0，
形如y＝af（x）的函数的定义域和值域的求法
（1）函数y＝af（x）的定义域与函数f（x）的定义域相同；
（2）求函数y＝af（x）的值域，需先确定函数f（x）的
值域，再根据指数函数y＝ax的单调性确定函数y＝af（x）
图象；
③函数＝|()|的图象是将函数 = ()的图象在轴下
方的部分沿轴翻折到上方，轴上方的部分不变.
若直线＝2与函数＝| − 1|（>0，且≠1）
1
0,
的图象有两个公共点，则的取值范围是（ 2 ） .
（3）图象的识别问题
例5 如图所示的是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝
1
−4
（1） 2
＝
（2）
＝
；
2
1 −2−3
.
2
解：（1）由-4≠0，得≠4，
∴ =2
1
−4
的定义域为{|∈R，且≠4}.
1
4.2.2指数函数的图像和性质2(指数型函数)课件高一上学期数学人教A版【02】
练2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
4.2.2指数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y( )
1 x
3
6
y( )
1 x
2
y2
5
x
4
3
2
1
-4
-3 -2
-1 0
x
1
2
3
4
y
y
1
y
2
x
y ax
1
y
3
y
x
y 3x
y 2x
y ax
(a 1)
(0 a 1)
1
1
1
0
x
0
1
0 x
x
一、定点问题
例1：已知 = + + ( > , ≠ )图象恒
系中的图象可能是（ ）
()
()
()
()
二、图象辨认
• 例4：比较, , , 的大小
=
=
=
y
=
x
O
二、图象辨认
• 例5：已知实数, 满足2020 = 2021 = ,则下
列四个关系式中可能成立的是(
. 0 < <
. < < 0
. 0 < <
. < < 0
)
二、辨认图象
• 例3：若0 < < 1， < −1，则函数()
＝＋的图象一定不经过第______象限.
三、图象辨认
• 例6：函数 ＝ − 的图象如图所示，其中a，b为
常数，则下列结论正确的是（ ）
A. > 1, < 0
4.2.2指数函数的图象和性质
4.2指数函数的图象与性质课件(人教版)
需的时间（倍增期）；
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
4.2.2指数函数的图像和性质教学说课课件高一上学期数学人教A版
“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终身，所以 我进行了以下学法指导: (1)类比学习法: 与幂函数类比学习指数函数的图象和性质. (2)探究定向性学习法: 学生在教师建立的情境下,通过思考、分析、操作、探索，归 纳出指数函数的图象和性质. (3)主动合作式学习法: 学生在归纳得出指数函数的图象和性质时,通过小组讨论,使 问题得以圆满解决.
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
设计意图：让学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图象， 目的是使学生更加信服，从而加深学生对图象的印象，从而为以后画图解题，采用数形结合 的思想方法打下基础.小组合作的方式共同探究性质，自己归纳并设计表格展示性质，整个 过程体现了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，使学生的思维得到升华.培养学 生的抽象概括、归纳能力、语言表达能力以及主动性．
必做题：教科书135页习题1-3，140页到141页习题4.4第2、4题 选做题：习题4.4 的12、13题
设计意图：检验学生指数函数的图象和性质的掌握，以及指数函数的图象和性质的应用. 在选做题部分是对指数函数的图象和性质的拓展与延伸，目的是提高学生运用所学知识 解决问题的能力.
设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对图象和性质的理解,便于记忆,有利于 提高教学效果.
4.2.2 指数函数的图象和性质
课堂教学
一、情景引入
问题1、这两个是什么函数？
二、探索新知
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
指数函数的性质与图像ppt课件
资料下载：./ziliao/
个人简历：./j ia nli/
试卷下载：./shiti/
教案下载：./j ia oa n/
手抄报：./shouchaobao/
P P T课件：./ke j ia n/
语文课件：./kejian/y uwen/ 数学课件：./kejian/shuxue/
英语课件：./kejian/y ingy u/ 美术课件：./kejian/meishu/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
历史课件：./ke j ia n/lishi/
第四章 指数函数、对数函数与幂函数
■名师点拨 底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图像的“升”与“降”．当 a＞1 时，指数函数的图像是“上升”的；当 0＜a＜1 时，指数函数 的图像是“下降”的．
科学课件：./kejian/kexue/ 物理课件：./kejian/wuli/
化学课件：./kejian/huaxue/ 生物课件：./kejian/shengwu/
地理课件：./ke j ia n/dili/
历史课件：./ke j确的打“√”，错误的打“×”) (1)y＝x2 是指数函数．(× )
栏目 导引
⑤指数函数的图像．
P P T模板：./m oba n/
PPT素材：./sucai/
P P T背景：./be ij ing/
PPT图表：./tubiao/
PPT下载：./xiazai/
PPT教程： ./powerpoint/
资料下载：./ziliao/
个人简历：./j ia nli/
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关于指数函数图像 与性题1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数y与x的函数关系式是什么？
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y 2x
……
细胞 总数
2个 4个
21
22
8个 16个
23
24
2x
想一 想
记忆口诀：
左右无限上冲天，y
(1
)x
y
(1)x 3
y=3X
2
Y y=2x
永与横轴不沾边.
Y=1
大 于1 增、小 于1 减， O
X
图象恒过(0,1)点.
例3、快速指出下列指数函数在R上的单调性并画 出大致图像
(1)
f
(
x
)
1 4
x
3f x1.7x
2 f x8x 4f x0.8x
例4 、比较下列各题中两个值的大小:
问题二：
指数函数 y 2 x图像是否
具有对称性？
答： 不关于Y轴对称不关于 原点对称
y
y
1 2
x
1
x
0
y
y 2x
1
x
0
课堂小结：
本节课你收获了什么？
4
8
1尺 16
(1)x尺 2
思考: y2x,y(1)x这类函数与我们刚学过 2
1
yx2,yx2一样吗？
你能从以上两个解析式中抽象出一个更 具有一般性的函数解析式吗？
y ax
指数函数的定义：
底数a为常数
指数x为自变量
形如 y a x (a 0, 且a1)的函数叫做指数函数，
幂为函数
形式上的严格性：
图 象
yy 3x y 2x
特
征
1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
用描点y法 (1)作 x和 y 函 (1)x的 数图 .
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
函
y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
数 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
解：设 f (x) ax (a>0且a≠1)
二、实践操作，探求新知
动手画一画下列函数的图像
1 y 2x
2
y
1 2
x
3 y 3x
4
y
1 3
x
用描点法y作 2x和 函 y数 3x的图. 象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
函 y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … 数 y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
图
y (1)x
y (1)x 3
象
2
y
特
征 1
X O
比 较 函 数 y2x和 y(1)x的 列 表 . 2
函
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
数 y=2-x … 8
4
2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y 2 x过1 ， 点 2 ）2 （ ， ， 4 ）（ 3 ， ， 8 ）（ a ， ,b ） （
y 2x
2
1
0
1
关于y轴对称
x
观察右边图象，回答下列问题：y
(
1
)x
y
(1 3
)x
2
问题一：
图象分布在哪几个象限？
y=3X
Y y=2x
答四个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限。
问题二：
O
Y=1
X
图象的上升、下降与底数a有什么联系？
答：当底数＿a ＿1 时图象上升；当底数＿0＿a＿＿1时图象下降．
问题三： 图象中有一个最特殊的点？
探究:
为什么要规定a 0且a 1呢？
0
1
a
分类讨论
(1) 若a 0 , ax 不一定有意义，
如：a
2, x
1 ,ax
1
(2) 2
2,显然无意义；
2
(2) 若a 0 , x 0 时ax 0，x 0时ax均无意义；
(3) 若 a 1 ，1x 1，没有研究的必要 .
范例
例1．已知指数函数 f (x) ax(a>0且a≠1)的
(1) 1.72.5 , 1.73 (2) 0.80.1 , 0.80.2
归纳：比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个
指数函数,再利用指数函数的单调性即可比较大小.
三、深入探究，加深理解
观察右边图象，回答下列问题：
问题一： 指数函数
y (1)x 2
图像是否
具有对称性？
答： 不关于Y轴对称不关于 原点对称
答：四个图象都经过定点＿(0＿,＿1)＿．
当底数a (a0且a1)
取任意值时，指数函数图象如何 分类研究？
y
y
y 1 x
y2 ax
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0a1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
指指数数函函数 数y 的ax图(a 象0且和a性 1质) 的图像和性质
函 数 y a x (a 1)
y ax (0 a 1)
图象
定义域 值域
单调性
过定点
函数值变 化情况
R
(0,+∞)
在R上是增函数 （0，1）
x > 0时，y > 1 x < 0时，0< y <1
R
(0,+∞)
在R上是减函数 （0，1）
x > 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1
普通高中课程标准实验教科书·人教A版数学必修一（2.1.2）
图像经过点(2，9)，求f(0)， f(1)， f(-1)的值。
解： 因为 f (x) ax的图象经过点(2, 9 ) ,
f (2) 9 即 a 2 9
解得 a 3 f (x) 3x
f (0) 30 1 f (1) 3
f (1) 31 1 3
1 例2．已知指数函数的图像经过点(2，9 )，求 f ( x )
底 数 a0且 a1;
指数是自变量x，且 xR;
整个式子的系数是1
巩固练习
1、判断下列函数是指数函数吗?
（1） y 3x （3） y 3x
（2） y (3)x
（4） y
1 3
x
2、函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的
值.
a2-3a+3=1
a=1或a=2
∴a=2
a>0且a≠1
a>0且a≠1
象
特 征 y 2 x 过 -1 ， 点 2 ） -2 （ ， 4 ） - （ 3 ， ， 8 ） （ a ， ,b ） （
（ a,b）(与 a,b)关y于 轴对称
对应两点 有什么位 置关系？
yax与 y1 ax的 y 图 1 像 yx 关 于 y y 轴 3x对 称
y 1 x
3
一尺之锤，日取其半，万世不竭！ -------庄子
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半， 第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第 二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的 次数x与剩下的尺子长度y之间的关系.
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺
剩余 2
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y 2x
……
细胞 总数
2个 4个
21
22
8个 16个
23
24
2x
想一 想
记忆口诀：
左右无限上冲天，y
(1
)x
y
(1)x 3
y=3X
2
Y y=2x
永与横轴不沾边.
Y=1
大 于1 增、小 于1 减， O
X
图象恒过(0,1)点.
例3、快速指出下列指数函数在R上的单调性并画 出大致图像
(1)
f
(
x
)
1 4
x
3f x1.7x
2 f x8x 4f x0.8x
例4 、比较下列各题中两个值的大小:
问题二：
指数函数 y 2 x图像是否
具有对称性？
答： 不关于Y轴对称不关于 原点对称
y
y
1 2
x
1
x
0
y
y 2x
1
x
0
课堂小结：
本节课你收获了什么？
4
8
1尺 16
(1)x尺 2
思考: y2x,y(1)x这类函数与我们刚学过 2
1
yx2,yx2一样吗？
你能从以上两个解析式中抽象出一个更 具有一般性的函数解析式吗？
y ax
指数函数的定义：
底数a为常数
指数x为自变量
形如 y a x (a 0, 且a1)的函数叫做指数函数，
幂为函数
形式上的严格性：
图 象
yy 3x y 2x
特
征
1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
用描点y法 (1)作 x和 y 函 (1)x的 数图 .
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
函
y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
数 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
解：设 f (x) ax (a>0且a≠1)
二、实践操作，探求新知
动手画一画下列函数的图像
1 y 2x
2
y
1 2
x
3 y 3x
4
y
1 3
x
用描点法y作 2x和 函 y数 3x的图. 象
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
函 y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … 数 y=3x … 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 …
图
y (1)x
y (1)x 3
象
2
y
特
征 1
X O
比 较 函 数 y2x和 y(1)x的 列 表 . 2
函
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=2x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 …
数 y=2-x … 8
4
2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y 2 x过1 ， 点 2 ）2 （ ， ， 4 ）（ 3 ， ， 8 ）（ a ， ,b ） （
y 2x
2
1
0
1
关于y轴对称
x
观察右边图象，回答下列问题：y
(
1
)x
y
(1 3
)x
2
问题一：
图象分布在哪几个象限？
y=3X
Y y=2x
答四个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限。
问题二：
O
Y=1
X
图象的上升、下降与底数a有什么联系？
答：当底数＿a ＿1 时图象上升；当底数＿0＿a＿＿1时图象下降．
问题三： 图象中有一个最特殊的点？
探究:
为什么要规定a 0且a 1呢？
0
1
a
分类讨论
(1) 若a 0 , ax 不一定有意义，
如：a
2, x
1 ,ax
1
(2) 2
2,显然无意义；
2
(2) 若a 0 , x 0 时ax 0，x 0时ax均无意义；
(3) 若 a 1 ，1x 1，没有研究的必要 .
范例
例1．已知指数函数 f (x) ax(a>0且a≠1)的
(1) 1.72.5 , 1.73 (2) 0.80.1 , 0.80.2
归纳：比较两个同底数幂的大小时,可以构造一个
指数函数,再利用指数函数的单调性即可比较大小.
三、深入探究，加深理解
观察右边图象，回答下列问题：
问题一： 指数函数
y (1)x 2
图像是否
具有对称性？
答： 不关于Y轴对称不关于 原点对称
答：四个图象都经过定点＿(0＿,＿1)＿．
当底数a (a0且a1)
取任意值时，指数函数图象如何 分类研究？
y
y
y 1 x
y2 ax
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0a1)
1 1
0
x
0
1
1
0x
x
指指数数函函数 数y 的ax图(a 象0且和a性 1质) 的图像和性质
函 数 y a x (a 1)
y ax (0 a 1)
图象
定义域 值域
单调性
过定点
函数值变 化情况
R
(0,+∞)
在R上是增函数 （0，1）
x > 0时，y > 1 x < 0时，0< y <1
R
(0,+∞)
在R上是减函数 （0，1）
x > 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1
普通高中课程标准实验教科书·人教A版数学必修一（2.1.2）
图像经过点(2，9)，求f(0)， f(1)， f(-1)的值。
解： 因为 f (x) ax的图象经过点(2, 9 ) ,
f (2) 9 即 a 2 9
解得 a 3 f (x) 3x
f (0) 30 1 f (1) 3
f (1) 31 1 3
1 例2．已知指数函数的图像经过点(2，9 )，求 f ( x )
底 数 a0且 a1;
指数是自变量x，且 xR;
整个式子的系数是1
巩固练习
1、判断下列函数是指数函数吗?
（1） y 3x （3） y 3x
（2） y (3)x
（4） y
1 3
x
2、函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，求a的
值.
a2-3a+3=1
a=1或a=2
∴a=2
a>0且a≠1
a>0且a≠1
象
特 征 y 2 x 过 -1 ， 点 2 ） -2 （ ， 4 ） - （ 3 ， ， 8 ） （ a ， ,b ） （
（ a,b）(与 a,b)关y于 轴对称
对应两点 有什么位 置关系？
yax与 y1 ax的 y 图 1 像 yx 关 于 y y 轴 3x对 称
y 1 x
3
一尺之锤，日取其半，万世不竭！ -------庄子
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半， 第二次截去剩余部分的一半，第三次截去第 二次剩余部分的一半，依次截下去，问截的 次数x与剩下的尺子长度y之间的关系.
截取
次数 1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺
剩余 2